1、名校真題測試卷找規律篇時間：15分鐘滿分5分姓名測試成績1 （12年清華附中考題）如果將八個數14,30,33,35,39,75,143,169平均分成兩組，使得這兩組數的乘積相等，那么分組的情況是什么？2 （13年三帆中學考題）16+9=25;25+11=36這五道算式,觀察1+3=4;4+5=9;9+7=16找出規律，然后填寫20012+（）=200223 （12年西城實驗考題）中八將12123412345612812一串分數：-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-.-,其中的第2000個分數33,555577777799911114 （12年東城二中考題）在2、3兩數之間，第一次

2、寫上5,第二次在2、5和5、3之間分另U寫上7、8（如下所示），每次都在已寫上的兩個相鄰數之間寫上這兩個相鄰數之和.這樣的過程共重復了六次，問所有數之和是多少？275835 （04年人大附中考題）請你從01、02、03、98、99中選取一些數，使得對于任何由09當中的某些數字組成的無窮長的一串數當中，都有某兩個相鄰的數字，是你所選出的那些數中當中的一個。為了達到這些目的。(1)請你說明：11這個數必須選出來；(2)請你說明：37和73這兩個數當中至少要選出一個;你能選出55個數滿足要求嗎？【附答案】1【解】分解質因數，找出質因數再分開，所以分組為33、35、30、169和14、39、75、14

3、3。3、5、7、9、112【解】上面的規律是：右邊的數和左邊第一個數的差正好是奇數數列所以下面括號中填的數字為奇數列中的第2001個，即4003。3【解】分母為3的有2個，分母為4個，分母為7的為6個，這樣個數2+4+6+8-88=1980<2000,這樣2000個分數的分母為89,所以分數為20/89。4【解】：第一次寫后和增加5,第二次寫后的和增加15,第三次寫后和增加45,第四次寫后和增加135,第五次寫后和增加405,它們的差依次為5、15、45、135、405為等比數列，公比為3。它們的和為5+15+45+135+405+1215=1820,所以第六次后，和為1820+2+3=

4、1825。5【解】(1),11,22,33,99,這就9個數都是必選的，因為如果組成這個無窮長數的就是19某個單一的數比如11111，只出現11,因此11必選，同理要求前述9個數必選。(2),比如這個數373737，同時出現且只出現37和37,這就要求37和73必須選出一個來。(3),同37的例子，01和10必選其一，02和20必選其一，09和90必選其一，選出9個12和21必選其一，13和31必選其一，19和91必選其一，選出8個。23和32必選其一，24和42必選其一，29和92必選其一，選出7個。89和98必選其一，選出1個。如果我們只選兩個中的小數這樣將會選出9+8+7+6+5+4+3

5、+2+1=45個。再加上1199這9個數就是54個。小升初專項訓練找規律篇、小升初考試熱點及命題方向找規律問題在小升初考試中幾乎每年必考，但考題的分值較低，多以填空題型是出現。在剛剛結束的12年小升初選拔考試中，人大附中，首師附中，十一學校，西城實驗，三帆，西外，東城二中和五中都涉及并考察了這一類題型。二、2007年考點預測07年的這一題型必然將繼續出現，題型的出題熱點在利用通項表達式（即字母表示）總結出已知條件中等式的內在規律和聯系，這一類題型主要考察學生根據已有條件進行歸納與猜想的能力，希望同學們多加練習。三、典型例題解析1與周期相關的找規律問題【例1】、（）n化小數后，小數點后若干位數字

6、和為1992,求n為多少？7【解】n化小數后，循環數字和都為27,這樣1992+27=7321,所以n=6。7【例2】、（）有一數列1、2、4、7、11、16、22、29那么這個數列中第2006個數除以5的余數為多少？【解】數列除以5的余數為1、2、4、2、1、1、2、4、2、1這樣就使5個數一周期，所以2003+5=4003,所以余4。【例3】、（）某人連續打工24天，賺得190元（日工資10元，星期六做半天工，發半工資，星期日休息，無工資）.已知他打工是從1月下旬的某一天開始的，這個月的1號恰好是星期日.問：這人打工結束的那一天是2月幾日？【來源】第五屆“華杯賽”初賽第16題【解】因為3X

7、7<24<4X7,所以24天中星期六和星期日的個數，都只能是3或4.又，190是10的整數倍。所以24天中的星期六的天數是偶數.再由240-190=50（元），便可知道，這24天中恰有4個星期六、3個星期日.星期日總是緊接在星期六之后的，因此，這人打工結.因為1月1日是1月26日.從1月束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道開始的那一天是星期四星期日，所以1月22日也是星期日，從而1月下旬唯一的一個星期四是26日往后算，可知第24天是2月18日，這就是打工結束的日子.2 圖表中的找規律問題例4>（）圖中，任意_-個連續的小圓圈內三個數的連乘積郡是891,那么B=0&#

8、176;O【來源】第十屆<小數報>數學競賽初賽填空題第5題891”，可知任意一個小圓圈【解】根據“任意三個連續的小圓圈內三個數的連乘積都是中的數和與它相隔2個小圓圈的小圓圈中的數是相同的.于是，B=891+（9X9）=11.【例5】（）自然數如下表的規則排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的數;斐波那契數列非常有意思！（2）數127應排在上起第幾行，左起第幾列?【解】：本題考察學生“觀察一歸納一猜想”的能力.此表排列特點：第一列的每一個數都是完全平方數，并且恰好等于所在行數的平方；第一行第n個數是（n-1）2+1,第n行中,以第一個數至第n個數依次遞減1;從第2列起該列中從第

9、一個數至第n個數依次遞增1.由此（1）（13-1）2+1+9=154;（2）127=112+6=（12-1）2+1+5,即左起12歹U,上起第6行位置.3 較復雜的數列找規律【例6】、（）設1,3,9,27,81,243是6個給定的數。從這六個數中每次或者取1個，或者取幾個不同的數求和（每一個數只能取1次），可以得到一個新數，這樣共得到63個新數。把它們從小到大一次排列起來是1,3,4,9,10,12,，第60個數是。【來源】1989年小學數學奧林匹克初賽第15題【解】最大的（即第63個數）是1+3+9+27+81+243=364第60個數（倒數第4個數）是3641-3=360o【例7】、（）

10、在兩位數10,11,，98,99中，將每個被7除余2的數的個位與十位之間添加-個小數點，其余的數不變.問：經過這樣改變之后，所有數的和是多少？【來源】第五屆“華杯賽”初賽第15題【解】原來的總和是10+11+-+98+99=（1°99）90=4905,被7除余2的兩位數是7X2+2=16,7X3+2=23,，7X13十2=93.共12個數.這些數按題中要求添加小數點以后，都變為原數的吉，因此這-手續使總和減少了（16+23+93）X（1-4）=（16：3）12X卷=588.6所以，經過改變之后，所有數的和是4905-588.6=4316.4.【例8】、（）小明每分鐘吹-次肥皂泡，每次

11、恰好吹出100個.肥皂泡吹出之后，經過1分鐘有-半破了，經過2分鐘還有太沒有破，經過2分半鐘全部肥皂泡都破了小明在第20次吹出100個新的肥皂泡的時候，沒有破的肥皂泡共有個.【來源】1990年小學數學奧林匹克決賽第8題【解】小明在第20次吹出100個新的肥皂泡的時候，第17次之前（包括第17次）吹出的肥皂泡全破了.此時沒有破的肥皂泡共有100+100X太+100X3=155（個）.4與斐波那契數列相關的找規律【引言】：有個人想知道，一年之內一對兔子能繁殖多少對？于是就筑了一道圍墻把一對兔子關在里面。已知一對兔子每個月可以生一對小兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子。假如一年內沒有發生

12、死亡現象，那么，一對兔子一年內能繁殖成多少對？現在我們先來找出兔子的繁殖規律，在第一個月，有一對成年兔子，第二個月它們生下一對小兔，因此有二對兔子，一對成年，一對未成年；到第三個月，第一對兔子生下一對小兔，第二對已成年，因此有三對兔子，二對成年，一對未成年。月月如此。第1個月到第6個月兔子的對數是：1,2,3,5,8,13。我們不難發現，上面這組數有這樣一個規律：即從第3個數起，每一個數都是前面兩個數的和。若繼續按這規律寫下去，一直寫到第12個數，就得：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。顯然，第12個數就是一年內兔子的總對數。所以一年內1對兔子能繁殖成233對。

13、在解決這個有趣的代數問題過程中，斐波那契得到了一個數列。人們為紀念他這一發現，在這個數列前面增加一項“1”后得到數列：11,2,3,5,8,13,21,34,55,89,叫做“斐波那契數列”，這個數列的任意一項都叫做“斐波那契數”。【例9（）數學家澤林斯基在一次國際性的數學會議上提出樹生長的問題：如果一棵樹苗在一年以后長出一條新枝，然后休息一年。再在下一年又長出一條新枝，并且每一條樹枝都按照這個規律長出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有兩枝，問15年后這棵樹有多少分枝（假設沒有任何死亡）？【解】1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,159

14、7,2584絕對是一棵大樹。【例10（）有一堆火柴共10根，如果規定每次取13根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？【解】此題要注重思路，因為沒辦法直接考慮，這樣我們發現這題同樣用找規律的方法，我們可以先看只有1根的情況開始：1根，有：1種；2根，有1、1,2,共兩種；3 根，可以有：1、1、1,1、2,2、1,3,共4種；4 根，有：1、1、1、1,1、1、2,1、2、1,2、1、1,2、2,1、3,3、1,共7=4+2+1種;5 根，有：1、1、1、1、1,1、1、1、2,1、1、2、1,1、2、1、1,2、1、1、1,1、2、2,2、1、2,2、2、1,1、1、3,1、3、1,3、1、

15、1,2、3,3、2,共13=7+4+2種；6根，得到24=13+7+4種；即：n根，所有的取法種數是它的前三種取法的和。由此得到，10根為274種。拓展爬樓梯問題。【例11（）對一個自然數作如下操作：如果是偶數則除以2,如果是奇數則加，如此進行直到得數為1操作停止。問經過9次操作變為1的數有多少個?【來源】仁華考題【解】這一題首先我們可以明確的是要采用逆推的方法，其次我們還得利用找規律來歸納出計算方法。在復雜的或者步子比較多的計數中，找規律是一種非常常用的方法。歸納總結上述規律，從第三項起，每一項都是前兩項之和。第9次第8次第7次第6次第5次272=1-4/2=2|-1+1=21個2個p-8/

16、2=4-n16/2=8-i-32/2=16-L151-16L7十1=81472-73+1=4&2=3p12/2=6一1-5+1=64/2=2p8/2=4一l3+1=42/2-1±+1=22/2=13個=2+15個=3+28個=5+35有趣的貓捉耗子規律注：有一個很出名的游戲，貓捉耗子的游戲，一只貓讓一群老鼠圍成一圈報數，每次報單數的吃掉，有一只老鼠總不被吃掉，問這個老鼠站在哪個位置？因此我們稱之為貓捉耗子的問題。【例12、（）50只耗子排成一排，1到50報號，奇數號的出列，剩下的偶數號再報號，再奇數列出列一一直這樣，問最后一只剩下的是原來的幾號？【解】第一次剩下的是：2、4、

17、6、8、10、1250都是2的倍數；第二次剩下的是：4、8、12、1648都是4=22的倍數；第三次剩下的是：8、16、24都是8=23的倍數，這樣每次剩下的都是2n的倍數，現在要剩下一只，這樣就是看150中2n的最大數就是32號。【拓展】123自然數列一直寫到100,然后按數碼編號，擦去奇數號，留下的數再編號，再擦去奇數號這樣請問最后留下的3個數字是。【解】360【例13、（）50枚棋子圍成圓圈，編上號碼1、2、3、4、50,每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的號碼是42號，那么該從幾號棋子開始取呢？【來源】03年圓明杯數學競賽試題【解】：方法一：通過歸納我們知道，如果開始有A人，

18、A=2k+m（k是保證m為自然數的最大值）。那么從1號開始取，每個1個取1個，則最后剩下的為2m號。現在有50枚棋子，如果從1號開始取，有50=25+18,所以最后剩下的為18X2=36號。現在剩下的是42號，所以開始取的為1+（42-36）=7號。方法二：找出規律，若開始從2號開始取，則若有2枚、4枚、8枚、16枚、32枚則最后剩下的均為1號。比如如果9枚，取掉1號后即剩下8枚剩下的將是8枚的首位，即3號，而50枚先取5032=18枚后，乘IJ32枚，取走了2、4、6、8、36,則37為剩下的32枚重排列后的1號，38為2號。故最后剩下的為37號，即若開始取2號，剩下37號，現剩下的為42號

19、，故開始從7號開始取的。【例14、（）把11993這1993個自然數，按順時針方向依次排列在一個圓圈上，如圖121,從1開始沿順時針方向，保留1,擦去2;保留3,擦去4;（每隔一個數,擦去一個數），轉圈擦下去。求最后剩的是哪個數？【解】分析：如果依照題意進行操作，直到剩下一個數為止，實在是很困難。我們先從簡單情況研究，歸納出解決問題的規律，再應用規律解題。如果是2個數1、2,最后剩下1;如果是3個數1、2、3,最后剩3;如果是4個數1、2、3、4,最后剩1;如果是5個數1、2、3、4、5,最后剩的是3;如果是6個數1、2、3、4、5、6,最后剩的是5;如果是7個數1、2、3、4、5、6、7,最

20、后剩的是7;如果是8個數18,最后剩的是1。我們發現當數的個數是2,4,8時，最后剩的都是1（操作的起始數）。這是為什么呢？以8個數為例，數一圈，擦掉2,4,6,8,就相當于從1開始，還有4個數的情況，4個數時，從1開始，數一圈，又擦掉2個，還剩從1開始的兩個數，擦掉1以外的數，最后剩1。這樣，數的個數是16,32,64,2n時，最后剩的都是起始數1。當數的個數是3時，擦去2,就剩2個數，最后應剩下一步的起始數3;數的個數是5時，擦去2,剩4個數，最后也應剩下一步的起始數3。根據以上規律，如果有18個數，擦去2、4,剩下16個數，再擦下去，最后還應剩下一步的起始數5。就是說，擦去若干個數后，當

21、剩的數的個數是2n時，下一步起始數就是最后剩下的數。解：因為1024=21°,2048=211,2110<1993<211,1993-1024=969,就是說，要剩21°個數，需要擦去969個數，按題意，每兩個數擦去一個數，當擦第969個數時，最后擦的是：969X2=1938下一個起始數是1939,那么最后剩的就應該是1939。練習按照例1的操作規則（1）如果是1900這900個自然數，最后剩的是哪個數？（2）如果是11949這1949個自然數，最后剩的是哪個數？說明：這道例題的解題思路是：特殊-一般-特殊（簡單情況）（一般規律）（較復雜情況）一般規律：把1n這

22、n個自然數，按順時針方向依次排列在一個圓圈上，從1開始，順時針方向，隔過1,擦去2,隔過3,擦去4,（每隔一個數，擦去一個數）。最后剩下的數x是哪個數？解：設22nw2k+1,k是自然數。x=（n-2k）x2+1【拓展】：如果還是上面例題，但改為保留1,擦去2;保留3,擦去4;（每隔一個數，擦去一個數），轉圈擦下去。求最后剩的是哪個數？【解】剩下的規律是剩下2n時，都是最后一號留下，所以答案是1938。【例15、（）100個小朋友圍成一圈，并依次標號為1至100號。從第1號開始1至2報數，凡是報到1的小朋友退出圈子，這樣循環進行到剩下一個小朋友為止。問這個小朋友是多少號？6【解】與上題不同10

23、0=2+3636X2=72小結本講主要接觸到以下幾種典型題型：1）與周期相關的找規律問題參見例1,2,32）圖表中的找規律問題參見例4,53）較復雜的數列找規律參見例6,7,84）與斐波那契數列相關的找規律參見例，9,10,115）有趣的貓捉耗子規律參見例12,13,14,15【課外知識】珍妮是個總愛低著頭的小女孩，她一直覺得自己長得不夠漂亮。有一天，她到飾物店去買了只綠色蝴蝶結，店主不斷贊美她戴上蝴蝶結挺漂亮，珍妮雖不信，但是挺高興，不由昂起了頭，急于讓大家看看，出門與人撞了一下都沒在意。珍妮走進教室，迎面碰上了她的老師，珍妮，你昂起頭來真美！”老師愛撫地拍拍她的肩說。那一天，她得到了許多人

24、的贊美。她想一定是蝴蝶結的功勞，可往鏡前一照，頭上根本就沒有蝴蝶結，一定是出飾物店時與人一碰弄丟了。自信原本就是一種美麗，而很多人卻因為太在意外表而失去很多快樂。溫馨提示：無論是貧窮還是富有，無論是貌若天仙，還是相貌平平，只要你昂起頭來，快樂會使你變得可愛一一人人都喜歡的那種可愛。作業題（注：作業題-例題類型對照表，供參考）題1一類型3;題2,3,4類型5;題5,6,7一類型2,1、（）已知一串有規律的數：1,2/3,5/8,13/21,34/55,。那么，在這串數中,從左往右數，第10個數是。【解】找規律，前面分子分母和就是后一個數分子，分母等于分子和前一個分數分母的和,這樣第10個數就是4181/6765