1、2012年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(全國(guó)卷)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分第卷第卷共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一、選擇題1已知集合Ax|x是平行四邊形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，則()AAB BCB CDC DAD2函數(shù)(x1)的反函數(shù)為()Ayx21(x0) Byx21(x1)Cyx21(x0) Dyx21(x1)3若函數(shù)(0,2)是偶函數(shù)，則()A B C D4已知為第二象限角，則sin2()A B C D5橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為4，一條準(zhǔn)線為x4，則該橢圓的方程為()A BC

2、 D6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1 B C D7 6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有()A240種 B360種 C480種 D720種8已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為()A2 B C D19ABC中，AB邊的高為CD若a，b，a·b0，|a|1，|b|2，則()A BC D10已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2()A B C D11已知xln ，ylog52，則(

3、)Axyz BzxyCzyx Dyzx12正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AEBF.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為()A8 B6 C4 D3第卷第卷共10小題，共90分二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上13(x)8的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為_(kāi)14若x，y滿足約束條件則z3xy的最小值為_(kāi)15當(dāng)函數(shù)ysinxcosx(0x2)取得最大值時(shí)，x_.16已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所

4、成角的余弦值為_(kāi)三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對(duì)邊a，b，c滿足2b23ac，求A18已知數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)和.(1)求a2，a3；(2)求an的通項(xiàng)公式19如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE2EC(1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角APBC為90°，求PD與平面PBC所成角的大小19求開(kāi)始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先的概率20乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換每次發(fā)

5、球，勝方得1分，負(fù)方得0分設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球(1)求開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；(2) 求開(kāi)始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先的概率 21已知函數(shù)f(x)x3x2ax.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若過(guò)兩點(diǎn)(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線yf(x)上，求a的值22已知拋物線C：y(x1)2與圓M：(x1)2(y)2r2(r0)有一個(gè)公共點(diǎn)A，且在A處兩曲線的切線為同一直線l.(1)求r；(2)設(shè)m，n是異于l且與C及M都相

6、切的兩條直線，m，n的交點(diǎn)為D，求D到l的距離1 B正方形組成的集合是矩形組成集合的子集，CB2 A，y2x1，xy21，x，y互換可得：yx21.又.反函數(shù)中x0，故選A項(xiàng)3C是偶函數(shù)，f(0)±1.(kZ)3k(kZ)又0,2，當(dāng)k0時(shí)，.故選C項(xiàng)4A，且為第二象限角，.故選A項(xiàng)5 C焦距為4，即2c4，c2.又準(zhǔn)線x4，.a28.b2a2c2844.橢圓的方程為，故選C項(xiàng)6B當(dāng)n1時(shí)，S12a2，又因S1a11，所以，.顯然只有B項(xiàng)符合7 C由題意可采用分步乘法計(jì)數(shù)原理，甲的排法種數(shù)為，剩余5人進(jìn)行全排列：，故總的情況有：·480種故選C項(xiàng)8 D連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，

7、連結(jié)OE，AB=2，.又，則AC=CC1.作CHAC1于點(diǎn)H，交OE于點(diǎn)M.由OE為ACC1的中位線知，CMOE，M為CH的中點(diǎn)由BDAC，ECBD知，BD面EOC，CMBDCM面BDE.HM為直線AC1到平面BDE的距離又ACC1為等腰直角三角形，CH=2.HM=1.9 Da·b0，ab.又|a|1，|b|2，.10 C設(shè)|PF2|m，則|PF1|2m，由雙曲線定義|PF1|PF2|2a，2mm.又，由余弦定理可得cosF1PF2.11 Dxln 1，ylog52，且e01，yzx.12 B如圖，由題意：tanBEF=，X2為HD中點(diǎn)，X6與E重合，故選B項(xiàng)13答案：7解析：(x)

8、8展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr1x8r()rCr82rx82r，令82r2，解得r3.x2的系數(shù)為237.14答案：1解析：由題意畫(huà)出可行域，由z3xy得y3xz，要使z取最小值，只需截距最大即可，故直線過(guò)A(0,1)時(shí)，z最大zmax3×011.15答案：解析：ysinxcosx當(dāng)y取最大值時(shí)，x2k.又0x2，.16答案：解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.連結(jié)A1E，可知D1FA1E，異面直線AE與D1F所成的角可轉(zhuǎn)化為AE與A1E所成的角，在AEA1中，.17解：由A，B，C成等差數(shù)列及ABC180°，得B60°，AC120°.由2b23ac及正弦定理得2sin2B

9、3sinAsinC，故.cos(AC)cosAcosCsinAsinCcosAcosC，即cosAcosC，cosAcosC0，cosA0或cosC0，所以A90°或A30°.18解：(1)由得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由題設(shè)知a11.當(dāng)n1時(shí)有anSnSn1，整理得.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.將以上n個(gè)等式兩端分別相乘，整理得.綜上，an的通項(xiàng)公式.19解法一：(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC又PA底面ABCD，所以PCBD設(shè)ACBD=F，連結(jié)EF.因

10、為，PA=2，PE=2EC，故，從而，因?yàn)椋現(xiàn)CE=PCA，所以FCEPCA，F(xiàn)EC=PAC=90°，由此知PCEF.PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，所以PC平面BED(2)在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AGPB，G為垂足因?yàn)槎娼茿PBC為90°，所以平面PAB平面PBC又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBCBC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A，D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，

11、即dAG.設(shè)PD與平面PBC所成的角為，則.所以PD與平面PBC所成的角為30°.解法二：(1)證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)C(，0,0)，D(，b,0)，其中b0，則P(0,0,2)，E(，0，)，B(，b,0)于是(，0，2)，(，b，)，(，b，)，從而，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)設(shè)m(x，y，z)為平面PAB的法向量，則m·0，m·0，即2z0且xby0，令xb，則m(b，0)設(shè)n(p，q，r)為平面PBC的法向量，則n·0，

12、n·0，即且，令p1，則，n(1，)因?yàn)槊鍼AB面PBC，故m·n0，即，故，于是n(1，1，)，(，2)，n，60°.因?yàn)镻D與平面PBC所成角和n，互余，故PD與平面PBC所成的角為30°.20解：記Ai表示事件：第1次和第2次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i0,1,2；Bi表示事件：第3次和第4次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i0,1,2；A表示事件：第3次發(fā)球，甲得1分；B表示事件：開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2；C表示事件：開(kāi)始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先(1)BA0·AA1·，P(A)0.4，P(A0)0.420.16，P(A1)

13、2×0.6×0.40.48，P(B)P(A0·AA1·)P(A0·A)P(A1·)P(A0)P(A)P(A1)P()0.16×0.40.48×(10.4)0.352.(2) P(B0)0.620.36，P(B1)2×0.4×0.60.48，P(B2)0.420.16，P(A2)0.620.36.CA1·B2A2·B1A2·B2P(C)P(A1·B2A2·B1A2·B2)P(A1·B2)P(A2·B1)P(A2

14、3;B2)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)P(A2)P(B2)0.48×0.160.36×0.480.36×0.160.307 2.21解：(1)f(x)x22xa(x1)2a1.當(dāng)a1時(shí)，f(x)0，且僅當(dāng)a1，x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)是R上的增函數(shù)；當(dāng)a1時(shí)，f(x)0有兩個(gè)根x11，x21.當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(1，1)時(shí)，f(x)0，f(x)是減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)是增函數(shù)(2)由題設(shè)知，x1，x2為方程f(x)0的兩個(gè)根，故有a1，x122x1a，x222x2a.因此f(x1)x13x12ax1x1(2x1a)x12ax1x12ax1(2x1a)ax1(a1)x1.同理，f(x2)(a1)x2.因此直線l的方程為y(a1)x.設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0)，得，由題設(shè)知，點(diǎn)(x0,0)在曲線yf(x)上，故f(x0)0，解得a0或或.22解：(1)設(shè)A(x0，(x01)2)，對(duì)y(x1)2求導(dǎo)得y2(x1)，故l的斜率k2(x01)當(dāng)x01時(shí)，不合題意，所以x01.圓心為M(1，)，MA的斜率.由lMA知k·k1，即2(x01)