1、WORD格式整理.類型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，/0=90°(1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c；(3)已知c=25,b=15,求a.思路點撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析：(1)在4ABC中，Z0=90°,a=6,c=10,b=一/二(2) 在ABC中，/C=90°,a=40,b=9,c=+=41(3) 在ABC中，Z0=90°,c=25,b=15,a=一占"二20舉一反三【變式】：如圖/B=/ACD90°,A®13,Ca12,BC

2、=3,則AB的長是多少【答案】一/ACB90AD=13,CD=12AC2=aDc6=132-122=25AO5又./ABC=90且BG3由勾股定理可得AB2=AC2-BC：=52-32=16.AB=4AB的長是4.類型二：勾股定理的構造應用2、如圖，已知：在AMT中,4=60。，腔70,必究.求：BC的長.AD,則有思路點撥：由條件Z5=60°,想到構造含30cl角的直角三角形，為此作從D1BC于/力5的BD=AB=15上班D二,2，再由勾股定理計算出ADDC的長，進而求出BC的長.解析：作ADLBC于D,則因75=60°,如二90-0。二郊&的兩個銳角互余)30&

3、#176;,幼=%=15_.2(在此中，如果一個銳角等于那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).根據勾股定理，在阻中，加=無匚而1二萬二亨=15出根據勾股定理，在劭"CD中，CD=-疝=廂晨3=65.專業知識分享.WORD格式整理.一二一一二J.舉一反三【變式1】如圖，已知：ZC=90°,AM=CM,MPLAB于p.求證：三二二.解析：連結BM根據勾股定理，在必必呼中，；：.而在F1MMP中，則根據勾股定理有.二w一二,；，1一又,:AM-CM（已知），二：.在F1KBCM中，根據勾股定理有bm2-cm2=bc2,二.【變式2】已知：如圖，/B=ZD=90°,ZA=6

4、0°,AB=4,CD=2求：四邊形ABCD勺面積。分析：如何構造直角三角形是解本題的關鍵，可以連結AG或延長ABDC交于F,或延長ADBC交于點E,根據本題給定的角應選后兩種，進一步根據本題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長ADBC交于E。./A=/60°,/B=90°,，/E=30°。AE=2AB=8CE=2CD=4BE2=AE"-AB2=82-42=48,BE=%時=4、后。dE"=CE2-CD2=42-22=12,de=V12=2后。S四邊形abc=Saabe-Sacde=2ABBE-2CD.DE5行類型三：勾股定理的實際應用

5、用勾股定理求兩點之間的距離問題圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發，沿北偏東60。方向走了到達b點，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達目的地C點。求A、C兩點之間的距離。.專業知識分享.WORD格式整理.確定目的地C在營地A的什么方向。解析：（1）過B點作BE/AD/DAB4ABE=6030°+/CBA吆ABE=180/CBA=90即ABC為直角三角形由已知可得：BC=500mAB=I由勾股定理可得：二”理：所以一.一一"：.（2）在RtABC中，.BC=500mAC=1000m/CAB=30/DAB=60/DAC=30即點C在點A的北偏東30&#

6、176;的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠,該工廠白廠門？問這輛卡車能否通過【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于離廠門中線0.8米處，且CDLAB,與地面交于H解：OC=1米（大門寬度一半），OD=0.8米（卡車寬度一半）在RtAOCD,由勾股定理得：CD=加'-。爐=415=0.6米，CH=0.6+2.3=2.9（米）2.5（米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門.（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現狀，目前正在全國各地農村進行

7、電網改造，某地CH如圖所示，點D在.專業知識分享.WORD格式整理.有四個村莊A、B、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點，現計劃在四個村莊聯合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分.請你幫助計算一下，哪種架設方案最省電線.思路點撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進行比較，得出結論.解析：設正方形的邊長為1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為AB+BC+CD=3,AB+BC+CD3圖（3）中，在RtABC中AC式二也，圖（3）中的路線長為圖（4）中，延長EF交BC于H,貝UFHLBC,B+CH30班=1由/FBH=2及勾股定理得:E

8、A=ED=FB=FC=3EF=12FH=1，此圖中總線路的長為4EA+EF=11-Y3>2.828>2.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設方案最省電線.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C,試求出爬行的最短路程.解:O.專業知識分享WORD格式整理.B（提問：勾股定理）AC=癡由C*=/+招=22910.77(cm)(勾股定理).答：最短路程約為10.77cm.類型四：利用勾股定理作長為Jn的線段5、作長為心、出、曲的線段。思路點撥:由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，

9、斜邊長就等于也,直角邊為也和1的直角三角形斜邊類似地可作店作法：如圖所示B3用a（1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角（2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為ACB使AB為斜邊；1的直角母班。斜邊為期;（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形AB、均、雞、螞的長度就是舉一反三【變式】在數軸上表示質的點。解析：可以把廂看作是直角三角形的斜邊，（河）“二1°,為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數,3和1。10又是9和1這兩個完全平方數的和，得另外兩邊分別是作法:如圖所示在數軸上找到A點，使OA=3彳AC±OA且截取AC=1,以OC為半徑,O為圓心做弧，弧與數軸的交點B即為加。類型

10、五:逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題：貓有四只腳.（正確）.專業知識分享WORD格式整理.2 .原命題：對頂角相等（正確）3 .原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等.（正確）4 .原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等.（正確）思路點撥：掌握原命題與逆命題的關系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.（正確）總結升華：本題是為了學習勾股定理的逆命題做準備。7

11、、如果AABC的三邊分別為a、b、c,且?t足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷AABC的形狀。思路點撥：要判斷AABC的形狀，需要找到a、b、c的關系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問題。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。.(a-3)2>0,(b-4)2>0,(c-5)2>0Oa=3,b=4,c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得AABC是直角三角形。總結

12、升華：勾股定理的逆定理是通過數量關系來研究圖形的位置關系的，在證明中也常要用到。舉一反三【變式1】四邊形ABCD43,/B=90°,AB=3,BC=4,CD=12AD=13,求四邊形ABCD勺面積。【答案】：連結AC/B=90°,AB=3BC=4AC?=aB'+BC：=25(勾股定理)AC=5.A&Cj=169,AE)=169AC2+C5=A6./ACD=90（勾股定理逆定理）"醐掰M=BC+ACCD=35【變式2】已知：ABC勺三邊分別為mi-n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數，且mon）,判斷ABC是否為直角三角形證明：J二分析：本題是利

13、用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+b2=c2即可二淄+2ma«a+»4=(第3所以ABO直角三角形.專業知識分享WORD格式整理.【變式3】如圖正方形ABCDE為BC中點，F為AB上一點，且BF=4AR請問FE與DE是否垂直？請說明。【答案】答：DE，EF。證明：設BF=a,貝UBE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,EF2=BF2+B=a2+4a2=5a2;DE2=cE+cD=4a2+16a2=20a2。連接DF（如圖）DF2=aF"+AD=9a2+16a2=25a2。df2=ef2+de,FEIDE經典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直

14、角三角形兩直角邊的比是3:4,斜邊長是20,求此直角三角形的面積。思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設未知數，再根據勾股定理列出方程，求出未知數的值進而求面積。解析：設此直角三角形兩直角邊分別是3x,4x,根據題意得：(3x)2+(4x)2=202化簡得x2=16;1，直角三角形的面積=2>3xX4x=6x2=96總結升華：直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數，然后用勾股定理列方程(組)求解。舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長為2,求它的面積。【答案】如圖，等邊ABG彳AD±BC于D2則：BD=一BC(等腰三角形底邊上的高與底邊上的

15、中線互相重合)AB=AC=BC=2(等邊三角形各邊都相等)BD=1在直角三角形ABD中,AB2=aD+bD,即：AD=AE2-BE)=4-1=3AD=1SABC=2BCAD=曲注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a,則其面積為4a。【變式2直角三角形周長為12cm,斜邊長為5cm,求直角三角形的面積。【答案】設此直角三角形兩直角邊長分別是x,y,根據題意得：x+y+5=12(1)V3+/=52(2)擊(1)得：x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)一(2),得：xy=12.專業知識分享WORD格式整理.11，直角三角形的面積是2xy=2M2=6(cm2)【變式3】

16、若直角三角形的三邊長分別是n+1,n+2,n+3,求n。思路點撥：首先要確定斜邊(最長的邊)長n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為n+3,由勾股定理可得：(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2化簡彳導:n2=4，n=±2,但當n=2時，n+1=1<0,n=2總結升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。【變式4】以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是()A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行

17、判斷，對數據較大的可以用c2=a2+b2的變形：b2=c2a2=(ca)(c+a)來判斷。例如：對于選擇D,.82w(40+39)X(4039),.以8,39,40為邊長不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項。【答案】：A【變式5】四邊形ABCM,/B=90°,AB=3BC=4CD=12AD=13,求四邊形ABCD勺面積。解：連結AC /B=90°,AB=3,BC=4 .aC=aB"+bC:=25（勾股定理）.AC=5 ,AC2+C5=169,AD2=169 A&CCkAE2/ACD=90（勾股定理逆定理）11S四邊形ABC=SABC+S/AC=2ABB

18、C+2ACCD=36類型二：勾股定理的應用2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/QPNk30°,點A處有一所中學，AP160ml假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN±?才PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h,那么學校受影響的時間為多少秒？A0思路點撥：(1)要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A,實質上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。(2)要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的路

19、程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校。解析：作AB±MN垂足為Bo在RtAABP中，/ABP90°,ZAPB=30°,AP=160,AB=2a之80。(在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半)點A到直線MN勺距離小于100m,這所中學會受到噪聲的影響。如圖，假設拖拉機在公路MN±?gPN方向行駛到點C處學校開始受到影響，那么AC=100(m),由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,BC=60。.專業知識分享WORD格式整理.同理，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，AD=100(m)

20、,BA60(m),C況120(m)。拖拉機行駛的速度為:18km/h=5m/st=120m5m/s=24s。答：拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒。總結升華：勾股定理是求線段的長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法，構造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三【變式1】如圖學校有一塊長方形花園，有極少數人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內走出了一條“路”。他們僅僅少走了步路(假設2步為1m),卻踩傷了花草。解析：他們原來走的路為3+4=7(m)設走“捷徑”的路長為xm,則二二故少走的路長為75=2(m)又因為2步為1m,所以

21、他們僅僅少走了4步路。【答案】4【變式2】如圖中的虛線網格我們稱之為正三角形網格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。(1)直接寫出單位正三角形的高與面積。(2)圖中的平行四邊形ABC*有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCM面積是多少？(3)求出圖中線段AC的長(可作輔助線)。【答案】(1)單位正三角形的高為2,面積是(2)如圖可直接得出平行四邊形ABC常有24個單位正三角形，因此其面積(3)過A作AK,BC于點K(如圖所示)，則在RtACK中,KC-l+l+i-ac=7ak3+kc322,故類型三：數學思想方法(一)轉化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決.3、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜邊BC的中點，E、F分別是ARAC邊上的點，且DHDF,若BE=12,CF=5.求線段EF的長。.專業知識分享WORD格式整理.思路點撥：現已知BECF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中，所以關鍵是線段的轉化，根據直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質，不妨先連接AD.因為/BAC=90,AB=AC所以AD=DC=DBADLBC.且/BADWC=45°.又