1、中南大學土木建筑學院力學系中南大學土木建筑學院力學系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 3-1 3-1 概述概述 兩力偶作用面之間的各橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動。兩力偶作用面之間的各橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動。 桿件受到一對等值、反向、作用面與軸線垂直的力偶作用。桿件受到一對等值、反向、作用面與軸線垂直的力偶作用。扭轉(zhuǎn)變形特點扭轉(zhuǎn)變形特點扭轉(zhuǎn)受力特點扭轉(zhuǎn)受力特點相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角3-2 3-2 外力偶矩與扭矩外力偶矩

2、與扭矩 一、功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩之間的關(guān)系一、功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩之間的關(guān)系 1.1.外力偶矩與功率、角速度關(guān)系外力偶矩與功率、角速度關(guān)系 2.2.外力偶矩與功率、轉(zhuǎn)速關(guān)系外力偶矩與功率、轉(zhuǎn)速關(guān)系 ePM (kW)N m9549(r/min)ePMn（）(PS)N m7024(r/min)ePMn（）260n二、扭矩與扭矩圖二、扭矩與扭矩圖 ()0:xMF 0TeMMTeMM 扭矩正負規(guī)定扭矩正負規(guī)定 由右手螺旋法則確定，扭矩矢量與截面外法線一由右手螺旋法則確定，扭矩矢量與截面外法線一致者為正；反之為負。致者為正；反之為負。1.1. 扭矩扭矩MT 例：例：圖示傳動軸，主動輪圖示傳動軸，主動輪B

3、 輸入的功率輸入的功率PB=10kW，若不計，若不計軸承摩擦所耗的功率，兩個從動輪輸出的功率分別為軸承摩擦所耗的功率，兩個從動輪輸出的功率分別為PA=4kW，PC=6kW，軸的轉(zhuǎn)速，軸的轉(zhuǎn)速n = 500r/min，試作軸的扭矩圖。，試作軸的扭矩圖。 2.2.扭矩圖扭矩圖 表示扭矩沿軸線方向變化的圖形，橫坐標表示橫截表示扭矩沿軸線方向變化的圖形，橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示扭矩的大小。面的位置，縱坐標表示扭矩的大小。 解：解： 計算外力偶矩計算外力偶矩 AA49549954976.4N m500PMnBB1095499549191N m500PMnCC695499549114.6N m5

4、00PMn 計算軸各段的扭矩計算軸各段的扭矩 ()0:xMF 1A0TMM解得：解得： 176.4N mTM2C0TMM2114.6N mTM 繪制扭矩圖繪制扭矩圖 解得：解得： ()0:xMF 2-2： 1-1： 3-3 3-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 1. 1.各圓周繞軸線相對轉(zhuǎn)動，但其形狀、大小及相各圓周繞軸線相對轉(zhuǎn)動，但其形狀、大小及相鄰兩圓周線之間的距離不變，說明橫截面上無正應(yīng)鄰兩圓周線之間的距離不變，說明橫截面上無正應(yīng)力。力。 2. 2.在小變形下，各縱向線傾斜相同的小角度，但在小變形下，各縱向線傾斜相同的小角度，但仍為直線，表

5、面的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危f明橫截仍為直線，表面的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危f明橫截面上有切應(yīng)力面上有切應(yīng)力試驗現(xiàn)象：試驗現(xiàn)象： 微元體無軸向、橫向正應(yīng)變，但存在垂直于半徑微元體無軸向、橫向正應(yīng)變，但存在垂直于半徑方向的切應(yīng)變方向的切應(yīng)變 ，且圓周上所有各點的切應(yīng)變相同。，且圓周上所有各點的切應(yīng)變相同。所以圓周上各點在軸向、橫向無正應(yīng)力，在垂直于半所以圓周上各點在軸向、橫向無正應(yīng)力，在垂直于半徑方向上有相同的切應(yīng)力。徑方向上有相同的切應(yīng)力。 2220d2TMrr 22TMr 由于管壁很薄，近似認為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布由于管壁很薄，近似認為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布 壁厚壁厚平均半徑平均半徑二、純剪切與切應(yīng)力

6、互等定理二、純剪切與切應(yīng)力互等定理 2. 2. 純剪切純剪切 微元體的四個側(cè)面上只存在切應(yīng)力而無正應(yīng)力。微元體的四個側(cè)面上只存在切應(yīng)力而無正應(yīng)力。 1. 1. 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 在微元體的兩個互相垂直的截面上，垂直于截面在微元體的兩個互相垂直的截面上，垂直于截面交線的切應(yīng)力數(shù)值相等，方向均指向或背離該交線。交線的切應(yīng)力數(shù)值相等，方向均指向或背離該交線。 ()0:zMF (d )d(d )dyxxy 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 當切應(yīng)力不超過材料的剪切當切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，切應(yīng)力與切應(yīng)變成比例極限時，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。正比。 G 2(1)EG 材料的三個彈性常

7、數(shù)（彈性模材料的三個彈性常數(shù)（彈性模量、切變模量、泊松比）之間的數(shù)量、切變模量、泊松比）之間的數(shù)值關(guān)系：值關(guān)系： 剪切比例極限剪切比例極限G 為切變模量為切變模量3-4 3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力 一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式 1.1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 1. 1.各圓周繞軸線相對轉(zhuǎn)動，但其形狀、大小及相各圓周繞軸線相對轉(zhuǎn)動，但其形狀、大小及相鄰兩圓周線之間的距離不變，說明橫截面上無正應(yīng)鄰兩圓周線之間的距離不變，說明橫截面上無正應(yīng)力。力。 2. 2.在小變形下，各縱向線傾斜相同的小角度，但在小變形下，各縱向線傾斜相同的小角度，但仍為直線，

8、表面的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危f明橫截仍為直線，表面的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危f明橫截面上有切應(yīng)力面上有切應(yīng)力 試驗現(xiàn)象試驗現(xiàn)象 變形規(guī)律變形規(guī)律 tan ddx ddx ddad 平面假設(shè)平面假設(shè) 圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍為圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍為平面，且其形狀、大小不變，半徑仍為直線，兩相鄰平面，且其形狀、大小不變，半徑仍為直線，兩相鄰截面間的距離不變。截面間的距離不變。（圓軸扭轉(zhuǎn)時各橫截面像剛性平（圓軸扭轉(zhuǎn)時各橫截面像剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動。）面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動。）距軸線為距軸線為 處的切應(yīng)變與處的切應(yīng)變與 成正比成正比2.2.物理關(guān)系物理關(guān)系 G ddGx dd

9、x ddx 未知，與內(nèi)力、材料、截面有關(guān)。未知，與內(nèi)力、材料、截面有關(guān)。P時：時：切應(yīng)力分布規(guī)律圖切應(yīng)力分布規(guī)律圖實心圓軸實心圓軸空心圓軸空心圓軸 與與 成正比成正比3.3.靜力關(guān)系靜力關(guān)系 AdTMA 2PAdIA PddTMxGI AdddGAx 2AdddGAx 令令抗扭剛度：截面抵抗抗扭剛度：截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力扭轉(zhuǎn)變形的能力極慣性矩極慣性矩扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式 PTMI PddTMxGI ddGx 二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 PPPmaxIIWR maxPTMW maxmaxPTMI 抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)同一截面上最大切應(yīng)力同一截面上最大切應(yīng)力發(fā)生

10、在周邊各點處。發(fā)生在周邊各點處。僅適用于線彈性范僅適用于線彈性范圍內(nèi)的等直圓軸圍內(nèi)的等直圓軸三、極慣性矩與抗扭截面系數(shù)的計算三、極慣性矩與抗扭截面系數(shù)的計算 1.1.實心圓截面實心圓截面 2PAdIA 3PP162IdWd 220(2d )d 432d 2.2.空心圓截面空心圓截面 4444()(1)3232DdD34PP(1)162IDWD 222(2d )Dd 2PAdIA dD3.3.薄壁圓截面薄壁圓截面 20AdRA 2P02WR 2PAdIA 302 R 極慣性矩與面積對于點的分布有什么關(guān)系？極慣性矩與面積對于點的分布有什么關(guān)系？相同面積的實心圓與空心圓哪個對于圓心的極慣性矩大？相同

11、面積的實心圓與空心圓哪個對于圓心的極慣性矩大？四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強度條件四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強度條件 1.1.扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力 1 1）塑性材料的扭轉(zhuǎn)失效）塑性材料的扭轉(zhuǎn)失效 2 2）脆性材料的扭轉(zhuǎn)失效）脆性材料的扭轉(zhuǎn)失效 橫截面上的最大切應(yīng)橫截面上的最大切應(yīng)力即力即扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力為扭轉(zhuǎn)為扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力。極限應(yīng)力。 橫截面上的最大切應(yīng)橫截面上的最大切應(yīng)力即力即扭轉(zhuǎn)強度極限扭轉(zhuǎn)強度極限為扭轉(zhuǎn)為扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力。極限應(yīng)力。 0n許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力2.圓軸的扭轉(zhuǎn)強度條件圓軸的扭轉(zhuǎn)強度條件 maxmaxP()TMW 3.圓軸合理截面與減緩應(yīng)力集中圓軸合理截面與減緩應(yīng)力集中 1. 1.設(shè)計軸截面宜將材料遠離圓心，平均半徑越大，設(shè)計軸截面宜將材料遠離圓心，平均半徑越大，壁厚越小，切應(yīng)力分布越均勻，材料的利用率越高。壁厚越小，切應(yīng)力分布越均勻，材料的利用率越高。 2. 2.設(shè)計時盡量減少截面尺寸的急劇改變，以減緩設(shè)計時盡量減少截面尺寸的急劇改變，以減緩應(yīng)力集中。應(yīng)力集中。 對于等直圓軸：對于等直圓軸： maxmaxPTMW 根據(jù)扭轉(zhuǎn)強度條件可進行三類強度問題計算：根據(jù)扭轉(zhuǎn)強度條件可進行三類強度問題計算：強度校核強度校核截面設(shè)計截面設(shè)計許可載荷確定許可載荷確定 例：例：圖示階梯形空心圓截面軸，圖示階梯形空心圓截面軸，在橫截面在橫截面A