1、1.5 空間直線及其方程空間直線及其方程xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L1.5.1 空間直線的一般方程空間直線的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量為這條直線的方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 1.5.2

2、 空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程pzznyymxx000 直線的對(duì)稱式直線的對(duì)稱式（點(diǎn)向式方程（點(diǎn)向式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組方向數(shù)直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的方向余弦直線的方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程例例1 1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1( 空間直線的三種方

3、程形式的互化空間直線的三種方程形式的互化因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx例例 2 2 一直線過(guò)點(diǎn)一直線過(guò)點(diǎn))4 , 3, 2( A，且和，且和y軸垂直相軸垂直相交，求其方程交，求其方程.解解因因?yàn)闉橹敝本€線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyxAB定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzzn

4、yymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式1.5.3 兩直線的夾角兩直線的夾角兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))5, 2, 3( 且且與與兩兩平平面面34 zx和和152 zyx的的交交線線

5、平平行行的的直直線線方方程程.解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程例例 4 4 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))3 , 1 , 2(M且且與與直直線線12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直線線方方程程.解解設(shè)兩直線的交點(diǎn)設(shè)兩直線的交點(diǎn)N令令tzyx 12131. 1213 tztytx), 12 , 13(000ttt)3,2 , 33(000tttMN) 1, 2 , 3(1 sMN由題設(shè)知73:0t得交點(diǎn)交點(diǎn))73,713,72( N取所求直線的方向向量為取

6、所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx0)3(22)33(3000ttt定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns1.5.4、直線與平面的夾角、直線與平面的夾角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關(guān)系：直線與平面的位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA

7、L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 5 5 設(shè)直線設(shè)直線:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直線與平面的夾角，求直線與平面的夾角.解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角1.5.5 雜例雜例例例1 求點(diǎn)求點(diǎn)P(-1,2,0)在平面在平面x+2y-z+1=0上的投影。上的投影。解：解：P(-1,2,0)Q如下圖如下圖只要過(guò)點(diǎn)只要過(guò)點(diǎn)P(-1,2,0)作平面的垂線，則垂足作平面的垂線，則垂足Q即為所求的投影即為所求的投影

8、分析分析210Pxyz 過(guò)點(diǎn) 且垂直于平面的直線方程為12121xyz令令12121xyzt得直線的參數(shù)方程為得直線的參數(shù)方程為122xtytzt 將上式代入平面方程，得將上式代入平面方程，得 t= -2/3從而投影從而投影Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-5/3, 2/3, 2/3)例例2 10(3, 1,2)240 xyzPLxyz 求點(diǎn)到直線的距離。分析：分析：P(3,-1,2)M先求出過(guò)點(diǎn)先求出過(guò)點(diǎn)P且垂直于直線且垂直于直線L的平面，再求出垂足的平面，再求出垂足M，最后求出最后求出P,M兩點(diǎn)間的距離即可。兩點(diǎn)間的距離即可。解解直線直線L的方向向量的方向向量v=(0,-3,-3)則垂直直線則垂直直線

9、L，經(jīng)過(guò)，經(jīng)過(guò)P的平面方程為的平面方程為y+z-1=0聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組1010240yzxyzxyz 解得解得即即M=(1,-1/2,3/2)11232xyz 從而從而222133 2|(31)( 1)(2)222PM 平面束平面束設(shè)直線設(shè)直線L由方程組由方程組1111222200A xB yC zDA xB yC zD(1)(2)所確定，其中，系數(shù)所確定，其中，系數(shù)A1,B1,C1與與A2,B2,C2不成比例，我不成比例，我們們建立三元一次方程建立三元一次方程:11112222()0A xB yC zDA xB yC zD(3)其中其中為任意常數(shù)，因?yàn)闉槿我獬?shù)，因?yàn)锳1,B1,C1與與

10、A2,B2,C2不成比例，所以不成比例，所以對(duì)于任何一個(gè)對(duì)于任何一個(gè)值，方程值，方程(3)的系數(shù)：的系數(shù)：A1+ A2,B1+ B2,C1+ C2不全為零，從而方程不全為零，從而方程(3)表示一個(gè)平面。表示一個(gè)平面。而且對(duì)應(yīng)于不同的而且對(duì)應(yīng)于不同的值，方程值，方程(3) 表示通過(guò)直線表示通過(guò)直線 L的不的不同的平面。同的平面。反之，通過(guò)直線反之，通過(guò)直線L的任何平面的任何平面(除平面除平面(2) 外外)都包都包含在方程含在方程(3)所表示的一族平面內(nèi)。所表示的一族平面內(nèi)。像這種通過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束。像這種通過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束。而方程而方程(3) 就作為通過(guò)直線就

11、作為通過(guò)直線L的平面束的方的平面束的方程程.若一點(diǎn)在直線若一點(diǎn)在直線L上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿足方程上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿足方程(1)和方程和方程(2),因而也滿足方程因而也滿足方程(3),故方程故方程(3)表示通過(guò)表示通過(guò)直線直線L的平面。的平面。-43521xyz求過(guò)點(diǎn)(3,1,-2)且通過(guò)直線的平面方程例例3解解-43521xyz則過(guò)直線的平面束的方程為2523(23)0 xyyz-43521xyz將直線寫成一般方程25230230 xyyz將點(diǎn)將點(diǎn)(3,1,-2)代入得代入得114從而得到所求平面方程為從而得到所求平面方程為 8x-9y-22z-59=0小結(jié)：小結(jié)：空間直線的一般方程空間直線的一般方程.空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角兩直線的夾角.直線與平面的夾角直線與平面的夾角.（注意直線與平面的位置關(guān)系）（注意直線與平