1、經濟數學基礎經濟數學基礎微積分微積分本章重點1、函數概念2、函數的定義域3、函數值的計算4、函數奇偶性的判別本章難點復合函數的分解第一篇第一章函第一篇第一章函 數數一一. 函數概念函數概念 函數是微積分學的關鍵概念，沒有函數，就沒有微積分學。1.1.在某一變化過程中可以取不同數值的量稱在某一變化過程中可以取不同數值的量稱為變量。為變量。【例如例如】 復利問題復利問題,3,2, 1,%210tkatt圓的面積圓的面積,2rS 一般用x,y,z,s,t等表示變量。 2. 2.在某過程中始終同一數值的量稱為常量在某過程中始終同一數值的量稱為常量, ,3.3.變量的取值范圍稱為該變量的變域。變量的取值

2、范圍稱為該變量的變域。注：變域可用注：變域可用、表示：表示：【例如例如】圓周率圓周率中山到廣州的直線距離中山到廣州的直線距離S S6 , 3x如：一般用大寫字母X,D,L等表示變域。一般用a,b,c,k等表示常量。63 x或：4、函數的定義（P-5）記作： ，并稱 y 是 x 的函數，其中x是自變量自變量，y是因變量因變量，f是對應規則對應規則。 ，其中x是自變量自變量，y是因變量因變量， 是對應規則對應規則。 定義域0 x值域0yf 00 xfy 1x1y 11xfy xfy 函數的定義域：定義域：是使函數有意義的自變量x取值的全體。 也就是允許取值的范圍。二二. 求定義域求定義域確定函數定

3、義域的三條基本要求： (1) 分式的分母不能為零。即若)(1xy則要求. 0)( x(2) 偶次方根下的表達式非負。 為偶數）（nxyn )(即若：則要求. 0)( x(3) 對數函數中的真數表達式大于零。 )(logxya即若：則要求. 0)( x【例例 2.12.1】.) 1(log)(2的定義域求函數xxf【解解】有意義，必須有要使)(xf01真數部分：x1x于是所求的函數的定義域為 , 1【例例 2.2】求函數431)(2xxxf的定義域。【解解】要使得表達式有意義,必須04032xx解這組不等式，得0)2)(2(3xxx所以，所求函數的定義域為： 2 23xxx或寫成區間的形式，得到

4、定義域：),22,3()3,(Dx3 22【練習練習1 1】.11) 1(log)(22的定義域求函數xxxf【解解】有有意意義義，必必須須有有要要使使)(xf01012xx0111xxx1 11xxx或) ,1( 寫成區間：1x即：公共部分【練習練習2 2】.3)3ln(1)(的定義域求函數xxxf【解解】有有意意義義，必必須須有有要要使使)(xf03x03 x0)3ln(x)01ln(因為 3x3x13x 3x3x2xx3 23得到定義域：3 , 2()2, 3(D 3x3x2x接下來將：寫成區間的形式三三. 計算函數的值計算函數的值 一個表達式。，還可以取自變量可以取一個數值處的值在表示

5、函數的理解關鍵是對函數記號 )2(;) 1 (: 00 xxxfxfxf 就是將自變量的值代入函數的表達式中，計算出因變量(函數)的值來。 .1),(,0, 213. 22xfxffxxxf試計算：給定函數例解：解：22)()()(242222xxxxxf2200)0(2f211)1 (2xxxfxx32 . 1 , , 0 2xxfxx中的去替換即，相應的用【練習練習3】設 ,1xxf則 ). (xff xA1 2xD xC 21xB解：解： xfxff1x11. x所以選擇C. 更復雜一點，可以根據函數在某個表達式上的值，反過來求該函數的計算公式。例例 3.2已知, 2) 1(2xxf .

6、xf求解：解：，取ux 11 ux則代入已知表達式得到：122) 1()(22uuuuf再將變量 u 替換成 x ,就得到所求函數計算公式：.12)(2xxxf注：這也叫做“換元法”。)(,)(fDxxfy :函數的兩個要素函數的兩個要素的表達式為的表達式為函數函數 f.)(ffD和和對對應應法法則則定定義義域域判斷兩個函數相同的方法：判斷兩個函數相同的方法： 定義域定義域和和對應法則對應法則都相等都相等四四. 判斷兩函數相同判斷兩函數相同例例 4.1判斷下列函數是否相同： ;,12xxgxxf ;,22xxgxxf .11, 132xxxgxxf解：解： . ,12xgxfxxxg Rxxx

7、fxxxxg;022 .xgxf ,gDfD即 ;ln2,ln12xxgxxf ;ln3,ln23xxgxxf例例 4.2判斷下列函數是否相同：xkxxkxakakloglog lnln，【公式】：【解解】 )0( ln2ln12xxxxf )0( ln2xxxg所以它們是不同的函數。表達式不同，定義域不同 )0( ln3ln23xxxxf )0( ln3xxxg定義域和表達式都相同，所以它們是相同的函數。五五. 函數的幾何性質函數的幾何性質單調性、奇偶性、有界性、周期性單調性、奇偶性、有界性、周期性重點：是奇偶性奇偶性，這里主要討論函 數奇偶性的判別函數的奇偶性函數的奇偶性奇偶性：定義奇偶性

8、：定義1.3 (P9) ；xfxf )(（1）奇函數）奇函數（2）偶函數）偶函數 ；xfxf )(要注意：所有函數可以分為 奇函數、偶函數和非奇非偶函數。xxxxsin,53常見的奇函數有：xxxccos,42常見的偶函數有： 通過圖像可以看出：的圖像是關于的，的圖像是關于的。奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇，奇偶非奇非偶函數， f(x) + f(-x) 為偶函數， f(x) - f(-x) 為奇函數。通過定義，我們可以證明得到下面的結論：提示：有點類似正數(偶)和負數(奇)的關系。【例例 5.1】 判斷下列函數的奇偶性：判斷下列函數的奇偶性： ;21xxaay .sin2xxy 解：解

9、：(1) 對任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得 xfaaaaxfxxxx22由定義3.3,知f(x)是偶函數。xxxxxfsinsin(2) 對任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得 xfxxsin由定義3.3,知 是偶函數。xxysin【練習練習4】 判斷下列函數的奇偶性：判斷下列函數的奇偶性：.cosxxy xxxxxfcoscos【解】 對任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得 xf由定義3.3,知 是奇函數。xxycos xfxf )(即：六六. 四類基本初等函數四類基本初等函數為常數ccy 1 y函數【例如】軸的直線。且平行于它的圖形是一條過點xc, 0（一）常數函數（一）

10、常數函數 要求熟記這五類函數的表達式，定義域。是相同函數。它和函數xxy22cossin,Rx定義域是并且是偶函數。（二）冪函數（二）冪函數為實數 xy 例如：, xy ,3xy 21xy 2 xxy 21x32xy 32x歸納冪函數的性質： mnmnxxx 1 mnxx 3mnxxmnx nx1 2nx853xxx如：331 xx如：33521 xxxx如： mnx 4mnx53xy 如：53x mnx 5nmx 32xy 如：6x要學會將這些函數轉化為冪函數的形式要學會將這些函數轉化為冪函數的形式（三）指數函數（三）指數函數1, 0 aayx71828. 2e exy例如：)exp(xxy

11、3x21323x指數函數的運算性質可依據冪函數的運算性質(1)-(5)。（四）對數函數（四）對數函數1, 0 logaaxya然對數，為底的對數函數稱為自其中以e)log( lnxxye簡記為用對數，為底的對數函數稱為常其中以 01)log( lg10 xxy簡記為其中a為底數，x為真數xy3log例如：就稱為以3為底的對數函數歸納對數函數的性質:（其中M,N0） NMMNaaalogloglog 1 NMNMaaalogloglog 25log3log22如：15log25log3log22如：53log2注意：注意：對數一定要“同底數同底數”才能相加減 MkMakaloglog 3 xex

12、ln 4xln如：21ln xxln21 01log 5a1logaa01ln 1lne(a0)七七. 函數的運算函數的運算)(xgf記為：1、四則運算：加、減、乘、除與我們 通常所知數的運算一樣。2、復合運算復合運算這對我們來說，是一種新的運算。直觀地說就是兩個函數，一個函數里面再套一個函數，就是復合。 例例 7.1 ., 13 ,log)(2xufxuxxfx求設解：解：13log2xy反過來看：復合而成。，就是由13log2xuuy即可中的替換用xxfxu)()( .13log2xxuf其中u稱為中間變量.由此可見，簡單函數經過復合運算，會變成復雜函數。更重要的是，我們可以研究：復雜函數

13、是由哪些簡單函數通過復復雜函數是由哪些簡單函數通過復合運算得來的合運算得來的？即復合函數的分解。例如：函數)1ln(32xy可以看作是：,2uy ,lnvu 13 xv三個函數復合而成。)1ln(32xy分解復合,2uy ,lnvu 13 xv例例 7.2 將初等函數 31xey分解為基本初等函數的復合運算或四則運算。解解： uey 121vu 221log2xy uy2log221xu3 xv 有些函數在它的定義域的不同部分有些函數在它的定義域的不同部分, ,其表其表達式不同，亦即用多個解析式表示函數，這類達式不同，亦即用多個解析式表示函數，這類函數稱為分段函數函數稱為分段函數. .0, 0

14、,xxxxxy當當oxyxy 例例 8.1:8.1:絕對值函數絕對值函數八八. 分段函數分段函數則)2(f22 )2(f. 2注意注意 1 1分段函數的定義域是其各段定義域的分段函數的定義域是其各段定義域的并集并集；20 , 105,)(2xxxexfx【例例8.1】求函數的定義域。【解解】定義域D=0 , 52 , 02 , 5分段函數在其整個定義域上是分段函數在其整個定義域上是一個函一個函數數，而不是幾個函數，而不是幾個函數. .2 2求分段函數的函數值，先要確定求分段函數的函數值，先要確定x x取取值所對應的表達式，然后再代入求值。值所對應的表達式，然后再代入求值。【例例 8.2】給定函

15、數20 101 12)(2xxxxxf1102)0(f 1) 0(fff 0ff試計算解：解：關鍵是要注意自變量所在的范圍，不同的范圍用不同的公式計算函數值。0112【練習練習】給定函數0 30 1)(2xxxxxf431) 1(f110) 0(2f211) 1 (2f .1,0,1fff 試計算【解解】九、經濟函數九、經濟函數經濟函數主要包括：經濟函數主要包括：1 1、需求函數、需求函數q(p) q(p) ( (p p為價格為價格) )2 2、成本函數、成本函數C(q)C(q)3 3、收入函數、收入函數R(q)R(q)4 4、利潤函數、利潤函數L(q)L(q) 生產和經營活動中，人們所關心的

16、問題生產和經營活動中，人們所關心的問題是產品的成本、銷售收入（又稱為收益）和是產品的成本、銷售收入（又稱為收益）和利潤利潤它包括固定成本和可變成本它包括固定成本和可變成本（一）需求函數（一）需求函數q(p) (p為價格為價格). 0, 0,babapq其中例如：線性需求函數為（二）成本函數（二）成本函數)()(10qCCqC平均成本：平均成本：qqCqC)()(（三）收入函數（三）收入函數pqqR)(確定可由需求函數價格bapqp【例9.1】某商品的需求函數為q=100-3p,求 收入函數R(q).【解解】可得：由需求函數,3100pq3100qpqqpqqR3100)(故收入函數，等于總收入減去總成本總利潤)(xL（四）利潤函數（四）利潤函數)()()(qCqRqL.)()(0)(0保本點）稱為盈虧平衡點（或此時的產量時，即當利潤qqCqRqL【例例9.29.2】解：解：生產某種產品的固定成本為1萬元，每生產一