1、第第5章章 系統的頻率特性系統的頻率特性u5.1 頻率特性概述頻率特性概述u5.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖u5.3 頻率特性的對數坐標圖頻率特性的對數坐標圖u5.4 最小相位系統最小相位系統u5.5 閉環頻率特性與頻域性能指標閉環頻率特性與頻域性能指標u5.6 由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數5.1 頻率特性概述頻率特性概述u頻率特性：頻率特性：又稱頻率響應，是系統對不同頻率正弦輸入信號的穩態響應。5.1 頻率特性概述頻率特性概述5.1 頻率特性概述頻率特性概述5.1 頻率特性概述頻率特性概述5.1 頻率特性概述頻率特性概述5.1 頻率特性概述頻率

2、特性概述u系統在正弦信號作用下的穩態輸出是與輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅值之比為|G(j)|，穩態輸出與輸入間的相位差為G(j)。( )sin()cGtA Gtjj )sin()(tAtr()()()()( )j G jjG jG jeAe ()()AG j 頻率特性: 幅頻特性： 相頻特性： ( )()G j u頻率特性表征了系統輸入輸出之間的關系，可由頻率特性來分析系統性能。5.1 頻率特性概述頻率特性概述 Re()Im()( )( )G jjG jujv ()Re()uG j 實頻特性： 虛頻特性： ( )Im()vG j 5.1 頻率特性概述頻率特性概述幾點認識：幾點認識：頻率

3、特性有明確的物理意義，可以用實驗的手段準確地得到系統的頻率響應，當系統傳遞函數未知時，可以通過測量頻率響應來推導系統的傳遞函數；系統頻率特性能間接地揭示系統的動態特性和穩態特性，可簡單迅速地判斷某些環節或參數對系統性能的影響，指出系統改進方向；頻率特性是在系統穩定的條件下分析穩態響應得到的，它與傳遞函數一樣，也表征了系統的運動規律，是系統頻域分析的理論依據，但只適應于線性定常連續系統。5.1 頻率特性概述頻率特性概述1()KG jj T 221()KAT 頻率特性: 幅頻特性： 相頻特性： 221()KuT 實頻特性： 虛頻特性： 222211KTKjTT ()arctanT 221()TKv

4、T u頻率特性的表示方法5.1 頻率特性概述頻率特性概述()()()()( )j G jjG jG jeAe ()()AG j 頻率特性: 幅頻特性： 相頻特性： ( )()G j Re()Im()( )( )G jjG jujv ()Re()uG j 實頻特性： 虛頻特性： ( )Im()vG j 解析表示法圖示表示法極坐標圖，或稱奈奎斯特(Nyquist)圖 對數坐標圖，或稱伯德(Bode)圖 對數幅-相圖，或稱尼柯爾斯(Nichols)圖 5.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖一、極坐標圖一、極坐標圖極坐標圖又稱奈奎斯特（極坐標圖又稱奈奎斯特（Nyquist）圖，）圖，是是當當從從

5、0時，時，表示在極坐標上的表示在極坐標上的G(j)的的幅值與相位角的關系圖，幅值與相位角的關系圖， 或或G(j) 端點的端點的軌跡。軌跡。由于由于G(j)是是的復變函數，故可在復平面的復變函數，故可在復平面上用復矢量表示。矢量的長度為其幅值上用復矢量表示。矢量的長度為其幅值| G(j)|，與正實軸的夾角為其相角，與正實軸的夾角為其相角()，在，在實軸和虛軸上的投影分別為其實部和虛部。實軸和虛軸上的投影分別為其實部和虛部。相角相角()的符號規定為從正實軸開始，的符號規定為從正實軸開始，逆逆時針方向旋轉為正，順時針方向旋轉為負。時針方向旋轉為正，順時針方向旋轉為負。圖中圖中箭頭的方向為箭頭的方向為

6、從小到大的方向。從小到大的方向。0Re()Im()=0u極坐標圖含義極坐標圖含義 極坐標圖不僅表示了幅頻特性和相頻特性，也表示了實頻特性和虛頻極坐標圖不僅表示了幅頻特性和相頻特性，也表示了實頻特性和虛頻特性。其主要優點是能在一張圖上表示出整個頻率域中系統的頻率特特性。其主要優點是能在一張圖上表示出整個頻率域中系統的頻率特性，在對系統進行穩定性分析及校正時，極為方便。性，在對系統進行穩定性分析及校正時，極為方便。 若系統有多個環節組成，在繪制系統極坐標圖時，對于每一頻率，其若系統有多個環節組成，在繪制系統極坐標圖時，對于每一頻率，其幅值和相位角分別為各環節幅值的乘積和各環節相位角的代數和。幅值和

7、相位角分別為各環節幅值的乘積和各環節相位角的代數和。5.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖u極坐標圖的特點極坐標圖的特點5.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖一般系統都是由典型環節組成的，所以系統的頻率特性也都是由典型環節的頻率特性組成的。掌握典型環節的頻率特性是了解系統的頻率特性和分析系統的動態性能的基礎。二、典型環節的極坐標圖二、典型環節的極坐標圖5.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖1.1.比例環節比例環節0KReIm傳遞函數：頻率特性: ()G jK 幅頻特性:相頻特性: 22( )()AG juvK 0( )() arctanvG ju ( )G sK 實頻特性:虛

8、頻特性: ( )uK 0( )v 極坐標圖為實軸上的一點，其坐標為(K, j0)。5.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖2.2.積分環節積分環節傳遞函數：頻率特性: 11()G jjj 幅頻特性:相頻特性: 221( )()AG juv 90( )() arctanvG ju 1( )G ss 實頻特性:虛頻特性: 0( )u 1( )v 極坐標圖為虛軸的下半軸（即負虛軸），由負無窮遠點指向原點。ReIm0=0=5.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖3.3.微分環節微分環節傳遞函數：頻率特性: ()G jj 幅頻特性:相頻特性: 22( )()AG juv 90( )() arct

9、anvG ju ( )G ss 實頻特性:虛頻特性: 0( )u ( )v 極坐標圖為虛軸的上半軸（即正虛軸），由原點指向正無窮遠點。ReIm0=0=5.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖4.4.慣性環節慣性環節傳遞函數：頻率特性: 222211111()TG jjjTTT 幅頻特性:相頻特性: 222211( )()AG juvT ( )() arctanarctanvG jTu 11( )G sTs 實頻特性:虛頻特性: 2211( )uT 221( ) -TvT 極坐標圖為正實軸下的一個半圓，圓心為(1/2, j0)，半徑為1/2。ReIm0=011=T-450.7075.2 頻率

10、特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖5.5.一階微分環節一階微分環節傳遞函數：頻率特性: 1()G jjT 幅頻特性:相頻特性: 22221( )()AG juvT ( )() arctanarctanvG jTu 1( )G sTs 實頻特性:虛頻特性: 1( )u ( )vT 極坐標圖為過(1, j0)點，且平行于虛軸上半部的直線。1=ReIm0=05.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖6.6.振蕩環節振蕩環節傳遞函數：頻率特性: 22221212()()nnnnnG jjj 幅頻特性:相頻特性: 222 222114( )()()AG juv 221( )() arctanarctan

11、vG ju 2222( )nnnG sss 實頻特性:虛頻特性: ,n 令令222 2222 222112121414()()()G jjj （22 222114( )()u 2 222214( )v （5.2 頻率特性的極坐標圖頻率特性的極坐標圖幅頻特性:相頻特性: 2 222114()()G j 221()arctanG j 當從0（即由0）時，G(j)的幅值由10，其相位角由0180。振蕩環節極坐標圖始于點(1, j0)，而終于原點，曲線與虛軸的交點的頻率就是無阻尼固有頻率n，此時的幅值為1/2，曲線在第三、四象限。1ReIm0 =0=0 =n=0.4=0.6=0.85.2 頻率特性的極

12、坐標圖頻率特性的極坐標圖在阻尼比 0 0， ( ( ) ) T2）22G szpTT 2 21 12 21 11 1( ( ) )：= =，- -5.4 最小相位系統最小相位系統5.5 閉環頻率特性與頻域性能指標閉環頻率特性與頻域性能指標一、閉環頻率特性一、閉環頻率特性( )C s( )G s( )H s( )R s+( )( )( )( )1( ) ( )BC sG sGsR sH s G s()()1() ()BG jGjH jG j反饋控制系統又稱為閉環控制系統。閉環傳遞函數為：閉環頻率特性5.5 閉環頻率特性與頻域性能指標閉環頻率特性與頻域性能指標二、頻域性能指標二、頻域性能指標與時域

13、中有最大超調量、調整時間等性能指標一樣，在頻域中也有相應的性能指標。如諧振峰值Mr及諧振頻率r，系統的截止頻率b與頻寬，幅值裕量與相位裕量等。u諧振峰值Mr及諧振頻率r在阻尼比0.707時，幅頻特性|G(j)|在頻率r處出現峰值，如圖所示。此峰值稱為諧振峰值Mr，頻率r稱為諧振頻率。 212rn 2121rM 5.5 閉環頻率特性與頻域性能指標閉環頻率特性與頻域性能指標020lg( )/dBMr20lgM20lg(0)Mr閉環頻率特性的幅值用M()表示，當頻率接近于零時，這時的幅值M(0)稱為零頻幅值。若M(0)=1，M()的最大值Mr稱為諧振峰值，諧振峰值處的頻率稱為諧振頻率r。5.5 閉環

14、頻率特性與頻域性能指標閉環頻率特性與頻域性能指標020lg( )/dBMr20lgM20lg(0)Mrb(0)20lg2Mu系統的截止頻率b與頻寬5.5 閉環頻率特性與頻域性能指標閉環頻率特性與頻域性能指標020lg( )/dBMr20lgM20lg(0)M頻寬rb(0)20lg2Mu系統的截止頻率b與頻寬對于系統響應的快速性而言，帶寬越大，響應的快速性越好，即過渡過程的上升時間越小，但同時對高頻噪聲的過濾特性降低，系統抗干擾性能減弱。因此，必須綜合考慮選擇合適的頻帶范圍。所謂系統的頻寬是指0b的頻率范圍，也稱截止帶寬或帶寬。頻寬表示超過此頻率后，輸出就急劇衰減，跟不上輸入，形成系統響應的截止

15、狀態。對于隨動系統來說，系統的帶寬表征系統允許工作的最高頻率范圍，若此帶寬大，系統的動態性能好。5.5 閉環頻率特性與頻域性能指標閉環頻率特性與頻域性能指標例：求如下一階系統的截止頻率。0111112bj Tj T 1()1G jj T 一階系統的截止頻率b等于系統的轉角頻率T，即等于時間常數的倒數。1bTT221121bT (0)()2bMM 5.6 由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數實際中可由實驗確定系統的對數坐標圖。給系統加不同頻率的正弦信號，測量出系統的對數幅頻特性和相頻特性曲線。用標準斜率的直線近似被測對數幅頻特性曲線，得曲線的漸近線。-20020400

16、-180 -90-270 dB L( ) ( 2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec顯然，可以由系統對數幅頻特性曲線得到系統的傳遞函數。系統開環傳遞函數頻率特性一般表達式： 由對數幅頻特性曲線確定傳遞函數主要是確定增益 K ，轉折頻率及相應的時間常數等參數，它們可從圖上直接確定。11(1)()()(1)miinkkKjTG jjjT 5.6 由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數u0型系統型系統(=0)在低頻段，很小，即00()G jK ( )20lg()20lgLG jK ()G jK 12(1)(1)(1)()(1)(1)(1)abmpKjT

17、jTjTG jjTjTjT 0型系統對數幅頻曲線在低頻段的幅值為：低頻漸近線為20lgKdB的水平線。20lgK ( )/dBL 20dB/dec 40dB/dec 20dB/dec 1aT11 T21 T5.6 由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數u型系統型系統(=1)在低頻段，很小，即0()KG jj ()KG j 12(1)(1)(1)()(1)(1)(1)abmpKjTjTjTG jjjTjTjT 說明型系統對數幅頻曲線在低頻起始段(或其延長線)在=1處的高度為20lgK。( )/dBL 型系統對數幅頻曲線在低頻段是一條斜率為-20dB/dec的線段。當 =

18、1時，其對數幅值為：1( )20lg()20lg20lgKLG jK 0120dB/dec 40dB/dec 11 T 20lgK( )/dBL 0120dB/dec 40dB/dec 11 T 20lgK5.6 由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數u型系統型系統(=1)說明型系統增益K在數值上同低頻起始段或其延長線與零分貝線交點頻率相等。若低頻起始段或其延長線與零分貝線的交點頻率為0，則000()20lg()20lg0KLG j 0K ( )/dBL 0120dB/dec 40dB/dec 11 T0 20lgK( )/dBL 0120dB/dec 40dB/dec 11 T0 20lgK5.6 由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數由對數幅頻特性曲線求系統傳遞函數u型系統型系統(=2)在低頻段，很小，即02()()KG jj 2()KG j 212(1)(1)(1)()() (1)(1)(1)abmpKjTjTjTG jjjTjTjT 說明型系統對數幅頻曲線在低頻起始段(或其延長線)在=1