1、 經典的幾何觀念將經典的幾何觀念將“面面”看成是立體與看成是立體與立體的公共立體的公共部分，部分，“線線”看成是面與面的公共部分。看成是面與面的公共部分。 按照這種觀念，曲線方程可通過聯立曲面方程，并按照這種觀念，曲線方程可通過聯立曲面方程，并由相應的方程組來討論曲線。這對于由相應的方程組來討論曲線。這對于較為簡單的較為簡單的曲線，討論起來相對方便，曲線，討論起來相對方便，如直線、圓錐曲線等，但如果所論曲如直線、圓錐曲線等，但如果所論曲線較復雜，按這種觀念考察則會產生線較復雜，按這種觀念考察則會產生困難，討論起來也不盡方便。困難，討論起來也不盡方便。 軌跡觀念是由近代對質點運動的研究產生的對圖

2、形軌跡觀念是由近代對質點運動的研究產生的對圖形的認識，這種的認識，這種認識是認識是將將“曲面曲面”和和“曲線曲線”看成是動點看成是動點運動形成的軌跡運動形成的軌跡。 按照這種觀念，曲線和曲面的方程可通過將運動按照這種觀念，曲線和曲面的方程可通過將運動軌跡轉化為相應的代數形式來討論。軌跡轉化為相應的代數形式來討論。這種這種觀念觀念對對曲線的討論常較為方便，曲線的討論常較為方便，但對于曲面的研究則不盡然。因但對于曲面的研究則不盡然。因此軌跡法主要用于討論曲線。此軌跡法主要用于討論曲線。 對于曲面討論較方便的方法是將曲面看成是給定對于曲面討論較方便的方法是將曲面看成是給定曲線按一方式運動形成的圖形曲

3、線按一方式運動形成的圖形。 根據這種觀念，常可較方便地根據這種觀念，常可較方便地由曲線方程導出曲面方程，但這種由曲線方程導出曲面方程，但這種觀念缺乏一般性，通常僅用于討觀念缺乏一般性，通常僅用于討論一些特殊的曲面，如旋轉曲面論一些特殊的曲面，如旋轉曲面、柱面等。、柱面等。L 由一條平面曲線由一條平面曲線 C 繞該平面內的一條直線繞該平面內的一條直線 L 旋轉一旋轉一周而成的曲面周而成的曲面 稱為旋轉曲面。直線稱為旋轉曲面。直線 L 稱為旋轉曲面稱為旋轉曲面的旋轉軸，曲線的旋轉軸，曲線 C 稱為旋轉曲面的母線。稱為旋轉曲面的母線。 C 設有設有 yOz 平面上的曲線平面上的曲線試確定試確定 C

4、繞繞 y 軸旋轉一周所得旋轉曲面軸旋轉一周所得旋轉曲面 的的方程。方程。 由曲面與方程的對應關系由曲面與方程的對應關系的討論知，建立曲面的討論知，建立曲面 方程應分兩步方程應分兩步進行，即先考慮所論曲面進行，即先考慮所論曲面 上的點上的點坐標所滿足的方程坐標所滿足的方程 F( x , ,y , ,z )= 0 的形式，再考察坐標所滿足該方程的形式，再考察坐標所滿足該方程的點是否都在所論曲面的點是否都在所論曲面 上。上。 00f y zCx.: :, 設設 M( x , ,y , ,z )為旋轉曲面為旋轉曲面 上的任意一點，考慮點上的任意一點，考慮點M 所滿足的方程。所滿足的方程。 考察點考察點

5、 M( x , ,y , ,z )坐標滿足的方程，應考坐標滿足的方程，應考慮將點慮將點 M 與已知條件與已知條件發生聯系。發生聯系。 由于旋轉曲面由于旋轉曲面 是是曲線曲線 C 繞繞 y 軸旋轉而得軸旋轉而得的，故考慮建立點的，故考慮建立點 M 的的坐標與母線坐標與母線 C 的聯系。的聯系。yOxz f y zCx00,. .: :M 過點過點 M 作垂直于作垂直于 y 軸的平面交曲線軸的平面交曲線 C 于點于點 M ，交，交y 軸于點軸于點 P 分別分別設點設點 M , , P 坐標為坐標為 M ( 0 , ,y , ,z ), , P( 0 , ,y , ,0 ). 由旋轉曲由旋轉曲面的性

6、質知面的性質知yO PMPM . . zx f y zCx00,. .: :MMP 考慮將此幾何關系轉化為代數條件。考慮將此幾何關系轉化為代數條件。 由于由于 M ( 0 , ,y , ,z )是曲線是曲線 C 上的點上的點 ，故其坐標滿足，故其坐標滿足C 的方程，即有的方程，即有 f( y , ,z )= 0 . 將導出的坐標關系式代入該方程便得點將導出的坐標關系式代入該方程便得點 M( x , ,y , ,z )的坐標滿足的方程為的坐標滿足的方程為 2222200 xzyyzxPM, 222000zyyzPM .由由于于 2222zxzzxz , .故故有有即即 ffy zyxz220 .

7、 ., 設設 M( x , ,y , ,z )為坐標滿足方程為坐標滿足方程的任意一點，考察點的任意一點，考察點 M 是否在是否在旋轉曲面旋轉曲面 上。上。 要說明點要說明點 M 在在 上，可將點上，可將點 M 繞繞 y 軸旋轉，看其軸旋轉，看其是否能轉至曲線是否能轉至曲線 C 上。上。 過點過點 M 作垂直于作垂直于 y 軸的平面交軸的平面交 y 軸于軸于點點 P，將點，將點 M 在該平在該平面內繞點面內繞點 P 旋轉至旋轉至 yOz 平面得點平面得點 M yO fyxz220,xz f y zCx00,. .: :MMP 設點設點 M , , P 坐標分別為坐標分別為 M ( 0 , ,y

8、, ,z ), , P ( 0 , ,y , ,0 ),由由 M 至至 M 的的旋轉過程知旋轉過程知 故點故點 M ( 0 , ,y , ,z )的的 坐標滿足坐標滿足曲線曲線 C 的方程的方程因此點因此點 M ( 0 , ,y , ,z )在曲線在曲線 C 上。由于點上。由于點 M 是點是點 M 繞繞 y 軸旋轉而得軸旋轉而得的點，故可知點的點，故可知點 M 在在旋轉旋轉曲面曲面 上。上。 PMPM , , 且且有有 2222200 xzyyzxPM, 222000zyyzPM . . 2222zxzzxz ，即即 .故故求求得得 220fyxz, ,由由已已知知 2200ffy zyxzx

9、 , . 由上討論求得旋轉曲面由上討論求得旋轉曲面 的方程為：的方程為： 220fyxz: :,yOxz 220fyxz: :, f y zCx00,. .: : 22zxz繞軸繞軸 y 旋轉一周，旋轉一周，y 不變，不變， 由上旋轉曲面方程的推導可見，旋轉曲面的方程不由上旋轉曲面方程的推導可見，旋轉曲面的方程不僅具有明顯的代數形式特點，且旋轉曲面方程與相應的僅具有明顯的代數形式特點，且旋轉曲面方程與相應的母線方程在形式上也有著密切的聯系。因此，旋轉曲面母線方程在形式上也有著密切的聯系。因此，旋轉曲面的討論主要涉及兩個方面的基本問題：的討論主要涉及兩個方面的基本問題： 對于給定的母線方程及旋轉

10、軸，對于給定的母線方程及旋轉軸，如何寫出相應的旋轉曲面方程。如何寫出相應的旋轉曲面方程。 對于給定的曲面方程，如何對于給定的曲面方程，如何判別其是否為旋轉曲面及相判別其是否為旋轉曲面及相應的母線及旋轉軸。應的母線及旋轉軸。zyO 00fy zCx,: :, ,. . 220fyxz.,: : 00fy zCx,: :, ,. . 220fxyz.,: :繞繞 z 軸旋轉，軸旋轉，z 不變不變 22yxy 22zxz 繞繞 y 軸旋轉，軸旋轉，y 不變不變 xzyOxM 00fx zCy: :, ,. . 220fxyz: :., 00fx zCy: :, ,. . 220fxyz.,: :繞繞

11、 z 軸旋轉，軸旋轉，z 不變不變 22xxy 22zxy繞繞 x 軸旋轉，軸旋轉，x 不變不變 xzOyMzOyxM 00fx yCz: :, ,. . 220fxyz: :., 00fx yCz: :, ,. . 220fxzy: :.,繞繞 y 軸旋轉，軸旋轉，y 不變不變 22xxz 22yyz 繞繞 x 軸旋轉，軸旋轉，x 不變不變 xOzyMyxOzM此處主要考慮簡單旋轉曲面的判別，即母線為坐標此處主要考慮簡單旋轉曲面的判別，即母線為坐標面上的曲線，旋轉軸為坐標軸的情形。對于這類旋轉曲面上的曲線，旋轉軸為坐標軸的情形。對于這類旋轉曲面的判別關鍵是考察方程中的變量形式及系數。面的判別

12、關鍵是考察方程中的變量形式及系數。 對于給定的曲面方程形式對于給定的曲面方程形式 : :F( x , ,y , ,z )= 0 ，若其，若其有兩個變量為二次冪且它們的系數相同，則可判別其為有兩個變量為二次冪且它們的系數相同，則可判別其為旋轉曲面。例如，形如旋轉曲面。例如，形如 f( y , ,z 2 + x 2 )= 0 的方程所表示的就是旋轉曲面。的方程所表示的就是旋轉曲面。 判別方程是否表示判別方程是否表示旋轉曲面的基旋轉曲面的基本原理依然是截口法原理，只是將這本原理依然是截口法原理，只是將這一原理轉化為相應的代數運算。一原理轉化為相應的代數運算。對方程對方程 f( y , ,z 2 +

13、x 2 )= 0，判別的代數運算過程為判別的代數運算過程為令令 y = k，相當于用平行于，相當于用平行于 xOz 坐標面的坐標面的平面與曲面相平面與曲面相截，截口方程可化為截，截口方程可化為 z 2 + x 2 = g( k )的形式，它是的形式，它是 y = k平面上的圓，因而該曲面可認為是由平面上的圓，因而該曲面可認為是由 yOz 或或 xOy 平平面面上的曲線繞上的曲線繞 y 軸旋轉而成的旋轉曲面。軸旋轉而成的旋轉曲面。 220fy xz, 22xzgkCyk: :, ,. .ykyOxzykL 圓錐面是一類特殊旋轉圓錐面是一類特殊旋轉曲面，它是由一條直線曲面，它是由一條直線 L 繞繞

14、另一條與之相交的直線旋轉另一條與之相交的直線旋轉一周所得的旋轉曲面。一周所得的旋轉曲面。 兩直線的交點叫做圓錐兩直線的交點叫做圓錐面的頂點，兩直線的交角面的頂點，兩直線的交角 叫做圓錐面的半頂角。叫做圓錐面的半頂角。L zyOx 為討論簡單化，僅考為討論簡單化，僅考慮頂點在原點，旋轉軸為慮頂點在原點，旋轉軸為 z 軸，半頂角為軸，半頂角為 的圓錐的圓錐面方程。面方程。 為為直觀起見，可認為直觀起見，可認為所求圓所求圓錐面是由錐面是由 yOz 平面平面上的直線上的直線 L: : z = y cot 繞繞 z 軸旋轉一周而成的。軸旋轉一周而成的。Lzy cot zyOx 由旋轉曲面方程規則由旋轉曲

15、面方程規則直線直線 L: : z = y cot ，繞繞 z軸旋轉一周而成的軸旋轉一周而成的旋轉曲旋轉曲 面面 的方程滿足的方程滿足 z 不變不變， 于是可寫出其方程為于是可寫出其方程為 令令 cot 2 = a，則有，則有L zy cot: : 22yxy za xy 222: :22cotzxy : :例例：將將 xOz 平面上的曲線平面上的曲線 分別繞分別繞 x 軸軸、z 軸軸旋轉一周，試求所得旋轉曲面的方程，并作曲面圖形旋轉一周，試求所得旋轉曲面的方程，并作曲面圖形。 母線方程：母線方程：xOz 平面上的曲線平面上的曲線zxab22221 xzfx zabCy222210, ,: :,

16、.繞繞 x 軸旋轉，軸旋轉，x 不變不變 22zyz 222222yzxF x y zab: :, , yxzabb2222221. .yOxzxzCab2222:1x222222:1yxzCabb 母線方程：母線方程：xOz 平面上的曲線平面上的曲線 xzfx zabCy222210, ,: :,.繞繞 z 軸旋轉，軸旋轉，z 不變不變 22xxz 222222xyzFx y zab: :, , 2222221yxzaab. .xzyOxzCab2222:1z222222:1yxzCaab用動曲線形成曲面的觀點來研究用動曲線形成曲面的觀點來研究曲面確實可較方便曲面確實可較方便地討論某些曲面，

17、但這種方法缺乏一般性，因為并非任地討論某些曲面，但這種方法缺乏一般性，因為并非任何曲面都可看成是由曲面運動形成的。作為何曲面都可看成是由曲面運動形成的。作為曲面研究的曲面研究的一般方法還是依據曲面與方程的對應一般方法還是依據曲面與方程的對應關系，即通過方程來討論曲面性質。關系，即通過方程來討論曲面性質。 通過方程討論曲面性質既可通通過方程討論曲面性質既可通過截痕法研究曲面的幾何性質，也過截痕法研究曲面的幾何性質，也可由已知曲面導出未知曲面性質。可由已知曲面導出未知曲面性質。 曲面總對應于三元曲面總對應于三元 F( x , ,y , , z )= 0，為討論方便而為討論方便而不失一般性，可討論較

18、簡單的情形，即三元二次不失一般性，可討論較簡單的情形，即三元二次方程方程所所對應的曲面，稱之為二次曲面。對應的曲面，稱之為二次曲面。 三元二次三元二次方程的一般形式為方程的一般形式為 Ax 2 + By 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0 . 通過不改變圖形形狀的坐標變換通過不改變圖形形狀的坐標變換(正交變換)可消去可消去方程中的乘積項使其化為如下形式方程中的乘積項使其化為如下形式 Ax 2 + By 2 + C z 2 + G x + H y + Iz + J = 0 .下就此方程中系數的不同情形討論曲面性質

19、。下就此方程中系數的不同情形討論曲面性質。已知曲面方程已知曲面方程 F( x , ,y , ,z )= 0，如何討論并確定方，如何討論并確定方程所表示的圖形及其性質呢程所表示的圖形及其性質呢？ 由于三元方程所表示的圖形一般是空間圖形，而描由于三元方程所表示的圖形一般是空間圖形，而描繪空間圖形卻只能在平面上進行。因此，討論方程所表繪空間圖形卻只能在平面上進行。因此，討論方程所表示的空間圖形通常采用示的空間圖形通常采用“截口法截口法”，即用一些特殊平面與所論曲面相即用一些特殊平面與所論曲面相截，通過對截口曲線形狀的研究截，通過對截口曲線形狀的研究來了解曲面形狀。來了解曲面形狀。 橢圓錐面的歸納定義

20、為橢圓錐面的歸納定義為 考慮用截痕討論該曲面的形狀。考慮用截痕討論該曲面的形狀。 用垂直于用垂直于 z 軸的平面軸的平面 z = t 與此曲面相截，考察相應與此曲面相截，考察相應截痕的形狀：截痕的形狀： 當當 t = 0 時，得一點時，得一點 O( x , ,y , , z )； 當當 t 0 時，得時，得 z = t 平面上的橢圓平面上的橢圓yxzab22222.yxtab22222 yxatbt22221.zyOxyxzab22222橢球面的歸納定義為橢球面的歸納定義為: : 容易看出，若容易看出，若 a = b，則該曲面就是旋轉橢球面，則該曲面就是旋轉橢球面， 由旋轉曲面討論知，該旋轉橢

21、球面可看成是由由旋轉曲面討論知，該旋轉橢球面可看成是由 xOz 平面上的橢圓平面上的橢圓 繞繞 z 軸旋轉一周而成的。軸旋轉一周而成的。 當當 a b 時，相應的時，相應的曲面與該旋轉橢球面相差不大曲面與該旋轉橢球面相差不大, ,只是在只是在 y 軸方向上有所伸縮，因此軸方向上有所伸縮，因此只需將只需將該旋轉橢球面該旋轉橢球面沿沿 y 軸方向伸縮軸方向伸縮 b/ /a 倍即可。倍即可。 yxzabc2222221. yxyxzzaacac222222222221.xzac22221xyOzzxCac2222:1Oyzxaac2222221：旋旋yzxabc222222:1xO單葉雙曲面的歸納定

22、義為單葉雙曲面的歸納定義為: : 易看出，若易看出，若 a = b，則該曲面就是單葉旋轉雙曲面，則該曲面就是單葉旋轉雙曲面 由旋轉曲面討論知，該單葉旋轉雙曲面可看成是由由旋轉曲面討論知，該單葉旋轉雙曲面可看成是由xOz平面上的雙曲線平面上的雙曲線 繞繞 z 軸旋轉一周而成。軸旋轉一周而成。 當當 a b 時，相應的時，相應的曲面與該單葉旋轉雙曲面相差曲面與該單葉旋轉雙曲面相差不大不大，只是在只是在 y 軸方向上有所伸縮，因此軸方向上有所伸縮，因此只需將只需將該單葉該單葉旋轉雙曲面沿旋轉雙曲面沿 y 軸方向伸縮軸方向伸縮 b/ /a 倍即可。倍即可。 yxzabc2222221. yxyxzza

23、acac222222222221.xzac22221xzyOxzCac2222:1xyzac222221：旋旋yxzabc2222221：O雙葉雙曲面的歸納定義為雙葉雙曲面的歸納定義為: : 易看出，若易看出，若 b = c，則該曲面就是雙葉旋轉雙曲面，則該曲面就是雙葉旋轉雙曲面 由旋轉曲面討論知，該雙葉旋轉雙曲面可看成是由由旋轉曲面討論知，該雙葉旋轉雙曲面可看成是由xOz平面上的雙曲線平面上的雙曲線 繞繞 x 軸旋轉一周而成。軸旋轉一周而成。 當當 b c 時，相應的時，相應的曲面與該單葉旋轉雙曲面相差曲面與該單葉旋轉雙曲面相差不大不大，只是在只是在 y 軸方向上有所伸縮，因此軸方向上有所伸

24、縮，因此只需將只需將該單葉該單葉旋轉雙曲面沿旋轉雙曲面沿 y 軸方向伸縮軸方向伸縮 b/ /c 倍即可。倍即可。 yxzabc2222221. yyzxzxaccac222222222221.xzac22221yOxzxzCac2222:1yzxac222221：旋旋yxzabc2222221：橢圓拋物面的歸納定義為橢圓拋物面的歸納定義為: : 考慮用截痕討論該曲面的形狀。考慮用截痕討論該曲面的形狀。 用垂直于用垂直于 z 軸的平面軸的平面 z = t 與此曲面相截，考察相應與此曲面相截，考察相應截痕的形狀：截痕的形狀： 當當 t = 0 時，截得一點時，截得一點 O( x , ,y , ,

25、z )； 當當 t 0 時，得時，得 z = t 平面上的橢圓平面上的橢圓 當當 t 0 時，時，截痕為截痕為 xOy 平面上方的平面平面上方的平面 z = t 上以上以平行于平行于 x 軸的直線為虛軸，以平行于軸的直線為虛軸，以平行于 y 軸的直線為實軸軸的直線為實軸的雙曲線的雙曲線 當當 t 0 時，即截面在時，即截面在 xOy 平面上方時，雙曲線的平面上方時，雙曲線的實軸沿實軸沿 y 軸方向，虛軸沿軸方向，虛軸沿 x 軸方向。軸方向。 當當 k 0 時，即截面在時，即截面在 xOy 平面下方時，雙曲線的平面下方時，雙曲線的實軸沿實軸沿 x 軸方向，虛軸沿軸方向，虛軸沿 y 軸方向。軸方向

26、。 22 122yxkpkqzk, ,. .yxk pk qzk22 122, ,. .yOyk 0 xkzpqyk22 22, ,. . 令令 y = k，聯立方程有，聯立方程有 研究截口形狀研究截口形狀： 曲面截口為平曲面截口為平面面 y = k 上上以平行于以平行于 z 軸的直線為對稱軸的直線為對稱軸，開口向下軸，開口向下的拋的拋物線物線。 xyk 0yxzpqyk22 22, ,. .zk 0 令令 x = k，聯立方程有，聯立方程有 研究截口形狀研究截口形狀： 曲面截口為平面曲面截口為平面 x = k 上上以平行于以平行于 z 軸軸的直線為對稱的直線為對稱軸，開軸，開口向上口向上的拋

27、物線的拋物線。 22 22yxzpqxk, ,. .22 22ykzpqxk, ,. .yOxzxyOzyxzpq22:22 曲面通常對應于三元方程曲面通常對應于三元方程 F( x , ,y , ,z )= 0 ，但如果，但如果曲面方程是二元方程，此時方程所對應的曲面就是一些曲面方程是二元方程，此時方程所對應的曲面就是一些特殊的柱面。特殊的柱面。 例如，考慮形如例如，考慮形如 F( x , ,y )= 0 的的方程的性質和特點方程的性質和特點, ,作為二元方程，它表示作為二元方程，它表示 xOy 平面上的一條曲線平面上的一條曲線 C，而作，而作為三元方程，它應表示一張曲面為三元方程，它應表示一

28、張曲面 。 F( x , ,y )= 0 作為二元方程和作為缺變作為二元方程和作為缺變量的三元方程，在性質上有什么聯系呢量的三元方程，在性質上有什么聯系呢？ 設設 M( x , ,y , ,z )為坐標滿足方程為坐標滿足方程 F( x , ,y )= 0 的任一的任一點，由于方程不含豎坐標點，由于方程不含豎坐標 z，故不論空間點，故不論空間點 M( x , ,y , ,z )的豎坐標的豎坐標 z 如何取值，只要其橫坐標如何取值，只要其橫坐標 x 和縱坐標和縱坐標 y 滿足滿足這個方程，點這個方程，點 M 就就在曲面在曲面 上，即只要點上，即只要點 M1( x , ,y , ,0 )在曲線在曲線

29、 C 上，點上，點 M( x , ,y , ,z )就就在曲面在曲面 上。上。 因此過因此過 xOy 平面上的平面上的曲線曲線 C 上的上的點點 M1( x , ,y , ,0 )且平行于且平行于 z 軸的直線軸的直線 L 在在曲面曲面 上，由此可看出曲上，由此可看出曲面面 是一個柱面。是一個柱面。 xyOz CL10 Mx y, , ,M x y z, , , , 0F x y,平行于定直線平行于定直線 L 并沿定曲線并沿定曲線 C 平行平行移動的直線移動的直線 L 形成的軌跡稱為柱面，定曲線形成的軌跡稱為柱面，定曲線 C 稱為柱面的準線，動稱為柱面的準線，動直線直線 L 稱為柱面的母線。稱

30、為柱面的母線。L CL柱面由準線及母線方向完全確定柱面由準線及母線方向完全確定，因此只要給定了，因此只要給定了母線方向母線方向(一般是一定向量一般是一定向量)及準線方程，就可完全確定及準線方程，就可完全確定柱面方程。柱面方程。 由定義及直觀可見，由定義及直觀可見，柱面的準線并不是唯一的，且柱面的準線并不是唯一的，且未必是平面曲線。未必是平面曲線。 在討論具體的在討論具體的柱面方程柱面方程問題時，為使討論簡單化，問題時，為使討論簡單化，通常宜通常宜考慮選擇形式較簡單的平面曲線作為柱面準線，考慮選擇形式較簡單的平面曲線作為柱面準線，如坐標面上的曲線等。如坐標面上的曲線等。空間圖形研究的基本方法是將

31、其投影到平面考察，空間圖形研究的基本方法是將其投影到平面考察，空間圖形的投影主要是通過投影柱面來實現。空間圖形的投影主要是通過投影柱面來實現。 柱面對于多元函數性質柱面對于多元函數性質的研究的研究具有重要意義。具有重要意義。對高對高等數學的應用而言，等數學的應用而言，柱面的討論主要應柱面的討論主要應掌握投影柱面，掌握投影柱面，即母線平行于坐標軸的柱面。研究即母線平行于坐標軸的柱面。研究投影柱面問題應掌握投影柱面問題應掌握兩個方面的內容：兩個方面的內容： 由準線方程及母線方向寫出相應的柱面方程；由準線方程及母線方向寫出相應的柱面方程； 由給定方程判別其是否為母線平行于坐標軸的柱面由給定方程判別其

32、是否為母線平行于坐標軸的柱面。 柱曲面方程可看成由其準線柱曲面方程可看成由其準線 C 的方程按一定規則的方程按一定規則轉化而得的，其轉化過程遵從以下規則：轉化而得的，其轉化過程遵從以下規則： F x yCz00,. .: :母線平行于母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面 F x y 0,: :. . G y zCx00,. .: :母線平行于母線平行于 x 軸的柱面軸的柱面 G y z 0,:.:. H z xCy00,. .: :母線平行于母線平行于 y 軸的柱面軸的柱面 H z x 0,: :. . 由上柱曲面方程的討論可以看出，母線平行于坐標由上柱曲面方程的討論可以看出，母線平行于坐標軸的柱

33、面方程具有明顯的代數特征軸的柱面方程具有明顯的代數特征 缺變量。缺變量。 一般曲面方程一般曲面方程 F( x , ,y , ,z )= 0 應包含三個變量，而應包含三個變量，而母線平行于坐標軸的柱面方程至多含有兩個變量。這一母線平行于坐標軸的柱面方程至多含有兩個變量。這一特征給出了判別曲面是否為母線平行于坐標軸的柱面的特征給出了判別曲面是否為母線平行于坐標軸的柱面的簡潔而直觀的方法。簡潔而直觀的方法。 : F( x , ,y )= 0，缺變量缺變量 z，母線平行于母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面。 : G( y , ,z )= 0，缺變量缺變量 x，母線平行于母線平行于 x 軸的柱面軸的柱面。 : H( z , ,x )= 0，缺變量缺變量 y，母線平行于母線平行于 y 軸的柱面軸的柱面。 平面解析幾何中，方程平面解析幾何中，方程 F( x , ,y )= 0 表示表示 xOy 平面平面上的一條曲線，但在空間解析幾何中，該二元方程通常上的一條曲線，但在空間解析幾何中，該二元方程