1、1不定方程的定義與不定方程主要討論的問題不定方程的定義與不定方程主要討論的問題 未未知知量量個個數數多多余余方方程程個個數數的的整整系系數數方方程程（組組）其其解解受受到到某某種種限限制制（如如：只只求求正正整整數數解解或或是是整整數數 解解義義 定定等等等等）。 (1)(1)有有無無解解；(2)(2)有有多多少少個個解解；(3)(3)解解的的結結構構 討討論論；（4 4）如如的的問問題題：何何求求解解。2二元一次不定方程二元一次不定方程axbycab 形形如如其其中中( ( ， 均均不不為為零零）的的整整系系數數方方程程叫叫做做二二元元一一次次不不定定方方程程。定定義義 2( , )| .a

2、xbyca bc 不不定定方方程程有有解解的的充充分分必必要要條條件件定定理理 （ 判判別別有有無無解解）是是300axbyc即即 0(1),:y0 0必必要要性性如如果果不不定定方方程程ax+by=cax+by=c有有解解x x證證明明因因為為(a,b)|a,b,(a,b)|a,b,則則有有整整除除的的可可乘乘可可加加性性得得：(a,b)|c.(a,b)|c. (2)Z110110充充分分性性若若(a,b)|c,(a,b)|c,令令c=c(a,b),cc=c(a,b),c有有解解x x,s tZ 則則存存在在使使得得 as+bt=(a,b) as+bt=(a,b)1 1111111在在方方程

3、程兩兩邊邊同同時時乘乘以以c c 得得： a(sc )+b(tc )=c(a,b) a(sc )+b(tc )=c(a,b)=c=c40000(1)(1)(21)xyZaxbycbaxxtyyttZdd 設設( (a a, ,b b) )= = d d| |c c, ,且且，是是不不定定方方程程 的的一一個個解解（特特解解）則則的的一一切切解解可可以以表表成成 ， ， ( ( 定定理理(2)(1),(1)(2) : :需需要要證證明明兩兩個個方方面面, ,一一方方面面證證明明滿滿足足另另一一方方面面證證明明的的所所有有解解都都能能表表成成分分析析的的形形式式. .11,xscytc即即是是原原

4、不不定定方方程程的的一一個個解解。50:byc0 0由由條條件件有有:ax:ax證證明明,(1)xy設設是是不不定定方方程程的的解解，即即000)()batb ytaxbycdd0 0 則則a(xa(x 故故(2)(2)是是不不定定方方程程(1)(1)的的解解. .axbyc00axbyaxby所所以以00()()a xxb yy 即即00()()abxxyydd 0|(),)1b ab axxddd d所所以以，又又( (60|()bxxd 所所以以，0()bxxt tZd令令0bxxtd令令(2)x將將 代代入入得得到到：0ayytd,(2)(1)(2)xy即即可可表表示示成成的的形形式式

5、，從從而而的的一一切切整整數數解解可可以以表表成成的的形形式式。7 ( (1 1) )判判別別步步驟驟：有有無無解解；(2)如如果果有有解解，化化原原不不定定方方程程為為簡簡約約方方程程；(3)求求簡簡約約方方程程的的一一個個特特解解；二元一次不定方程的解法二元一次不定方程的解法(4)解解出出原原不不定定方方程程的的一一切切整整數數解解（通通解解）。81.1.觀觀察察法法求求特特解解74100 xy 求求的的一一切切例例1 1正正數數解解. .2 2. .用用輾輾轉轉相相除除求求特特解解2 111x321y75例求的一切整數解。例求的一切整數解。90000),)baxxtyyttZddbaxx

6、tyyttZdd 2 2）通通解解式式不不唯唯一一， ， ( ( 令令t t = = - -t t 則則， ， ( ( 1 1）首首先先判判別別有有無無解解？注注明明：)baxtyttZdd 3 3）當當c c= =0 0的的情情形形：通通解解式式為為：， ， ( ( 10 4 4） 系系數數a a、b b小小于于0 0時時：i i） 當當a a 0 0, ,b b 0 0時時，則則不不定定方方程程遍遍乘乘- -1 1 i i） 當當a a, ,b b一一正正一一負負，可可以以先先解解變變為為正正號號的的方方程程。 11練習練習921114223917xy1 1、解解不不定定方方程程、把把分分

7、成成二二正正整整數數之之和和，一一個個數數必必須須是是的的倍倍數數，另另一一個個數數必必須須是是2424的的倍倍數數。12定義與判斷定義與判斷 1122nn12n a xa xa xNn2a ,a ,a.形形如如（） (1) (1)的的整整系系數數方方程程稱稱多多元元一一次次不不定定方方程程（設設都都不不等等于于零零）1312nn12n a xa xa xN (a ,a ,1a ) N.(|) ：有有整整數數定定理理解解的的充充要要條條件件是是有有無無解解的的判判斷斷14 121122(1),1:nnnxxxa xa xa xN必必要要性性如如果果是是（ ）的的解解證證明明，即即12n12n1

8、2n12n12n12n因因為為(a ,a ,a )|a ,a ,a ,(a ,a ,a )|a ,a ,a ,則則有有整整除除的的可可乘乘可可加加性性得得：(a ,a ,a )|.(a ,a ,a )|.N (2) 12n12n充充分分性性設設(a ,a ,a )=d|N,N=dq (a ,a ,a )=d|N,N=dq (qZ12122, 則則存存在在使使得得 a annnxxxZxa xa xd1122nn1122nn所所以以有有： a (k q)+a (k q)+a (k q)=dq=N a (k q)+a (k q)+a (k q)=dq=N151 、引引入入輔輔助助未未知知量量法法1

9、122,即即q,qq,q是是(1)(1)的的一一個個解解。nnxk q xkxk多元一次不定方程的解法多元一次不定方程的解法 具具體體步步驟驟：,122233n-1nn122233n-1nn(1)(1)先先順順次次求求出出(a ,a )=d (d ,a )=d(d,a )=d(a ,a )=d (d ,a )=d(d,a )=d, n12nn12n則則d(a ,aa )=dd(a ,aa )=d1222331 122122233233n-1n-1n-1n-1aadaaddaddad作作方方程程組組dadannxxttxttxN16(2) (2) 解解方方程程組組中中各各個個二二元元一一次次不不

10、定定方方程程。(3) (3) 由由后后往往前前的的順順序序一一次次消消去去輔輔助助未未知知量量得得原原不不定定方方程程（1 1）的的通通解解。92451000 解解不不定定方方程程 例例1 1 (1) (1)xyz 因因為為(9,24)=3,(3,-5)=(3,(9,24)=3,(3,-5)=(3,解解: :5)=15)=1所所以以(1)(1)有有解解。351000 應應解解：9x+24y=3t9x+24y=3ttz351000 3x+8y=t3x+8y=t即即tz173 由由這這兩兩個個二二元元一一次次不不定定方方程程得得：x=3t-8ux=3t-8u(i)(i)(uZ )ytu10003

11、t=2000+5vt=2000+5v(ii)(ii)(vZ )zv20005310003 消消去去t t得得原原不不定定的的通通解解為為x=6000+15v-8ux=6000+15v-8uyvu(u,vZ )zv182 、逐逐步步降降低低系系數數法法92451000 xyz 解解不不定定方方程程 例例2 2 (1) (1) 因因為為(9,24(9,24，-5)=(9,24-5)=(9,24解解: :，-5)=1-5)=1 所所以以（1 1）有有解解。-1000+9x+24y-1000+9x+24y由由z=z=5 5x+yx+y=-200+2x+5y-=-200+2x+5y-5 55t,xtyx

12、+yx+y令令即即5 519設設z=-200+10t-2y+5y-tz=-200+10t-2y+5y-t原原不不定定方方程程（1 1）的的一一切切整整數數解解為為：u 令令y y=-200+9t+3y=-200+9t+3y20093yu(u,vZ )ztu x=5t-ux=5t-u20多元一次不定方程組的解法多元一次不定方程組的解法 111mmnm消消去去個個未未知知數數，從從而而也也就就消消去去了了個個方方程程，最最后后剩剩下下一一個個個個未未知知數數的的一一次次不不定定方方程程，這這樣樣就就可可以以按按多多元元一一次次不不定定方方程程的的解解法法求求解解，在在這這n-m+1n-m+1個個未

13、未知知數數有有了了解解后后，其其它它的的m-1m-1個個未未知知數數的的解解式式就就容容易易求求出出。解解n n個個未未知知數數m m個個方方程程（mn)mn)的的一一次次不不定定方方程程組組可可用用消消去去法法：21雞雞翁翁一一，值值錢錢五五，雞雞母母一一，值值錢錢三三，雞雞雛雛三三值值錢錢一一，百百錢錢買買百百雞雞，問問雞雞翁翁母母雛雛各各例例3 3 幾幾何何？ x,y,z解解：設設雞雞翁翁，雞雞母母，雞雞雛雛是是只只則則xyz10015x3yz1003 xyz10015x9yz300 2 （1 1）即即（ ）22由由（2 2）- -（1 1）得得：14x+8y=200 (3)14x+8y

14、=200 (3)因因為為（1414，8 8）=2=2（7 7，4 4）=2|200=2|200 x1004ty2007t 即即7x+4y=1007x+4y=100100,y200 0 0顯顯然然x x是是（3 3）的的一一個個特特解解。故故不不定定方方程程（3 3）的的通通解解為為：1代代如如（ ）得得：z100yx1001004t2007t3t 23 從從而而原原不不定定方方程程的的通通解解：x=-11-4tx=-11-4ty=200+7ty=200+7tz=-3tz=-3t按按題題意意求求非非負負整整數數解解：x0,y0,z0 x0,y0,z0t25262728 ，所所以以-28t-25(tZ)(-28t-25(tZ)(只只有有四四種種取取法法）24四四組組解解為為：x12x8x