1、北京市西城區2017 2018學年度第一學期期末試卷 高三數學（理科） 2018.1第卷（選擇題 共40分）一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1若集合，則（A）（B）（C）（D）2下列函數中，在區間上單調遞增的是（A）（B）（C）（D）3執行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（A）（B）（C）（D）4已知為曲線：（為參數）上的動點設為原點，則的最大值是（A）（B）（C）（D）5實數滿足 則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）6設是非零向量，且不共線則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充

2、分也不必要條件7已知，是函數的圖象上的相異兩點若點，到直線的距離相等，則點，的橫坐標之和的取值范圍是（A）（B）（C）（D）8在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作）和氫氧根離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作）的乘積等于常數已知pH值的定義為，健康人體血液的pH值保持在7.357.45之間，那么健康人體血液中的可以為（參考數據：，）（A）（B）（C）（D）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9在復平面內，復數對應的點的坐標為_10數列是公比為的等比數列，其前項和為若，則_；_11在中，的面積為，則_ 12把件

3、不同的產品擺成一排若其中的產品與產品都擺在產品的左側，則不同的擺法有_種（用數字作答） 13從一個長方體中截取部分幾何體，得到一個以原長方體的部分頂點為頂點的凸多面體，其三視圖如圖所示該幾何體的表面積是_ 14已知函數 若，則的值域是_；若的值域是，則實數的取值范圍是_ 三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）已知函數（）求的最小正周期；（）求在區間上的最大值16（本小題滿分13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表表1：某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻1月1日7:

4、364月9日5:467月9日4:5310月8日6:171月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:362月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:563月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:163月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表2：某年2月部分日期的天安門廣場升旗時刻表日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻2月1日7:232月11日7:132月21日6:592月3日7:222月13日7:112月23日6:572月5日7:202月15日7:082月25日6:552月7日7:172月1

5、7日7:052月27日6:522月9日7:152月19日7:022月28日6:49（）從表1的日期中隨機選出一天，試估計這一天的升旗時刻早于7:00的概率；（）甲，乙二人各自從表2的日期中隨機選擇一天觀看升旗，且兩人的選擇相互獨立記為這兩人中觀看升旗的時刻早于7:00的人數，求的分布列和數學期望（）將表1和表2中的升旗時刻化為分數后作為樣本數據（如7:31化為）記表2中所有升旗時刻對應數據的方差為，表1和表2中所有升旗時刻對應數據的方差為，判斷與的大小（只需寫出結論）17（本小題滿分14分）如圖，三棱柱中，平面，.過的平面交于點，交于點.（）求證：平面；（）求證：四邊形為平行四邊形；（）若，求

6、二面角的大小.18（本小題滿分13分）已知函數，其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）證明：在區間上恰有個零點 19（本小題滿分14分）已知橢圓過點，且離心率為（）求橢圓的方程；（）設直線與橢圓交于兩點若直線上存在點，使得四邊形是平行四邊形，求的值20（本小題滿分13分）數列：滿足：，或對任意，都存在，使得，其中且兩兩不相等（）若，寫出下列三個數列中所有符合題目條件的數列的序號； ； ； （）記若，證明：；（）若，求的最小值北京市西城區2017 2018學年度第一學期期末高三數學（理科）參考答案及評分標準 2018.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1A 2D 3C 4D

7、 5D 6C 7B 8C 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9 10， 1112 13 14；注：第10，14題第一空2分，第二空3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分. 15（本小題滿分13分）解：（）因為 4分 5分 ， 7分所以的最小正周期 8分（）因為 ，所以 10分當 ，即時， 11分取得最大值為 13分 16（本小題滿分13分）解：（）記事件A為“從表1的日期中隨機選出一天，這一天的升旗時刻早于7:00”， 1分在表1的20個日期中，有15個日期的升旗時刻早于7:00，所以 3分（）X可能的取值為 4分 記事件B為“從

8、表2的日期中隨機選出一天，這一天的升旗時刻早于7:00”，則 ， 5分 ； ； 8分所以 X 的分布列為：X012P 10分注：學生得到X ，所以，同樣給分（） 13分17（本小題滿分14分）解：（）因為 平面，所以 1分因為 三棱柱中，所以 四邊形為菱形，所以 3分 所以 平面 4分 （）因為 ，平面，所以 平面 5分 因為 平面平面，所以 6分 因為 平面平面，平面平面，平面平面， 所以 7分 所以 四邊形為平行四邊形 8分（）在平面內，過作因為 平面， 如圖建立空間直角坐標系 9分由題意得，因為 ，所以 ， 所以 由（）得平面的法向量為 設平面的法向量為， 則 即 令，則，所以 11分所

9、以 13分由圖知 二面角的平面角是銳角，所以 二面角的大小為 14分18（本小題滿分13分）解：（）當時，所以 2分 因為 ， 4分所以曲線在點處的切線方程為 5分 （） 6分由 ，得 7分因為 ，所以 8分當 時， 由 ， 得 所以 存在唯一的， 使得 9分與在區間上的情況如下：極大值所以 在區間上單調遞增，在區間上單調遞減 11分因為 ， 12分且 ，所以 在區間上恰有2個零點 13分19（本小題滿分14分）解：（）由題意得 ， 所以 2分因為 ， 3分 所以 ， 4分所以 橢圓的方程為 5分（）若四邊形是平行四邊形，則 ，且 . 6分 所以 直線的方程為，所以 ， 7分設，由 得， 8分由，得 且， 9分所以 10分因為 ， 所以 整理得 ， 12分解得 ，或 13分經檢驗均符合，但時不滿足是平行四邊形，舍去所以 ，或 14分20（本小題滿分13分）解：（） 3分 注：只得到 或只得到 給 1分，有錯解不給分（）當時，設數列中出現頻數依次為，由題意 假設，則有（對任意），與已知矛盾，所以 同理可證： 5分 假設，則存在唯一的，使得那么，對，有 （兩兩不相等），與已知矛盾，所以 7分 綜上：， 所以 8分（）設出現頻數依次為同（）的證明，可得，則 取， ，得到的數列為： 10分