1、【玩轉壓軸題】必考3：相似三角形的綜合（解析版）一、單選題叵21.如圖，C是線段A8上的任一點，分別以A8,AC,8C為直徑在線段AB同側作半圓，則這三個半圓周圍成的圖形被阿基米德稱為“鞋匠刀形”（即圖中陰影部分）.當“鞋匠刀形”的面積等于以8c為直徑的半圓的面積時，過C作，A3,交圓周于點。，連結BD,則CO與BC的比值為（）D.顯3【答案】B【分析】連接AO,如圖，設AC=2r,BC=2R,根據題意得至+仃2-gN=g；rR2,則A=2r,再利用圓周角定理得到NADB=90。，而C0J.A8,根據射影定理得到rnCD2=ACBC,則CO=0R,從而得到工廠的值.BC【詳解】解：連接A,如圖

2、，設AC=2r,BC=2R,.“鞋匠刀形”的面積等于以BC為直徑的半圓的面積，-7t(r+Rf-7tr2-R2=-nR2,2222R=2r,QAB為立徑，：.ZADB=90,-.CDLAB,:.CD2=ACBC=2rx2R=2x-Rx2R=2R2,2:.CD=2R,.CDaRV2(=,=.BC2R2故選：B.【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等丁這條弧所對的圓心角的一半.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了相似三角形的判定和性質.2.如圖，在A45C中，ZCAB=45,以其三邊為邊向外作正方形，連接GC并延長交BH于

3、點L,過點。作CALLOE于點K.若L為8中點，則黑-的值為（）CKIC.乎D-4【答案】B【分析】根據正方形的性質和/CAB的度數可得GL/AB,進而可得CLBs/BCM,設CM=a,用含的代數式表示出GL和CK可得結論.【詳解】解：如圖：記A8與CK的交點為M,:正方形ACFG中N4CG=45,而NCA8=45,J.GL/AB,:.NLCB=NCBM,：ZCBL=ZCMB,:.ACLBs叢BCM,設CM=a,則CA=y/CM2+AM2=42a,CG=yJc+AG2=2a,*/L為BH中點,LB_1BC2y由相似三角形的對應邊成比例可得：受=會=1,MBBC2BM=2a,CB=dcM?+BM

4、?=舟，,=加=與/.GL=2a+a=4.5a，2CK=CM+MK=a+AB=a+a+2a=4。,.GL4.5。9故選：B.【點睛】本題考查的是正方形的性質，相似三角形的判定與性質，掌握利用相似二角形的性質證明三角形的邊與邊之間的關系是解題的關鍵.3.如圖，矩形A8C。中，A8=6,8C=8.點E、尸分別為邊BC、4）上一點，連接EF,將矩形A3C。沿著火折疊，使得點4落到邊8上的點4處，且DV=24C,則折痕所的長度為（）BA.3百B.2x/ioC.yfyjD.屈【答案】A【分析】由。4=2AC,DC=6,可求出AC的長，再根據折疊和勾股定理可求出。尸和FA,依據三角形相似可求出NC、NA,

5、進而求出M尸，最后根據勾股定理求出EF.【詳解】解：如圖，過點E作垂足為何，.DA=2AC,DC=6,vDAr=-DC=4,AC=1/)C=2,33由折疊得，AF=FA!.AB=AE=6,設OF=X,則E4=ET=8-x,在RtADFA，中，由勾股定理得，x2+42=(8-x)2,解得x=3,BPDF=3,.E4=E4=8-3=5,N/MTC+NZM/=180。-90=90,NVAC+NAWC=90,:.QXF=ZANC,.ZC=ZD=90,，NNCs&KAA!CNCAN口門2NCA!NFDADFA：345qin解得NC=,AW=y,ino.EN=A8-AN=6=-=NC,33ACN=AENE

6、(AAS),：,EN=A,N=13inq:.EC=EN+NC=-+-=6=MD,33r.Mf=6-3=3,在RtAEFM中，EF=V62+3j=3M故選：A.【點睛】本題考杳矩形的性質、折疊軸對稱、相似三角形、全等三角形以及勾股定理等知識，掌握折疊的性質和宜角三角形的邊角關系是得出答案的前提，建立圖形中線段之間的關系是解決問題的關鍵.4.如圖，在aABC中，AE和BO是高，ZABE=45,點尸是A8的中點，BD與FE、AE分別交于點G,4,ZCAE=ZABD.有下列結論：FD=FE；BH=2CD；4BDHH=2BE-;=+邊形其中正確的有（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根據余角的性質得到

7、NC4E=NC8,等量代換得到480=NCBD,根據等腰三角形的判定得到A5=BC,根據等腰二角形的性質得到A）=C,根據三角形的中位線的性質和宜角三角形的性質得到。尸品，EF=gAB,求得）尸=石尸，故正確；根據全等三角形的性質得到=AC,等量代換得到CD=：B,故正確；根據相似三角形的性質得至=應:，由3CW23石，得至IJ8A8”工28必；故錯誤；根據相似三角形的性質得到S枷c=gs四邊形故正確.【詳解】解：-AE1BC,BD1AC,ZCAE+NC=4CBD+ZC=90,:CAE=NCBD,ZCAE=ZABDf.ZABD=NCBD,AB=BC,:.AD=CD,點尸是AB的中點,，AF=B

8、F,:.DF=、BC,EF=-AB922-DF=EF,故正確；vZABC=45,.AASE是等腰直角三角形，.AE=BE,在AAEC與ABE中，4CAE=/HBE,正方形BCFG與正方形ABMN,AN與尸G相交于點”，連結NF并延長交AE于點尸，且NF=2尸P.記ABC的面積為5,4FNH的面積為邑，若S?=21,則8c的長為（）A.6B.6GC.8D.9【答案】D【分析】過點N作NQ1EA,交EA的延長線于點Q,設正方形ACDE的邊長為a,正方形BCFG的邊長為b,利用AAS證出NAQgABAC,用a和b表示出各線段長，然后根據平行線分線段成比例定理求出a和b的關系，然后根據面積關系列出方程

9、即可求出b的值.【詳解】解：過點N作NQLEA,交EA的延長線十點Q,設正方形ACDE的邊長為a,正方形BCFG的邊長為b；.NQFA,ZNAQ+ZANQ=90,AF=CF-AC=b-ar.ZFAN=ZANQ,QR=AF=b-a,FR=AQ,S、=；ab：ZACB=90/.ZBAC4-ZFAN=90o.ZNAQ=ZBACVZQ=ZACB=90,NA=BA.,.NAQABAC；.AQ=AC=a,NQ=BC=bFR=AQ=a,NR=NQ-QR=b-（b-a）=a.,.NRF為等腰直角三角形ZNFR=45VFR/7PQNRNF日=2，ZFPA=ZNFR=45RQFP二二=2,FAP為等腰直角三角形b

10、-a21a=b,AP=AF=ba=-ft33VFR/7PQ,NF=2FPNF2/.FNHAPNA,=-NP3.S?JN4SNPJ9PAM、42,:S）=-S=*/94PNA27：-110BP-/2-fe2=21327解得：b=9或-9（不符合實際，舍去）即BC=9故選D.【點睛】此題考查的是正方形的性質、全等三角形的判定及性質和相似三角形的判定及性質，掌握正方形的性質、全等三角形的判定及性質和相似三角形的判定及性質是解題關鍵.7.如圖，將邊長為6的正六邊形A8COE/沿HG折疊，點8恰好落在邊A廠的中點上，延長8c交所于點M,則CM的長為（）DA.1【答案】A【分析】過點H作出延長的垂線。，設

11、47=x,可得&2=；x,QH=x,可得BH=BH=AB-AH=6-x,由AB=g4B=3,可得BQ=QA+AQ=3+gx,在用BQ中，根據勾股定理即可得x的值，再證明AEMsMME,對應邊成比例即可求出結果.【詳解】解：如圖，過點H作用延長的垂線，。，療、“.NB4尸=120。，.NH4Q=60。，HQA=90,ZAHQ=30,1Ji設AH=x,.AQ=x,QH=x22;.BH=BH=ABAH=6x,AB=-AB=3,2/.BQ=BA+AQ=3+x,在RS夕HQ中，根據勾股定理，得BH1=BQ2+QH2,(6x)=(3+萬x)+jx2,9解得x=1,21BH=6-x=, ZHAff=/F=4

12、HBM=120,.ZAHB+ZABH=60,NFBM+ZABH=60。，ZAHB=NFBM, ABHsMMB,.BrHAHBfMBF219 彳二3，BM3解得B，M=7,.。=一夕。=7-6=1.故選：A.【點睛】本題考查了正多邊形和圓，翻折變換，相似三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是掌握正多邊形和圓的關系.8.如圖，等腰/?A3C中，N84C=90。，AT_L8C于。，ZA5C的平分線分別交AC、AD于、F兩點,M為酢的中點，延長AM交8C于點N,連接。M、例。下列結論：DF=DN；aABEJBN；&CMN是等腰三角形;AE=CN,其中正確的是(AA.B.(Dc.(DD.【答案】B【分析】

13、正確.證明gA/D(ASA)即可判斷.錯誤，根據對應邊不相等，即可判斷.錯誤.先證明AE=C7V,再證明AEM/V,即可判斷.正確，證明AF=CN,AE=AF即可判斷.【詳解】解：NBAC=90。，AC=AB,ADA.BC,.-.Z4Z?C=ZC=45,AD=BD=CD,ZADN=ZADB=90,.ZBAD=45=ZC4D,8后平分N48C,/.ZABE=ZCBE=-ZABC=22.5,2ZBFD=ZAEB=90。-22.5=67.5,/.ZAFE=NBFD=ZAEB=67.5。,.AF=AE,AMLBE./.ZAMF=ZAME=90,/.ZDAN=90-67.50=22.5=AMBN,在尸H

14、D和ANAD中，NFBD=/DANBM,二.AABE與AMBN顯然不全等，故錯誤,在必和八。24中，NBAF=NC=45。AB=AC,/ABF=/CAN=225。:.AAFBACAN(SAS)t:.AF=CN,AF=AE.:.AE=CN,故正確，.ZABE=/MBN,NBAE=NBMN=90,:.ABEs.BN,.ABAE:.AEMN,.MN#CN,故錯誤.故選：B.A【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.9.勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人

15、的興趣.1955年希臘發行了以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理.在放aA8C中，NBAC=90,AC=a,=如圖所示作矩形”Q,延長C8交”尸于點G.若正方形88E的面積等于矩形ftEFG面積的3倍，則的值為b()L圖2a忘n拒r后-1n3-754222【答案】D【分析】設8C=c,利用勾股定理得到Sp8E=c2,再說明BMGsCBA,得到G8=，根C據$E方彩BC0E=3S矩形曲0,結合J+從=。2可得J+/?2=3“,整理得：+1=01解一元二次方程即可求解.【詳解】解：設8C=c,在maABC中，/.BAC-90,AC-a,AB

16、=bab)由勾股定理可得：AC2+AB2=BC2,BPc2=a2+h2, ,四邊形88E是正方形， *,S正方形BOE=BC=C,;四邊形A8WL是正方形，四邊形跳戶G是矩形，:.AB=BM,ZMGB=ZABM=BAC=90, :ZBMG+NMBG=NM8G+ZABC=ZABC+NACB,：./BMG=ZA8C9/MBG=NAC6,:/BMGsCBA,.GBBMABnnGBb 四邊形8、G是矩形，四邊形3CQE是正方形,:.BC=BE=c, S花形febg=GB，BE=xc=ab,c丁S正方形scDE=BE-=a+3又S正方形SCDE=35用形8EFGJa2-b2=3ab兩邊同除以從可得：fq

17、+i=wb)b解得：h29a=45。；Df=NHOH；NQ=NOAG；OG=DG.其中正確的結論有()Q-cA.B.C.D.【答案】D【分析】證明OANg/iODP,得至lJON=OR可判定；證明ACW四OOP得到A4=DP,再證明A/ZNszOA,可得DP2=NHHO,可判斷；證明ONAs/oaq,可判斷；取AE中點M,證明MOGgAkEQG,可判斷.【詳解】解：.四邊形A3。是正方形，：.OA=ODfOA1OD,9：OPOQ,：.ZAOQ+ZDOQ=ZDOQ+ZDOP=90,JZAOQ=ZDOP,9：DFLAE,：.NEAD+NADF=90,VZOAD+ZODA=90tNOAE=NODF,

18、:OAN/AODF(ASA：.ON=OF,：.ZONF=ZOFN=4509故正確；NDAO=NODC=45。,OA=OD,ZAOH=ZDOP,AOH經OOP(ASA),：.AH=DP9：4AHN=4OHA,NHNA=NHAO=45,AHNsOHA,:.A*HN-HO,即。P2=N，-HO,故正確；:NNOA=NAOQ,ZONA=ZOAQ35,：./ONA/OAQ,：.ZQ=ZOAG,故正確；取AE中點M,點。為4c中點，/.OM=CE=DE,KOM/CD,:.NMOG=NEDG,ZOMG=ZDEG,：CE=2DE,：.DE=OM,:AMOGqAEDG(ASA),：.OG=DG,故正確：故選D.

19、Q【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，中位線定理,相似三角形的判定和性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.二、填空題11.如圖，在矩形A5CQ中，AB=6,AD=8.連接8。，NBC的角平分線跖交0c于點E,現把aBCE繞點8逆時針旋轉，記旋轉后的aBCE為BCT.當射線和射線BC都與線段A。相交時，設交點分別為尸，G.若為等腰三角形，則線段DG長為.【答案】7?【分析】GD, 設 DG = GH = BH = x,求出8D和BF,過G作GH“BF,交BDTH,證明=GH利用平行線分線段成比例得到酸=黑,求出x值即可.(jDnU【詳解】解：在RI/V1

20、BD中，由勾股定理，得BD=yjABr+ADr=/62+82=10-在RtAM中,由勾股定理,得：8產=6?+(8-8/產，25解得8尸二一，4257AF=8一一-=-.44過G作G/BF,交30于H,.NFBD=ZGHD,ZBGH=4FBG,.FB=FD,二/FBD=/FDB,:.NFDB=/GHD,:,GH=GD,/4FBG=4EBC=-ZDBC=-ZADB=-Z.FBD,222又&；=ZBG”，/FBG=/GBH,；,BH=GH,25設DG=GH=BH=x,則FG=/7)_GD=x,HD=lO-xf4.GH/FB,FDGDBDHD25即下二10,10-x解得X=*故答案為：言.【點睛】本

21、題考查了旋轉的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，作出輔助線是解題關鍵.12.如圖，點。是等邊aABC邊BC上一點，將等邊aABC折疊，使點A與點。重合,折痕為防(點E在邊AB上).(1)當點。為8c的中點時，AE:EB=_；(2)當點。為8c的三等分點時，AE:EB=一【答案】1：17:5或7:8【分析】(1)連接AE,根據三線合一和折疊得到ND48=30。,NADB=90。，進而得到ZEDB=ZB=60,再證明aBED為等邊三角形即可得到A=8E即可求出結果;(2)分兩種情況，DC:BO=1:2和。C:B=2:1,用k表示OC和8D,然后利用相似三角形的性質：相似三角形的周長比等于相似比，

22、即可求出BE,然后用k表示4E即可得到結果.【詳解】解：(1)如圖，連接4),為BC的中點，aA8C為等邊三角形，aAEF折得到AOEF,AD1BC,ZDAB=NOAC=-4BAC=L60。=30。,NB=60,22NEDB=90-30=60=N8,8EE為等邊三角形，:AE=ED=BE,即AE:B=1:1,故答案為：1:1；(2)當DC:5O=1:2時,設CD=k,BD=2k,：.AB=AC=3k,IBC為等邊三角形，AZDF=ZA=60,J/EDB+NFDC=NBED+NEDB=120。,，/BED=4FDC,.ZB=ZC=60,*.REDiJCDF,BE_JbedDCC&CDFBE_5k

23、k4k557:.BE=k,AE=3k一一k=-k,444：.AE:BE=1:5,當DC:BO=2:1時,設CD=2kBD=k,BEC同上一種情況得：=7.BE4k555AE:BE=7:8,故答案為:7:5或7:8.【點睛】本題考查了三角形與折疊問題，等邊三角形的性質與判定，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相關定理并靈活應用是解題關鍵.13.小明想設計一款如圖1所示的噴水壺，于是他繪制了如圖2所示的設計圖，壺身的主視圖呈矩形A88,壺把手呈圓弧狀，圓心。落在上，圓弧交8于點E.支撐架“廠所在直線恰好經過。.壺嘴G/的端點/恰好在所在直線上.己知25AD=8cm,DE=4cm4F=cm,HF=FG

24、=6.5cm,則半徑AO的長為cm,壺嘴G/的長度為cm.圖1圖2517【答案】5粵歷24【分析】連接OE,設半徑AO=r,在OOE中，利用勾股定理求出r,過，作垂足為N,過作，垂足為M,證明AOA尸s/xon”，GHMGIA,利用相似三角形的性質求解.【詳解】解：連接OE,設半徑AO=r,則O/XA/)-AO=8-r,/)E=4,在ODE中，OD2+DE2=OE2,BP(8-r)2+42=r2,解得：r=5,即半徑AO的長為5a”；過“作垂足為M過，作，用_LA8,垂足為M,則AOAFsONH,GHMsGlA,.OAOFAFMGHMGH而一而一麗gTgF:OF=4aO2+AF2=-jy652

25、5.5=i5=J,N竺+6.5NH12,55解得：ON=ll,NH=a555：.HM=AN=ON-AO=69NH=AM=,FM=AM-AF=-,122:.MG=FG-FM=4,；GH=HM二MG?=2yf3,4_2y/13生+6.5-GI12解得：G/=V13,24故答案為：5,署內.【點睛】本題考直了相似三角形的判定和性質，勾股定理，圓的基本性質，解題的關鍵是作出輔助線，理清圖中線段的關系.14.如圖，AB是半圓。的直徑.點C在半徑OA上，過點C做C0_LA3交半圓。于點D.以。,CA為邊分別向左、下作正方形C)M,C4G.過點8作GH的垂線與GH的延長線交于點/,M為/的中點.記正方形CD

26、EEC4G”,四邊形BCH/的面積分別為岳,S?,邑.(1)若AC:BC=2:3,則興的值為；(2)若D,O,M在同一s+s條直線上，則L的值為.FAC-oBGHAi?【答案】I-三叵22【分析】設AC=2k,BC=3k,利用相似三角形的性質求出C2即可解決問題；當。、。、M共線時，設C)=a,AC=b,由CD=AC.BC,推出BC=j,推出AB=b+：=。,bhbCO=OA-AC=ab2,HM=MI=-HL=-CB=,由COM,推出空=*,推2h222hDHHM出一彳=T-，整理得：P)(2)2+2-11=0,求出2的值即可解決問題.a-baciaaa2b【詳解】解：如圖，連AO,BD.QA

27、B是直徑，/.ZADB=90,-.DCLAB,.Z8=NDC8=90,:.ZADC+ZCAD=90,ZADC4-ZBDC=90,:.ZBDC=ZDAC,.2C4MXJB,:.CD:CB=AC:CD1當。AC.SCCO UHMHM整理得（舍棄）,故答案為【點睛】本題考查圓周角定理，正方形的性質，相似三角形的判定和性質，一元二次方程等知識解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題四個全等的直角三角形如圖擺放成一個風車的形狀，形成正方形ABCD和正方形S,+S2 a2+b2可以假設AC = M, BC = 3kIJKL.若8尸平分NA3K,AF,FK=5；3,風車周長為10+6石，則

28、四個直角三角形的面積和是.【答案】9.【分析】過點F作FMLABI-M,根據角平分線的性質可得FM=FK,再利用三角形相似和勾股定理可得直角三角形的直角邊的長度，進而可得答案.【詳解】解：過點F作FMLA3于M,Dyn。：若BF平分/A8K,ZJKB=90,：.FM=FK,VAF：FK=5：3,設AP=5m則FAf=3a,AM=4，AK=8/VZMM=ZBAK,ZAMF=ZAKB=90t:.AAFMAABK,anAKAM即二,KBMF:KB=6a./.Z?M=6a,BF=J(3a)2+(6ay=3&，.4(5a+3逐a)10+65/5,解得a=0.5,1 394BKJ的面積=二*二、3=.2

29、249二四個直角三角形的面積和是7x4=9.4故答案為：9.【點睛】本題考查正方形的性質，勾股定理，角平分線的性質，相似三角形判定與性質等，正確做出輔助線并利用相似三角形列出方程是解題關犍.16.用一張正方形紙片折成一個“小蝌蚪”圖案（如圖1）.如圖2,正方形48C。的邊長為2,等腰直角aACE的斜邊AE過點O.點尸為C邊上一點，連結Af交C。于點G,將aAEF沿AF對稱得zAEF,AE與BC交于點H.當FE/CD時，NET%=0；當點G為C。的中點時，則CF的長為.圖2【答案】112.5|四【分析】根據正方形的性質得到NC4B=NC4E=45。，根據折卷性質得到四aAEF,從而推出E/A8,

30、可判斷出4、C、共線，根據三角形內角和定理求出NEE4；延AG1長AG到K,使GK=4G,連接K.說明二v=:，證明,推出AK2CGCFCF1AEKFsfGF,得到=二，ffifll-再利用勾股定理求出CE,可得CF.EKEFCE3【詳解】解：；四邊形ABCD是正方形且邊長為2,AAB/CD,ZADC=NZMB=90。，AC平分NDAB,AD=DC2.：.ZCAB=ZCAD=45.aACE是等腰直角三角形,NE=45.根據折疊性質可知但絲AEF,AZr=Z=45,ZEAF=ZEfAFZEFA二空FA,*：EF/CD、AB/CD.EF/AB.：.NA8=NE=450.:.ZUB=ZC4B=45.

31、；A、C、共線.:.ZEAF+ZErAF=ZDAC=45.ZE4F=Z.EAF=22.5.JZEfFA=180-Zr-NEAF=180-45-22.5=112.5.延長AG到K,使GK=AG,連接EK. AK = AG+GK = 2AG. AG - 17F2 ICE是等腰直角三角形，AE為斜邊, ZCE4 = 45. : ZADC = 9O , ZDCE = ZADC - Z.CEA = 45.，ZDCE = ZCEA.：.DE = DC = 2 = AD.，AE = AD+DE = 4.,AD 2 1AE = 4 = 2 .AG AD7F= A 又/AG = NE4K,:.AADGsAAEK

32、 .:.ZADG = ZAEKfDG EKADAEEK/GC.AEKEsRCGF.,CG_CFEFEF*G是8中點，I.CG=DG.CFDG1EFEK29.CF1.=一.CE3:DE=DC=2,NEDC=90.CE=DE、DC?=272.CF=-CE=-yf2.33故答案為：112.5。，|拉.【點睛】本題考查了折疊問題，正方形的性質，相似三角形的判定和性質，題目比較新穎，難度較大，解題的關鍵是掌握圖形中的已知條件，靈活運用相似三角形的性質，得到線段之間的關系.17.如圖，點4。分別是X軸、y軸正半軸上的點，矩形A8co的邊A氏8C分別交函數y=2(xOMwO為常數)的圖象于點P,Q,連接PQ

33、.X(1)若P為AB中點,則黑=一.dC(2)若把ABPQ沿PQ翻折，點8恰好落在x軸上的點E,且OE=6,E4=2,則g.【答案】y12【分析】(1)設8(a，)，則A(m,0),C(0,)，。點的縱坐標為，根據反比例函數定義可得xq,從而可得答案：(2)連接BE,過。作QHLx軸于，設。(孫),在40/7E中，用勾股定理得序=284n,由4。“后6/”對應邊成比例可得,加=96-16,從而可以解出，”、n,得到答案.【詳解】解：(1)設B(w,)，則A(w,0),C(0,n),。點的縱坐標為,為48中點,P(m,n),2函數尸A(xo,原0,4為常數)的圖象過點P,Q,XL1.XQ9n=K

34、=m9n,.1XQ=mt，CQ=；m,。是8C的中點，.絲JBC2；故答案為：y;(2)連接8E,過Q作QLt軸于從如圖:,把8尸。沿P。翻折，點8恰好落在x軸上的點E,；N/BQ=NPEQ=90。,BP=EP,QE=QB,設Q(7,)，則CQ=O=?，HQ-n,：OE=6,E4=2,OA=BC=S,HE=OEOH=6-m,：.QE=QB=BC-CQ=8-m,在AQHE中,HQHAQE，即/+(6加)2=(8切)2,化簡得序=284加，:。在函數尸七(x0,原0,左為常數)的圖象上，X/.k=mn,二8,kk# xp=S,代入尸一得V=77,.x.8# :ZPEQ=90%：.NPEA=90NQ

35、EH=NEQH,而NQ”E=NB4E=90。，Q“EsZE,# HQHE# ，AE-APJn6m2,化簡得團2=96-16加，T將2=284%代入得nz(28-4/zi)=96-16?,解得m=3或m=8(舍去),.=4或=4(舍去)，：.Q(3,4),2.故答案為12.【點睛】本題考查了反比例函數、矩形、翻折等綜合知識，解題的關鍵是設點的坐標，表示相關線段的長度，根據題意列方程.18.如圖，在oABC。中，E是5c邊上的中點，APLC。于點P,將A3E沿AE翻折，點B的對稱點3,落在AP上，延長E9恰好經過點O,若AB=4,則折痕AE的長為.【分析】連接5夕，CS,設AE交39于J.首先證明

36、APCZT是等腰直角三角形，設PC=P=z,利用相似三角形的性質構建方程求出機，再求出A/,正即可解決問題.【詳解】解：連接BE,CB設AE交69于DAZLER是由AAEB翻折得到，:.AE1BB,EB=EC=EB,/.ZCB*B=90,即C8JL雨，；.CB/AE,四邊形ABC。是平行四邊形，：.AB=CD=4fAB/CD,ZABE=ZADP,APJ_mAPLAB.ZBAP=90%由翻折的性質可知，ZBAE=ZPAE=45fZABE=ZARE=ZDffPfZPAE=ZPBC=45,ZDBP=ZADP,;.PC=PB,設PC=P=m,則“=，DP=4m,；ZAPD=ZDPB,ZADP=ZDBP

37、,.APADAPDR,.PDPAPBPD/.(4-tn)2=m(m+4),434 /2BC=一,3;BJ=J8,BE=EC,JE=-C=23vAJ=AB=2yf2,2/.AE=AJ+JE=2y/2+=.33故答案為：辿.3【點睛】本題考直翻折變換，平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.19.如圖，點A,8分別是反比例函數y=N（a0,x0）和y=2s0,x0/0）的X圖象于點。，已知S.OD=20,Sacod=8,AD=2CD9則。一力的值為.【分析】延長8。與工軸交于點連接

38、OA,根據相似三角形的性質和同高的三角形的面積比的關系得出Saasd=8,Sa4Od=16,再根據的幾何意義以及面積的和差得出結論.【詳解】延長3。與無軸交于點M,連接。A,AB/x軸，:AABDscMD,A6_Ly軸，C.AD-CD=BD：DM,AD=2CD,:.BD=2MD,Saaad=4Sacdm， SAbod：Saomd=2：1,、：S&rod=20, 9SQMD=1，,*S&8D=8, SaC/iW=2VAD=2CD,Sacod=8, Saaod16,ah 點A,8分別是反比例函數y=（400）和丫=一仍0,尢M=42cm（點M在墻壁M”上，且AWL8”）；當燈臂AC轉到CE位置時，

39、FN工MH,測得FN=15cm,則點E到桌面的距離為cm.若此時點C,F,M在同一條直線上，弧的最低點到桌面8的距離為31cm,則弧E尸所在圓的半徑為cm（保留一位小數）.【答案】42；T.O【分析】（1）過點E作垂足為“，延長FE交A3于點G,根據GE+EN二QM,AC=CE=AB-BCt在直角三角形EGC中，求得CG,證明四邊形EG8P是矩形，可得EP=CG+BC；（2）可證四邊形4WVG是矩形，得MN=AG,證明GFCs/vfm,求得E/7的長,作E尸的垂直平分線。尺交BH于R,交于點0,交EF于點、K,利用垂徑定理，勾股定理解答即可.【詳解】（1）過點E作垂足為“，延長/E交A8F點G

40、,：AC2BH,MHLBH,:AGMN,FNLMH,:,AMGN,四邊形AGNM是平行四邊形，J四邊形4GNM是矩形，:.AM=GN,：.AD+DM=GE+EF+FN,9：AD=EFfDA/=42cm,8V=15cm,:.GE=DMFN=Xl,VACBHfAB=51,BC=6,AAC=CE=51-6=45,在直角三角形GC中,CG=yjcE2-EG2=52-272=36,VBG1EG,GBtBP,EPLBH, 四邊形EG3P是矩形，:.EP=BG=CG+BC=36+6=42：故答案為：42.(2)由(1)知，四邊形AMNG是矩形，:.MN=AG=AB-BG=51-42=9, :MNGC,點C,

41、F,歷在同一條直線上，/.ZGCF=ZNMF,ZFGC=ZMNF:4GFCs叢NFM,.FG_CG 麗一礪一FG=4FN=4x15=60cm,:.EF=FG-EG=60-27=33,作r的垂直平分線。尺交8于凡交于點Q,交EF于點、K,設點。為圓心,33根據題意，得EK=7EPLPR,KR上PR,EK1KR,，四邊形EPRK是矩形，：.EP=KR=429 /Q/?=3I,KQ=,i$OE=OQ=x,則OK=x-ll,在,RmOEK中，OE2=OK?+EK?，【點睛】本題考查了三角形的相似，矩形的判定與性質，勾股定理，垂徑定理，掌握三角形的相似，矩形的判定與性質，勾股定理，垂徑定理，利用輔助線構

42、造準確圖形是解題的關鍵.三、解答題21.特例感知(1)如圖，已知在R/aABC中，NB4c=90。，AB=AC,取8c邊上中點。，連結A),點E為AB邊上一點，連結OE,作FJ_E交AC于點F,求證=探索發現(2)如圖，已知在QaABC中，NB4C=90。，AB=AC=3,取BC邊上中點。，連結AD,點E為BA延長線上一點，AE=,連結。E,作DFJ.OE交AC延長線于點F,求A尸的長;類比遷移(3)如圖，已知在aABC中，ZBAC=120,AB=AC=4,取8c邊上中點。，連結AO,點E為射線8A上一點(不與點A、點B重合)，連結。E,將射線繞點。順時針旋轉30。交射線C4于點尸，當A=4A

43、F時，求A尸的長.B【答案】(I)見解析；(2)4；(3)土衛I或士姮或士叵222【分析】(1)根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論：(2)根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理可得到CF=AE=1,則A尸的長即可求得；bebd(3)證明三角形尸，由相似三角形的性質得出一=,即8E,W=12,CDCF設AF=x,則4石=4A尸=4%,然后分三種情形進行求解即可.進行求解即可【詳解】解(1)在等腰RlZABC中，。為8c中點，.BD=AD,AD1BC,ZB=ZDAF=45,；DELDF，ZEDF=90,.ZEDA+ZEDB=ZEDA+ZADF=90,:.

44、ZBDE=ZADF,.BDEaADF，:.BE=AF.(2) 在等腰RtZiABC中，。為6C中點，;.AD=CD,ADLBC,ZBAD=ZDCA=45fDAE=ZDCF=135,：DELDFZEDF=90,;.NEDA+NEDC=NCDF+NEDC=90。,?ADE?CDFf:.ADECDF,：.CF=AE=,.AF=AC+CF=4.(3) vZi?AC=120,AB=AC,。是BC中點，/.ZB=ZC=30,ADVBC,VZEDF=30,AB=4, .AD=sin30AB=-x4=2,2 BD=yjAB2-AD1=742-22=2/3同理可得：CD=20 ZEDF=30,NBDE+NFDC

45、=150, /BED+ZBDE=180-ZB=l50, .4BED=4FDC,.BEDsacDF,BEBD 一=,BJBECF=2,CDCF設AF=x,則AE=4A尸=4x,如圖1,當E點在線段AB上，F點在線段AC上時，BE=4-4x,CF=4-x,則（4-4x）（4x）=12,解得x=叵或也互（舍去）；22如圖2,當E點在線段AB上，尸點在AC延長線上時，BE=4-4x,CF=4+x,則（4一4x）（4+x）=12,解得x=上叵或2（舍去）；22如圖3,當E點在AB延長線上，尸點在AC延長線上時,BE=4+4x,CF=4-x,則（4+4x）（4-x）=12,解得戶手或手（舍去）【點睛】本題

46、考杏了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理以及相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題.22.(證明體驗)(1)如圖1,為aABC的角平分線，ZADC=(fiP,點E在A8上，AE=AC.求證：平分ZADB.(思考探究)(2)如圖2,在(1)的條件下，尸為AB上一點，連結FC交4)于點G.若FB=FC,DG=2,8=3,求30的長.(拓展延伸)(3)如圖3,在四邊形488中，對角線AC平分NB4O,/BC4=2NZ)C4,點E在AC上，NEDC=ZABC.BC=5,CD=2y/5,AD=2AE,求AC的長.,916【答案】(I)見解析；(2)p(3)