1、第第1章章 離散時間信號與系統離散時間信號與系統u連續時間信號的采樣及采樣定理（連續時間信號的采樣及采樣定理（1.21.2）u離散時間信號的頻域分析（離散時間信號的頻域分析（1.31.3）u線性時不變離散時間系統與差分方程（線性時不變離散時間系統與差分方程（1.41.4）u離散時間系統的頻率響應與系統函數（離散時間系統的頻率響應與系統函數（1.51.5） 1.2 連續時間信號的取樣及采樣定理連續時間信號的取樣及采樣定理研究內容研究內容n信號經采樣后發生的變化（如頻譜的變化）信號經采樣后發生的變化（如頻譜的變化）n信號內容是否丟失（采樣序列能否代表原始信號內容是否丟失（采樣序列能否代表原始 信號

2、、如何不失真地還原信號）信號、如何不失真地還原信號）n由離散信號恢復連續信號的條件由離散信號恢復連續信號的條件采樣過程采樣過程n采樣器一般由電子開關組成，開關每隔采樣器一般由電子開關組成，開關每隔秒短暫地閉合一次，將連續信號接通，秒短暫地閉合一次，將連續信號接通，實現一次采樣。實現一次采樣。)(txa)(txpP(t)TTfs1采樣過程采樣過程信號的采樣信號的采樣設：設： 表示連續信號及其頻譜表示連續信號及其頻譜 ：采樣間隔：采樣間隔 表示采樣信號及其頻譜表示采樣信號及其頻譜則：則：T aaxtXj x tXj aannx txttnTxnTtnT1asmXjXjmT 2:sT 取樣頻率信號的

3、采樣信號的采樣采樣信號頻譜采樣信號頻譜 的推導？的推導？ 方法1：由傅里葉變換的定義出發。 由于： 其中： 表示采樣脈 沖信號 則：Xj ( )( )aanx tx t M txttnT21( )jmtTnmM ttnTeT( )( )( )1 =( )1 = ()sj tj tajmtj tamasmXjx t edtx t M t edtx t eedtTXjmT 信號的采樣信號的采樣方法2：由傅里葉變換的卷積性質出發。s1( )jmtmM teT2smmT aaxtXj ( )aM t xt1221 ()samasmmXjTXjmT 信號的采樣信號的采樣結論：時域采樣，頻域內頻譜做周期延

4、拓，周期為2sT 采樣過程及頻譜分析如下采樣過程及頻譜分析如下：采樣定理采樣定理 頻帶有限，最高截止角頻率為頻帶有限，最高截止角頻率為 ，當以，當以 對對 進行采樣時，進行采樣時，可由采樣信號可由采樣信號 不失真的恢復原信號不失真的恢復原信號 ，否則，否則會發生頻譜混疊。會發生頻譜混疊。 通常取：通常取： aaxtXjh221/2shshshffTf 或 axt x t2.5 3sh axt奈奎斯特頻率：奈奎斯特頻率：hshsff2 2或奈奎斯特采樣率：奈奎斯特采樣率：h折疊頻率：折疊頻率：系統所能允許的最高頻率系統所能允許的最高頻率s)2/1 (0（不一定等于信號的最高截止頻率）（不一定等于

5、信號的最高截止頻率）采樣定理采樣定理 采樣信號的恢復采樣信號的恢復頻域分析頻域分析將采樣信號送入低通濾波器恢復原信號將采樣信號送入低通濾波器恢復原信號Xj低通濾波器H jaXj aaXjXjHjxtx th t 其中：低通濾波器的截止頻率hcsh 采樣信號的恢復采樣信號的恢復頻域分析頻域分析圖解分析：圖解分析：ch 令：0ss)(jXhh)(H)(X)(Xjjja0)( jXahh-1T令：其中： y tx th t 22122sinsin22ssj tj tssh tHjedTedttTSattTtT 采樣信號的恢復采樣信號的恢復時域分析時域分析且有且有：則則： anx txttnT ana

6、ny txnT h tdxnT h tnT axt ：內插函數內插函數h tnT 采樣信號的恢復采樣信號的恢復時域分析時域分析內插公式內插公式內插函數：內插函數： 采樣信號的恢復采樣信號的恢復時域分析時域分析特點：在采樣點 上，函數值為1，其余采樣點上 函數值都為零。nT 采樣信號的恢復采樣信號的恢復時域分析時域分析采樣內插公式的內涵： sin()()aaanntnTTxtxnT h tnTxnTtnTT axtaxnTsin()()tnTTtnTT只要滿足采樣定理只要滿足采樣定理, ,連續時間函數連續時間函數 就可以由它的采樣值就可以由它的采樣值 來表達而不損失任何信息，這時只要用每個采樣值

7、來表達而不損失任何信息，這時只要用每個采樣值 乘上其對應的內插函數乘上其對應的內插函數 并求其總和，即可得出并求其總和，即可得出 。axnT axt 采樣信號的恢復采樣信號的恢復時域分析時域分析補充知識補充知識“FTFTDTFTsT 1.3 離散時間信號的頻域分析離散時間信號的頻域分析離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT） ( )x n()( )jj nnX ex n e1( )()2jj nx nX eed（DTFT）（IDTFT）1.3 離散時間信號的頻域分析離散時間信號的頻域分析n 序列的傅氏變換是序列的傅氏變換是的周期函數，周期為的周期函數，周期為 2n離散傅氏

8、變換是一個線性變換離散傅氏變換是一個線性變換n時域內的卷積關系映射為頻域內相乘時域內的卷積關系映射為頻域內相乘n時域內的相乘關系映射為頻域內的卷積時域內的相乘關系映射為頻域內的卷積n帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理n時移時移/頻移性質頻移性質傅立葉變換的對稱性質傅立葉變換的對稱性質一、幾個術語一、幾個術語u序列的共軛對稱與反對稱序列的共軛對稱與反對稱 若：若： 則：則： 稱為共軛對稱序列稱為共軛對稱序列 若：若： 則：則： 稱為共軛反對稱序列稱為共軛反對稱序列 任意序列：任意序列： 其中：其中： eexnxn exn ooxnxn oxn eox nxnxn 2exnx nxn 2oxnx nxnu奇

9、序列與偶序列奇序列與偶序列 若若 ， 為為實序列實序列，且，且 exn oxn eexnxn ooxnxn exn稱為偶序列稱為偶序列 oxn稱為奇序列稱為奇序列任意任意實序列實序列 eox nxnxn 2exnx nxn 2oxnx nxn其中：傅立葉變換的對稱性質傅立葉變換的對稱性質u傅立葉變換的共軛對稱與反對稱傅立葉變換的共軛對稱與反對稱 設：設： 則：則： 其中：其中： jx nX ejjjeoX eXeXe2jjjeXeX eXe2jjjoXeX eXe共軛對稱共軛對稱函數函數共軛反對稱共軛反對稱函數函數即：即：jjeeXeXejjooXeXe 傅立葉變換的對稱性質傅立葉變換的對稱性

10、質二、傅立葉變換的對稱性二、傅立葉變換的對稱性 1.若若復序列復序列： 則：則： ， 證明：證明： jx nX e jxnXejxnXe j nnj nnjF xnxn ex n eXe j nnj nnj nnjF xnxn exn ex n eXe傅立葉變換的對稱性質傅立葉變換的對稱性質2.2.若若復序列復序列： 則：則： , , 證明：證明： jx nX e Rejex nXe Imjojx nXe Re2x nx nxn Im2x nx nxnj Re2jjjex nX eXeXe同理同理： Im2jjjojx nX eXeXe傅立葉變換的對稱性質傅立葉變換的對稱性質3. 若若實序列實

11、序列： 則：則： 是共軛對稱函數是共軛對稱函數 證明：證明： jx nX ejjX eXe x nxnjjX eXe傅立葉變換的對稱性質傅立葉變換的對稱性質4.4.對于對于實序列實序列，如果：，如果： 則：則： ，ReImjjjX eX ejX eRejX e是是偶函數偶函數ImjX e是是奇函數奇函數證明：證明：Re2jjjX eX eXeRe2jjjX eX eXejXejX eReRejjX eX e是偶函數是偶函數同理可證：同理可證：ImjX e是奇函數。是奇函數。傅立葉變換的對稱性質傅立葉變換的對稱性質故：故：5.對于對于實序列實序列: : 可得：可得： eox nxnxn Reje

12、xnX e ImjoxnjX e證明略證明略傅立葉變換的對稱性質傅立葉變換的對稱性質1 1.4.4線性時不變離散時間系統與差分方程線性時不變離散時間系統與差分方程p 數學模型數學模型 設：輸入設：輸入 ，輸出，輸出 則：一個則：一個 階線性時不變離散時間系統：階線性時不變離散時間系統： x n y n00NMkrkra y nkb x nr 階差分方程階差分方程NNp系統的零狀態響應系統的零狀態響應 zsmynx nh nx m h nm1.4線性時不變離散時間系統線性時不變離散時間系統 x n h n zsyn1.4線性時不變離散時間系統線性時不變離散時間系統pMatlab 實現實現ncon

13、v(x,h)conv(x,h)n若任意序列的長度是無限的，就不能直接用若任意序列的長度是無限的，就不能直接用 Matlab 來計算卷積。來計算卷積。nMatlab 提供了一個內部函數提供了一個內部函數 conv 計算兩個計算兩個有限長度序列的離散卷級有限長度序列的離散卷級，conv 函數假定兩函數假定兩個序列都從個序列都從 n=0 開始。開始。n調用如下：調用如下： y = conv(x,h)n函數函數 conv 可以得到可以得到 y 的正確值，但沒有包含的正確值，但沒有包含任何的時間信息，如何在仿真中得到？，如何在仿真中得到？1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數本節主要內

14、容：本節主要內容：l頻率響應頻率響應l系統函數系統函數的定義的定義l系統函數系統函數和和系統頻響系統頻響的關系的關系l系統頻響的系統頻響的幾何確定法幾何確定法l最小相移系統，最大相移系統最小相移系統，最大相移系統l全通系統全通系統及其特點及其特點一、系統的頻率響應一、系統的頻率響應 系統在系統在正弦正弦/復指數序列復指數序列作用下，隨著激勵信號的作用下，隨著激勵信號的頻率頻率變化而變化的響應，稱為變化而變化的響應，稱為系統的頻率響應系統的頻率響應。它反。它反映了系統對不同頻率的復指數序列的不同傳輸能力。映了系統對不同頻率的復指數序列的不同傳輸能力。設：設：當：當： xjj nx nAee線性時

15、不變線性時不變 yjj ny nBee j rx nrex n j ry nrey n1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數 jH e代入：代入：100NMkrkra y nkb x nr得：得： 100NMj kj rkrkra ey nb ex n 010Mj rrrNj kkkb ey nx na e系統的頻率響應（由系統參數決定）系統的頻率響應（由系統參數決定）表明：當輸入為某一頻率的函數時，輸出也為同一頻率的函表明：當輸入為某一頻率的函數時，輸出也為同一頻率的函 數，只是對輸入信號的不同頻率進行了加權。數，只是

16、對輸入信號的不同頻率進行了加權。故有：故有： x n1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數二、對 的小結1. 是 的復函數，故2. 是以 為周期的連續函數。3. 與 構成傅立葉變換對，即jH e離散序列的傅立葉離散序列的傅立葉變換對（變換對（DTFT）jH e：幅頻特性（偶函數）jH e jjjH eH ee jH e2jH e h n ：相頻特性（奇函數）（1-1）（1-2） jj nnH eh n e 12jj nh nH eed1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數(1-1)式證明：式證明：由于：由于：當當 時，有：時，有：即：即： esmynx nh

17、 nh m x nm j nx ne j mj njj nesmjynh m eeH eeH ex n jj nnH eh n e1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數(1-2)式證明：式證明： 方法方法1：因為：因為 是以是以 為周期的周期函數為周期的周期函數 則可將則可將 展為付氏級數展為付氏級數 其中：其中： 又因為：又因為： 故：故：jj nnnH eC e12jj nnCH eed jj nnH eh n e 12jj nnh nCH eedjH e2jH e(1-2)式證明：式證明： 方法方法2：將：將（1-1）式代入式式代入式12jj nH eed1.5 系統的

18、頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數 1212sinj mj nmjm nmmmh m eedh m ednmh mnmh mnmh n三、頻域內系統輸入輸出之間的關系三、頻域內系統輸入輸出之間的關系jX ejH ejesYejjjesYeX eH e（1-3）其中：其中： jj nnX ex n e jj nnY ey n e注：注：DTFTDTFT存在的充分條件：存在的充分條件： nh n 1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數（1-3）式證明：）式證明： 由由DTFT的定義：的定義： 的付氏變換為的付氏變換為 nyes jjmnjnmjmnjnmnjnmnjnes

19、jeseHeXemnhemxemnhmxemnhmxenyeY 1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數四、系統函數的定義四、系統函數的定義五、五、 esYzH zX z稱為系統函數稱為系統函數 H z與 ,jh nH e的關系的關系 nnH zh n z jj nnH eh n e jjz eH eH z 單位圓單位圓1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數六、六、 與與差分方程差分方程的關系的關系 設設 階差分方程階差分方程: : 零狀態下得：零狀態下得： H z00NMkrkra y nkb x nr

20、 00NMkrkrkra z Y zb zX z 10110111MMrrrrrNNkkkkkc zb zY zH zAX za zd z這里：這里：rc 是零點，是零點，kd 是極點是極點N七、系統頻域響應七、系統頻域響應 的幾何確定方法的幾何確定方法 若：若：jH eMN 11111111MNrrrrNNkkkkc zzcH zAAd zzd即：即：11NjrjrNjkkecH eAed1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數令：令：則：則：其中其中：rjjrrrC AeCC A e kjjkkkD AedD A e jjjH eH ee 11NrjrNkkC AH eAD

21、 A 11NNrkrk 1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數零矢量零矢量極矢量極矢量若：若：MN 11MrMNrNkkzcH zAzzdMNz表明在表明在z0處有（處有（M-N）階極點）階極點(MN)或零點或零點(MN)，它不影響，它不影響jH e ，但產生相位移，但產生相位移MN ，時域內延時（時域內延時（M-N）個）個單元，此時的相位特性：單元，此時的相位特性： 11MNrkrkMN 1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數則：則：1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數 1. 1.零極點位置零極點位置與幅頻特性與幅頻特性 的關系的關系

22、在單位圓上變化時，零極點與 的距離發生變 化，從而幅頻特性發生變化。l極點靠近單位圓時， 出現明顯的峰值峰值；l極點落在單位圓上時， ；l極點落在單位圓外時，系統不穩定。l零點靠近單位圓時， 出現明顯的谷值谷值；l零點落在單位圓上時， ；l零點落在單位圓外時，系統穩定性不會受到影響。jH ejH ejH e jH e0jH eje例：已知一橫向結構網格例：已知一橫向結構網格 1010nanMh n其它101a（）試分析其頻率響應特性。試分析其頻率響應特性。解：解： 1101110MnnnMMMH zZ h na zzazzza則：零點：則：零點：210121jkMkza ekM， ， ， ，極

23、點：極點：1101papM，階1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數 1za在在處，零極點互相抵消，故該網絡有處，零極點互相抵消，故該網絡有（M-1）個零點個零點211,2,1jkMkza ekM01pM階設：設：181Ma則：則：1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數 同時該網絡有同時該網絡有（M-1）個極點，而個極點，而 1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數(a)(b)(c)(d)1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數2.零極點位置零極點位置與相頻特性與相頻特性 的關系的關系 考慮當考慮當 從從 時，零極點位置與時，

24、零極點位置與 的關系：的關系：l若極點或零點在若極點或零點在單位圓外單位圓外，則相應的幅角變化量為，則相應的幅角變化量為 l若零點或極點在若零點或極點在單位圓內單位圓內，則相應的幅角變化量為，則相應的幅角變化量為 如圖：如圖：圓外情況圓外情況圓內情況圓內情況 02 201.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數設：設： 表示零點在單位圓內、外的個數表示零點在單位圓內、外的個數。,iom m,iop p 表示極點在單位圓內、外的個數。表示極點在單位圓內、外的個數。則：系統總的零、極點數目為則：系統總的零、極點數目為,ioMmmioNpp對于穩定系統：0,oippN由（2 21181

25、18）式得： 22222iiiompMNmMm 當 02 , 202從l因果最小相移系統:當 時 相位變化最小，稱為因果最小相移系統因果最小相移系統。l因果最大相移系統：當 時0om 0imM 因果最小相移系統是指 所有零極點零極點都在單位圓內。 H z0im 2omMM 相位變化最大，稱為因果最大相移系統。因果最大相移系統。因果最大相移系統是指 所有有零點零點都在單位圓外（對穩定因果系統，極點在單位圓內）。 zH1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數l全通系統全通系統 若系統函數具有如下形式，則稱為全通系統。 (a)對一階系統： 零極點都是實數，且互為倒數，關于單位圓對 稱

26、。 (b)對二階系統： 零極點互為共軛倒數，關于單位圓對稱。 111apzaHzaz 111111apzazaHzaza z1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數(c)(c)對對N N 階系統階系統： 2kredeMMNMNr：實數極點：復數極點系統的階數：對全統系統通常： 11111111111erMMkrrapkrkrrzdzezeHzd ze ze zl全通系統的特點全通系統的特點1.1.全通系統的頻率響應全通系統的頻率響應2. 的每個極點都有一個與之配對的共軛倒數的每個極點都有一個與之配對的共軛倒數零點，如圖：零

27、點，如圖： 1 argjjjapHeH ee ，純相位網絡純相位網絡 apHz1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數3.3.分子分母分子分母系數相同、排序相反，即系數相同、排序相反，即 001212121211111NN kkkapNkkkNNNNNNNkkNkNkkkNja zHza zza za zaa za za za zza zD zzH eD z1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數4.4.全通系統的相位特性全通系統的相位特性 以一階系統為例 群延遲： 111apzaHza razj令 = e得： sinarg2arctan1cosjrH er a

28、rg0jH e 0dd 相位為負相位為負1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數5. 由最小相移系統和全通系統可得以下結論： 任意一個非最小相移系統都可分解成全通系統 和最小相移系統的級聯，即： minapH zHz Hz1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數舉例：舉例：111 2( )113zH zz111111111 21 22( )111111332zzzH zzzzm in( )Hz( )apH zl 全通系統的應用全通系統的應用 1、頻率響應的補償（幅度補償） 通常 經系統后幅度發生失真，要求設計一 個補償系統 ，如下圖所示： x n 通信系統 dH

29、z dxn x n cHz x n通信系統 dxn dHz補償系統 cHz cxn使得使得 dxn cHz cxnx n1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數應用：移動通信中對付碼間串擾（應用：移動通信中對付碼間串擾（ISI）。）。設 已知，得:選取則 dHz mindddapHzHz Hz min1cdHzHz dcdapG zHz HzHz cdapXzG z X zHz X z故故： jjjjjjcdapXeG eX eHeX eX e因因此此： cXz的相位特性由的相位特性由 的相位決定。的相位決定。 dapHz1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數

30、 2、相位補償 10japHe ： ，由由于于 x n apHz y n ()jjjapjjjjapjjY eX eHeX eeHeeX ee 輸入輸出之間的相位發生了變化，可以實現相位補償。輸入輸出之間的相位發生了變化，可以實現相位補償。1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數應用：設計線性相位濾波器時，可以先設計一個幅度上滿足要應用：設計線性相位濾波器時，可以先設計一個幅度上滿足要 求的求的IIR濾波器，再級聯一全通系統進行相位校正。濾波器，再級聯一全通系統進行相位校正。八、IIR系統與FIR系統1.1.無限長單位脈沖響應系統無限長單位脈沖響應系統(Infinite Imp

31、ulse Response(IIR)(Infinite Impulse Response(IIR) 時域：時域：h(n)h(n)為無限長序列為無限長序列 z z域：域：H(z)H(z)為一有理分式為一有理分式2.2.有限長單位脈沖響應系統有限長單位脈沖響應系統(Finite Impulse Response(FIR)(Finite Impulse Response(FIR) 時域：時域：h(n)h(n)為有限長序列為有限長序列 z z域：域：H(z)H(z)為一有理多項式為一有理多項式 0101MrrrNkkkb zH za z 0MrrrH zb z1.5 系統的頻率響應與系統函數系統的頻率響應與系統函數九、遞歸系統與非遞歸系統九、遞歸系統與非遞歸系統 線性時不變系統可分為：線性時不變系統可分為：1.1.遞歸實現：遞歸實現： 中至少有一個中至少有一個 ，例如，例如