1、考試試題紙卷課程名稱 數理方法 專業班級 2017 題號一二三四五六七八九十總分題分201515152015100 備注: 學生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題)一、 填空題（按順序將正確答案填寫到答題本上。本大題共5小題，每小題4分，共20分）1 每一個物理過程都處在特定的條件之下，常常使用一個偏微分方程和相應的初始條件和邊界條件對物理過程中的某個狀態的變化過程進行描述，形成一個（A）問題。偏微分方程只給定初始條件時稱為（B）問題。解的（C）稱為問題的適定性。2 二階線性偏微分方程屬于（D）型方程。 3 以下說法：（1）第一類n階Bessel函數與第二類Bessel函數是線性無關

2、的；（2）半奇數階的第一類Bessel函數都是初等函數；（3）任意兩個第一類Bessel函數都是線性相關的；（4）對任何正數n,；（5）n為整數時，n不為整數時，。其中正確的有（E）。4 由波動方程確定的解依賴過的兩條直線在軸所截得的區間 （F） 上的初始條件，這兩條直線與軸圍成的三角形區域稱為由依賴區間所確定的 （G） .5 邊值問題 的固有值為 （H） ,固有函數為 （I） . 二、（15分）用達朗貝爾公式求解半無界區域上弦振動定解問題：三、（15分） 用分離變量法求解定解問題：四（15分）求解定解問題：五、（20分） I 求證 的Fourier逆變換為 ；II用積分變換法求解下列定解問題

3、：六、（15分）I 求證二階線性微分方程都可在適當變量替換下化為Bessel方程。II 求解的通解。 參考解答：一、 填空題1. A 定解 B 初值（或Cauchy問題） C 存在性、唯一性和穩定性2. D 雙曲3. E (1)(2)(4)4. F x-3t,x+t ,G 決定區域5. H I 二、解：無界區域上波動方程 的達朗貝爾公式為：對于本題所給半無界區域上的自由端點定解問題，只需對初始條件作偶延拓，即令：即可， ,代入達朗貝爾公式得 二、 解：設，則，分離變量成為，則，解前一方程，得固有值和固有函數，代入方程中可得， 由疊加原理，原方程有解?？紤]所給初值條件，有： ，則， ， 故，原問題的定解為。四、解：首先，作變換，將邊界齊次化，只需令 原定解問題就可化為函數的定解問題：，特別地，當時泛定方程可進一步化為更簡單的形式。然后，對上述方程求由齊次泛定方程導出的方程在邊界時的固有值和固有函數， 利用常數變易法構造滿足原泛定方程的解 代入得：。由于，可令解得，故原方程的解為： 五、解：I II 對所給初值問題關于變量作Fourier變換，記，并設的Fourier變換為 ，的Fourier變換為，得： ，對其求解可得.進行Fourier逆變換，并利用卷積性質，有：六、I 證：令取 ，則代入方程中，變形為 若令，方程成為：這是一個