1、排列組合基礎知識及習題分析排列、組合的本質是研究“從n個不同的元素中，任取m (mn)個元素，有序和無序擺放的各種可能性”.區別排列與組合的標志是“有序”與“無序”. 解答排列、組合問題的思維模式有二： 其一是看問題是有序的還是無序的？有序用“排列”，無序用“組合”； 其二是看問題需要分類還是需要分步？分類用“加法”，分步用“乘法”. 分 類：“做一件事，完成它可以有n類方法”，這是對完成這件事的所有辦法的一個分類.分類時，首先要根據問題的特點確定一個適合于它的分類標準，然后在這個 標準下進行分類；其次，分類時要注意滿足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；分別屬于不同兩類的兩

2、種方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，這是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟.分步時，首先要根據問題的特點，確定一個可行的分步標準；其次，步驟的設置要滿足完成這件事必須并且只需連續完成這n個步驟后，這件事才算最終完成. 在解決排列與組合的應用題時應注意以下幾點： 1有限制條件的排列問題常見命題形式： “在”與“不在” “鄰”與“不鄰” 在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法： “相鄰”問題在解題時常用“合并元素法”，可把兩個以上的元素當做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方法. “不鄰”問題在解題時最常用的是“插空排列法”. “在”與“不在”問題，常常涉及

3、特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，利用規定順序的實情求出結果. 2有限制條件的組合問題，常見的命題形式： “含”與“不含” “至少”與“至多” 在解題時常用的方法有“直接法”或“間接法”. 3 在處理排列、組合綜合題時，通過分析條件按元素的性質分類，做到不重、不漏，按事件的發生過程分步，正確地交替使用兩個原理，這是解決排列、組合問題的最基本的，也是最重要的思想方法. * 習題1、三邊長均為整數，且最大邊長為11的三角形的個數為（ C ） (A)25個 (B)26個 (C)36個 (D)37個 2、 （1）將4封信投入

4、3個郵筒，有多少種不同的投法？ （2）3位旅客，到4個旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？ （3）8本不同的書，任選3本分給3個同學，每人一本，有多少種不同的分法？ 3、 七個同學排成一橫排照相. （1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？ （3600） （2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？ （1440） （3）甲不在排頭或排尾，同時乙不在中間的不同排法有多少種？ （3120） （4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？ （1440） （5）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法有多少種？（2520） 4、用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的數. （1）能組成多少個四位

5、數？ （300） （2）能組成多少個自然數？ （1631） （3）能組成多少個六位奇數？ （288） （4）能組成多少個能被25整除的四位數？ （21） （5）能組成多少個比201345大的數？ （479） （6）求所有組成三位數的總和. （32640） 5、生產某種產品100件，其中有2件是次品，現在抽取5件進行檢查. （1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？ （152096） （2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少種？ （7224560） （3）“其中沒有次品”的抽法有多少種？ （67910864） （4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？ （7376656） （5）“其中至多有一件

6、次品”的抽法有多少種？ （75135424） 6、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型和乙型電視機各1臺，則不同的取法共有（ ） 7、在50件產品中有4件是次品，從中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有_種. 8、有甲、乙、丙三項任務, 甲需2人承擔, 乙、丙各需1人承擔.從10人中選派4人承擔這三項任務, 不同的選法共有（ ） 9、12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有_種10、在一張節目表中原有8個節目，若保持原有節目的相對順序不變，再增加三個節目，求共有多少種安排方法？ 990 解決排列組合問題的策略1、逆向思維法： 例題

7、：7個人排座，甲坐在乙的左邊（不一定相鄰）的情況有多少種？例題：一個正方體有8個頂點 我們任意選出4個，有多少種情況是這4個點可以構成四面體的。例題：用0，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（ ） A24個 B30個 C40個 D60個2、解含有特殊元素、特殊位置的題采用特殊優先安排的策略：（1）無關型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集例題：用0，1，2，3，4，5六個數字可組成多少個被10整除且數字不同的六位數?（2）包含型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關系 例題：用0，1，2，3，4，5六個數字可組成多少個被5整除且數字不同

8、的六位奇數?P55×P441202496 用0，1，2，3，4，5六個數字可組成多少個被25整除且數字不同的六位數?25，75 （3×3×2×1）×2P44362460（3）影響型：兩個特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。例題：用1，2，3，4，5這五個數字，可以組成比20000大并且百位數字不是3的沒有重復數字的五位數有多少個?3、解含有約束條件的排列組合問題一采用合理分類與準確分步的策略例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構成的矩形共有_個。4、解排列組臺混合問題采用先選后排策略對于排列與組合的混合問題，可采取

9、先選出元素，后進行排列的策略。 例：4個不同小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子，則恰有一個空盒的放法有_種。1445、插板法插板法的條件構成： 1元素相同，2分組不同，3必須至少分得1個插板法的類型：（1）、10塊奶糖分給4個小朋友，每個小朋友至少1塊，則有多少種分法？（典型插板法 點評略）（2）、10塊奶糖分給4個小朋友有多少種方法？（湊數插板法： 這個題目對照插板法的3個條件我們發現 至少滿足1個這個條件沒有， 所以我們必須使其滿足，最好的方法 就是用14塊奶糖來分，至少每人1塊 ，當每個人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題）（3）、10塊奶糖放到編號為1，2，

10、3的3個盒子里，每個盒子的糖數量不少于其編號數，則有幾種方法？（定制插板法： 已然是最后一個條件不滿足，我們該怎么處理呢，應該學會先去安排 使得每個盒子都差1個，這樣就保證每個盒子必須分得1個，從這個思路出發，跟第二個例題是姊妹題 思路是一樣的 對照條件 想辦法使其和條件吻合！）（4）、8塊奶糖和另外3個不同品牌的水果糖要放到編號為111的盒子里面，每個盒子至少放1個，有多少種方法？（多次插空法 這里不多講，見我排列組合基礎講義）6、遞歸法（枚舉法） 公考也有這樣的類型， 排錯信封問題，還有一些郵票問題歸納法：例如：5封信一一對應5個信封，其中有3個封信裝錯信封的情況有多少種？例如：10張相同

11、的郵票 分別裝到4個相同的信封里面，每個信封至少1張郵票，有多少種方法？疑難問題1、如何驗證重復問題2、關于位置與元素的相同問題，例如： 6個人平均分配給3個不同的班級，跟 6個學生平分成3組的區別3、關于排列組合里面，充分運用對稱原理。例題： 1，2，3，4，5 五個數字可以組成多少個十位數小于個位數的四位數？例題：7個人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情況有多少種？注解：分析2種對立情況的概率，即可很容易求解。 當對立情況的概率相等，即對稱原理。4、環形排列和線性排列問題。（見我的基礎排列組合講義二習題講解）例如：3個女生和4個男生圍坐在一個圓桌旁。 問有多少種方法？例如：3對夫婦

12、圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個坐下來的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環形排列中 每個位置都是相對的位置，沒有絕對位置，所以需要有一個人坐下來作為參照位置。5、幾何問題：見下面部分的內容。例析立體幾何中的排列組合問題在數學中，排列、組合無論從內容上還是從思想方法上，都體現了實際應用的觀點。1 點11 共面的點例題： 四面體的一個頂點為A，從其它頂點與棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有（ ）A30種 B33種 C36種 D39種 答案：B點評：此題主要考查組合的知識和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主

13、要原因是沒有把每條棱上的3點與它對棱上的中點共面的情況計算在內。12 不共面的點例2： 四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ）A150種 B147種 C144種 D141種解析：從10 個點中任取4個點有C（10，4）210 種取法，其中4點共面的情況有三類：第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面內，有C（6，2）15種；第二類，取任一條棱上的3個點及對棱的中點，這4點共面有6種；第三類，由中位線構成的平行四邊形，它的4個頂點共面，有3種。以上三類情況不合要求應減掉，所以不同取法共有2104×1563141 種。答案：D。點評：此題難度很大，

14、對空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點共面的幾種情況；排列、組合中正難則反易的解題技巧及分類討論的數學思想。幾何型排列組合問題的求解策略有關幾何型組合題經常出現在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關知識，而且還要掌握相關的幾何知識.這類題目新穎、靈活、能力要求高，因此要求掌握四種常用求解策略.一 分步求解例1 圓周上有2n個等分點（n1），以其中三個點為頂點的直角三角形的個數為_解：本題所求的三角形，即為圓的內接直角三角形，由平面幾何知識，應分兩步進行：先從2n個點中構成直徑（即斜邊）共有n種取法；再從余下的(2n2)個點中取一點作為直角頂點，有(2n2)種不同取法故總共有n(

15、2n2)2n(n1)個直角三角形故填2n(n1)例2： 從集合0、1、2、3、5、7、11中任取3個元素分別作為直線方程AxByC0中的A、B、C，所得的經過坐標原點原直線共有_條（結果用數值來表示）.解：因為直線過原點，所以C0. 從1、2、3、5、7、11這6個數中任取2個作為A、B， 兩數的順序不同，表示的直線也不同，所以直線的條數為 P（6，2）30二 分類求解例3 四邊體的一個頂點為A，從其它頂點與各棱的中點中取3點，使它們和A在同一平面上，不同取法有（ ）(A)30種 (B)33種 (C)36種 (D)39種 解：符合條件的取法可分三類： 4個點（含A）在同一側面上，有3 30種；

16、4個點（含A）在側棱與對棱中點的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，故選B.三 排除法求解例4 從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（ ） (A) 8種 (B) 12種 (C) 16種 (D) 20種解：由六個任取3個面共有 C（6，3）20種，排除掉3個面都相鄰的種數，即8個角上3個平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有 20812種，故選(B)例5 正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有（ ）個？解：從7個點中任取3個點，共有C（7，3）35 個，排除掉不能構成三角形的情形3點在同一直線上有3個，故符合條件的三角形共有 35332個

17、四 轉化法求解 例6 空間六個點，它們任何三點不共線，任何四點不共面，則過每兩點的直線中有多少對異面直線？ 解：考慮到每一個三棱錐對應著3 對異面直線，問題就轉化為能構成多少個三棱錐. 由于這六個點可構成C（6，4）15 個三棱錐，故共有3×15 45對異面直線.例7 一個圓的圓周上有10個點，每兩個點連接一條弦，求這些弦在圓內的交點個數最多有幾個？ 解：考慮到每個凸四邊形的兩條對角線對應一個交點，則問題可轉化為構成凸四邊形的個數顯然可構成 C（10，4）210個圓內接四邊形，故10個點連成的點最多能在圓中交點210個.6、染色問題：不涉及環形染色 可以采用特殊區域優先處理的方法來分

18、步解決。環形染色可采用如下公式解決：An（a1）n+(a-1)×(-1)n n表示被劃分的個數，a表示顏色種類原則：被染色部分編號，并按編號順序進行染色，根據情況分類在所有被染色的區域，區分特殊和一般，特殊區域優先處理例題1：將3種作物種植在如圖4所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物。則有多少種種植方法？圖1例題2：用5種不同顏色為圖中ABCDE五個部分染色，相鄰部分不能同色，但同一種顏色可以反復使用，也可以不使用，則符合要求的不同染色方法有多少種？圖2例題3：將一個四棱錐的五個頂點染色，使同一條棱的2個端點不同色，且只由五個顏色可以使用，有多少種染色

19、方法？圖3例題4：一個地區分為如圖4所示的五個行政區域，現在有4種顏色可供選擇，給地圖著色，要求相鄰區域不同色，那么則有多少種染色方法？圖4例題5：某城市中心廣場建造了一個花圃，分6個部分（如圖5） 現在要栽種4種不同的顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能種同樣顏色的花，則有多少種不同栽種方式？圖5：1. 排列組合題（系列之二）一）  1, 2, 3, 4作成數字不同的三位數，試求其總和？但數字不重復。 解析 組成3位數 我們以其中一個位置(百位,十位,個位)為研究對象就會發現 當某個位置固定 比如是1,那么其他的2個位置上有多少種組合? 這個大家都知道 是剩下的3個數字的全排列

20、P32我們研究的位置上每個數字都會出現P32次 所以每個位置上的數字之和就可以求出來了 個位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以總和是6660 （二）  將“PROBABILITY ”11個字母排成一列，排列數有_種，若保持P, R, O次序，則排列數有_種。 解析 這個題目就是直線全排列出現相同元素的問題:在我的另外一個帖子里面有介紹: (1)我們首先把相同元素找出來,B有2個, I 有2個  我們先看作都是不同的11個元素全排列 這樣就簡單的多是P11,11&#

21、160; 然后把相同的元素能夠形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。 (2)第2個小問題 因要保持PRO的順序，就將PRO視為相同元素（跟B，I類似的性質），則其排列數有11！/（2！×2！×3！）= 166320種。 （三）  李先生與其太太有一天邀請鄰家四對夫婦共10人圍坐一圓桌聊天，試求下列各情形之排列數：     （1）男女間隔而坐。       （2）主人夫婦相對而坐。       （3）每對夫婦相對而坐。     （4）男女

22、間隔且夫婦相鄰。        （5）夫婦相鄰。       （6）男的坐在一起，女的坐在一起。   解析 (1) 這個問題也在 先簡單介紹一下環形排列的特征,環形排列相對于直線排列缺少的就是參照物.第一個坐下來的人是沒有參照物的,所以無論做哪個位置都是一樣的. 所以從這里我們就可以看出 環形排列的特征是 第一個人是做參照物,不參與排列. 下面就來解答6個小問題: (1)先讓5個男的或5個女的先坐下來 全排列應該是 P44, 空出來的位置他們的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列這個時候有了參照物所以排列是P55

23、答案就是 P44*P55=2880種 (2)先讓主人夫婦找一組相對座位入座 其排列就是P11(記住不是P22 ),這個時候其他8個人再入座,就是P88,所以此題答案是 P88 (3)每對夫婦相對而坐,就是捆綁的問題.5組相對位置有一組位置是作為參照位置給第一個入座的夫婦的,剩下的4組位置就是P44, 考慮到剩下來的4組位置夫婦可以互換位置即 P44*24=384 (4)夫婦相鄰,且間隔而坐. 我們先將每對夫婦捆綁 那么就是5個元素做環形全排列 即P44  這里在從性別上區分 男女看作2個元素 可以互換位置 即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*24 因為要互換位置,必須

24、5對夫婦都得換 要不然就不能保持男女間隔) (5) 夫婦相鄰 這個問題顯然比第4個問題簡單多了,即看作捆綁 答案就是P44 但是這里卻是每對夫婦呼喚位置都可以算一種方法的. 即 最后答案是P44*25 (6)先從大方向上確定男女分開座,那么我們可以通過性別確定為2個元素做環形全排列.即P1,1 , 剩下的5個男生和5個女生單獨做直線全排列  所以答案是P1,1 *P55*P55 （四）在一張節目表中原有8個節目，若保持原有節目的相對順序不變，再增加三個節目，求共有多少種安排方法？ 解析 這個題目相信大家都見過 就是我們這次2008年國家公務員考試的一道題目: 這是排列組合的一種方法

25、叫做2次插空法或多次插空法 直接解答較為麻煩，我們知道8個節目相對位置不動,前后共計9個間隔,故可先用一個節目去插9個空位，有C9取1種方法；這樣9個節目就變成了10個間隔,再用另一個節目去插10個空位，有C10取1種方法；同理用最后一個節目去插10個節目形成的11個間隔中的一個，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為9*10*11=990種。 方法2: 我們先安排11個位置,把8個節目按照相對順序放進去,在放另外3個節目,11個位置選3個出來進行全排列 那就是P11,3=11*10*9=990 （五） 0，1，2，3，4，5五個數字能組成多少個被25整除的四位數？ 解析 這里考

26、察了一個常識性的問題 即 什么樣數才能被25整除  即這個數的后2位必須是25或者50，或者75或者00 方可. 后兩位是25的情況有:千位只有3個數字可選(0不能) 百位也是3個可選  即3*3=9種 后兩位是50的情況有:剩下的4個數字進行選2位排列 P4,2=12種 75不可能，因為數字中沒有7 00也不可能，因為數字不能重復共計 9+12=21種2. “插板法”的條件模式隱藏運用分析在說這2 道關于“插板法”的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個問題：插板法排列組合是需要什么條件下才可以使用？這個問題清楚了，我們在以后的答題中 就可以盡量的變化題目使其滿足這個條件。這

27、個條件就是： 分組或者分班等等 至少分得一個元素。  注意條件是 至少分得1個元素！好我們先來看題目，例題1：某學校四、五、六三個年級組織了一場文藝演出，共演出18個節目，如果每個年級至少演出4個節目，那么這三個年級演出節目數的所有不同情況共有幾種？【解析】這個題目是Q友出的題目，題目中是不考慮節目的不同性 你可以視為18個相同的節目 不區分！發現3個年級都是需要至少4個節目以上！  跟插板法的條件有出入， 插板法的條件是至少1個，這個時候對比一下，我們就有了這樣的思路 ，為什么我們不把18個節目中分別給這3個年級各分配3個節目。這樣這3個班級就都少1個，從而滿足至少1個的

28、情況了3×39  還剩下1899個剩下的9個節目就可以按照插板法來解答。 9個節目排成一排共計8個間隔。分別選取其中任意2個間隔就可以分成3份（班級）！C8取228練習題目：有10個相同的小球。 分別放到編號為1，2，3的盒子里  要使得每個盒子的小球個數不小于其編號數。那么有多少種放法？【解析】還是同樣的原理。 每個盒子至少的要求和插板法有出入 那么我們第一步就是想辦法滿足插板法的要求。 編號1的盒子是滿足的 至少需要1個， 編號2至少需要2個，那么我們先給它1個， 這樣就差1個編號3至少需要3個，那么我們先給它2個， 這樣就差1個現在三個盒子都滿足插板法的要求了  我們看還剩下幾個小球 ？101277個小球6個間隔 再按照插板法來做 C6，215種！3. 【糾錯】兩個相同的正方體的六個面上分別標有數字的排列組合問題有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數字1、2、3、4、5、6。將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數字之和為偶數的有多少種情形？（ ） A9 B12 C18 D24 很多教材給出的答案是18 這里我更正以下：請大家注意紅色字體 “相同”如果一個顯示3，一個顯示1，  交換以下 是 1，3 是否是2種呢？顯然不是 是1種  這是這個題目存在的陷