1、 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理(Theorem of Momentum Moment)第二篇第二篇 動動 力力 學學Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 返回總目錄制作與設計制作與設計 山東大學山東大學 工程力學系工程力學系 返回首頁Theoretical Mechanics 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理目目 錄錄9.1 質點和質點系的動量矩質點和質點系的動量矩9.2 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩轉動慣量轉動慣量9.3 動量矩定理動量矩定理9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程9.5 質點系

2、相對于質心的動量矩定理質點系相對于質心的動量矩定理9.6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程 Theoretical Mechanics 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理 9.1 質點和質點系的動量矩質點和質點系的動量矩 返回首頁Theoretical Mechanics9.1 質點和質點系的動量矩質點和質點系的動量矩r)( vmmOvmF dAB)(FmO動量矩是矢量，稱為動量矩矢。動量矩是矢量，稱為動量矩矢。 方向垂直于矢徑r與動量mv所形成的平面，指向按右手法則確定，其大小為質點動量矩 質點M的動量對于O點的矩，定義為質點對于O點的動量矩，即vrvmmmO)(OABmvdmr

3、mvmO2),sin()(vrvm 面積在國際單位制中，動量矩的單位是kgm2s-1。 Theoretical Mechanics以矩心O為坐標原點，建立直角坐標系O xyz，由矢量積定義zyxOmvmvmvzyxmmkjivrvm)(kjivm)()()()(xyzxyzOymvxmvxmvzmvzmvymvmkjivmmvmmvmmvmmzyxO 質點的動量對固定點的動量矩矢在通過該點的任一固定軸上的投影等于質點的動量對該固定軸的動量矩xyzzxyyzxymvxmvmmxmvzmvmmzmvymvmmvvv動量矩的量綱是 TLFTLMmO12)( vm 返回首頁9.1 質點和質點系的動量矩

4、質點和質點系的動量矩Theoretical MechanicsniniiiiiiOOmm11)(vrvML質點系動量矩質點系動量矩 質點系中所有各質點的動量對于固定點O的動量矩矢之和稱之為該質點系對O點的動量矩，即vLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyyOxxxO投影形式 質點系對某固定點O的動量矩矢在通過該點的軸上的投影等于質點系對該軸的動量矩。 對于平面問題，動量矩矢總是垂直于該平面，則可視為代數量，并規定逆時針方向為正，順時針方向為負。 返回首頁9.1 質點和質點系的動量矩質點和質點系的動量矩 Theoretical Mechanics 返回首頁 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理

5、9.2 定軸轉動剛體對轉軸的定軸轉動剛體對轉軸的 動量矩動量矩轉動慣量轉動慣量9.1 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩 轉動慣量轉動慣量一、定軸轉動剛體對轉軸的動量矩一、定軸轉動剛體對轉軸的動量矩22iiiiiiizrmrmvmrL2zi iiJmr繞定軸轉動剛體對轉軸的動量矩等于剛繞定軸轉動剛體對轉軸的動量矩等于剛體對其轉軸的轉動慣量與轉動角速度的乘積體對其轉軸的轉動慣量與轉動角速度的乘積zzLJ9.1 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩 轉動慣量轉動慣量二、轉動慣量二、轉動慣量 如機器上的飛輪，邊緣比較厚實。目的就是增加其轉動慣如機器上的飛輪，邊緣比較

6、厚實。目的就是增加其轉動慣量，以使機器的運轉平穩。而儀表中的指針做的比較細，目量，以使機器的運轉平穩。而儀表中的指針做的比較細，目的是減少其轉動慣量，以使其轉動靈敏，提高儀表的精度。的是減少其轉動慣量，以使其轉動靈敏，提高儀表的精度。9.1 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩 轉動慣量轉動慣量zzJm2zzJmCBAlxdxxz9.1 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩 轉動慣量轉動慣量CBAlxdxxz222/2112lzlmJx dxmll回轉半徑為：回轉半徑為：0.2892 3zzJllmROz222zi iiJmrm RmR回轉半徑為：回轉半徑為：z

7、zJRm9.1 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩 轉動慣量轉動慣量RO2220122RzmJdmRR 回轉半徑為：回轉半徑為：20.70712zzJRRm部分均質剛體的轉動慣量及回轉半徑見附錄部分均質剛體的轉動慣量及回轉半徑見附錄9.1 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩 轉動慣量轉動慣量三、平行軸定理三、平行軸定理222()zCi iiiiJmrm xy22222222()() ()2ziiiiiiiiiiiJmrm xym xydm xydm ydm0iiCim yym2zzCJJmd9.1 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩 轉動慣

8、量轉動慣量CBAzCzl221( )23zCzlJJmml例例9.122121122zJm Rm r21mR h 22mr h 44222211()()22()zJhRrRh Rrr空心圓柱體的質量m221()2m Rr例例9.2均質空心圓柱體均質空心圓柱體2112CzJml9.1 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩定軸轉動剛體對轉軸的動量矩 轉動慣量轉動慣量例例9.3細桿細桿OA對對O軸的轉動慣量軸的轉動慣量222221()()2OCJmRrmRl空心圓盤空心圓盤C對對O軸的轉動慣量軸的轉動慣量21113OJml整個鐘擺對整個鐘擺對O軸的轉動慣量軸的轉動慣量222211211()()32OOOCJJ

9、JmlmRrRl Theoretical Mechanics 9.3 動量矩定理動量矩定理 返回首頁 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理xxyyzzdBOATheoretical Mechanics9.3 動量矩定理動量矩定理質點動量矩定理質點動量矩定理)(FmO)( vmmOF rvmvrvrvrvmmtmtmtmtOdddddddd0ddvvvrmmt FFrvmOOmmtddFv mt ddvrvmmmO)( 質點對固定點的動量質點對固定點的動量矩對時間的一階導數等矩對時間的一階導數等于作用于質點上的力對于作用于質點上的力對同一點的力矩。同一點的力矩。 返回首頁Theoretical M

10、echanicsn個方程的矢量和質系動量矩定理質系動量矩定理 設質點系內有n個質點，作用在第i個質點上的力有內力 和外力 ， 按質點的動量矩定理，有 iiF eiF eiOiiOiiOmtFmFmvmdd i =1，2，n nininieiOiiOiiOmt111ddFmFmvm niiiO10Fm ninieiOiiOmt11ddFmvm nieiieOOt1ddFrML 質點系動量矩定理: 質點系對于某固定點O的動量矩對時間的一階導數，等于作用于質點系的外力對同一點的主矩。 返回首頁9.3 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics 質系對于 x ，y，z 軸的動量矩等

11、于質系中各質點動量對于 x ，y，z 軸動量矩的代數和。動量矩定理的投影形式動量矩定理的投影形式 質點系對某定軸的動量矩對時間的一階導數，等于作用于質點系上的外力對該軸之矩的代數和。 eizezzeiyeyyeixexxmMLtmMLtmMLtFFFddddddvLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyyOxxxO 返回首頁9.3 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics 內力不能改變質系的動量矩，只有作用于質系的外力才能內力不能改變質系的動量矩，只有作用于質系的外力才能使質系的動量矩發生變化使質系的動量矩發生變化。在特殊情況下外力系對O點的主矩為零，則質系對O點的動量矩

12、為一常矢量，即OeOLM, 0)(常矢量 外力系對某軸力矩的代數和為零，則質系對該軸的動量矩為一常數。0)()(exMF= 常量xL動量矩守恒動量矩守恒9.3 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics例例 題題例例 水平桿AB長為2a，可繞鉛垂軸z 轉動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯結重為W的小球C和D。起初兩小球用細線相連，使桿AC與BD 均為鉛垂，系統繞 z 軸的角速度為 。如某瞬時此細線拉斷后，桿AC與BD各與鉛垂線成 角 ，如圖所示。不計各桿重量，求這時系統的角速度。0 解：解：系統所受外力有小球的重力及軸承的約束力，這些力對z軸之矩都等于零

13、。系統對z 軸的動量矩守恒。9.3 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics開始時系統的動量矩為210022zWWLaaagg細線拉斷后的動量矩為 022)sin(laa222(sin)zWLalg21zzLL 22022(sin)WWaalgg 返回首頁例例 題題9.3 動量矩定理動量矩定理 Theoretical Mechanics 9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程 返回首頁 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程22iiiiiiizrmrmvmrL2

14、zi iJm r 剛體對轉動軸的動量矩等于剛體對該軸的轉動慣量與角速度的乘積。zzLJ應用質系對z軸的動量矩方程，得 ddezziJmFt zzJM 設剛體在外力作用下繞軸轉動，角速度，角加速度 。令 z 軸與轉軸重合，剛體對 z 軸的動量矩為 Theoretical Mechanics()zzJM F此式稱為剛體繞定軸轉動的微分方程剛體繞定軸轉動的微分方程由于約束力對由于約束力對z 軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動力的矩軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動力的矩22ddzzJMt ddezziJmFt （1）外力矩Mz越大，剛體轉動的角加速度也越大。當Mz=0時，角加速度 = 0，剛體作

15、勻速轉動或保持靜止。 （2）在同樣的外力矩作用下，剛體的轉動慣量 Jz 越大，角加速度 越小。Jz反映了剛體保持其勻速轉動狀態能力的大小，轉動慣量是剛體轉動時的慣性度量。 9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程Theoretical Mechanics例例 題題例 已知剛體的質量為m，質心到轉軸O的距離OC=a，剛體繞水平軸O作微幅擺動的周期為T，求剛體相對于轉軸的轉動慣量。 解：建立剛體的轉動微分方程式，以擺的平衡位置作為角的起點，逆時針方向為正，即22dsindOJmgat 作微幅擺動時， ，簡化為 sin微分方程的通解為0sinOmgatJ2OTJmga2214OJmg

16、aT22d0dOmagtJ9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程其中 及 由運動的初始條件確定，而振動的周期為0Theoretical Mechanics 例 卷揚機的傳動輪系如圖所示，設軸I 和 各自轉動部分對其軸的轉動慣量分別為J1和J2，軸I的齒輪C上受主動力矩 M 的作用，卷筒提升的重力為mg。齒輪 A、B 的節圓半徑為r1、r2，兩輪角加速度之比r2/r1 =i12。卷筒半徑為 R ，不計軸承摩擦及繩的質量。求重物的加速度 。例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程Theoretical Mechanics解：本題二根固定軸必須拆開，分別以

17、兩軸及與其固連的齒輪為研究對象。軸 I 除受主動力矩M 和重力、軸承約束力外，還受有齒輪力 Ft 及Fn，現假設1與M 的方向相同，如圖所示。為使方程正負號簡單，一般約定以軸I 的轉向為正，于是軸 I 的轉動方程為 11 1JMF r 再以軸和重物W 為研究對象，畫出其受力圖。按運動學關系畫出 2 ( 1 反向)，以2轉向為正，應用質點系的動量矩定理22 2ddJmvRF rmgRt例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程Theoretical Mechanics11 1JMF r222 2JmRF rmgR式中有三個未知量1、2和Ft，還需建立補充方程。由運動學12

18、1221rir重物上升的加速度122221 122MimgR RaRJ iJmR122221 122MimgRJ iJmR聯立解得例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程Theoretical Mechanics 例 均質梁AB長l，重W，由鉸鏈A和繩所支持。若突然剪斷聯結B點的軟繩，求繩斷前后鉸鏈A的約束力的改變量。 解：以梁為研究對象，繩未斷以前是靜力學問題。由靜平衡方程可求出繩未斷時，鉸鏈A的約束力21WFAy 繩斷之后，梁AB將繞A點轉動。繩斷瞬時， = 0。2132WllWg應用轉動方程32gl例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方

19、程Theoretical Mechanics再應用質心運動定理求約束力。圖示瞬時，質心C的加速度0nCaxcxFMa于是，繩斷前后，鉸鏈A約束力的改變量為44221WWWFFFAyAyAy例例 題題02AxFycyFMaAyFWggW243WWWFAy41432324Clga9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程Theoretical Mechanics 例 阿特伍德機的滑輪質量為M，且均勻分布，半徑為 r。兩重物系于繩的兩端，質量分別為 m1和 m2。試求重物的加速度。 解：以整體為研究對象，畫受力圖。設滑輪有逆時針方向的轉動，角速度為，則滑輪對軸O的動量矩、兩重物對軸O的

20、動量矩分別為 2112OOLJMr2112rmvrmLO2223rmvrmLO系統對軸O的動量矩為上述三項動量矩之和，即22132121rMmmLLLLOOOO例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程Theoretical Mechanics應用動量矩定理grmgrmrMmmt2122121dd2121212mmM rmmgr1212121221222mmgmmgmmMrmmMr重物的加速度1212222mmargmmM例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程Theoretical Mechanics例 圖中質量m1 = 5 kg，半徑r=3

21、0cm的均質圓盤，可繞鉛垂軸z 轉動，在圓盤中心用鉸鏈 D 連接質量m2 = 4 kg 的均質細桿AB，AB桿長為2r，可繞D 轉動。當AB桿在鉛垂位置時，圓盤的角速度為= 90 r/min ，試求桿轉到水平位置碰到銷釘C而相對靜止時，圓盤的角速度。 解：以圓盤、桿及軸為研究對象，畫出其受力圖。由受力分析看出，在AB桿由鉛垂位置轉至水平位置的整個過程中，作用在質點系上所有外力對z軸之矩為零，即 。因此，質點系對z軸的動量矩守恒。 0Fzm例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程Theoretical Mechanics20114zzLJm r桿在鉛垂位置時，只有圓盤對

22、z軸的動量矩桿在水平位置時，設系統的角速度為1，系統包含圓盤及桿對z軸的動量矩。12212112212113141212141rmrmrmrmLz系統動量矩守恒10zzLL12212121314141rmrmrm將有關數值代入 rad/s56. 411211413141mmm例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程參閱附錄C,3欄令l =0 Theoretical Mechanics 9.5 質點系相對于質心質點系相對于質心 的動量矩定理的動量矩定理 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics9.5 質點系相對于質心的動量矩定理質點系

23、相對于質心的動量矩定理質系對于固定點質系對于固定點O 的動量矩與相的動量矩與相對于質心對于質心C 的動量矩之間的關系的動量矩之間的關系 質系對于固定點O的矩為iiiOm vrLiCirrr iiiiiCiiiCOmmmvrvrvrrLCiiMmvviiiCm vrLCCOmLvrLC建立以質心C為原點的平移坐標系Cxyz，Theoretical Mechanics eiieiCCCCCCttMMtFrFrLvrvrdddddd eiiCCCCMtFrrLvr)()(dd代入質點系對固定代入質點系對固定點的動量矩定理得點的動量矩定理得 CCOmLvrLC eieCtMFFv)(Rdd0ddCCC

24、CMMtvvvr d()deCCiCLt mFM CeiCeiiMFmFr)(相對于質心的動量矩定理：質點系相對于隨質心平移坐標系的相對動量矩對時間的一階導數，等于質點系的外力對質心之矩的矢量和。9.5 質點系相對于質心的動量矩定理質點系相對于質心的動量矩定理Theoretical MechanicsiiiCiiiCiiCmmmvrvrvvrL)(質系在相對動坐標系的運動中質系在相對動坐標系的運動中對質心的動量矩與在絕對運動對質心的動量矩與在絕對運動中對質心的動量矩之間的關系中對質心的動量矩之間的關系iCivvviiiCm vrL0CCCiimmvrvrrCCLLiiiCm vrLr建立以質心

25、C為原點的平移坐標系Cxyz，9.5 質點系相對于質心的動量矩定理質點系相對于質心的動量矩定理Theoretical Mechanics質系相對質心的動量矩定理質系相對質心的動量矩定理：在相在相對隨質心平動坐標系的運動中，質對隨質心平動坐標系的運動中，質系對質心的動量矩對于時間的一階系對質心的動量矩對于時間的一階導數，等于外力系對質心的主矩。導數，等于外力系對質心的主矩。)(ddeCCtML9.5 質點系相對于質心的動量矩定理質點系相對于質心的動量矩定理Theoretical Mechanics如將質系的運動分解為跟隨質心的平動和相對質如將質系的運動分解為跟隨質心的平動和相對質心的運動，則可分

26、別用質心運動定理和相對質心動心的運動，則可分別用質心運動定理和相對質心動量矩定理來建立這兩種運動與外力系的關系。量矩定理來建立這兩種運動與外力系的關系。質系相對質心的運動只與外力系對質心的主矩有質系相對質心的運動只與外力系對質心的主矩有關，而與內力無關。關，而與內力無關。當外力系相對質心的主矩為零時，質系相對質心當外力系相對質心的主矩為零時，質系相對質心的動量矩守恒。的動量矩守恒。討 論9.5 質點系相對于質心的動量矩定理質點系相對于質心的動量矩定理 Theoretical Mechanics 9.6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理Theore

27、tical Mechanics9.6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程CCyCxCMtIFtymFtxm222222dddddd)(ddeCCtML剛體在相對運動中對質心的動量矩22ddCCJMt應用質心運動定理和相對質心動量矩定理得剛體平面運動微分方程Theoretical Mechanics例例 題題例 圖中均質輪的圓筒上纏一繩索，并作用一水平方向的力 200 N，輪和圓筒的總質量為50 kg，對其質心的回轉半徑為 70 mm。已知輪與水平面間的靜、動摩擦系數分別為f = 0.20和f = 0.15，求輪心O的加速度和輪的角加速度。 N fFF解：假設輪子作純滾動，有9.6 剛

28、體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程Theoretical Mechanics例例 題題NfFF aR0.1a建立圓輪的平面運動方程，得xCxFMaF 為靜滑動摩擦力由于滾動而不滑動，有Fa 20050yCyFMaCCJM80. 950050NF2500.070.12000.06F9.6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程輪心的加速度為 a ，角加速度為 。Theoretical Mechanics補充方程式為, 0.1CxaaRa解出N490NF210.74rad sN3 .146F輪子不可能只滾不滑。 maxN 0.2490N98NFf F超過了水平面能為園超過了水平面能為

29、園輪提供的最大摩擦力輪提供的最大摩擦力 例例 題題9.6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程Theoretical MechanicsNFfFFaFMaxCx20050,80. 950050,NFFMayCy2500.070.12000.06CCJMF例例 題題F考慮輪子又滾又滑的情形：考慮輪子又滾又滑的情形：動滑動摩擦力為列平面運動方程為9.6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程質心加速度a和角加速度 是兩個未知量Theoretical Mechanics力的補充方程為NFfF聯立解得NN22490N,0.15490N73.6N2.53m s,18.95rad sFFf Fa 例例 題題F9.6 剛體的平面運動微