1、1.3 函數的基本性質 1.3.1 單調性與最大（小）值 第1課時 函數的單調性 引入引入1 1 如圖為我市某日如圖為我市某日2424小時內的氣溫變化小時內的氣溫變化圖觀察這張氣溫變化圖：圖觀察這張氣溫變化圖：引入引入2 2 德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關研究類的記憶牢固程度進行了有關研究. .他經過測試，得他經過測試，得到了有趣的數據到了有趣的數據數據表明，記憶的數量數據表明，記憶的數量y y是是時間間隔時間間隔t t的函數的函數. . 艾賓浩艾賓浩斯根據這些數據描繪出了著斯根據這些數據描繪出了著名的名的“艾賓浩斯記憶遺

2、忘曲艾賓浩斯記憶遺忘曲線線”, ,如圖：如圖：123tyo20406080記憶的數量記憶的數量( (百分數百分數) )天數天數100思考思考1 1：當時間間隔當時間間隔t t逐漸增大時，你能看出對應逐漸增大時，你能看出對應的函數值的函數值y y有什么變化趨勢？通過這個實驗，有什么變化趨勢？通過這個實驗，你打算以后如何對待剛學過的你打算以后如何對待剛學過的知識知識? ?思考思考2: 2: “艾賓浩斯記憶遺忘曲線艾賓浩斯記憶遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，從左至右是逐漸下降的，對此，我們如何用數學觀點進行解釋？我們如何用數學觀點進行解釋？123tyo20406080100記憶的數量記憶的數量

3、( (百分數百分數) )天數天數1.1.理解單調函數的定義；（重點）2.2.理解增函數、減函數的定義；（重點）3.3.掌握定義法判斷函數單調性的步驟；（難點）4.4.會用函數單調性的定義證明簡單的函數的單調性，求函數的單調區間. . 我們通過幾個函數的圖象觀察函數值隨自我們通過幾個函數的圖象觀察函數值隨自變量而變化的規律變量而變化的規律. . 函函數數值值在在（，）上上隨隨著著自自變變量量的的增增大大而而增增大大. .0)0函函數數值值在在（， 上上隨隨自自變變量量的的增增大大而而減減少少，在在 ，）上上隨隨自自變變量量的的增增大大而而增增大大. .探究點探究點 函數單調性的定義函數單調性的定

4、義 這種函數在其定義域的一個區間上函數值隨這種函數在其定義域的一個區間上函數值隨著自變量的著自變量的_的性質我們稱之為的性質我們稱之為“函函數在這個區間上是增函數數在這個區間上是增函數”；函數在其定義域的；函數在其定義域的一個區間上函數值隨著自變量的一個區間上函數值隨著自變量的_的的性質我們稱之為性質我們稱之為“函數在這個區間上是減函數函數在這個區間上是減函數”. .如何用函數的解析如何用函數的解析式和數學語言進行式和數學語言進行描繪？描繪？增大而增大增大而增大增大而減少增大而減少對函數對函數f(x)=xf(x)=x2 2而言，而言，“函數值在（函數值在（0 0，+）上隨）上隨自變量的增大而增

5、大自變量的增大而增大”，可以這樣描述：在區間，可以這樣描述：在區間（0 0，+）上任取兩個實數）上任取兩個實數x x1 1,x,x2 2, ,得到函數值得到函數值f(xf(x1 1)=x)=x1 12 2,f(x,f(x2 2)=x)=x2 22 2，當，當x x1 1xx2 2時，有時，有_請同學們用數學語言描述函數請同學們用數學語言描述函數f(x)f(x)在（在（-，00上上函數值隨自變量的增大而減小的情況函數值隨自變量的增大而減小的情況. .f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).一般地，設函數一般地，設函數f(x)f(x)的定義域為的定義域為I:I: 如果對于定義域如果對于定義

6、域I I內某個區間內某個區間D D上的任意兩個自變上的任意兩個自變量的值量的值 ，當，當 時，都有時，都有_，那，那么就說函數么就說函數 在區間在區間D D上是上是增函數增函數12xx，12xxf(x)函數單調性的相關概念函數單調性的相關概念f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) )增函數或減函數增函數或減函數第一、在中學數學中所說的單調性是指嚴格的單第一、在中學數學中所說的單調性是指嚴格的單調性調性, , 即必須是即必須是f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不能是而不能是f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) () (或或f(xf(x1 1)f(x)f(

7、x2 2););對函數單調性的理解對函數單調性的理解第二、函數的單調性是對定義域內的某個區間而第二、函數的單調性是對定義域內的某個區間而言的言的, , 是局部概念是局部概念; ;第三、學習函數的單調性第三、學習函數的單調性, ,要注意定義中條件和要注意定義中條件和結論是雙向使用的結論是雙向使用的. .例例1.1.下圖是定義在區間下圖是定義在區間-5,5-5,5上的函數上的函數y=f(x)y=f(x)，根據，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一個單調區間上，圖象說出函數的單調區間，以及在每一個單調區間上，它是增函數還是減函數它是增函數還是減函數? ? 解：解：函數函數 的單調區間有的單調區間有

8、yf(x) 52) 2,1),1,3),3,5,，其中其中 在區間在區間 上是減函數，在區間上是減函數，在區間 上是增函數上是增函數yf(x) 52)1,3)， 2,1),3,5 整個上午（整個上午（8 8：00120012：0000）天氣越來越暖，）天氣越來越暖，中午時分（中午時分（1212：00130013：0000）一場暴風雨使天氣驟）一場暴風雨使天氣驟然涼爽了許多然涼爽了許多. .暴風雨過后，天氣轉暖，直到太陽暴風雨過后，天氣轉暖，直到太陽下山（下山（1818：0000）才又開始轉涼）才又開始轉涼. .畫出這一天畫出這一天8 8：00002020：0000期間氣溫作為時間函數的一個可能

9、圖象，并期間氣溫作為時間函數的一個可能圖象，并說出所畫函數的單調區間說出所畫函數的單調區間. .解：解：單調增區間是單調增區間是8,128,12）,13,18,13,18）; ; 單調減區間是單調減區間是 12,1312,13）,18,20.,18,20.【變式練習】【變式練習】0.kpV 分分 析析 ： 即即 要要 求求 證證 明明 函函 數數在在 （ ，）上上 是是 減減 函函 數數2(例例 . .物物理理學學中中的的玻玻意意耳耳定定律律為為正正常常數數）告告訴訴我我們們，對對于于一一定定量量的的氣氣體體，當當其其體體積積V V減減小小時時，壓壓強強 將將增增大大. .試試用用函函數數的的

10、單單調調性性證證明明之之. .kpkVp 21121212()().VVkkp Vp VkVVVV則則121 21221,(0,)0;,0.V VVVVVVV由由，得得由由得得120,()()0,kp Vp V又又于于是是12()().p Vp V即即作差變形作差變形定號定號判斷判斷取值取值證明：證明：根據單調性的定義，設根據單調性的定義，設V V1 1, ,V V2 2是定義域是定義域(0,+)(0,+)上上的任意兩個實數，且的任意兩個實數，且V V1 1 V V2 2, ,所以，函數所以，函數 V V(0,+)(0,+)是減函數，也就是說，當體是減函數，也就是說，當體積減小時，壓強積減小時

11、，壓強p p將增大將增大. .kpV，取值：取值：即設即設x x1 1、x x2 2是該區間內的任意兩個值是該區間內的任意兩個值, ,且且x x1 1x ;由x .所以f(x )-f(x ) ，思考交流思考交流1.( )(2 1) 1111.2222f xaxbR設函數在 上是嚴格單調減函數，則有（ ）A.a . 解析：解析：直線直線y=kx+by=kx+b在在k0k0時，單調遞減時，單調遞減. . 2a-10, 2a-10,即即aaD D122.2.函數函數 的單調增區間是的單調增區間是_._.2361yxx3.3.函數函數 f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+3-2ax+3在在(-(-

12、，44上是減函數，則上是減函數，則a a的取值范圍為的取值范圍為_4，+)提示：提示：可利用函數圖象求解可利用函數圖象求解. .（1 1，+）4.4.根據下圖說出函數的單調區間，以及在每一個單根據下圖說出函數的單調區間，以及在每一個單調區間上，函數是增函數還是減函數調區間上，函數是增函數還是減函數. .解：解：函數的單調區間是函數的單調區間是-1,0-1,0）,0,2,0,2）,2,4,2,4）,4,5.,4,5.在區間在區間-1,0-1,0）,2,4,2,4）上，函數是減函數；）上，函數是減函數；在區間在區間0,20,2）,4,5,4,5上，函數是增函數上，函數是增函數. .5.5.證明函數

13、證明函數 在區間在區間 上是增函數上是增函數. .f x2x( ) 2,)證明：證明：任取任取 ，且，且 ，12, 2,) x x12xx則則 1212()()22f xf xxx1212121212(22)(22).2222xxxxxxxxxx因為因為12120,220 ，xxxx得得12()()f xf x所以函數所以函數 在區間在區間-2,+)-2,+)上是增函數上是增函數 ( )2f xx1.1.函數的單調性定義的內涵與外延：函數的單調性定義的內涵與外延：內涵內涵: :是用自變量的大小變化來刻畫函數值的變化是用自變量的大小變化來刻畫函數值的變化情況；情況；外延外延: :一般規律：自變量的變化與函數值的變化一般規律：自變量的變化與函數值的變化一致時是單調遞增，自變量的變化與函數值的變化一致時是單調遞增，自變量的變化與函數值的變化相反時是單調遞減相反時是單調遞減. . 幾何特征：在自變量取值區間上，若函數的圖象幾何特征：在自變量取值區間上，若函數的圖象上升，則為增函數，圖象下降則為減函數上升，則為增函數，圖象下降則為減函數. . 3. 3. 證明函數的單調性的基本步驟是：（1 1）取值； （2 2）作差變形；