1、5.1 線性反饋控制系統的基本結構及其特性5.2 極點配置問題5.3 系統鎮定問題5.4 系統解耦問題5.5 狀態觀測器5.6 利用狀態觀測器實現狀態反饋的系統5.1 線性反饋控制系統的基本結構及其特性5.1.1狀態反饋 狀態反饋是將系統的每一個狀態變量乘以相應的反饋系數，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統的控制輸入。下（圖一）是一個多輸入一多輸出系統狀態反饋的基本結構。圖中受控系統的狀態空間表達式為：式中簡記為 式中，v 為 維參考輸人；K為 維狀態反饋系數陣或狀態反饋增益陣。對單輸入系統，K為 維行矢量。（1）若D D =0，則受控系統：（2）狀態線性反饋控制律 為：（

2、3） 把式(3)代人式(1)整理可得狀態反饋閉環系統的狀態空間表達式：簡記為。閉環系統的傳遞函數矩陣： 比較開環系統 與閉環系統 可見，狀態反饋陣K的引入，并不增加系統的維數，但可通過K的選擇自由地改變閉環系統的特征值，從而使系統獲得所要求的性能。（4）若D D =O，則（5）（6）5.1.2 輸出反饋 輸出反饋是采用輸出矢量y構成線性反饋律。在經典控制理論中主要討論這種反饋形式。（圖二）示出多輸入一多輸出系統輸出反饋的基本結構。受控系統（7）或（8）輸出線性反饋控制律為：（9） 其中日為 維輸出反饋增益陣。對單輸出系統，HH為 維列矢量。 閉環系統狀態空間表達式可由式(7)代入式(9)得：（

3、10）整理得：（11）再把式(1 1)代入式(7)求得：（12）若D D =0，則（13） 簡記 。由式(13)可見，通過選擇輸出反饋增益陣日也可以改變閉環系統的特征值，從而改變系統的控制特性。 輸出反饋系統的傳遞函數矩陣為：若受控系統的傳遞函數矩陣為：存在下列關系：（14）（15）（16）或（17） 從系統輸出到狀態矢量導數 的線性反饋形式在狀態觀測器獲得應用。（圖三）表示這種反饋結構： 比較上述兩種基本形式的反饋可以看出，輸出反饋中的HC HC 與狀態反饋中的K K 相當。但由于 ，所以H 可供選擇的自由度遠比K K 小，因而輸出反饋只能相當于一種部分狀態反饋一只有當 時， ，才能等同于全

4、狀態反饋。因此，在不增加補償器的條件下，輸出反饋的效果撮然不如狀態反饋系統好。但輸出反饋在技術實現上的方便性則足其突出優點。5.1.3 從輸出到狀態矢量導數反饋設受控系統： 加入從輸出y到狀態矢量導數 的反饋增益陣 ，可得閉環系統：將式(19)中的y 代入 整理得：（18）（19）（20）記作。若D D =0，則（21）閉環系統的傳遞函數矩陣：（22）5.1.4 動態補償器 上述三種反饋基本結構的共同點是，不增加新的狀態變量，系統開環與閉環同維。其次，反饋增益陣都是常矩陣，反饋為線性反饋。在更復雜的情況下，常常要通過引入一個動態子系統來改善系統性能，這種動態子系統，稱為動態補償器。 它與受控系

5、統的連接方式如圖54所示，其中圖a為串聯連接，圖b為反饋連接。5.1.5 閉環系統的能控性與能觀性定理5.1.1 狀態反饋不改變受控系統 的能控性。但不保證系統的能觀性不變。證明 只證能控性不變。這只要證明它們的能控判別矩陣同秩即可。 受控系統0和狀態反饋系統0的能控判別陣為：（23）（24）實際上，受控系統 的傳遞函數為：（25）將0的能控標準I型代入上式，得：（26）引入狀態反饋后閉環系統的傳遞函數為：（27）定理5.1.2 輸出反饋不改變受控系統的能控性和能觀性。證明 關于能控性不變。因為（28） 若把(HC HC )看成等效的狀態反饋陣K K，那么狀態反饋便保持受控系統的能控性不變。關

6、于能觀性不變。由能觀判別矩陣（29）和（30） 定理5.2.1 采用狀態反饋對系統 任意配置極點的充要條件是0完全能控。5.2 極點配置問題5.2.1采用狀態反饋證明 只證充分性。若0完全能控，通過狀態反饋必成立式中， 為期望特征多項式。（31）（32） 式中， 為期望的閉環極點(實數極點或共軛復數極點)。1)若0完全能控，必存在非奇異變換：能將0化成能控標準I I型：（33）式中受控系統0的傳遞函數為：（34）2)加入狀態反饋增益陣：（35）可求得對 的閉環狀態空間表達式：（36）閉環特征多項式為：式中（37）閉環傳遞函數為：3)使閉環極點與給定的期望極點相符，必須滿足：（38）由等式兩邊

7、同次冪系數對應相等可解出反饋陣各系數：于是得：（39）4)最后，把對應于 的 ，通過如下變換，得到對應于狀態 的 ：這是由于 的緣故。5.2.2 采用輸出反饋 定理5.2.2 對完全能控的單輸入一單輸出系統 ，不能采用輸出線性反饋來實現閉環系統極點的任意配置。 證明 對單輸入一單輸出反饋系統 ，閉環傳遞函數為：（40） 定理5.2.3 對完全能控的單輸入單輸出系統 通過帶動態補償器的輸出反饋實現極點任意配置的充要條件是：1) 完全能觀。2)動態補償器的階數為nl。 5.2.3 采用從輸出到反饋 定理5.2.4 對系統 采用從輸出到 的線性反饋實現閉環極點任意配置的充要條件是0完全能觀。證明 根

8、據對偶原理，如果 能觀則 必能控，因而可以任意配置 的特征值，而 的特征值和 的特征值相同，又因為 因此，對 任意配置極點就等價于對A A+GcGc任意配置極點。于是設計 輸出反饋陣G G 的問題便轉化成對其對偶系統 設計狀態反饋陣K K的問題。具體步驟如下：將系統 化成能觀標準型：式中， 為能將系統化成能觀標準型的變換矩陣。 (1)取線性變換：（41）（42）(2)引入反饋陣 后，得閉環系統矩陣：式中（43）和閉環特征多項式：(3)由期望極點得期望特征多項式：（44）(4)比較 各對應項系數，可解出：即（45）（46）(5)將在 求得的G G 變換到 狀態下便得： 和求狀態反饋陣K K 的情

9、況類似，當系統的維數較低時，只要系統能觀，也可以不化成能觀標準型，通過直接比較特征多項式系數米確定G G 矩陣。5.3 系統鎮定問題 定理5.3.1對系統 ，采用狀態反饋能鎮定的允要條件是其不能控子系統為漸近穩定。 證明 (1)設系統 不完全能控，因此通過線性變換可將其按能控性分解為：（1） 式中， 為能控子系統； 為不能控子系統。(2)由于線性變換不改變系統的特征值，所以有： (3)由于 在能控性和穩定性上等價。考慮對 引人狀態反饋陣：（2）（3）于是得閉環系統的狀態矩陣：（4）和閉環特征多項式：（5） 定理5.3.2 系統 通過輸出反饋能鎮定的充要條件是 0結構分解中的能控且能觀子系統是輸

10、出反饋能鎮定的，其余子系統是漸近穩定的。證明 (1) 對進行能控性能觀性結構分解，有： 比較式(5)與式(2)可見，引入狀態反饋陣 ，只能通過選擇 使 的特征值均具有負實部，從而使 ，這個子系統為漸近穩定。但 的選擇并不能影響 的特征值分布。因此，僅當 的特征值均具有負實部，即不能控子系統 為漸近穩的此時整個系統 才是狀態能鎮定的。（6） (2)因為 能控性和能觀性和能鎮定性 上完全等價，所以對 引入輸出反饋陣H H ，可得閉環系統的狀態矩陣：（7）和閉環系統特征多項式：（8） 式(8)表明，當且僅當 的特征值均具負實部時，閉環系統才為漸近穩定。定理得證。 定理5.3.3 對系統 采用從輸出到

11、 反饋實現鎮定的充要條件是0的不能觀子系統為漸近穩定。證明 (1)將系統 進行能觀性分解，得： 式中， 為能觀子系統； 為不能觀子系統。（9）開環系統特征多項式為：（10） (2)由于 在能控性和穩定性上等價，考慮對 引入從輸出到 的反饋陣 ，于是有：（11）和（12） 式(12)表明，引入反饋陣 ，只影響 的特征值。5.4 系統解耦問題 解耦問題是多輸入一多輸出系統綜合理論中的重要組成部分?其沒汁目的是尋求適當的控制規律，使輸入輸出相互關聯的多變量系統實現每一個輸出僅受相應的一個輸入所控制，每一個輸入也僅能控制相應應的一個輸出，這樣的問題稱為解耦問題解耦問題。設 是一個 維輸入、 維輸出的受

12、控系統，即（1）若其傳遞函數矩陣：（2）實現系統解耦，目前主要有兩種方法：(1)前饋補償器解耦(2)狀態反饋解耦5.4.1 前饋補償器解耦前饋補償器解耦的框圖如下圖所示。根據串聯組合系統可寫出整個系統的傳遞函數矩陣：（3）式中， 為串接補償器后系統的傳遞函數矩陣。（4）顯然，只要 存在，則串聯補償器的傳遞函數矩陣為：（5）5.4.2 狀態反饋解耦 1.狀態反饋解耦中的幾個特征量狀態反饋解耦系統的結構如下圖所示：為了便于討論狀態反饋解耦的條件，首先定義幾個特征量。1)定義 ，是滿足不等式：且介于0到 之間的一個最小整數l。(6) 式中， 為系統輸出矩陣c中的第i 行向量 ，因此， 的下標i 表示

13、行數。 2. 能解耦性判據 定理5.4.1 受控系統 采用狀態反饋能解耦的充要條件是 維矩陣E E 為非奇異。即（7） 3. 積分型解耦系統 定理5.4.2 若系統 是狀態反饋能解耦的，則閉環系統是一個積分型解耦系統。其中狀態反饋矩陣為：（8）（9）輸入變換矩陣為：（10）閉環系統的傳遞函數為：（11） 式(11)表明，用式(9)和式(10)實現(K K，F F)解耦的系統，其每個子系統都是相當于一個 階積分器的獨立子系統。4能解耦標準形 定理5.4.3 狀態反饋 使系統 解耦并任意配置極點的充要條件是，它們具有以下形式：式中，（12）5. 狀態反饋解耦的設計步驟綜上所述，用狀態反饋實現系統解

14、耦的設計步驟可歸納如下： 1)檢驗系統是否滿足式(7)所述充要條件。 2)按照式(9)和式(10)計算狀態反饋矩陣K和輸入變換陣F，將系統化成積分型解耦形式。 3)按照式(12)對各獨立子系統采用附加狀態反饋，將其極點配置為期望值。 3) 的輸出 應以足夠快的速度漸近于 ，即 應有足夠寬的頻帶。但從抑制干擾角度看，又希望頻帶不要太寬。因此，要根據具體情況予以兼顧。5.5 狀態觀測器5.5.1 狀態觀測器定義 設線性定常系統0=(A A，B B，C C)的狀態矢量工不能直接檢測。如果動態系統 以0，的輸入 和輸出 作為其輸入量，能產生一組輸出 主漸近于 則稱 的一個狀態觀測器。根據上述定義，可得

15、構造觀測器的原則是： 1)觀測器 應以0的輸入 和輸出 為其輸入量。 2)為滿足 必須完全能觀，或其不能觀子系統是漸近穩定的。4) 在結構上應盡量簡單。即具有盡可能低的維數，以便于物理實現：5.5.2 狀態觀測器的存在性 定理5.5.1 對線性定常系統0=(A A，B B，C C)，狀態觀測器存在的充要條件是0，的不能觀子系統為漸近穩定。 證明 (1)設0=(A A，B B，C C)不完全能觀，可進行能觀性結構分解。這里，不妨設0=(A A，B B，C C)已具有能觀性分解形式。即（13） (2)構造狀態觀測器 為狀態 的估值， 為調節 漸近于 的速度的反饋增益矩陣。于是得觀測器方程：或（14

16、）定義 為狀態誤差矢量，可導出狀態誤差方程：（15） 由式(16)可知，通過適當選擇G G1 1，可使 的特征值均具負實部，因而有：(3)確定使 漸近于 的條件。由上式，得：（16）（17）（18）同理，由式（17)可得其解為：（19）成立時，才對任意 ，有：由于 ，因此僅當（20） 而 特征值均具有負實部等價。只有當0=(A A，B B，C C)的不能觀子系統漸近穩定時，才能使 。定理得證。（21）5.5.3 狀態觀測器的實現 定理5.5.2 若線性定常系統 0=(A A，B B，c c) 完全能觀，則其狀態矢量 可由輸出 和輸入 進行重構。證明 將輸出方程t 逐次求導，代以狀態方程并整理可

17、得：（22）將各式等號左邊用矢量z 表示，則有：（23）若系統完全能觀，rankN N=n，則有：（24）根據下圖可得狀態觀測器方程：（25）即5.5.4 反饋矩陣G G 的設計為了討論狀態估值主趨近于狀態真值工的漸近速度，引入狀態誤差矢量：（26）可得狀態誤差方程：（27）即（28）式(28)是一個關于 的齊次微分方程，其解為：（29）5.5.5 降維觀測器 以上介紹的觀測器是建立在對原系統模擬基礎上的，其維數和受控系統維數相同，稱全維觀測器全維觀測器。實際上，系統的輸出矢量y 總是能夠測量的。因此，可以利用系統的輸出矢量y 來直接產生部分狀態變量，從而降低觀測器的維數。 降維觀測器設計分兩

18、步進行。第一，通過線性變換把狀態按能檢測性分解成 ，其中 維 ，需要重構，而m維 可由y直接獲得。第二，對 構造 維觀測器。 可以證明，若系統能觀，輸出矩陣c的秩是m，則它的m個狀態分量可由y直接獲得，那么，其余的 個狀態分量便只需用 維的降維觀測器進行重構即可。降維觀測器的設計方法很多，下面介紹其一般設計方法。5.6 利用狀態觀測器實現狀態反饋的系統5.6.1 系統的結構與狀態空間表達式下圖是一個帶有全維狀態觀測器的狀態反饋系統。設能控能觀的受控系統0=(A A，B B，C C)為：（1） 將式(3)代入式(1)和式(2)整理或直接由結構圖得整個閉環系統的狀態空間表達式為：狀態觀測器G為：（2）反饋控制律為：（3）（4）寫成矩陣形式為（5）這是一個 維的閉環控制系統。5.6.2 閉環系統的基本特性1.閉環極點設計的分離性 閉環系統的極點包括0直接狀態反饋系統K=(A+BKA+BK，B B，C C)的極點和觀測器G 的極點兩部分。但二者獨立，相互分離。