1、第一章控制系統的狀態空間表達式狀態空間表達式xAxBun 階u : r1y : m1A: nnB : nrC : mn D : mryCxDuA 稱為系統矩陣，描述系統內部狀態之間的聯系；為輸入（或控制）矩陣，表示輸入對每個狀態變量的作用情況； C 輸出矩陣，表示輸出與每個狀態變量間的組成關系，直接傳遞矩陣，表示輸入對輸出的直接傳遞關系。狀態空間描述的特點考慮了 “輸入狀態輸出” 這一過程， 它揭示了問題的本質， 即輸入引起了狀態的變化， 而狀態決定了輸出。狀態方程和輸出方程都是運動方程。狀態變量個數等于系統包含的獨立貯能元件的個數，n 階系統有n 個狀態變量可以選擇。狀態變量的選擇不唯一。從

2、便于控制系統的構成來說，把狀態變量選為可測量或可觀察的量更為合適。建立狀態空間描述的步驟：a 選擇狀態變量； b 列寫微分方程并化為狀態變量的一階微分方程組；c 將一階微分方程組化為向量矩陣形式，即為狀態空間描述。狀態空間分析法是時域內的一種矩陣運算方法，特別適合于用計算機計算。模擬結構圖（積分器加法器比例器）已知狀態空間描述，繪制模擬結構圖的步驟：積分器的數目應等于狀態變量數，將他們畫在適當的位置，每個積分器的輸出表示相應的某個狀態變量， 然后根據狀態空間表達式畫出相應的加法器和比例器， 最后用箭頭將這些元件連接起來。狀態空間表達式的建立由系統框圖建立狀態空間表達式：a 將各個環節（放大、積

3、分、慣性等）變成相應的模擬結構圖；b 每個積分器的輸出選作xi ，輸入則為xi ；c 由模擬圖寫出狀態方程和輸出方程。由系統的機理出發建立狀態空間表達式：如電路系統。通常選電容上的電壓和電感上的電流作為狀態變量。利用 KVL 和 KCL 列微分方程，整理。由描述系統的輸入輸出動態方程式（微分方程）或傳遞函數，建立系統的狀態空間表達式，即實現問題。實現是非唯一的。方法：微分方程系統函數模擬結構圖狀態空間表達式。熟練使用梅森公式。注意： a 如果系統函數分子冪次等于分母冪次，首先化成真分式形式，然后再繼續其他工作。b 模擬結構圖的等效。如前饋點等效移到綜合反饋點之前。p28c 對多輸入多輸出微分方

4、程的實現，也可以先畫出模擬結構圖。5狀態矢量的線性變換。也說明了狀態空間表達的非唯一性。不改變系統的特征值。特征多項式的系數也是系統的不變量。特征矢量pi 的求解：也就是求(i IA)x0 的非零解。狀態空間表達式變換為約旦標準型（為任意矩陣）：主要是要先求出變換矩陣。a 互異根時，各特征矢量按列排。b 有重根時，設階系統，1 2 ，3 為單根，對特征矢量p1 ，p3 求法與前面相同，p2 稱作1 的廣義特征矢量，應滿足(1 IA) p2p1。系統的并聯實現：特征根互異；有重根。方法：系統函數部分分式展開模擬結構圖狀態空間表達式。6由狀態空間表達式求傳遞函數陣W (s)W ( s)C (sIA

5、)1BDmr的矩陣函數WijWij表示第j 個輸入對第i 個輸出的傳遞關系。狀態空間表達式不唯一，但系統的傳遞函數陣W ( s)是不變的。子系統的并聯、串聯、反饋連接時，對應的狀態空間表達及傳遞函數陣W (s) 。方法：畫出系統結構圖，理清關系，用分塊矩陣表示。7離散系統的狀態空間表達式及實現（模擬結構圖）x(k1)Gx (k )Huy(k )Cx(k)Du8時變系統：四個矩陣是時間t 有關的。非線性系統：各微分方程組的右端含有狀態變量的非線性項。利用泰勒級數可以線性化。第二章控制系統狀態空間表達式的解一線性定常系統齊次狀態方程（xAx ）的解： x(t )eAt x0二矩陣指數函數狀態轉移矩

6、陣1(t)eAt 表示 x(0) 到 x(t ) 的轉移。 5 個基本性質。2 eAt 的計算：a 定義； b 變換為約旦標準型(或J )T 1 AT , e AtTe t T1或 Te Jt T 1c 用拉氏反變換 eAtL 1( sIA)1 記憶常用的拉氏變換對(t ) 1;1(t)1 ; t1; eat1; t nn!; te at1; sin t; cos tsss2s asn 1( s a) 2s22s22d 應用凱萊 -哈密頓定理Ax Bu ）的解： x(t)(t)x(0)t)d 。可由拉氏變三線性定常系統非齊次方程（x(t )Bu(0換法證明（當然給出拉氏變換法的求解思路）。求解

7、步驟：先求(t ) eAt，然后將 B 和 u(t)代入公式即可。特殊激勵下的解。四線性時變系統的解狀態轉移矩陣用(t ,t 0 ) 來表示。 (t ,t 0 ) 的計算：當tA ( )dt)dA ( t ) 時， (t, t0 ) exptA ( t )A (A( )d ；通常不等。t 0t 0t 0不滿足乘法可交換條件時，一般采用級數近似法：(t ,t 0 ) Itt01 )d 1dA( )dA( 0) A(0t 0t 0t 0解為： x(t)(t ,t0 ) x(t0 )t)B()u( )d(t,t 0五離散時間系統狀態方程的解（遞推法和Z 變換法）遞推法(k ) G k 為狀態轉移矩陣

8、；滿足(k1)G (k );(0)Ik 1k1解為， x(k )(k )x(0)( kj 1)Hu ( j )d 或 x(k )(k )x(0)(kj1)Hu ( j )dj 0j0直接計算(k )G k 有一定困難，可采用這樣的步驟：先將原狀態方程化為約旦標準型，求變換矩陣T ，x(k)k，(k )GkT1。Tx (k ) ，再求出 x(k) ，再得到 x(k ) 。當然 (k )(k)T Z 變換法公式不用記憶，現推最好。x(k )Z1( zIG ) 1 zx(0)Z1( zIG )1 Hu ( z) ；可見(k )G k Z1( zIG )1 z;計算 x(k ) 的用到的內容：部分分式

9、展開（先除z 后乘 z）； ZT 對a k11zza; k0az 1六連續時間狀態空間表達式的離散化定常系統的離散化xAxBux(k 1)G (T )x(k )H (T )u( k)G(T )eAT ； H (T )Te At dtBa.0yCxDuy(k)Cx(k)Du (k)b.近似離散化x(k 1)T )(TAI ) x( kT )TBu ( kT )即 G(T)TAI;H (T)TBy(k )Cx( k) Du (k )時變系統的離散化略第三章 線性控制系統的能控性和能觀性一能控性及能觀性定義（線性連續定常、時變系統，離散時間系統）二線性定常系統的能控性判別（具有一般系統矩陣的多輸入系

10、統）判別方法（一） ：通過線性變換xAxBuzT 1 ATzT 1 Bu若 A 的特征值互異，線性變換（xTz ）為對角線標準型，T1 AT ，能控性充要條件：T 1B 沒有全為的行。變換矩陣 T 的求法。若 A 的特征值有相同的，線性變換（x Tz ）為約當標準型，JT 1 AT ，能控性充要條件：對應于相同特征值的部分， 每個約當塊對應的T 1 B 中最后一行元素沒有全為的。 T 1 B 中對應于互異特征根部分，各行元素沒有全為的。變換矩陣T 的求法。這種方法能確定具體哪個狀態不能控。但線性變換比較復雜，關鍵是求T、T 1、T 1B。判別方法（二） ：直接從，判別x Ax Bu能控的充要條

11、件是能控性判別矩陣 M(B, AB, A2B,An 1 B) 的秩為 n。在單輸入系統中，M 是一個 nn 的方陣；而多輸入系統，M 是一個 nnr 的矩陣，可通過 rankM rank ( MM T )三線性定常系統的能觀性判別判別方法（一） ：通過線性變換xAxzT 1 ATzyCxyTCz若 A 的特征值互異，線性變換（xTz ）為對角線標準型，T1 AT ，能觀性充要條件：TC 中沒有全為的列。變換矩陣 T 的求法。若 A 的特征值有相同的，線性變換（x Tz ）為約當標準型， JT 1 AT ，能控性充要條件：對應于相同特征值的部分，每個約當塊對應的TC 中第一列元素沒有全為的。對應

12、于互異特征根部分，對應的 TC中各列元素沒有全為的。變換矩陣T 的求法。這種方法能確定具體哪個狀態不能觀。但線性變換比較復雜，關鍵是求T、T 1、TC。判別方法（二） ：直接從， C 判別CCA的秩為 n。能觀性的充要條件是能觀性判別矩陣NCAn1在單輸入系統中，N 是一個 nn 的方陣；而多輸入系統， N 是一個 nmn 的矩陣，可通過rankM rank (MM T )四離散時間系統的能控性與能觀性x(k 1)Gx( k)Hu (k )(H ,GH ,G2H ,G n 1 H ) 的秩為 n。y(k )Cx(k)能控性充要條件 MDu (k )CCG能控性充要條件N的秩為 n。CGn1五時

13、變系統的能控性與能觀性（與定常系統不同） xA(t) xB(t)u 在 t0 , t f 上狀態能控的充要條件是格拉姆矩陣Wc (t0 ,t f ) 非奇異。Wc (t0t f(t0 ,t )B(t )BT (t ) T (t 0 , t) dt(t0 , t) 與 (t ,t 0 ) 一樣么？,t f )t 0這種方法要求先計算出狀態轉移矩陣，如果無法寫成閉解，則失去工程意義。使用A(t )B(t ) 信息Qc (t)( B1 (t ), B2 (t), Bn (t ) ，其中 B1 (t )B(t ) ， Bi (t )A(t) Bi 1 (t ) Bi 1 (t)如果存在某個時刻 t f

14、0 ，使得 rankQ c (t f )n ，則系統在 0, t f 上是狀態完全能控的。能觀性判別與能控性類似，也可以使用格拉姆矩陣Wo (t0 ,t f ) ，但工作量太大。可使用A(t) C (t) 信息：C1 (t)C2(t)R(t )，其中 C1 (t ) C (t) ， Bi (t) A(t )Ci 1 (t) Ci 1 (t )Cn (t)如果存在某個時刻t f0 ，使得 rankR (t f )n ，則系統在 0, t f 上是狀態完全能觀測的。六能控性與能觀性的對偶原理若 A2A1T ， B2C1T ， C2B1T ，則1( A1, B1 ,C1 )與2 ( A2 , B2

15、,C2 ) 對偶。對偶系統的傳遞函數陣是互為轉置的。且他們的特征方程式是相同的。1 與2 對偶，則1 能控性等價于2 能觀性，1 能觀性等價于2 能控性。時變系統的對偶原理？七能控標準型和能觀標準型對于狀態反饋，化為能控標準型比較方便；對于觀測器的設計及系統辨識，能觀標準型比較方便。能控標準型（如果已知系統的狀態空間表達式）判別系統的能控性。計算特征多項式|I A|nan 1n 1a1a0 ，即可寫出 A 。求變換矩陣p10Tc1p1 A， p1 0,0, ,1 b, Ab,An 1 B 1 。求 Tc11 ，計算 bTc11 b0， ccTc1 ，也可以驗p1 An11證是否有 A Tc11

16、 ATc1 。能控標準型 判別系統的能控性。計算特征多項式| IA |nn1a1a0 ，即可寫出 A 。an 11求變換矩陣 Tc2 b, Ab, , An 1b 。求 Tc 21 ，計算 bTc21b0， c cTc2 ，也可以驗證是否有0A Tc2 1 ATc 2 。能觀標準型判別系統的能觀性。計算特征多項式|IA |nan 1n 1a1a0 ，即可寫出A 。求變換矩陣cTo11cA。求 To1 ，計算 bTo11b ， ccTo11 00 ，也可以驗證是否有A To11 ATo1 。cA n 1能觀標準型判別系統的能觀性。計算特征多項式|IA |nan 1n 1a1a0 ，即可寫出A 。

17、求變換矩陣1c0To 2 T1 , AT1 , An 1T1， T1cA0。求 T02 ，計算 bT021b ， c cT02 0 01 ，也cAn 11A To21可以驗證是否有ATo 2 。如果已知傳遞函數陣，可直接寫出能控標準型和能觀標準型的狀態空間表達。W( s)n 1sn 1n 2 sn 21 s0sn 1an 1sn 1an 2 sn 2a1s a00100000100能控標準型：Abc 01n 1 00010a0a1a2an 11000a00100a11能觀標準型：A 010a2bc 001n2001an1n1八線性系統的結構分解1按能控性分解（狀態不完全能控，即rankMn1n

18、），通過非奇異變換x? 完成。Rc xRc R1 R2Rn1Rn，前 n1 個列矢量是 M 中 n1個線性無關的列， 其他列矢量保證Rc 非奇異的條件下是任意的。2按能觀性分解（狀態不完全能觀，即rankNn1n），通過非奇異變換x?完成。Ro xR1R2Ro 1，前 n1 個行矢量是N 中 n1 個線性無關的行，其他行矢量保證Ro 1 非奇異的條件下是任意的。Rn1Rn3按能控性和能觀性分解（系統是不完全能控和不完全能觀的），采用逐步分解法，雖然煩瑣，但直觀。步驟：首先按能控性分解（xc 能控狀態，xc 不能控狀態） 。對不能控子系統按能觀性分解（xco 不能控能觀狀態， xco 不能控不能

19、觀狀態） 。將能控子系統按能觀性分解（xco 能控能觀狀態，xco 能控不能觀狀態） 。綜合各步變換結果，寫出最后的表達式。另一種方法：化為約當標準型，判斷各狀態的能控性能觀測性，最后按 4 種類型分類排列。九傳遞函數陣的實現問題1實現的定義：由W (s) 寫出狀態空間表達式，甚至畫出模擬結構圖，稱為傳遞函數陣的實現問題。條件：傳遞函數陣中每個元的分子分母多項式都是實常數；元是s 的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接傳遞矩陣D limsW (s) 。2能控標準型和能觀標準型實現單入單出系統， W ( s) 是有理分式， 可直接根據分子分母多項式系數寫出能控標準1 型和能觀標準2

20、型實現。多 輸 入 多 輸 出 系 統 ， W ( s) 是 矩 陣 ， 將 W (s) 整 理 成 和 單 入 單 出 系 統 傳 遞函 數 相 類 似 的 形 式 ， 即W( s)n 1sn 1n 2 sn 21 s0；此時的01n 1 是 m r 維常數陣。其能控標準sn 1an 1sn 1an 2 sn 2a1s a0型和能觀標準型實現與單入單出系統類似，只是各矩陣中的0變為全零矩陣， 1 變為單位矩陣 I，常數變為常數乘單位矩陣，即a0a0 I 。注意：能控標準型實現的維數是nr ；能觀標準型實現的維數是 n m 。3最小實現（維數最小的實現）xAxBu( A, B, C) 是完全能

21、控能觀的。yCx為 W ( s) 最小實現的充要條件是步驟：對給定的W ( s) ，初選一種實現（能控標準型或能觀標準型），假設選能控標準型，判斷是否完全能觀測，若完全能觀測則就是最小實現；否則進行能觀性分解，進一步找出能控能觀部分，即為最小實現。注意：傳遞函數陣W (s) 的實現不是唯一的，最小實現也不是唯一的。十傳遞函數W (s) 中零極點對消與能控性和能觀性之間的關系對單輸入系統、單輸出系統或者單輸入單輸出系統，系統能控能觀的充要條件是傳遞函數沒有零極點對消。而對多輸入多輸出系統，傳遞函數陣沒有零極點對消只是最小實現的充分條件，也就是說， 即使存在零極點對消，系統仍有可能是能控能觀的（p

22、147 例 3-19）。對單輸入單輸出系統，若傳遞函數出現了零極點對消，還不能判斷到底是不能控還是不能觀，還是既不能控又不能觀。第四章穩定性與李雅普諾夫方法一穩定性的定義李雅普諾夫給出了對任何系統都普遍適用的穩定性定義。1平衡狀態xf ( x, t) 為齊次狀態方程。滿足對所有t，都有f ( xe , t)0 成立的狀態矢量xe 稱為系統的平衡狀態。穩定性問題都是相對于某個平衡狀態而言的。通常只討論坐標原點處的穩定性。2穩定性的幾個定義李雅普諾夫意義下穩定， （相當于自控里的臨界穩定） ；漸近穩定，（相當于自控里的穩定） ；大范圍漸近穩定，大范圍漸近穩定的必要條件是整個狀態空間只有一個平衡狀態

23、；不穩定。二李雅普諾夫第一法（間接法）1線性定常系統的穩定判據狀態穩定性：平衡狀態xe0 漸近穩定的充要條件是A 的所有特征值具有負實部。輸出穩定性：充要條件是傳遞函數的極點位于s 的左半平面。2非線性系統的穩定性線性化處理。xA x ； Afx，若 A 的所有特征值具有負實部，則原非線性系統在平衡狀態xe 漸xxe近穩定。若A 的所有特征值至少有一個具有正實部，則原非線性系統在平衡狀態xe 不穩定。若若A 的所有特征值至少有實部為零，則穩定性不能有特征值的符號來確定。三李雅普諾夫第二法（直接法）借助于一個李雅普諾夫函數來直接對平衡狀態的穩定性做出判斷。1預備知識V ( x) 是由 n 維矢量

24、 x 定義的標量函數，且在x0處，恒有 V (x)0 ，對任何非零矢量x，如果 V ( x)0 ，則稱之為正定；如果V ( x)0 ，則稱之為負定；如果V ( x)0 則稱之為半正定或非負定；如果V ( x)0則稱之為半負定或非正定；如果V ( x)0 或V ( x)0 ，則稱之為不定。V ( x)xT Px 為二次型標量函數，P 為實對稱陣。要判別V ( x) 的符號只要判別P 的符號即可。P 的定號判據（希爾維特斯判據）：首先求出P 的各階順序主子式i ，若所有的i0 ，則P （ V ( x) ）正定；若i偶數 的i0 ， i奇數 的i0則P （ V ( x)）負定；2李雅普諾夫函數對于一

25、個給定系統，如果能找到一個正定的標量函數V ( x) ，而V (x) 是負定的，則這個系統是漸近穩定的，這個標量函數V (x) 叫做李雅普諾夫函數。李雅普諾夫第二法的關鍵問題就是尋找李雅普諾夫函數V (x) 的問題。穩定性判據設xf ( x) ，平衡狀態為xe0 ，如果存在標量函數V ( x)是正定的，即x0 時，有V ( x)0 ，x0 時，有 V ( x)0 ，且滿足V ( x)0 ，則稱原點平衡狀態是漸近穩定的；如果當x時，V (x)，則系統是大范圍漸近穩定的。設 xf ( x) ，平衡狀態為xe0 ，如果存在標量函數V ( x) 是正定的，即 x 0 時，有 V ( x)0 ， x 0

26、 時，有 V ( x)0 ，且滿足 V ( x)0，但除 x 0 外，即 x0 ，V ( x) 不恒等于，則稱原點平衡狀態是漸近穩定的；如果當 x時， V ( x)，則系統是大范圍漸近穩定的。設 xf ( x) ，平衡狀態為xe0 ，如果存在標量函數V ( x) 是正定的，即 x 0 時，有 V ( x)0 ， x 0時，有 V ( x)0 ，且滿足 V ( x)0，但任意的 x 0 ， V ( x) 恒等于，則稱原點平衡狀態是李雅普諾夫意義下穩定的。設 xf ( x) ，平衡狀態為xe0，如果存在標量函數V ( x) 是正定的，即 x 0 時，有 V ( x)0 ， x 0時，有 V ( x

27、)0 ，且滿足 V ( x)0，則稱原點平衡狀態是不穩定的。需要注意： 這些判據定理知識充分條件， 也就是說， 沒有找到合適的李雅普諾夫函數來證明原點的穩定性，不能說明原點一定是不穩定的。如果V ( x) 是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影響結論。V ( x) 最簡單的形式是二次型標量函數，但不一定都是簡單的二次型。構造V ( x) 需要較多技巧。四李雅普諾夫方法在線性系統中的應用線性定常連續系統漸近穩定判據定理： xAx ，若 A 是非奇異的，原點xe0 是唯一的平衡點。原點大范圍漸近穩定的充要條件是對任意對稱實正定矩陣Q ，李雅普諾夫方程AT pPAQ ，存在唯一的對稱正定解P 。該定

28、理等價于的特征值具有負實部。但高階系統求解特征值復雜。步驟：選定正定矩陣Q ，通常為 QI ，代入李雅普諾夫方程，確定出P ，判斷是否正定，進而做出系統漸近穩定的結論。線性時變連續系統漸近穩定判據定理： xA(t) x ，在平衡點 xe0 大范圍漸近穩定的充要條件是對任意對稱實正定矩陣Q (t ) ，李雅普諾夫方程 P(t )A(t) T P(t) P(t ) A(t )Q (t ) ，存在唯一的對稱正定解P(t) 。線性定常離散系統漸近穩定判據定理： x(k1)Gx(k) 在平衡點 xe 0 漸近穩定的充要條件是，對任意對稱實正定矩陣Q ，離散李雅普諾夫方程 G T pGPQ ，存在唯一的對

29、稱正定解 P 。該定理等價于G 的特征值均在單位圓內。步驟：選定正定矩陣Q ，通常為 QI ，代入離散李雅普諾夫方程，確定出P ，判斷是否正定，進而做出系統漸近穩定的結論。五非線性系統的李雅普諾夫穩定性分析雅可比矩陣法步 驟 ： xf ( x) ， 寫 出 f ( x) ， 計 算雅 可 比 矩 陣 J ( x)fI ），對給定正定矩陣 P（通常PxQ( x) J (x)T P PJ (x) 為正定的。并且 V ( x)f T (x)Pf (x) 為系統的一個李雅普諾夫函數。變量梯度法第五章線性定常系統的綜合綜合：常規綜合，使系統性能滿足某種籠統指標要求；最優綜合，使系統性能指標在某種意義下達

30、到最優。一線性反饋控制系統的基本結構及其特性1狀態反饋將系統的每一個狀態變量乘以相應的反饋系數，然后反饋到輸入端與參考輸入相加，作為受控系統的控制輸入。 K 稱為狀態反饋增益陣，r n 。設原受控系統0( A,B,C) ， =0 。狀態反饋閉環系統的狀態空間表達式x ( A BK ) x Bv簡稱(A BK,B,C)yCxK與原受控系統0( A, B,C ) 比較，狀態反饋增益陣的引入，并不增加系統的維數，但可以通過的選擇改變閉環系統的特征值，從而使獲得所要求的性能。2輸出反饋由輸出端 y 引入輸出反饋增益陣H（ rm ），然后反饋到輸入端與參考輸入相加，作為受控系x ( A BHC )x B

31、v( ABHC , B, C)統的控制輸入。狀態空間表達式為yCx簡稱H通過的選擇也可以改變閉環系統的特征值，從而改變性能，但可供選擇的自由度遠比小（通常 mn ）。從輸出到狀態變量導數x 的反饋從輸出 y 引入反饋增益陣G（ nm ）到狀態變量的導數 x ，所得狀態空間表達式為x( AGC )x Bu簡稱(A GC,B,C)yCxH通過的選擇也可以改變閉環系統的特征值，從而改變性能。以上三種反饋的共同點是，不增加新的狀態變量，系統開環與閉環同維，其次，反饋增益陣都是常數矩陣，反饋為線性反饋。閉環系統的能控性與能觀性a 狀態反饋不改變受控系統b 輸出反饋不改變受控系統00( A, B,C )

32、的能控性，但不保證系統的能觀性不變。( A, B,C ) 的能控性和能觀性。二極點配置問題就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環系統的極點恰好配置在根平面所期望的位置，以獲得所希望的動態性能。只討論單輸入單輸出系統采用狀態反饋對系統0( A, b, c) 任意配置極點的充要條件是0 完全能控。給定0( A,b, c) ，給定期望的極點，設計狀態反饋控制器的方法：能控規范型法，適合于n3 。首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態觀測器。通過線性變換xTc1x化為能控標準型，得到( A,b , c) 。加 入狀態反饋增益矩陣K k0 ,k1 , kn 1 , 得到閉 環系統K( AbK , b ,c )

33、狀態空間表達式，求出對應的閉環特征多項式f ()|I( Ab K ) |。由給定的期望極 點 ， 求 出 期 望 的 閉 環 特 征 多 項 式f * ( )(i * ) 。 將 f ( ) 與 f * ( ) 比 較 ， 即 可 得 到K k0 , k1 , kn 1 。把對應與的 K ，通過 KK Tc1 1k0 , k1 , kn 1 。進一步畫出模擬結構圖。當階次較低時，n3 ，可直接由反映物理系統的A,b 矩陣求狀態反饋增益矩陣K k0 , k1 , kn 1 ，不通過非奇異變換，使設計工作簡單。首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態觀測器。加入狀態反饋增益矩陣K k0 , k1 ,

34、kn 1 , 得 到 閉 環 系 統K( AbK , b, c) 狀 態 空間 表 達 式 ， 求 出 對 應 的 閉 環 特 征 多 項 式f ( )|I( AbK ) |。由給定的期望極點，求出期望的閉環特征多項式f * ( )(i * ) 。將 f ( ) 與f * () 比較，即可得到K k0 , k1 , kn 1 。進一步畫出模擬結構圖。注意，如果給定的是傳遞函數，則先畫出其要求的模擬結構圖，寫出狀態空間描述，然后做其他工作。2采用輸出反饋不能任意極點配置，正是輸出線性反饋的基本弱點。采用從輸出到 x 的反饋對系統 0( A, b, c) 任意配置極點的充要條件是0 完全能觀。設計

35、從輸出到 x 的反饋陣的問題就是其對偶系統00 設計狀態反饋陣的問題。方法：（）能觀標準型法，適合于n 3 。首先判斷是否完全能觀，是，則存在輸出反饋。通過線性變換 xTo2 x 化為能觀標準型， 得到( A, b , c) 。加入輸出反饋增益矩陣G g0 , g1 , gn 1 T ,得到閉環系統G( A G c, b , c) 狀態空間表達式，求出對應的閉環特征多項式f () |I( AG c ) | 。由給定的期望極點，求出期望的閉環特征多項式f * ( )(i * ) 。將f () 與f* ( ) 比較，即可得到G g0 , g1 , gn1 T 。把對應與的 G ，通過 G TO2

36、G g0 , g1, g n 1 。進一步畫出模擬結構圖。當階次較低時， n3 ，可直接由反映物理系統的A,c 矩陣求狀態反饋增益矩陣G g 0 , g1 , g n 1 ，不通過非奇異變換，使設計工作簡單。首先判斷是否完全能觀，是，則存在輸出反饋。加入從輸出到x 的反饋增益矩陣 G g0 , g1, , gn 1 ,得到閉環系統G( A Gc,b, c) 狀態空間表達式，求出對應的閉環特征多項式f () | I( A Gc ) | 。由給定的期望極點， 求出期望的閉環特征多項式f * ()*) 。將 f ( ) 與(if * () 比較，即可得到 G g 0 , g1 , gn 1 。進一步

37、畫出模擬結構圖。三系統鎮定問題所謂系統鎮定，是對受控系統0 ( A, B,C ) 通過反饋使其極點均具有負實部，保證系統為漸近穩定。鎮定問題是極點配置問題的一種特殊情況，它只要求把閉環極點配置在根平面的左側，而并不要求將閉環極點嚴格地配置在期望極點上。狀態反饋能鎮定的充要條件是其不能控子系統為漸近穩定。輸出反饋能鎮定的充要條件是結構分解中能控能觀子系統是輸出反饋能鎮定的，其余子系統是漸近穩定的。輸出到 x 的反饋實現鎮定的充要條件是不能觀子系統為漸近穩定。四系統解藕問題目的是尋求適當的控制規律，使輸入輸出相互關聯的多變量系統實現每一個輸出僅受相應的一個輸入控制，每一個輸入也僅能控制相應的一個輸

38、出，這樣的問題稱為解藕問題。2定義：若系統( A, b, c) m 維輸入 m 維輸出，其傳遞函數矩陣是一個對角線有理多項式矩陣，則稱該系統是解藕的。W11 (s)0W ( s)C( sIW22 (s)A) 1B0Wmm (s)方法：前饋補償器解耦：待解耦系統0( A, b, c) 的傳遞函數陣 W0 ( s) ，在其前面串接一個前饋補償器傳遞函數為Wd (s) ，使整個系統的傳遞函數陣為W (s) Wd ( s)W0 ( s) ，滿足對角線有理多項式特點。其中Wd (s) W01(s)W (s) 。狀態反饋解藕。如何設計和，使系統從v 到 y 是解藕的。設計步驟。五狀態觀測器作用：閉環極點的任意配置、 系統解藕以及最優控制系統都離不開狀態反饋。 但狀態變量并不是都能直接檢測，有些根本無法檢測，這就提出狀態觀測或狀態重構問題。龍伯格提出的狀態觀測器理論，解決的狀態重構問題，使狀態反饋成為一種可實現的控制律。定義：動態系統? 以