1、共線向量與共共線向量與共面向量面向量lAPa OABP特別地，假設特別地，假設P P為為A,BA,B中點中點, ,那么那么12 OPOAOB我們曾經知道：平面中，如圖我們曾經知道：平面中，如圖 不共線，不共線，OA OB 、()APtAB tROA OBOP ，則可以用、 表示如下：()(1)OPOAAPOAtABOAt OBOAt OAtOB 結論：結論：設設O O為平面上任一點，那么為平面上任一點，那么A A、P P、B B三點共線三點共線(1)OPt OAtOB 或：令或：令x=1-tx=1-t，y=ty=t，那么，那么A A、P P、B B三點共三點共線線(1)OPxOAyOBxy 其

2、中那么空間又如何呢？lAPa BO例例1.1.知知A A、B B、P P三點共線，三點共線，OO為直線外為直線外 一點一點, ,且且 ，求，求 的值的值. . OPOAOB平面向量根本定理：平面向量根本定理：假設是假設是 同一平面內兩個不共線的同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向向量，那么對于這一平面內的任一向量量 ，有且只需一對實數，有且只需一對實數 ，使，使12ee ，a12，1 122aee abBPCA思索思索1：空間恣意向：空間恣意向量量 與兩個不共線與兩個不共線的向量的向量 共面時，共面時，它們之間存在怎樣它們之間存在怎樣的關系呢？的關系呢？p a b ，ab二二

3、. .共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :能平移到同一平面內的向量能平移到同一平面內的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OAaa留意：空間恣意兩個留意：空間恣意兩個向量是共面的，但空向量是共面的，但空間恣意三個向量就不間恣意三個向量就不一定共面的了。一定共面的了。AabBCPp abBCp PAO思索思索2：有平面：有平面ABC，假設假設P點在此面內，須滿點在此面內，須滿足什么條件？足什么條件？結論結論: :空間一點空間一點P P位于平面位于平面ABCABC內內 存在有序實數對存在有序實數對x,yx,y使使 或對空間任一點或對空間任一點O,O,有有 APxAByAC OP

4、OAxAByAC可證明或判別四點共面練習練習3：知：知A、B、M三點不共線，對于平面三點不共線，對于平面ABM外的任一點外的任一點O，確定在以下各條件下，確定在以下各條件下，點點P能否與能否與A、B、M一定共面？一定共面？(1)3 OB OMOPOA(2)4 OPOAOBOM留意：留意：空間四點空間四點P、M、A、B共面共面 存存在在唯唯一一實數對實數對,xyMPxMAyMB （） 使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，類比平面向量的根本定理類比平面向量的根本定理, ,在空間中應有一個什么結論在空間中應有一個什么結論? ?NOCM1e 2e a OCOMON 1122t et e

5、2e 1e a c a b pAO然后證獨一性然后證獨一性/ ,/ ,/ABb BDa BCc 作作pOBBAOCODOE DCBxaybzc證明思緒：先證存在性證明思緒：先證存在性E注：空間恣意三個不共面向量都可以構成空注：空間恣意三個不共面向量都可以構成空間的一個基底間的一個基底.如：如： ,abc 看書看書P75推論：設點推論：設點O、A、B、C是不共面的四點，那是不共面的四點，那么對空間任一點么對空間任一點P，都存在獨一的有序實數對，都存在獨一的有序實數對 x、y、z使使OPxOAyOBzOC OABCP例例1 1平行六面體中平行六面體中, ,點點MC=2AM,A1N=2ND,MC=2

6、AM,A1N=2ND,設設AB=a,AD=b,AA1=c,AB=a,AD=b,AA1=c,試用試用a,b,ca,b,c表示表示MN.MN.分析分析: :要用要用a,b,ca,b,c表示表示MN,MN,只需結合圖形只需結合圖形, ,充充分運用空間向量加法分運用空間向量加法和數乘的運算律即可和數乘的運算律即可. .ABCDA1B1D1C1MN解解: :ABCDA1B1D1C1MN連連AN,AN, 那么那么MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA= AC =AC = (a+b)(a+b)1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND= = 2 b + c )2 b + c )13=

7、= a + b + c )a + b + c )13MN= MA+ANMN= MA+AN例例1 1平行六面體中平行六面體中, ,點點MC=2AM,A1N=2ND,MC=2AM,A1N=2ND,設設AB=a,AD=b,AA1=c,AB=a,AD=b,AA1=c,試用試用a,b,ca,b,c表示表示MN.MN.練習練習 . .空間四邊形空間四邊形OABCOABC中中,OA=a,OB=b,OC=c,OA=a,OB=b,OC=c點點M M在在OAOA上上, ,且且OM=2MA,NOM=2MA,N為為BCBC的中點的中點, ,那那么么MN=( ).MN=( ).OABCMN(A) a b + c 122

8、312(B) a + b + c 122312(C) a + b c 122312(D) a + b c 1223231.對于空間恣意一點對于空間恣意一點O，以下命題正確的選項是：，以下命題正確的選項是：(A)假設假設 ，那么，那么P、A、B共線共線(B)假設假設 ，那么，那么P是是AB的中點的中點(C)假設假設 ，那么，那么P、A、B不共線不共線(D)假設假設 ，那么，那么P、A、B共線共線OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt AB OPOAAB 2.知點知點M在平面在平面ABC內，并且對空間恣意一點內，并且對空間恣意一點O， , 那么那么x的值為的值為( )1( )1( )0( )

9、3()3ABCDOMxOAOBOC1 11 13 33 3 1.以下闡明正確的選項是：以下闡明正確的選項是： (A)在平面內共線的向量在空間不一定共線在平面內共線的向量在空間不一定共線(B)在空間共線的向量在平面內不一定共線在空間共線的向量在平面內不一定共線(C)在平面內共線的向量在空間一定不共線在平面內共線的向量在空間一定不共線(D)在空間共線的向量在平面內一定共線在空間共線的向量在平面內一定共線2.以下說法正確的選項是：以下說法正確的選項是： (A)平面內的恣意兩個向量都共線平面內的恣意兩個向量都共線(B)空間的恣意三個向量都不共面空間的恣意三個向量都不共面(C)空間的恣意兩個向量都共面空

10、間的恣意兩個向量都共面(D)空間的恣意三個向量都共面空間的恣意三個向量都共面補充練習補充練習:知空間四邊形知空間四邊形OABC，對角線，對角線OB、AC，M和和N分別是分別是OA、BC的中點，點的中點，點G在在MN上，且使上，且使MG=2GN，試用基底，試用基底 表示向量表示向量 ,OA OB OC OGCOABMNG解：在解：在OMG中，中，OGOMMG 1223OAMN 12()23OAONOM 111633OAOBOC 4.以下命題中正確的有：以下命題中正確的有：(1) pxaybpab與與、 共共面面 ; ;(2) pabpxayb與與、 共共面面；(3) MPxMAyMBPMAB、 、 共共面面；(4) PMA BMPxMAyMB、 、 、 共共面面；A.1個個B.2個個C.3個個D.4個個B5.對于空間中的三個向量對于空間中的三個向量它們一定是：它們一定是：A.共面向量共面向量B.共線向量共線向量C.不共面向量不共面向量D.既不共線又不共面向量既不共線又不共面向量2 MAMBMAMB、7.知知A、B、C三點不共線，對平面外一