1、乘法公式的復習一、平方差公式(a+b)(a-b)二a 2-b2歸納小結公式的變式，準確靈活運用公式： 位置變化， x y -y x =x2-y2 符號變化，-x y ” x - y = -X ：； -y = x - y 指數變化，x2 y2 x2-y2 *-y4 系數變化，2a b 2a-b =4a2-b2 換式變化，x* z mlixy- z m2 2=xy - z m2 2=x y - z m z m2 2 2 2=x y - z zm zm m2 2 2 2=x y -z -2zmm 增項變化，x-y z x-y-z2 2=x-y -z工j2=x-y x-y -z2 2 2=x -xy-

2、xy y -z2 2 2=x -2xy y -z22 連用公式變化，x y x-y x y2 2 2 2-x -y x y44二x -y 逆用公式變化，（x_y+z'-（x+y_z）2-I x-y z x y-z |丨 x-y z - x y-z =2x -2y 2z一4xy 4xz完全平方公式活用：把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公 式為例，經過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：22 21. a b - 2ab =a b2222. a - b 2ab 二 a b3. (a + b f +(a - b f =2(a2 +b2)2 24. a b j a -

3、b 4ab靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養綜合運用知識的能力。例1.已知a 32 , ab = 1，求a2 b2的值。例 2.已知 a b =8 , ab =2，求(a - b)2 的值。解：T (a b)2 二 a2 2ab b2(a -b)2 二 a2 -2ab b2(a b)2 -(a -b)2 二 4ab/. (a b)2 - 4ab = (a -b)2T a b=8, ab=2(a-b)2=82 - 4 2 =56例3已知a b = 4, ab =5，求a2 b2的值。解: a2 +b2 =(a bf +2ab = 42 十2 匯 5 = 26三、學習乘法公式應

4、注意的問題(一) 、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數”.例 1 計算(-2 X2-5)(2 X2-5)分析：本題兩個因式中“-5”相同，“2X2”符號相反，因而“-5' 是公式(a+b)( a-b)二a2-b2中的a,而“ 2x2”則是公式中的b.例 2 計算(-a2+4b)2分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2”就是公式中的a,“ 4b”就是公式中的b;若將題目變形為(4 b- a2)2時，則“4b”是公 式中的a，而“ a2”就是公式中的b.(解略)(二) 、注意為使用公式創造條件例 3 計算(2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5).分析：粗看不

5、能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、 “5”兩項同號，“ y”、“z”兩項異號，因而，可運用添括號的技 巧使原式變形為符合平方差公式的形式.例 5 計算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1).分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(2-1 )，則可運用公式，使問題化繁為簡.(三) 、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2二a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積 的2倍.例 6 計算(2 x+y-3) 2解：原式=(2x)2+y2+(-

6、3) 2+2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3)2 2=4x +y +9+4xy-12 x-6 y.(四) 、注意公式的變換，靈活運用變形公式例 7 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2y)2 的值.例 10 計算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，則運算更為簡便.四、怎樣熟練運用公式：熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計 算，此時要根據公式特征，合理調整變化，使其滿足公式特點.常見的幾種變化是：1、 位置變化 女口( 3x+5y

7、) (5y 3x)交換3x和5y的位置后即 可用平方差公式計算了.2、 符號變化 女如 ( 2m 7n) (2m 7n)變為一(2m+7n) (2m7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、數字變化 如98X 102, 992, 912等分別變為(1002) (100+2, (100-1) 2, (90+1) 2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、 系數變化 女口( 4n+= ) (2m n )變為 2 (2n+1) (2n n )2444后即可用平方差公式進行計算了.(四)、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當的公式以 使計算更簡便.如計

8、算(a2+1) 2(a2 1) 2,若分別展開后再相乘， 則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便.即原式=(a2+1) (a2 1) 2= (a4 1) 2=a8 2a4+1.對數學公式只會順向(從左到右)運用是遠遠不夠的，還要注意 逆向(從右到左)運用.如計算(1 1) (1 土 ) (1 4 )( 1234右)(1 / )，若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，910而且容易出錯.若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公 式，則可巧解本題.即原式=(1 寸)(1+2 ) ( 1 三)(1+2 )XX( 1 -1 ) ( 1+-1 )22331010二1 X 3

9、 X 2 X 4 X X 2 X 11 =丄 X 11 二丄.2 2 3 310 10 2 10 20有時有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變 式，乘法公式的變式主要有：a2+b2= (a+b) 2 2ab，a2+b2= (a b) 2+2ab用這些變式解有關問題常能收到事半功倍之效.如已知 m+n=7, mrr 18,求 吊+n2, mi mr+ n2的值.面對這樣的問題就可用上述變式來解，即 m+n2二(m+n) 22mr=72 2x( 18) =49+36=85,m mr+ n2= (m+n) 2 3mn=72 3x( 18) =103.下列各題，難不倒你吧？！1、若

10、a+l=5，求(1) a2+ , (2) (a丄)2 的值.aaa2、求(2+1) (22+1) (24+1) (28+1) ( 216+1) (232+1) (264+1) +1的末位數字.(答案：1. (1) 23; (2) 21. 2. 6)五、乘法公式應用的五個層次2 2 2 2乘法公式：(a + b)(a b)=a b , (a 士 b)=a 士 2ab + b ,(a 士 b)(a 2 士 ab+ b2)=a3 士 b3.第一層次一一正用即根據所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用.例1計算(2x y)(2x y).第二層次一一逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用.例2計算卜貝

11、卜耳卜井卜卻卜忌第三層次一一活用：根據待求式的結構特征，探尋規律，連續反復使用乘法公式；有時根據需要創造條件，靈活應用公式.例 3 化簡：(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8 + 1) + 1.分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規律，如果再增 添一個因式“ 2- 1 ”便可連續應用平方差公式，從而問題迎刃而解.解原式=(2 1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1224816=(2 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) +仁2 .第四層次一一變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式 的一些恒等變形式，如 a2+ b2=(a

12、 + b)2 2ab, a3 + b3=(a + b)3 3ab(a + b)等，則求解十分簡單、明快.2 2例 5 已知 a + b=9, ab=14,求 2a + 2b 的值.解：va + b=9, ab=14,. 2a2 + 2b2=2(a + b)2 2ab=2(9 22 14)=106 ,第五層次綜合后用：將(a + b) 2=a2 + 2ab+ b2和(a b)2=a22ab + b 綜合，可得(a + b)2+ (a b)2=2(a2 + b2); (a + b)2 (a b) 2=4ab;I 2丿I 2丿等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷.例 6 計算：(2x +

13、 y z + 5)(2x y + z + 5).解：原式1=-(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)42- - (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)42 2 2 2 2=(2x + 5) (y z) =4x + 20x + 25 y + 2yz z乘法公式的使用技巧： 提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免負號多帶來的麻煩。例1、運用乘法公式計算：2(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1) 改變順序：運用交換律、結合律，調整因式或因式中各項的排 列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、運用乘法公式計算：(1) (-a-4b )(- -b - 3 )

14、；2(2) (x-1/2)(x+1/4)(x+1/2) 逆用公式將幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得 anbn=(ab) n,等等，在解題時常會收到事半功倍的效果。例3、計算：(1)(x/2+5) 2-(x/2-5) 2;(2)(a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面， 視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：(1)(x+y+1)(1-x-y);( 2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例2.l*8x +丄9丄<2丿<4丿計算:簡析：通過觀察、比較，不難發現，兩個多項式中的 x的系數成 倍數，y的系數也成倍數，而且存在相同的倍數關系，若將第一個多 項式中各項提公因數2出來，變為2；4x+f)，則可利用乘法公式三.先分項，再用公式例 3.計算：2x 3y 2 2x -3y 6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯系，但先從相同未知數的系數著 手觀察，不難發現，X的系數相同，y的系數互為相反數，符合乘法 公式。進而分析如何將常數進行變化。若將 2分解成