1、會計學1初等函數的導數初等函數的導數第二節第二節 初等函數的導數初等函數的導數一、按定義求導數一、按定義求導數三、反函數的求導法則三、反函數的求導法則四、復合函數的導數四、復合函數的導數二、函數四則運算的求導法則二、函數四則運算的求導法則五、隱函數的求導法則五、隱函數的求導法則六、對數求導法六、對數求導法七、初等函數的導數七、初等函數的導數八、高階導數八、高階導數第1頁/共39頁一、按定義求導數一、按定義求導數常數的導數常數的導數( )(),0f xC Cy 設函數為常數則00 lim0 xyyxx 即2冪函數的導數冪函數的導數(),nyxn設函數為正整數 由二項式定理有212(1)()()(

2、)2!nnnnnn nyxxxnxxxxx . 0)(常數的導數是零常數的導數是零 C所所以以第2頁/共39頁12100(1) limlim()()2!nnnxxyn nnxxxxx 1nnx3. 3. 正弦函數和余弦函數的導數正弦函數和余弦函數的導數sin ,sin()sinyxyxxx 設函數則00sin2 limlim cos()cos22xxxyxxxxx .)(1nnnxx即即 xxsin)(cos即即同理同理 xxcos)(sin2cos()sin22xxx=第3頁/共39頁4對數函數的導數對數函數的導數log(01),ayx aa設函數且則log ()loglog (1)aaax

3、yxxxx 00011 limlimlog (1)log lim(1)11 loglnxxxxaaxxxayxxxxxxxexxa axxaln1)(log即即特別地，特別地，ae時時xx1)(ln第4頁/共39頁并且并且處也可導處也可導在點在點分母不為零分母不為零差、積、商差、積、商則它們的和、則它們的和、處可導處可導在點在點如果函數如果函數,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1 (2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu二、函數四則運算的求導法則二、函數四

4、則運算的求導法則第5頁/共39頁證證(1)(1)( )( )( )f xu xv x設0()( )( )limxf xxf xfxx 0 ()() ( )( )limxu xxv xxu xv xx 0 ()( ) ()( )limxu xxu xv xxv xx ( )( )u xv x第6頁/共39頁證證(3)(3)( )( ), ( ( )0),( )u xf xv xv x設0()( )( )limxf xxf xfxx 0() ( )( ) ()lim() ( )xu xx v xu x v xxv xx v xx 0()( )()( )limxu xxu xv xxv xx 第7頁

5、/共39頁0 ()( ) ( )( ) ()( )lim() ( )xu xxu x v xu x v xxv xv xx v xx 0()( )()( )( )( )lim() ( )xu xxu xv xxv xv xu xxxv xx v x 2( ) ( )( ) ( ) ( )u x v xu x v xv x第8頁/共39頁推論推論nnuuuuuu 2121)() 1 (nnnnuuuuuuuuuuuu 21212121)()3(2)()CuCu()C為任意常數第9頁/共39頁2lnsinxxy例例2-5 已知函數已知函數 ,求求y1cos2xxxxxyln)102(24例例2-6

6、 已知函數已知函數 ,求求y42421(210) ln(210)yxxxxxx解解解解(sinln2)()(sin )(ln2)yxxxx42421()(2)(10) ln(210)xxxxxx3310(44 )ln2xxxxxx23104 (1)ln2x xxxxx第10頁/共39頁解解sin(tan )()cosxyxx2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx例例2-7 已知函數已知函數 ,求求ytanyx222cossincosxxx221seccosxx.csc)(cot2xx 同理可得同理可得.sec)(tan2xx即即第11頁/共39頁解解1(sec )()cos

7、yxx2(cos )cosxxsec tan .xx2sincosxx.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得xxxtansec)(sec即即例例2-8 已知函數已知函數 ,求求ysecyx第12頁/共39頁例例2-9 已知函數已知函數 ,求求y2lnsinxyxxx解解2ln(sin)xyxxx2ln(sin )()xxxx222(ln )( ) ln() sin(sin )x xxxxxxxx221ln2 sincosxxxxxxxx221 ln2 sincosxxxxxx第13頁/共39頁三、反函數的求導法則三、反函數的求導法則定理定理2-1 ( )( )0,( ),1 ( ).

8、( )yxxyIyyf xIfxy如果函數在某區間 內單調、可導且那末它的反函數在對應區間 內也可導且有即：反函數的導數等于直接函數導數的倒即：反函數的導數等于直接函數導數的倒數數. .第14頁/共39頁( )yf x由的單調性可知0,y 于是有于是有1,yxxy( ),f x連續0(0),yx ( )0y又知0( )limxyfxx 01limyxy 1( )y證明證明,xxI任取xx給 以增量(0,)xxxxI 1( ).( )fxy即即第15頁/共39頁.xya求指數函數的導數例例2-10解解 log,log(0,),xyyaayaxx與互為反函數在上單調可導 且1(log)0lnayy

9、a (,),xya 所以它的反函數在上也可導 且1()lnln(log)xxaayaaay 即即aaaxxln)(特別地特別地,當當 時時,aexxee )(第16頁/共39頁解解sin(,),22yxyI 在內單調、可導(sin )cos0,yy 且( 1,1)xI 在內有1(arcsin )(sin )xy 1cos y211 sin y21.1x.11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arcarcsin.yx求函數的導數例例2-11即即)(arcsin x.112x 第17頁/共39頁四、復合函數的導數四、復合函數的導數定理定理

10、2-2為為且其導數且其導數處可導處可導在點在點則復合函數則復合函數處可導處可導對應對應點點在在而而處可導處可導在點在點設函數設函數,)(,)(,)( xxfyuxufyxxu 即即 因變量對自變量求導，等于因變量對中間變量因變量對自變量求導，等于因變量對中間變量求導，乘以中間變量對自變量求導求導，乘以中間變量對自變量求導.(.(鎖鏈法則鎖鏈法則) ) )()()(xufxf或或dxdududydxdy0( )(lim0)uyf uu 故( )yf uuu 則證明證明( ),yf uu由在點 可導則有則有0lim( )xyf ux 第18頁/共39頁0limxyx 0lim( )xuuf uxx

11、 000( ) limlimlimxxxuuf uxx ( )( ).fux推推廣廣( ),( ),( ),yf uuvvx設則復合函數則復合函數 的導數為的導數為( )yfx .dxdvdvdududydxdy)()()(xvufy或或第19頁/共39頁解解43,sin ,yuuxx令則43() (sin )dy duyuxxdu dx324(3cos )uxx3324(sin ) (3cos )xxxx解解2ln ,cos ,yu uv vx令則例例2-12 已知函數已知函數 ,求求y34(sin )yxx例例2-13 已知函數已知函數 ,求求y2lncosyx第20頁/共39頁2(ln

12、) (cos ) ()dy du dvyuvxdu dv dx221( sin) (2 )2 tanxxxxu 例例2-14 已知函數已知函數 ,求求y3212yx 比較熟練后比較熟練后,中間變量不必寫出來中間變量不必寫出來,直接按鎖鏈法則對直接按鎖鏈法則對復合函數求導復合函數求導.解解12222331(1 2) (1 2)(1 2)3yxxx2231(1 2)( 4 )3xx22343 (1 2)xx第21頁/共39頁 例例2-15 證明冪函數的求導公式證明冪函數的求導公式 對任意實對任意實數指數數指數 成立成立.1()aaxax a證明證明 將將 化為化為 ,則則ayxlnaxyelnln

13、()( ln )axaxyeeaxln11axaaaexaxaxx例如例如,112211()()22xxxx12211( )()xxxx 第22頁/共39頁例例2-16 已知函數已知函數 ,求求ysinxyxsin lnsin ln()(sin ln )xxxxyeexx解解 為冪指函數為冪指函數, 將其將其化為化為 ,則則sin lnxxyesinxyxsin(sin ) lnsin (ln ) xxxxxxsinsin(cos ln)xxxxxx例例2-17 已知函數已知函數 ,求求ysin2 lnsinyxx解解(sin2 lnsin )yxx(sin2 ) lnsinsin2 (lns

14、in )xxxx第23頁/共39頁1(cos2 ) 2 lnsinsin2cossinxxxxx 22cos2 lnsin2cosxxx解解00()()ktktdNN eN ektdt00()ktktN ekkN e 由上可知由上可知 ,這表明碘的減少速率與它當時所這表明碘的減少速率與它當時所dNkNdt 存在的量成正比存在的量成正比. 例例2-18 放射性同位素碘放射性同位素碘 廣泛用來研究甲狀腺的功能廣泛用來研究甲狀腺的功能.現將含量為現將含量為 的碘的碘 通過靜脈推入病人的血液中通過靜脈推入病人的血液中,血液中血液中 時刻碘的含量為時刻碘的含量為 (其中其中 為正常數為正常數),試求血試

15、求血131I131I0Nt0ktNN edNdt液中碘的減少速率液中碘的減少速率 .k第24頁/共39頁解解1()2yxxxxxx11(1() )22xxxxxxx111(1(1)222xxxxxx224218xx xxxxxxx x.yxxx求函數的導數例例2-19第25頁/共39頁五、隱函數的求導法則五、隱函數的求導法則 如果聯系兩個變量如果聯系兩個變量 和和 的函數式是由方程的函數式是由方程 來確定的，這樣的函數稱為來確定的，這樣的函數稱為隱函數隱函數.( ,)0F x y yx( ).yf x形式稱為顯函數( , )0F x y ( )yf x隱函數的顯化隱函數的顯化例如例如310 x

16、y 31yx（顯化）（顯化）543sin51yxyx（不能顯化）（不能顯化）問題問題: 隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導? 直接從方程直接從方程 兩邊來求導兩邊來求導,稱為隱函數的稱為隱函數的求導法則求導法則.( ,)0F x y 第26頁/共39頁y22220 xyyab解得解得22b xya y 解解 方程兩邊分別關于方程兩邊分別關于 求導求導,由復合函數求導法則由復合函數求導法則和四則運算法則有和四則運算法則有x 例例2-20 已知函數已知函數 是由橢圓方程是由橢圓方程 所確定所確定的的,求求 y22221xyab第27頁/共39頁 例例2-21 已知函數

17、已知函數 是由方程是由方程 確定的確定的.求求 和和y0 xy 解解 方程兩邊分別關于方程兩邊分別關于 求導求導,由復合函數求導法則由復合函數求導法則和四則運算法則有和四則運算法則有xye yyxy解得解得yyyex 0,1.xy當時 從原方程解得1001xxyyyyeex所以所以yyexye第28頁/共39頁 例例2-22 設生物群體總數的生長規律為設生物群體總數的生長規律為 011rtlxxle其中其中 均為常數均為常數,且且 .試求生長率試求生長率0, ,l r x0l ( ).x t解解 將將 寫成如下形式寫成如下形式011rtlxxle0(1)0rtxlexxl兩邊對兩邊對 求導得求

18、導得t01rtrtrtrtrlexrlexlexxxle整理得整理得020(1)() ()(1)(1)rtrtx rll erxrkx xklexl第29頁/共39頁六、對數求導法六、對數求導法 方法方法: 先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, 然后利用隱函數的求導然后利用隱函數的求導方法求出導數方法求出導數.適用范圍適用范圍: :( )( ).v xu x多個函數相乘除和冪指函數的情形解解 兩邊取對數，得兩邊取對數，得1lnln(1) ln(2) ln(3) ln(4)3yxxxx兩邊對兩邊對 求導，得求導，得x例例2-23 已知函數已知函數 ,求求y3(1)(2)(3)(4)xxyxx第

19、30頁/共39頁111111()31234yyxxxx 31(1)(2)1111()3(3)(4)1234xxyxxxxxx所以所以解解 兩邊取對數，得兩邊取對數，得lnsinlntanyxxx上式兩邊對 求導得211cos lntansinsectanyxxxxyx sin(tan )xyx例例2-24 已知函數已知函數 ,求求y(cos lntansec )yyxxxsin(tan )(cos lntansec )xxxxx第31頁/共39頁2()0(sin)cos(tan)sec(sec)sectanCxxxxxxx 1.基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式12()(cos )s

20、in(cot)csc(csc )csccotxxxxxxxxx ()ln1(log)lnxxaaaaxxa ()1(ln )xxeexx 七、初等函數的導數七、初等函數的導數第32頁/共39頁221(arcsin)11(arctan)1xxxx 221(arccos )11(cot )1xxarcxx2.函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則 )()()(xufxfx或或dxdududydxdy3.復合函數的導數復合函數的導數( ),( )yf u ux設設可導，則可導，則( ),( )uu x vv x(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()uvuv()cu

21、cu(c是常數）()uvu vuv2.uu vuvvv第33頁/共39頁八、高階導數八、高階導數即即處可導處可導在點在點的導數的導數如果函數如果函數,)()(xxfxf0()( )( )limxfxxfxfxx ,( )( ).fxf xx存在 則稱為函數在點 處的二階導數記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三階導數的導數稱為四階導數三階導數的導數稱為四階導數, .)(,),(4444)4()4(dxxfddxydyxf二階導數的導數稱為三階導數二階導數的導數稱為三階導數,.)(,),(3333dxxfddxydyxf 記作記作階導數階導數的的函數函數階導數的導數稱為階導數的導數稱為的的函數函數一般地一般地,)(1)(, nxfnxf第34頁/共39頁.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以