角平分線性質定理與張角定理學問與方法1.角平分線性質定理：如圖1所示，是的平分線，則.2.張角定理：如圖2所示，D為邊上一點，則.特殊地，若恰好為的平分線，則.提示：小題中這些性質可以干脆用，大題可以先證明再用.典型例題【例1】在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，，，的角平分線交邊于點D，則______.【解析】解法1：如圖，由余弦定理，，所以，由角平分線性質定理，，所以，從而，，設，由圖可知，所以，從而，解得：，即.解法2：如圖，由余弦定理，，所以，由角平分線性質定理，，所以，從而，，設，由Stewart公式，，解得：，即.解法3：如圖，由角平分線性質定理，，所以，從而，所以，故.解法4：由張角定理，，即，解得：.【答案】變式1在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，，的角平分線交邊于點D，且，則______.【解析】解法1：如圖，由角平分線性質定理，，即，設，則，由圖可知，所以，即，解得：，所以，故.解法2：如圖，由角平分線性質定理，，即，設，則，由Stewart公式，，解得：，所以，故.解法3：如圖，由角平分線性質定理，，即，所以，故，從而，解得：.解法4：由張角定理，，所以.【答案】變式2在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，，點D在上，是的平分線，則的取值范圍為______.【解析】解法1：由角平分線性質定理，，所以，設，，則，由得：，由圖可知，所以，即，化簡得：，因為，所以.解法2：由角平分線性質定理，，所以，故，設，則，因為，所以，故.解法3：設，由張角定理，，所以，故，明顯，所以.【答案】【例2】在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，點D在邊上，，，，，則______.【解析】解法1：如圖，且，在中，由余弦定理，，所以，從而，，故，所以，故.解法2：如圖，由題意，，，由張角定理，，所以，解得：，故.【答案】2變式在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，點D在邊上且，，則的最小值為______.【解析】解法1：以B為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則，可設直線的方程為，其中，因為，所以直線的方程為，聯立解得：，，所以，聯立解得：，所以，從而，，所以，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.解法2：由張角定理，，即，化簡得：，所以，當且僅當時取等號，此時，結合可得，，故的最小值為.【答案】強化訓練1.（★★★）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，點D在邊上，，若，，則_______.【解析】解法1：，又，所以，因為，所以，故，結合可得，如圖，，，因為，所以，故，從而，解得：或（舍去），從而.解法2：，又，所以，因為，所以，故，結合可得，設，由張角定理，，即，又，所以，解得：，從而.【答案】2.（★★★）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，點D在邊BC上，，，，，則_______.【解析】解法1：如圖，，在中，由余弦定理，，所以，從而，故，所以.解法2：如圖，，由張角定理，，所以，解得：，所以.【答案】3.（★★★）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，的平分線與邊交于點D，，，，則______.【解析】解法1：由角平分線性質定理，，所以，設，則，由圖可知，所以，故，解得：，所以.解法2：由角平分線性質定理，，所以，設，則，由Stewart公式，，解得：，即.解法3：由角平分線性質定理，，所以，故，從而，解得：，所以，故.解法4：由張角定理，，所以，故，由余弦定理，，所以.【答案】4.（★★★★）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，的平分線交于點D，且，則的最小值為______.【解析】解法1：如圖，，，所以，故，從而，當且僅當時取等號，所以的最小值為4.解法2：如圖，由張角定理，，所以，故，從而，當且僅當時取等號，故的最小值為4.【答案】45.（★★★★）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，的平分線交于點D，且，則的面積最小值為_______.【解析】解法1：如圖，，，所以，從而，故，當且僅當時取等號，因為，所以的面積的最小值為.解法2：如圖，由張角定理，，所以，故，從而，故，當且僅當時取等號，因為，所以的面積的最小值為.【答案】6.（★★★★）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，，點E在上，是的平分線，則的取值范圍為_______.【解析】