1、第三節 扭轉時橫截面上的應力一、應力分布規律為了建立扭轉的強度條件，在求出了圓軸各截面上的扭矩值后，還需要進一步研究扭轉應力的分布規律，因而需要研究扭轉變形。下面通過一個具體的實例來看看扭轉變形。取一根橡膠圓棒，為觀察其變形情況，試驗前在圓棒的表面畫出許多圓周線和縱向線，形成許多小矩形，見上圖。在軸的兩端施加轉向相反的力偶矩mA、mB，在小變形的情況下，可以看到圓棒的變形有如下特點： 1變形前畫在表面上的圓周線的形狀、大小都沒有改變，兩相鄰圓周線之間的距離也沒有改變； 2表面上的縱向線在變形后仍為直線，都傾斜了同一角度g，原來的矩形變成平行四邊形。兩端的橫截面繞軸的中心線相對轉動了一個角度j，

2、叫做相對扭轉角，見下圖。觀看動畫，理解微元體的獲得。 通過觀察到的表面現象，可以推理得出以下結果：各橫截面的大小、形狀在變形前后都沒有變化，仍是平面，只是相對地轉過了一個角度，各橫截面間的距離也不改變，從而可以說明軸向纖維沒有拉、壓變形，所以，在橫截面上沒有正應力產生；圓軸各橫截面在變形后相互錯動，矩形變為平行四邊形，這正是前面討論過的剪切變形，因此，在橫截面上應有剪應力；變形后，橫截面上的半徑仍保持為直線，而剪切變形是沿著軸的圓周切線方向發生的。所以剪應力的方向也是沿著軸的圓周的切線方向，與半徑互相垂直。由此知道扭轉時橫截面上只產生剪應力，其方向與半徑垂直。下面進一步討論剪應力在橫截面上的分

3、布規律。 為了觀察圓軸扭轉時內部的變形情況，找到變形規律，取受扭轉軸中的微段dx來分析(上圖a)。假想O2DC截面象剛性平面一樣地繞桿軸線轉動dj，軸表面的小方格ABCD歪斜成平行四邊形ABC'D'，軸表面A點的剪應變就是縱線歪斜的角g，而經過半徑O2D上任意點H的縱向線EH在桿變形后傾斜了一個角度gr，它也就是橫截面上任一點E處的剪應變。應該注意，上述剪應變都是在垂直于半徑的平面內的。設H點到軸線的距離為r，由于構件的變形通常很小，即所以 (a) 由于截面O2DC象剛性平面一樣地繞桿軸線轉動，圖上O2HH'與O2DD'相似，得(b) 將式(b)代入(a)式得

4、(1-40) 上式表明，圓軸扭轉時，橫截面上靠近中心的點剪應變較小；離中心遠的點剪應變較大；軸表面點的剪應變最大。各點的剪應變gr與離中心的距離r成正比。 根據剪切虎克定律知道剪應力與剪應變成正比，即t=G·g。在彈性范圍內剪應變g越大，則剪應力t也越大；橫截面上離中心為r的點上，其剪應力為tr；軸表面的剪應力為t。因此有 tr = G·gr，t=G·g代入（1-40）式可得 (1-41)上式即說明了圓軸扭轉時橫截面上剪應力分布的規律是：橫截面上各點的剪應力與它們離中心的距離成正比。圓心處剪應力為零，軸表面的剪應力t最大。分布情況如下圖所示。演示動畫 在橫截面上剪

5、應力也與剪應變有相同的分布規律。即 (1-42) 二、橫截面上剪應力計算公式與最大剪應力要計算剪應力，只知道了橫截面上剪應力分布規律還不夠，還必須分析截面上的扭矩M與剪應力t之間的關系。在截面上任取一距中心為r的微面積dA，作用在微面積上的力的總和tr·dA，對中心O的力矩等于tr·dA·r。截面上這些力矩合成的結果應等于扭矩M，即將式（1-42）代入得 令，稱做截面的極慣性矩。則上式可以改寫為再令，稱做抗扭截面模量。則得到 (1-43)將式(1-43)代入式(1-42)，可得出橫截面上任一點的剪應力計算公式(1-44)三、極慣性矩Jr與抗扭截面模量Wr的計算極慣

6、性矩Jr與抗扭截面模量Wr是與截面尺寸和形狀有關的幾何量，可以按下述方法計算。(1) 對實心圓軸來說，如上圖，可以取一圓環形的微面積dA，則dA=2p·r·dr，因此(2) 對內徑為d，外徑為D的空心圓軸，它的極慣性矩Jr與抗扭截面模量Wr分別為  ，令d/D=a，則 應當注意的是：圓形截面的極慣性矩是外圓與內圓的極慣性矩之差；而它的抗扭截面模量卻不是外圓與內圓的抗扭截面模量之差。下面是兩道例題，供讀者參照。例1-22.設攪拌軸的轉速為n50r/min，攪拌功率為N=2kW，攪拌軸的直徑d=40mm，求軸內的最大應力。 解析：軸的外力偶矩為 N·m抗扭截面模量為 N·m桿在扭轉時的最大剪應力為 MPa 例1-23.有一實心圓軸，直徑為d=81mm；另一空心軸的內徑為d=62mm，外徑為D=102mm，這兩根軸的截面積相同，等于51.5cm2。試比較這兩根軸的抗扭截面模量。 解析：實心軸 N·m空心軸 N·m由此可見，在材料相同、截面積相等的情況下，空心軸比實心軸的抗扭能力強，能夠承受較大的外力矩。在相同的外力矩情況下，選用空心軸要比實心軸省材料。這從圓截面的應力分布也可以看出，實心軸圓