1、1第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限2一、集合:二、函數(shù)概念三、映射三、映射四、函數(shù)的特性四、函數(shù)的特性五、反函數(shù)五、反函數(shù)六、基本初等函數(shù)六、基本初等函數(shù)七、復(fù)合函數(shù)七、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù)映射與函數(shù)第一節(jié)3具具有有特特定定性性質(zhì)質(zhì)xxM 有限集有限集無限集無限集一.集合:、集合、集合19 , 2 , 1 , 01 M如如),( 1222yxyxM如如、集合間的關(guān)系：、集合間的關(guān)系：2）子集；）子集；（1）集合相等；）集合相等；（2）空集；）空集；（34）集合運(yùn)算：）集合運(yùn)算：（4BxAxxBA且且如如BxAxxBA或者或者、常用數(shù)的集合：、常用數(shù)的集合：3N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)

2、集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN54.4.區(qū)間與記號區(qū)間與記號: :.,baRba且且,bxaxba閉區(qū)間：閉區(qū)間：oxaboxab開區(qū)間：),(bxaxba6),bxaxba,(bxaxba半開區(qū)間：半開區(qū)間：),xaxa),(bxxb無限區(qū)間),(Rxx75.5.鄰域鄰域: :.,0 且且是兩個實(shí)數(shù)是兩個實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a),( aU記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . ),( axaxaU即即:鄰域鄰域的去心的的去心的點(diǎn)點(diǎn) a. ),( axxaU0,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aa

3、xxa)(aa86.6.常量與變量常量與變量: : 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量,通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為變量變量.用字母用字母x, y, t等表示等表示變變量量.9二、函數(shù)概念引例引例勻速直線運(yùn)動:),0ttvs圓的面積與半徑的關(guān)系：),(,02rrA 定義：定義：是兩個變量，是兩個變量，和和設(shè)設(shè)yx是一個給定的數(shù)集，是一個給定的數(shù)集，D按按照照一一定定法法則則變變量量如如果果對對于于每每個個數(shù)數(shù)yDx,它它對對應(yīng)應(yīng)，總總有有唯唯一一確確定定的的數(shù)數(shù)值值和和的函數(shù)，的函數(shù)，是是則稱則稱

4、xy10)(xfy 記作記作稱稱為為定定義義域域；的的取取值值范范圍圍稱稱為為自自變變量量，Dxx函數(shù)的二要素函數(shù)的二要素: : （1 1）定義域；）定義域；（2 2）對應(yīng)法則）對應(yīng)法則說明：說明：xysin如如的函數(shù)，的函數(shù)，是是xy), 0定定義義域域?yàn)闉?,11值值域域?yàn)闉?cos)(,sin)(221xxgxxf如如).()(xgxf11例例1 1. . 求下列函數(shù)的定義域:;)(21112xxy解解,021xx由由故定義域?yàn)?,(),(),11112D12)(lg)(arccos)(xxy2112解解 因11 x021x即20 x21x故定義域?yàn)?,210D13 (1) 符號函數(shù)符號

5、函數(shù)010001xxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)sgn3、幾個特殊的函數(shù)舉例、幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxxsgn),(D定定義義域域,101W值值域域圖形：圖形：14(2) 取整函數(shù)取整函數(shù): y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線53如如, 03, 1 8, 88 . 3. 4),(D定定義義域域ZW 值域值域圖形：圖形：表示不超過表示不超過 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù)15（3）分段函數(shù)）分段函數(shù)函函數(shù)數(shù)。用用幾幾個個式式子子表表示示的的一一個個010122xxxxxf,)(,例如例如12 xy12 xy),(D定定義義域域 )

6、( 2f, 3)(3f. 516例例2 2.)3(,212101)(及及定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解231213013xxxf)(212101xxxf)(122231xx, :13 D故故17三、映射、映射的定義1、定義1存在一個是兩個非空集合，如果、設(shè)YX, fxXf，按照法則中每個元素，使得對法則為與之對應(yīng)，則稱中有唯一確定的元素在fyY記作的映射到從,YX,:YXf其中即下）的像，并記作（在映射稱為元素),(xffxy),(xfy 下）的一個原像；（在映射稱為元素fyx;,XDDfXff即的定義域，記作稱為映射集合18的值域，的集合稱為映射中所有元素的像所組成fX)()

7、(),(XxxfXfRXfRff即或記作：從映射定義中，需注意:) 1 ( 映射構(gòu)成的三要素,X定義域,YRf值域; f對應(yīng)法則是唯一的，是唯一的，的像的像元素元素任任yxXx,)(2,)(,:12xxfRRf設(shè)例RYRRDfff但是一個映射，,sin)(,1 , 12,2 :2xxff設(shè)例 1 , 1,2,2ffRDf是一個映射，;；YRf也不一定反之不一定19、定義2,YRYXff若的映射到集合是從集合設(shè)YXfXyY到為則稱中某元素的像都是中任一元素即,上的映射或滿射；),()(,2121xfxfxxX它們的像中任意兩個不同元素若對;的單射到為則稱YXf映射（或雙射）。為一一則稱既是單射，

8、又是滿射，若映射ff,)(,:12xxfRRf設(shè)例既非單射，又非滿射；,sin)(,1 , 12,2 :2xxff設(shè)例一一映射）；既是單射，又是滿射（20映射又稱為算子；上的泛函；的映射稱為到數(shù)集若從非空集XYX上的變換；到它自身的映射稱為若從非空集XX上的函數(shù)；稱為定義在的映射到數(shù)集）若從實(shí)數(shù)集（或其子集XYX用映射定義函數(shù)：上為定義在，則稱映射設(shè)數(shù)集DRDfRD:的函數(shù)，通常簡記為,),(Dxxfy.,稱為定義域稱為函數(shù)稱為自變量Dyx21：定義3有的單射，即對每個到是設(shè),fRyYXf.)(yxfXx，適合唯一的于是可定義一個,gXRf的新映射到從即,:XRgf,)(,)(yxfxxygR

9、yf滿足這里，規(guī)定對每個,1ffg的逆映射，記作稱為這個映射.,11XRRDfff值域其中定義域由此知：；只有單射才存在逆映射,)(,:12xxfRRf設(shè)例不存在逆映射；,sin)(,1 , 12,2 :2xxff設(shè)例22,sin)(,1 , 12,2 :2xxff設(shè)例逆映射 1 , 1,arcsin)(1xxxf,1 , 11fD其定義域.2,21fR值域4定義設(shè)有兩個映射,:1YXg,:2ZYf,21YY 其中,)(ZxgfXx，則對任構(gòu)成的復(fù)合映射，和此映射稱為映射fg即記作,gf ,:ZXgf.),()(Xxxgfxgf由定義知：23的定義域內(nèi)；的值域必須在）（fg1一定有意義。有意義

10、并不表示）（fggf23例,2,2,sin)(xxxg;1 , 1,1)(2uuufxxxfxgfxgfcossin1)(sin)()(224四、函數(shù)的特性,)(,成立成立有有若若MxfXxMDX01函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:）上有界，）上有界，在（在（如如22xxycos）上有界，）上有界，在（在（ 2112xy ）上無界。）上無界。，在（在（ 10.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf252函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,Ixx21當(dāng)21xx 時,),()(21xfxf若若上的單調(diào)增加函數(shù)；上的單調(diào)增加函數(shù)；為為稱稱Ixf)(, )()(21xfxf若若上的單調(diào)減少函

11、數(shù)；上的單調(diào)減少函數(shù)；為為稱稱Ixf)(單增單增如如3xyxy,?2xy 263函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對于對于關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱設(shè)設(shè),DxD)()(xfxfyx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf27有有對于對于關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱設(shè)設(shè),DxD)()(xfxf;)(為為奇奇函函數(shù)數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 28偶函數(shù)偶函數(shù)如如242xxxgxxf)(,cos)()ln()(,ln)(,)(11123231xxxfxxxfxxf均為奇函數(shù)均為奇函數(shù)xxxfcos)(非奇非偶非奇非偶294函數(shù)的周

12、期性函數(shù)的周期性:通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期,0lDx)()(xflxf使使為周期函數(shù)。為周期函數(shù)。稱稱)(xfxo2y2xysin如如30五、反函數(shù)五、反函數(shù))()(yxxfy 所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由).(xy 也也可可記記作作為為12 xy如：如：,21yx反函數(shù)：反函數(shù)：;21xy也可寫成：也可寫成：xey ,ln yx 反函數(shù)：反函數(shù)：.ln xy 也可寫成：也可寫成：31)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù)說明：說明：對稱；對稱；圖形關(guān)于圖形關(guān)于）原函數(shù)與其反函數(shù)的）原函數(shù)與其反函數(shù)的（x

13、y 1單單調(diào)調(diào)增增（減減），）若若（)(2xfy ）。其其反反函函數(shù)數(shù)也也單單調(diào)調(diào)增增（減減32六、基本初等函數(shù)六、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù))( 是是常常數(shù)數(shù) xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 332.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)),(10aaayxxay xay)(1)1( a)1 , 0( xey 343.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)),(log10aaxyaxylnxyalogxya1log)(1a)0 , 1( 354.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysinxysin36xycosxycos余弦函數(shù)余弦函數(shù)37正切函數(shù)正切函數(shù)xytanxytan38xycot余切函數(shù)余切函數(shù)xy

14、cot39正割函數(shù)正割函數(shù)xysecxysec40 xycsc余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc415.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsinxyarcsin反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)42xyarccosxyarccos反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)4322xyarctanxyarctan反反正正切切函函數(shù)數(shù)44 以上冪函數(shù)以上冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xarcycot反余切函數(shù)反余切函數(shù)xarcycot45七、復(fù)合函數(shù)七、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),21xu21xy定義定義: 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))

15、(ufy 的的定定義義域域fD, 而而函函數(shù)數(shù))(xu 的的值值域域?yàn)闉?Z, 若若 ZDf, 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù). ,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y46注意注意: :1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu)arcsin(22xy2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成合構(gòu)成.,cot2xy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次

16、四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示一個式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).47例例1 1).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)0102112解解,)(時時當(dāng)當(dāng)110 x , 0 x或或,)(12 xx ;20 x, 0 x或或,)(112 xx ; 1x11)(),()(,)()(xxxexfx48,)(時時當(dāng)當(dāng)120 x , 0 x或或,)(12 xx ;2x, 0 x或或,)(112 xx ; 01x綜上所述綜上所述.,)(212001122122xxxxxexexfxx 492111P習(xí)題16),

17、4)(2(15,13, 6),9)(8)(7)(6)(4(4作業(yè)作業(yè)50八、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(:D偶函數(shù)偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 2151xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D有界函數(shù)有界函數(shù),52雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 532.反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在;sinh xy 反反雙雙曲曲正正弦弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy54.), 1內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 : D y反反雙雙曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y55.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反反雙雙曲曲正正切切tanha