1、1 在第一篇靜力學中，我們從靜力學公理出發，通過力系的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統的平衡問題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質點系的平衡問題的一個原理，它從位移和功的概念出發，得出任意質點系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理虛位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，不僅如此，將它與達朗伯原理相結合，就可得到一個解答動力學問題的動力學普遍方程。2 141 約束及其分類約束及其分類 142 自由度自由度 廣義坐標廣義坐標 143 虛位移和虛功虛位移和虛功 144 理想約束理想約束 145 虛位移原理虛位移原理 第第14章章 虛位移原理虛位移原理314-1約束及其分類約

2、束及其分類 一、約束及約束方程一、約束及約束方程 限制質點或質點系運動的各種條件稱為約束。限制質點或質點系運動的各種條件稱為約束。 將約束的限制條件以數學方程來表示，則稱為約束方程。將約束的限制條件以數學方程來表示，則稱為約束方程。 平面單擺222lyx例如例如：曲柄連桿機構222ryxAA0 , )()(222BABABylyyxx4 根據約束的形式和性質，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：二、約束的分類二、約束的分類1、幾何約束和運動約束、幾何約束和運動約束 限制質點或質點系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束幾何約束。 如前述的平面單擺和曲柄連桿機構例子中的限制條件都是幾何約束。 當

3、約束對質點或質點系的運動情況進行限制時，這種約束條件稱為運動約束運動約束。例如：例如：車輪沿直線軌道作純滾動時。5幾何約束：運動約束：)0(0rxrvryAAA 當約束條件與時間有關，并隨時間變化時稱為非定常約束非定常約束。 約束條件不隨時間改變的約束為定常約束定常約束。 前面的例子中約束條件皆不隨時間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束、定常約束和非定常約束例如例如：重物M由一條穿過固定圓環的細繩系住。初始時擺長 l0 , 勻速v拉動繩子。x2+y2=( l0 -vt )2 約束方程中顯含時間 t 6 如果在約束方程中含有坐標對時間的導數（例如運動約束）而且方程中的這些導數不能經

4、過積分運算消除，即約束方程中含有的坐標導數項不是某一函數全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達。 3、完整約束和非完整約束、完整約束和非完整約束 如果約束方程中不含有坐標對時間的導數，或者約束方程中雖有坐標對時間的導數，但這些導數可以經過積分運算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束完整約束。7 在兩個相對的方向上同時對質點或質點系進行運動限制的約束稱為雙面約束雙面約束。只能限制質點或質點系單一方向運動的約束稱為單面約束單面約束。 例如：例如：車輪沿直線軌道作純滾動， 是微分方程，但經過積分可得到 （常數），該約束仍為

5、完整約束。 0rxACrxA 4、單面約束和雙面約束、單面約束和雙面約束 幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。 非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2 l28 雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。 我們只討論質點或質點系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質點系所受的約束數目，n為質點系的質點個數）), 2 , 1( 0),;,(111sjzyxzyxfnnnj9 14-2自由度自由度 廣義坐標廣義坐標 一個自由質點在空間的位置：（ x, y, z ) 3個 一個自由質點系在空間的位置：( x

6、i , yi , zi ) (i=1,2n) 3n個 對一個非自由質點系，受s個完整約束，（3n-s )個獨立坐標。 其自由度為 k=3n-s 。 確定一個受完整約束的質點系的位置所需的獨立坐標的數目，稱為該質點系的自由度的數目自由度的數目，簡稱為自由度自由度。 例如例如, 前述曲柄連桿機構曲柄連桿機構例子中, 確定曲柄連桿機構位置的四個坐標xA、yA、xB、yB須滿足三個約束方程,因此有一個自由度一個自由度。10一般地，受到s個約束的、由n個質點組成的質點系，其自由度為snk 3 通常，n 與 s 很大而k 很小。為了確定質點系的位置，用適當選擇的k 個參數（相互獨立），要比用3n個直角坐標

7、和s個約束方程方便得多。 用來確定質點系位置的獨立參數，稱為廣義坐標廣義坐標。 廣義坐標的選擇不是唯一的。廣義坐標可以取線位移（x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整約束情況下，廣義坐標的數目就等于自由度數目。11例如例如：曲柄連桿機構中，可取曲柄OA的轉角為廣義坐標，則：0 , sincossin , cos222BBAAyrlrxryrx 廣義坐標選定后，質點系中每一質點的直角坐標都可表示為廣義坐標的函數。12 例如例如：雙錘擺。設只在鉛直平面內擺動。2212212221212211)()( ),( , ),(byyxxayxyxyx兩個自由度 取廣義坐標，

8、coscos , sinsincos , sin2211baybaxayax13 一般地，設有由n個質點組成的質點系，具有k個自由度，取q1、q2、qk為其廣義坐標，質點系內各質點的坐標及矢徑可表為廣義坐標的函數。),(),(),(),(21212121kiikiikiikiiqqqrrqqqzzqqqyyqqqxx), 2 , 1(ni1414-3虛位移和虛功虛位移和虛功 在質點系運動過程的某瞬時，質點系中的質點發生的為約束允許的任意的無限小位移，稱為質點系（在該瞬時）的虛位移虛位移。 虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號 表示虛位移。M15 虛位移與真正運動時發生的實位移不同

9、虛位移與真正運動時發生的實位移不同。 實位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運動而實際發生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發生的。 實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。 實位移是在一定的時間內發生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時間無關。 在定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實位移不再是虛位移之一。16 質點系中各質點的虛位移之間存在著一定的關系, 確定這些關系通常有兩種方法：(一一) 幾何法幾何法。由運動學知，質點的位移與速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各點虛位移之間的關系。dt

10、vrd17 (二二) 解析法解析法。質點系中各質點的坐標可表示為廣義坐標的函數（ q1,q2,qk），廣義坐標分別有變分 ，各質點的虛位移 在直角坐標上的投影可以表示為kqqq,21irkkiiiikkiiiikkiiiiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx221122112211), 2 , 1(ni18例例1 分析圖示機構在圖示位置時，點C、A與B的虛位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l )解解：此為一個自由度系統，取OA桿與x 軸夾角為廣義坐標。1、幾何法、幾何法sin21sin2aaPBPCrrlarrBCAC190 , sin2cos , sincos

11、 , sin , BBAACCACyaxlylxayaxlrar將C、A、B點的坐標表示成廣義坐標 的函數，得0 , cos2sin , cossin , cosBBAACCyaxlylxayax2、解析法、解析法對廣義坐標 求變分，得各點虛位移在相應坐標軸上的投影：0 ,sin2cos ,sincos ,sinBBAACCyaxlylxayax20力 在質點發生的虛位移 上所作的功稱為虛功虛功，記為 。 FrWzZyYxXWrFW2114-4 理想約束理想約束 如果在質點系的任何虛位移上，質點系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。理想約束。 質點系受有理想約束的條件：0i

12、iNrNW22理想約束的典型例子如下：1、光滑支承面2、光滑鉸鏈3、無重剛桿4、不可伸長的柔索5、剛體在粗糙面上的純滾動0rNrNWN0rNWN0)(CNrFNW2314-5 虛位移原理虛位移原理 一、虛位移原理一、虛位移原理 具有定常、理想約束的質點系，平衡的必要與充分條件是：作用于質點系的所有主動力在任何虛位移上所作的虛功之和等于零。即0iirF解析式：解析式：0)(iiiiiizZyYxX24 證明證明：(1) 必要性：即質點系處于平衡時，必有0iirF 質點系處于平衡 選取任一質點Mi也平衡。0iiNF對質點Mi 的任一虛位移 ，有ir0)(iiirNF0)(iiirNF0iiiirN

13、rF由于是理想約束0iirF0iirN所以對整個質點系：25 (2) 充分性：即當質點系滿足 ，質點系一定平衡。若 ，而質點系不平衡，則至少有第i個質點不平衡。0iirF0iirF 在 方向上產生實位移 ，取 ，則iRirdiirdr 0)(iiiiirRrNF0)(iiirNF對質點系：(理想約束下， )0iirN0 iirF與前題條件矛盾故 時質點系必處于平衡。0iirF0 iiiRNF26 二、虛位移原理的應用二、虛位移原理的應用1、系統在給定位置平衡時，求主動力之間的關系；2、求系統在已知主動力作用下的平衡位置；3、求系統在已知主動力作用下平衡時的約束反力；4、求平衡構架內二力桿的內力

14、。27例例1 圖示橢圓規機構，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時，主動力大小P和Q之間的關系。解解：研究整個機構。系統的所有約束都是完整、定常、理想的。281、幾何法、幾何法：使A發生虛位移 ，B的虛位移 ，則由虛位移原理，得虛功方程：ArBr0)tg ArQ(P由 的任意性，得Ar tgQP0 BArQrP tg cossin ABBArrrr而29 2、解析法、解析法 由于系統為單自由度， 可取為廣義坐標。cos , sinsin , coslylxlylxABAB由于 任意，故 tgQP , 0BAxQyP0)sincos( lQP30解解：這是一個具有兩

15、個自由度的系統，取角及為廣義坐標，現用兩種方法求解。 例例2 均質桿OA及AB在A點用鉸連接，并在O點用鉸支承，如圖所示。兩桿各長2a和2b，各重P1及P2，設在B點加水平力 F 以維持平衡，求兩桿與鉛直線所成的角及 。y31應用虛位移原理，)( 021axFyPyPBDC代入(a)式，得：0)cos2sin()cos2sin2sin(221bFbPaFaPaP解法一：解法一：cos2cos2 , sin2sin2 sinsin2 , coscos2 sin , cos baxbaxbaybayayayBBDDCC而32由于 是彼此獨立的，所以： , 0cos2sin0cos2sin2sin2

16、21bFbPaFaPaP2212 tg, 22tgPFPPF由此解得：0)cos2sin()cos2sin2sin(221bFbPaFaPaP330sincos2DBrPrF而brbrDB , 2代入上式，得2222tgPFbPbF解法二：解法二： 先使 保持不變，而使 獲得變分 ，得到系統的一組虛位移，如圖所示。34 再使 保持不變，而使 獲得變分 ，得到系統的另一組虛位移，如圖所示。BDArrr0sinsincos21DCBrPrPrF而arrrarADBC2, 代入上式后，得： 22tg21PPF0)sin2sin2cos(21aPaPaF圖示中：35例例3 多跨靜定梁，求支座B處反力。

17、解解：將支座B 除去，代入相應的約束反力 。BR0211mrPrRrPCBBBBCBBrmrrPrrPR211 3696118111211121614 , 811 , 21 1BCBEBGBBCBrrrrrrrrrrr而mPPRB961181121 21BBCBBrmrrPrrPR211 37例例4 滑套D套在光滑直桿AB上，并帶動桿CD在鉛直滑道上滑動。已知=0o時，彈簧等于原長，彈簧剛度系數為5(kN/m)，求在任意位置（ 角）平衡時，加在AB桿上的力偶矩M ？解解：這是一個已知系統平衡，求作用于系統上主動力之間關系的問題。將彈簧力計入主動力，系統簡化為理想約束系統，故可以用虛位移原理求解。38 選擇AB桿、CD桿和滑套D的系統為研究對象。gsllkFFllllD tsec3 . 0s sec3 . 0 )kN( |sec1 | 5 . 1|)m( |sec1 | 3 . 0|cos300600 , )mm(300300600 , 0000角時時由虛位移原理，得：)mkN( cos)cos1 (sin45. 03M0sFM0 tgsec3 . 0|sec1 | 5 . 1M39 以不解除約束的理想約束系統為研究對象，系統至少有一個自由度。若系統存在非理想約束，如彈簧力、摩擦力等，可把它們計入主動力，則系統又是理想約束系統，可選為研究對象。 若要求解約束反力，需解除相應的約束，