1、第一章習題參考解答3等式成立的的充要條件是什么解： 若，則.即，.反過來, 假設, 因為. 所以, . 故, .最后證，事實上，, 則且。若，則；若，則，故. 從而, . . 即 .反過來，若，則 因為所以 又因為，所以故 另一方面，且，如果則 ；如果因為，所以故. 則 . 從而于是，4對于集合A，定義A的特征函數為， 假設是一集列 ，證明：（i）（ii）證明：（i），時，.所以，所以故，有有，故 ，即=0 ，從而5設為集列， 證明 （i）互相正交（ii） 證明：（i）；不妨設n>m，因為，又因為，所以，故 ，從而 相互正交.（ii）因為，有，所以，現在來證：當n=1時，；當時，有：則事

2、實上，則使得，令則 ，其中，當時，從而， 6設是定義于E上的實函數，a為常數，證明：（i）=(ii)=證明：（i）且反過來，使即 故 所以 故7設是E上的實函數列，具有極限，證明對任意常數a都有：證明：，即，且因為，使，有，故 所以= ，由k的任意性：，反過來，對于，有 = ，即時，有：且，所以，且.，故 從而故 =8 設是區間（a，b）上的單調遞增的序列，即若有極限函數，證明：，證明： ，即：且，因為所以，恒有：，從而， 反過來，使，故，因此，且,即，從而，10證明：中坐標為有理數的點是不可數的。證明： 設Q為有理數集，由定理6：Q是不可數的。現在證：可數，因為 是可數個有理數集的并，故可數

3、，又因為并且，所以可數 故可數14證明：可數集的有限子集的全體仍是可數證明： 設Q為可數集，不妨記為：,令則 為有限集（），則為正交可數集，即又因為，所以 ，故A是Q上一切有限子集的全體。15設是兩兩不相交的集所組成的集列，證明：證明： 因為兩兩不相交，所以，故另一方面，若，我們取則，使得.特別的，當 時，當時：（ 從而，這與矛盾，故從而16若集A中每個元素由相互獨立的可列個指標所決定，即A=，而每個指標在一個勢為C的集中變化，則集A的勢為C。證明：設在勢為C的集合中變化，即A=因 是既單又滿的映射，定義 ,故得既單又滿的映射,從而，從而 17設的勢是C，證明至少有一個的勢也是C。證明：因為，

4、所以如果，則，即，正交可數，從而，正交可數.這與矛盾.故，,使.18證明：0,1上的實函數全體具有勢證明：設，則記0，1上全體是函數所構成的集合為對于，定義函數 ,即是集合A的特征函數。 另一方面，定義 則 ，則，所以 ，從而，20證明：中孤立點集市有限或可數集證明：中，是的一些孤立點所構成的集合由定義，使得.現在令 ，則中任意二領域是不相交的事實上，若，有取，并且不失一般性設：，則.故 ，這推出，這與矛盾.，取一個有限點，則，當，,所以，故 .E正交可數.19設稱為E的內點集，證明：是開集。證明：，因為x為E的內點，使得：，現在證：事實上，取則，故，從而，即中每個點都是得內點因此，為開集21

5、假設是a,b上唯一有限實函數，證明：它的第一類間斷點的全體是可數的。證明：a,b中右極限存在的間斷點是至多可數的.令有限，作：,時，使得則：（1）上連續點的集合事實上，取因，故有即，在點連續。（2），因有限，故使得 ，故，有，從而，.現在證：是兩兩不相交的開區間集不妨設 ，如果，取則 即，這與矛盾，故A兩兩不相交，從而可數故至多可數。即，中第一類間斷點至多可數。20證明中孤立點集是至多可數集證明：設F是點集E中一些孤立點所構成的集合，有現在先證：是兩兩不相交的事實上，如果，則（不妨設），故,這與矛盾.所以，是兩兩不相交的.,取有理點，故，從而，22證明：中直線上每個閉集必是可數個開集的交，每個

6、開集必是可數個閉集的并.證明：設F是中的一個閉集，先證：，=|是R中的開集，其中，則，取，故事實上，所以是開集現在證：、事實上，所以.反過來，有.故.,即.，使.所以.故，這與矛盾.所以，從而.再來證：每個開集必是可數個閉集的并.事實上，若是開集，則是閉集.所以存在可數個開集，使得，所以.即是可數個閉區間集的并.23.假設是一列開區間，如果，證明是一個開區間證明：，記， ，其中，因為，所以可取現在我們證：因為，故反過來，即，當時，因為，所以，有.所以. 如果，使，故，從而24.設，是E的一個開覆蓋，證明：中必存在至多可數個，使得.證明：不妨設中每一個元都是開區間.，存在，有，故有：端點的開區間

7、，使得.即，.又因為所以可數.不妨設=，又記.其中，故25.已知：可數集，開區間列，覆蓋了它，這里，從此覆蓋中能否選出集的有限子覆蓋.答：不能，證明如下：證明：（反正）如果，使得（*），不妨設，因為，則.這與矛盾.所以（*）不真.26.設是一簇集合，如果，有，則稱集合簇具有有限交性質.證明：如果是具有有限交性質的非空有界閉集簇，那么.證明：取，令，其中，則是中開集.且，如果，則.由Borel有限覆蓋定理（P27 定理9），存在，使得.從而，這與具有有限交性質矛盾.27.試用Borel有限覆蓋定理證明：Bolzano-Weiestyass定理（P24定理4，若是是一個有界無窮點集，則）.證明：設

8、是中的有界無窮點集，如果，則，使得，則.由Borel有限覆蓋定理，有，從而=，這與為無窮集矛盾，從而.29.可數個開集的交稱為型集，可數個閉集的并稱為型集.證明：有理數集不是型集，但是型集.證明：設為中全體有理數所構成的集合.如果是型集，即，其中是開集，由開集的結構，其中是互不相交的開區間.不是一般性，設這是，必有（1）事實上，如果，即為有理數，.因為，故，這與矛盾.(2),如果，.則.因此，有.這有：這是一矛盾.(3) .事實上，若，則為有限實數，使得，故，這也是一矛盾.為可數集，這與矛盾.因為在中單點集是閉集，所以，令，則為閉集，所以，故為型集.30定義在上的任何函數的連續點構成的集合是一

9、個型集.證明：開區間中有理點的全體不是一個型集，但是一個型集.30.是否存在上的的函數滿足：在有理點處連續，而在無理點處都不連續是證明你的結論.回答：不存在.為此，只需證明如下命題命題（*）：開區間中的任何函數的連續點構成的集合是一個型集.這是因為，如果存在上的函數，使得.當命題（*）成立時，必有為型集，這與題的結論矛盾.命題（*）的證明：設是開區間有定義的一實函數，記，下證：是一個型集.，令且.又記.于是，我們只需證：.事實上，因為，所以，使得，恒有，所以，恒有，故，所以即，反過來，.，取，使得.因為所以：，使得，并且有，取，故：，即，所以.從而.故.因此，真.31.假設，且對任意，存在的一個-領域，使得最多只有可數個點，證明：必有有限級或可列集.證明：因為，使得是一個至多可數集，而由24題，使得： 又.即至多可數.32.證明下列陳述相互等價.(i) 是無處稠密集(ii) 不包含任何非空開區間(iii) 是無處稠密集（iv）的余集是稠密集無處稠密集：，稱為是無處稠密的，如果，.證明：（i）(ii).設是無處稠密集，即，有.如果，有.取，取，故.這與得假設矛盾.所以i(ii)真.（ii）(ii