1、專題27 排列、組合與二項式定理排列、組合與二項式定理排列、組合與二項式定理主 干 知 識 梳 理熱 點 分 類 突 破真 題 與 押 題31.高考中對兩個計數原理、排列、組合的考查以基高考中對兩個計數原理、排列、組合的考查以基本概念、基本方法本概念、基本方法(如如“在在”“”“不在不在”問題、相鄰問題、相鄰問題、相間問題問題、相間問題)為主為主,主要涉及數字問題、樣品問主要涉及數字問題、樣品問題、幾何問題、涂色問題、選取問題等；對二項題、幾何問題、涂色問題、選取問題等；對二項式定理的考查，主要是利用通項求展開式的特定式定理的考查，主要是利用通項求展開式的特定項，利用二項式定理展開式的性質求有

2、關系數問項，利用二項式定理展開式的性質求有關系數問題主要考查分類與整合思想、轉化與化歸思想、題主要考查分類與整合思想、轉化與化歸思想、補集思想和邏輯思維能力補集思想和邏輯思維能力.考情解讀2.排列、組合、兩個計數原理往往通過實際問排列、組合、兩個計數原理往往通過實際問題進行綜合考查，一般以選擇、填空題的形式題進行綜合考查，一般以選擇、填空題的形式出現，難度中等，還經常與概率問題相結合，出現，難度中等，還經常與概率問題相結合，出現在解答題的第一或第二個小題中，難度也出現在解答題的第一或第二個小題中，難度也為中等；對于二項式定理的考查，主要出現在為中等；對于二項式定理的考查，主要出現在選擇題或填空

3、題中，難度為易或中等選擇題或填空題中，難度為易或中等考情解讀主干知識梳理1.分類加法計數原理和分步乘法計數原理分類加法計數原理和分步乘法計數原理如果每種方法都能將規定的事件完成，則要用分類加如果每種方法都能將規定的事件完成，則要用分類加法計數原理將方法種數相加；如果需要通過若干步才法計數原理將方法種數相加；如果需要通過若干步才能將規定的事件完成，則要用分步乘法計數原理將各能將規定的事件完成，則要用分步乘法計數原理將各步的方法種數相乘步的方法種數相乘.2.排列與組合排列與組合(1)排列：從排列：從n個不同元素中取出個不同元素中取出m(mn)個元素，按個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從照一定的

4、順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個排列個元素的一個排列.從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的排列數公式是排列數公式是A n(n1)(n2)(nm1)或寫成或寫成A .(2)組合：從組合：從n個不同元素中取出個不同元素中取出m(mn)個元素組成個元素組成一組，叫做從一組，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個組個元素的一個組合合.從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的組合數公式是個元素的組合數公式是(3)組合數的性質組合數的性質 熱點一 兩個計數原理 熱點二 排列與組合 熱點三 二項式定理熱點分類突破例1(1)將將1

5、,2,3，9這這9個數字填在如圖的個數字填在如圖的9個空格中，個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大.當當3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法為固定在圖中的位置時，填寫空格的方法為()熱點一 兩個計數原理A.6種種 B.12種種C.18種種 D.24種種思維啟迪 先確定數字先確定數字1,2,9的位的位置，再分步填寫空格；置，再分步填寫空格；解析每一行從左到右，每一列從上到下分別依每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，次增大，1,2,9只有一種填法，只有一種填法，5只能填在右上角或只能填在右上角或左下角，左下角，5填后與之

6、相鄰的空格可填填后與之相鄰的空格可填6,7,8任一個；任一個；余下兩個數字按從小到大只有一種方法余下兩個數字按從小到大只有一種方法.共有共有236種結果，故選種結果，故選A.答案A(2)如果一個三位正整數如果一個三位正整數“a1a2a3”滿足滿足a1a2且且a3a2，則稱這樣的三位數為凸數則稱這樣的三位數為凸數(如如120,343,275)，那么所，那么所有凸數的個數為有凸數的個數為()A.240 B.204C.729 D.920思維啟迪 按中間數進行分類按中間數進行分類.解析分分8類，當中間數為類，當中間數為2時，有時，有122種；種；當中間數為當中間數為3時，有時，有236種；種；當中間數

7、為當中間數為4時，有時，有3412種；種；當中間數為當中間數為5時，有時，有4520種；種；當中間數為當中間數為6時，有時，有5630種；種；當中間數為當中間數為7時，有時，有6742種；種；當中間數為當中間數為8時，有時，有7856種；種；當中間數為當中間數為9時，有時，有8972種種.故共有故共有26122030425672240種種.答案A(1)在應用分類加法計數原理和分步乘法計數原理在應用分類加法計數原理和分步乘法計數原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數原理分類加法計數原理.(2)對于復雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當對

8、于復雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化.思維升華變式訓練1(1)(2014大綱全國大綱全國)有有6名男醫生、名男醫生、5名女醫生，從名女醫生，從中選出中選出2名男醫生、名男醫生、1名女醫生組成一個醫療小組，名女醫生組成一個醫療小組，則不同的選法共有則不同的選法共有()A.60種種 B.70種種C.75種種 D.150種種C(2)已知函數已知函數f(x)ln(x21)的值域為的值域為0,1,2，則滿，則滿足這樣條件的函數的個數為足這樣條件的函數的個數為()A.8 B.9C.26 D.27解析因為值域為因為值域為0,1,2

9、, 即即ln(x21)0 x0，所以定義域取值即在這所以定義域取值即在這5個元素中選取，個元素中選取，當定義域中有當定義域中有5個元素時，有一種情況個元素時，有一種情況.所以共有所以共有4419(個個)這樣的函數這樣的函數.答案B例2(1)(2014重慶重慶)某次聯歡會要安排某次聯歡會要安排3個歌舞類個歌舞類節目，節目，2個小品類節目和個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序，個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是則同類節目不相鄰的排法種數是()A.72 B.120C.144 D.168熱點二 排列與組合思維啟迪 將不能相鄰的節將不能相鄰的節目插空安排；目插空安排；解析先安排小品節

10、目和相聲節目，然后讓歌舞節先安排小品節目和相聲節目，然后讓歌舞節目去插空目去插空.安排小品節目和相聲節目的順序有三種：安排小品節目和相聲節目的順序有三種：“小品小品1，小品小品2，相聲，相聲”“”“小品小品1，相聲，小品，相聲，小品2”和和“相聲，相聲，小品小品1，小品，小品2”.”.同理，第三種情況也有同理，第三種情況也有36種安排方法，種安排方法，故共有故共有363648120(種種)安排方法安排方法.答案B(2)數列數列an共有共有12項，其中項，其中a10，a52，a125，且且|ak1ak|1，k1,2,3，11，則滿足這種條，則滿足這種條件的不同數列的個數為件的不同數列的個數為()

11、A.84 B.168C.76 D.152思維啟迪 考慮數列中項的考慮數列中項的增減變化次數增減變化次數.解析|ak1ak|1，k1,2,3，11，前一項總比后一項大前一項總比后一項大1或小或小1，a1到到a5中中4個變化個變化必然有必然有3升升1減，減，a5到到a12中必然有中必然有5升升2減，是組合的減，是組合的問題，問題，答案A解排列、組合的應用題，通常有以下途徑：解排列、組合的應用題，通常有以下途徑：(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素慮其他元素.(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考以位置為主體，即先滿足特殊位置

12、的要求，再考慮其他位置慮其他位置.(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合數去不符合要求的排列或組合數.思維升華變式訓練2 (1)在航天員進行的一項太空實驗中，先后要實施在航天員進行的一項太空實驗中，先后要實施6個程序，其中程序個程序，其中程序A只能出現在第一步或最后一步，只能出現在第一步或最后一步，程序程序B和和C實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有法共有()A.24種種 B.48種種C.96種種 D.144種種解析首先安排首先安排A有有2種方法；種方法；第二步在剩余的第二步在剩余

13、的5個位置選取相鄰的兩個排個位置選取相鄰的兩個排B，C，有有4種排法，而種排法，而B，C位置互換有位置互換有2種方法；種方法；答案C(2)從從0,1,2,3,4中任取四個數字組成無重復數字的四位數，中任取四個數字組成無重復數字的四位數，其中偶數的個數是其中偶數的個數是_(用數字作答用數字作答).解析0,1,2,3,4中任取四個數字組成無重復數字的四位中任取四個數字組成無重復數字的四位數，且為偶數，有兩種情況：數，且為偶數，有兩種情況：故共有四位偶數故共有四位偶數60個個.60熱點三 二項式定理思維啟迪 利用通項公式求利用通項公式求常數項；常數項；8 43 3 rxC(2)如果如果(1xx2)(

14、xa)5(a為實常數為實常數)的展開式中所有項的展開式中所有項的系數和為的系數和為0，則展開式中含，則展開式中含x4項的系數為項的系數為_.思維啟迪 可用賦值法求二項展開式所有項的系數和可用賦值法求二項展開式所有項的系數和.解析令令x1得得(1xx2)(xa)5的展開式中所有項的展開式中所有項的系數和為的系數和為(1112)(1a)50，a1，(1xx2)(xa)5(1xx2)(x1)5(x31)(x1)4x3(x1)4(x1)4，5(1)在應用通項公式時，要注意以下幾點：在應用通項公式時，要注意以下幾點：它表示二項展開式的任意項它表示二項展開式的任意項,只要只要n與與r確定，確定，該項就隨之

15、確定；該項就隨之確定；Tr1是展開式中的第是展開式中的第r1項，而不是第項，而不是第r項；項；公式中，公式中，a，b的指數和為的指數和為n且且a，b不能隨便顛不能隨便顛倒位置；倒位置；思維升華對二項式對二項式(ab)n展開式的通項公式要特別注展開式的通項公式要特別注意符號問題意符號問題.(2)在二項式定理的應用中，在二項式定理的應用中，“賦值思想賦值思想”是一是一種重要方法，是處理組合數問題、系數問題的種重要方法，是處理組合數問題、系數問題的經典方法經典方法.思維升華變式訓練3令令72r3，得，得r5.答案C(2)(2014浙江浙江)在在(1x)6(1y)4的展開式中，記的展開式中，記xmyn

16、項的系數為項的系數為f(m，n)，則，則f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于等于()A.45 B.60 C.120 D.210所以所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)C1.排列、組合應用題的解題策略排列、組合應用題的解題策略(1)在解決具體問題時，首先必須弄清楚是在解決具體問題時，首先必須弄清楚是“分類分類”還還是是“分步分步”，接著還要搞清楚，接著還要搞清楚“分類分類”或者或者“分步分步”的具體標準是什么的具體標準是什么.(2)區分某一問題是排列問題還是組合問題，關鍵看選區分某一問題是排列問題還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關出的元素與順序是否有關.

17、若交換某兩個元素的位置對若交換某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素結果產生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題的位置對結果沒有影響，則是組合問題.也就是說排列也就是說排列本講規律總結問題與選取元素的順序有關，組合問題與選取元素的順序問題與選取元素的順序有關，組合問題與選取元素的順序無關無關.(3)排列、組合綜合應用問題的常見解法：排列、組合綜合應用問題的常見解法：特殊元素特殊元素(特特殊位置殊位置)優先安排法；優先安排法；合理分類與準確分步；合理分類與準確分步；排列、組排列、組合混合問題先選后排法；合混合問題先選后排法；相鄰問題捆

18、綁法；相鄰問題捆綁法；不相鄰問不相鄰問題插空法；題插空法；定序問題倍縮法；定序問題倍縮法；多排問題一排法；多排問題一排法；“小集團小集團”問題先整體后局部法；問題先整體后局部法；構造模型法；構造模型法；正正難則反、等價轉化法難則反、等價轉化法.2.二項式定理是一個恒等式，對待恒等式通常有兩種二項式定理是一個恒等式，對待恒等式通常有兩種思路思路一是利用恒等定理一是利用恒等定理(兩個多項式恒等，則對應項系數兩個多項式恒等，則對應項系數相等相等)；二是賦值；二是賦值.這兩種思路相結合可以使得二項展這兩種思路相結合可以使得二項展開式的系數問題迎刃而解開式的系數問題迎刃而解.另外，通項公式主要用于求二項

19、式的指數，求滿足條另外，通項公式主要用于求二項式的指數，求滿足條件的項或系數，求展開式的某一項或系數，在運用公件的項或系數，求展開式的某一項或系數，在運用公式時要注意以下幾點：式時要注意以下幾點：(3)求展開式的特殊項，通常都是由題意列方程求出求展開式的特殊項，通常都是由題意列方程求出r，再求出所需的某項；有時需先求再求出所需的某項；有時需先求n，計算時要注意，計算時要注意n和和r的取值范圍及它們之間的大小關系的取值范圍及它們之間的大小關系. 真題感悟 押題精練真題與押題真題感悟1.(2014浙江浙江)在在8張獎券中有一、二、三等獎各張獎券中有一、二、三等獎各1張，張，其余其余5張無獎張無獎.將這將這8張獎券分配給張獎券分配給4個人，每人個人，每人2張，張，不同的獲獎情況有不同的獲獎情況有_種種(用數字作答用數字作答).解析把把8張獎券分張獎券分4組有兩種分法，一種是分組有兩種分法，一種是分(一等一等獎，無獎獎，無獎)、(二等獎，無獎二等獎，無獎)、(三等獎，無獎三等獎，無獎)、(無無獎，無獎獎，無獎)四組，分給四組，分給4人有人有A種分法；種分法；真題感悟