1、第五章第五章 大數定律與中心極限定理大數定律與中心極限定理1 1 切貝謝夫不等式切貝謝夫不等式研討隨機變量的離差與方差的關系。ED設隨機變量 有期望值與方差。對任給 0,有2DP(|E |) 2DP(|E |)1 稱為切貝謝夫不等式若 是離散證：型隨機變量。kkP(x )p kk|xE |P(|E |)P(x ) k2kk2|xE |(xE )p 2kk2k(xE )p 2D若 是連續型隨機變量。(x)的概率密度為P(|E |)P(E)P(E) EE(x)dx(x)dx22E22E(xE )(xE )(x)dx(x)dx 22(xE )(x)dx 2D1 設 是擲一顆骰子所出現的點數，若給定1

2、，2，實際計算P(| -E |),并驗證切貝謝夫不例等式成立。1P(k),k1,2,.,66 解：7E2 35D12 72P12371P223235112 D時，235248 D時，2313021000設電站供電網有盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定開、關事件彼此獨立，估計夜晚同時開著的燈數在6800與7200之間例的概率。令 表示夜晚同時開著的燈解：的數目。B(10000,0.7)7199kk10000 k10000k 6801P(68007200)C0.7 0.3 用切貝謝夫不等式估計：Enp 7000Dnpq 2100P(68007200)P(|7000| 200) 221

3、001200 0.951nniiii 1,.,n1E,D8,(i1,2,.,n),n3 若是 個相互獨立，同分布的隨機變量，。對于 寫出 所滿足的切貝謝夫不等式，并估計例P(| - |0,n充分大時，必有n+1 且nnnlimP(|0|) n1limPn n1lim 1n=1 n即依概率收斂于0n3設為例兩點分布 n1aaa nn定義若存在常數 ，使對于任何 0，有limP(|0nlimPp1n 大量反復實驗中，事件發生的頻率接近于概率。假設P(A)很小，那么A發生的頻率也很小如P(A)=0.001,約在1000次實驗中，A發生一次在一次實驗中以為A幾乎不能夠發生。這稱為小概率事件的實踐不能夠

4、性原理。12inini 13 (),.a(i1,2,.)1limPa1n 定理辛欽大數定律 如果是相互獨立有相同分布的隨機變量,有E則對任意給定的 0，有12n,., 即的算術平均值依概率收斂于a實踐運用中，對某一量a，在不變條件下反復丈量n次，得到察看值x1,xnnii 1nxa1當 充分大時，可用作為 的近似值。n3 3 中心極限定理中心極限定理釘板實驗研討在什么條件下，大量獨立隨機變量和的分布以正態分布為極限，這一類定理稱為中心極限定理。普通地，假設某項偶爾要素對總和的影響是均勻的、微小的，即沒有一項起特別突出的作用，那么這些大量獨立偶爾要素總和的隨機變量近似服從正態分布。212iiii

5、,.Ea ,D 設相互獨立，innii=1若每個 對總和 影響不太大，則當 很大時，近似服從正態分布。nnnn2iiiii 1i 1i 1i 1EEa ,DD 由于nn2iii 1i 1Na ,nii 1n2ii 1aN(0,1)這就是如下的李雅普諾夫定理：212iiiiinii 1nii0ni 1n1.Ea ,D,limP(a )x(x) nn2ii=1定理設 ， ，相互獨立，若某個 對總和影響不大，令S 則1S例1 一個螺絲釘分量是一個隨機變量，期望值是1兩，規范差是0.1兩。求一盒(100個)同型號螺絲釘的分量超越10.2斤的概率。100iiii1設第 個螺絲釘重量為 ，一盒重量為 解：

6、21100ii0.1,D0.1 ,.,相互獨立，E100ii 1EE100() 兩100ii 1DD1 N(100,1)近似服從正態分布P(102) 100P211001 P21 01(2) =0.02275例2 對敵人的防御地段進展100次轟炸，每次轟炸命中目的的炸彈數目是一個隨機變量，其期望值為2，方差為1.69。求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目的的概率。ii第 次轟炸命中目標的次數為解：100ii1100次轟炸命中目標的次數 100ii1EE200 100ii1DD169 D13 2N(200,13 )P(180220) |200|20P131302(1.54) 10.8

7、764414848ii1.011,483設 ，相互獨立，都是，上均勻分布。記 求P(例0.4)ii11,D212 法一：E解48ii1E24,D4 記 ,2N(24,2 )148因為 P(0.4) 1P0.448 P(19.2) 2419.224P220( 2.4) 01(2.4) =0.008158解法二：正態分布的線性函數也是正態分布48ii1EE48 1120.548i2i1DD48 11576212421N 0.5,240.50.40.5P(0.4)P112424 0( 2.4) =0.008158例4 某大型商場每天接待顧客10000人，設某位顧客的消費額(元)服從100,1000上

8、的均勻分布，且顧客的消費額是獨立的，試求該商場的銷售額在平均銷售額上、下浮動不超越20000元的概率。ii第 位顧客消費額位 ，商場銷解售額為：10000ii1iE550 2i1D(1000 100)12 2900122900E5500000,D1000012 550000020000P100 900100 9001212P(550000020000550000020000) 02(0.77) 1 0.56例5 計算機在進展加法時，每個加數取整數(四舍五入)，設一切取整誤差是相互獨立的，且它們都在-0.5，0.5上服從均勻分布。(1)假設將1500個數相加，問誤差總和的絕對值超越15的概率是多

9、少？(2)最少幾個數相加在一同可使得誤差總和的絕對值小于10的概率不超越90？121500(1). 解：iE0 i1D12 E0 D125 P(| 15) 1 P(| 15) |0|151P125125 01 (2(1.34) 1) =0.18024(2)設有n個數相加12n.,E0 nD12 |0|10P(| 10)Pnn1212 01021n12 0.90100.95n12即101.64n12n446解得二項分布可以看成多個0-1分布之和當n添加時，它以正態分布為極限。00ab(b)(a)bnpanpnpqnpq (2)積分極限定理：當n時P()02 ()(1)nknpnpq 定理拉普拉斯

10、定理局部極限定理：當時1P( =k)npq例6 10部機器獨立任務，每部停機的概率為0.2，求3部機器同時停機的概率。設同時停機的數目為 ，它服從解：二項分布n10,p0.2np2npq1.265(1)直接計算33710P(3)C 0.2 0.80.2013 (2)用局部極限定理001knp132P(3)1.2651.265npqnpq 01(0.79)0.23081.265相差較大，這是由于n較小。n30一般要求例7 每顆炮彈命中飛機的概率為0.01，求500發炮彈中命中5發的概率。500發炮彈中命中飛機的數目 服解：從二項分布n=500 p=0.01np5npq2.225(1)直接計算55

11、495500P(5)C0.01 0.09 0.1763501knpP(5)npqnpq (2)用部分極限定理01552.2252.22501(0)2.2250.1793(3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布計算np5 查表得P5(5)=0.175467比用正態分布更準確正態分布與Poisson分布都是二項分布的極限分布。n 用正態分布要求：Poissonn,p0,np 用分布要求：np(q)對 很大，或很小的二項分布(np5)用Poisson分布近似計算比用正態分布準確實踐運用更多的是積分極限定理廢品數 服解：從二項分布n=10000p=0.005np50, npq7.0532N(

12、50,7.053 )近似服從正態分布507050P(70)P7.0537.053 0(2.84) =0.9977例8 產品為廢品的概率為p=0.005,求10000件產品中廢品數不大于70的概率。例9 知一次實驗中P(A)=0.75,分別用切貝謝夫不等式與中心極限定理計算。(1)在1000次實驗中，A發生的次數在700-800之間的概率。(2)n取多大時，才干使n次反復獨立實驗中A出現的頻率在0.740.76間的概率至少為0.9？(1)A發生的次數 服從解：二項分布n=1000p=0.75Enp750 Dnpq187.5 用切貝謝夫不等式計算P(700800)P(|750| 50) 2187.5150 =0.925用正態分布計算P(700800)P(|750| 50) 75050P187.5187.502(3.65) 10.9997378 n(2) 次試驗中A發生的次數 服從二項分布Enp0.75n Dnpq0.1875n 0.740.760.9要使Pn用切貝謝夫不等式P 0.740.76P(0.74n0.76n)n P(|0.75n| 0.01n)20.1875n1(0.01n) 18751n 0.9n18750故用正態分布P 0.740.76P(|0.75n| 0.01n)n0.75n0.01nP0.1875n0.1875n00.012n10.18