1、1991年普通高等學校招生全國統一考試-數學(理工農醫類)考生注意：這份試卷共三道大題(26個小題)滿分120分一、選擇題：本大題共15小題；每小題3分，共45分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的把所選項前的字母填在題后括號內(1) 已知sin=，并且是第二象限的角，那么tg的值等于( )(A) (B) (C) (D) (2) 焦點在(1，0)，頂點在(1，0)的拋物線方程是( )(A) y2=8(x+1)(B) y2=8(x+1)(C) y2=8(x1)(D) y2=8(x1)(3)函數y=cos4xsin4x的最小正周期是( )(A) (B) (C) 2(D) 4(4)如果

2、把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有( )(A) 12對(B) 24對(C) 36對(D) 48對(5) 函數y=sin(2x+)的圖像的一條對稱軸的方程是( )(A) x=(B) x=(C) (D) (6) 如果三棱錐SABC的底面是不等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等，且頂點S在底面的射影O在ABC內，那么O是ABC的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 內心(7) 已知an是等比數列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于( )(A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圓錐曲線

3、的極坐標方程為=，那么它的焦點的極坐標為( )(A) （0，0），（6，）(B) (3，0)，(3，0)(C) （0，0），（3，0）(D) (0，0)，(6，0)(9) 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有( )(A) 140種(B) 84種(C) 70種(D) 35種(10) 如果AC<0且BC<0，那么直線Ax+By+C=0不通過( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 設甲、乙、丙是三個命題如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么( )(A) 丙是甲的充分條

4、件，但不是甲的必要條件(B) 丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件(C) 丙是甲的充要條件(D) 丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件(12) (1)的值等于( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函數f(x)在區間3，7上是增函數且最小值為5，那么f (x)在區間7，3上是( )(A) 增函數且最小值為5(B) 增函數且最大值為5(C) 減函數且最小值為5(D) 減函數且最大值為5(14) 圓x2+2x+y2+4y3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點共有( )(A) 1個(B) 2個(C) 3個(D) 4個(15) 設全集為R，f (x)=sinx，g (x)=c

5、osx，M=x|f (x)0，N=x|g (x)0，那么集合x|f (x)g (x)=0等于( )(A) (B)(C)(D)二、填空題：本大題共5小題；每小題3分，共15分把答案填在題中橫線上(16) arctg+arctg的值是_(17) 不等式<1的解集是_(18) 已知正三棱臺上底面邊長為2，下底面邊長為4，且側棱與底面所成的角是45°，那么這個正三棱臺的體積等于 (19) (ax+1)7的展開式中，x3的系數是x2的系數與x4的系數的等差中項若實數a>1，那么a= (20) 在球面上有四個點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PAPBPCa那么這個

6、球面的面積是 三、解答題：本大題共6小題；共60分(21) (本小題滿分8分)求函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并寫出使函數y取最小值的x的集合(22) (本小題滿分8分)已知復數z=1i, 求復數的模和輻角的主值(23) (本小題滿分10分)已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求點B到平面EFG的距離(24) (本小題滿分10分)根據函數單調性的定義，證明函數f (x)=x3+1在(，+)上是減函數 (25) (本小題滿分12分)已知n為自然數，實數a>1，解關于x的不等式logaxlogx1

7、2logxn (n2)logx>log(x2a)(26) (本小題滿分12分)雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點若OPOQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程1991年普通高等學校招生全國統一考試數學試題(理工農醫類)參考解答及評分標準說明：一、本解答指出了每題所要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種較為常見的解法，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容參照評分標準制定相應評分細則二、每題都要評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分時，如果該步以后的解答未改變這一

8、題的內容和難度時，可視影響的程度決定后面部分的給分，但不得超過后面部分應給分數的一半；如果這一步以后的解答有較嚴重的錯誤，就不給分三、為了閱卷方便，本試題解答中的推導步驟寫得較為詳細，允許考生在解題過程中合理省略非關鍵性的推導步驟四、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數五、只給整數分數一、選擇題本題考查基本知識和基本運算每小題3分，滿分45分(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空題本題考查基本知識和基本運算每小題3分，滿分15分(16) (17

9、) x|2<x<1 (18) (19) 1+ (20) 3a2 三、解答題(21) 本小題考查三角函數式的恒等變形及三角函數的性質滿分8分解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2xcos2x)2sinxcosx+2cos2x 1分=1sin2x(1cos2x) 3分=2sin2x+cos2x=2+sin(2x+) 5分當sin(2x+)=1時y取得最小值2 6分使y取最小值的x的集合為x|x=k，kZ 8分(22) 本小題考查復數基本概念和運算能力滿分8分解：= 2分=1i 4分1i的模r=因為1i對應的點在第四象限且輻角的正切tg=1，所以輻角的主值= 8

10、分(23) 本小題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系，以及邏輯推理和空間想象能力滿分10分解：如圖，連結EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O 因為ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，故EFBD，H為AO的中點BD不在平面EFG上否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點G在平面的ABCD上，與題設矛盾由直線和平面平行的判定定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離 4分 BDAC， EFHC GC平面ABCD， EFGC， EF平面HCG 平面EFG平面HCG，HG是這兩個垂直平面的交線 6分作OKHG交HG于點K

11、，由兩平面垂直的性質定理知OK平面EFG，所以線段OK的長就是點B到平面EFG的距離 8分 正方形ABCD的邊長為4，GC=2， AC=4，HO=，HC=3 在RtHCG中，HG=由于RtHKO和RtHCG有一個銳角是公共的，故RtHKOHCG OK=即點B到平面EFG的距離為 10分注：未證明“BD不在平面EFG上”不扣分 (24) 本小題考查函數單調性的概念，不等式的證明，以及邏輯推理能力滿分10分證法一：在(，+)上任取x1，x2且x1<x2 1分則f (x2) f (x1) = (x1x2) () 3分 x1<x2， x1x2<0 4分當x1x2<0時，有= (

12、x1+x2) 2x1x2>0； 6分當x1x20時，有>0； f (x2)f (x1)= (x1x2)()<0 8分即 f (x2) < f (x1)所以，函數f(x)=x3+1在(，+)上是減函數 10分證法二：在(，+)上任取x1，x2，且x1<x2， 1分則 f (x2)f (x1)=xx= (x1x2) () 3分 x1<x2， x1x2<0 4分 x1，x2不同時為零， xx>0又 xx>(xx)|x1x2|x1x2 >0， f (x2)f (x1) = (x1x2) ()<0 8分即 f (x2) < f (x

13、1)所以，函數f (x)=x3+1在(，+)上是減函數 10分(25) 本小題考查對數、數列、解不等式等基本知識，以及分析問題的能力滿分12分解：利用對數換底公式，原不等式左端化為logax4·12·n(2)n1 · =124(2)n1 logax =logax故原不等式可化為logax>loga(x2a) 當n為奇數時，>0，不等式等價于 logax>loga(x2a) 因為a>1，式等價于 6分因為<0， >=，所以，不等式的解集為x|<x< 8分當n為偶數時，<0，不等式等價于logax>loga(

14、x2a) 因為a>1，式等價于 或 10分因為 12分所以，不等式的解集為x|x>綜合得：當n為奇數時，原不等式的解集是x|；當n為偶數時，原不等式的解集是x|(26) 本小題考查雙曲線性質，兩點距離公式，兩直線垂直條件，代數二次方程等基本知識，以及綜合分析能力滿分12分解法一：設雙曲線的方程為=1依題意知，點P，Q的坐標滿足方程組 將式代入式，整理得(5b23a2)x2+6a2cx(3a2c2+5a2b2)=0 3分設方程的兩個根為x1，x2，若5b23a2=0，則=，即直線與雙曲線的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個交點同，與題設矛盾，所以5b23a20根據根與系數的

15、關系，有 6分由于P、Q在直線y=(xc)上，可記為P (x1，(x1c)，Q (x2，(x2c)由OPOQ得·=1，整理得3c(x1+x2)8x1x23c2=0 將，式及c2=a2+b2代入式，并整理得3a4+8a2b23b4=0，(a2+3b2)(3a2b2)=0因為a2+3b20，解得b2=3a2，所以 c=2a 8分由|PQ|=4，得(x2x1)2=(x2c)(x1c)2=42整理得(x1+x2)24x1x210=0將，式及b2=3a2，c=2a代入式，解得a2=1 10分將a2 =1代入b2=3a2得b2=3故所求雙曲線方程為x2=1 12分解法二：式以上同解法一 4分解方程得x1=，x2= 6分由于P、Q在直線y=(xc)上，可記為P (x1，(x1c)，Q