1、圓中的最值問題一、考點分析 近兩年，在圓的知識的考查中，圓中求最值或取值范圍的問題，其知識面廣、綜合性大、應用性強，而且情境新穎，能很好地考查學生的創新能力和潛在的數學素質.二、考點要求 能利用兩點之間線段最短、點到直線的距離最短、與圓有關的位置關系等知識點求最值、取值范圍等問題考點梳理 （1）如圖1，圓內（外）一點p與圓的最近點、最遠點分別是_（2）如圖2，點p為o外一定點，點q 為o上一動點，則當點q運動到什么位置時 qpb的最大？ （3）如圖3，點p為o上一動點（不與a、b重合），點p在什么位置時，abp的面積有最大值？ 圖1 圖2 圖3典型例題【直徑是圓中最長的弦】例：（15陜西）如圖

2、，ab是o的弦，ab=6，點c是o上的一個動點，且acb=45°，點m、n分別是ab，bc的中點，求mn長的最大值。【兩點之間線段最短】例：（14三明）如圖1，在rtabc中，acb=90°，ac=bc=2，以bc為直徑的半圓交ab于d，p是上的一個動點，連接ap，則其最小值是 【垂線段最短】例：abc中，bac=60°，abc=45°，ab=，d點是線段bc上的一個動點，以ad為直徑畫o分別交ab，ac于e、f，連接ef，則線段ef長度的最小值為 .【圓外一點與圓的最近點、最遠點】例：如圖，在rtabc中，acb=90°，ac=4，bc=3，

3、點d是平面內的一個動點，且ad=2，m為bd的中點，在d點運動過程中，線段cm長度的取值范圍是 .反思與糾錯【應用軸對稱性求最值】例：如圖，mn為o的直徑，a、b是o上的兩點，過a作acmn于點c，過b作bdmn于點d，p為dc上的任意一點，若mn20，ac8，bd6，則papb的最小值是_。【應用函數求最值】例：如圖，已知半徑為2的o與直線l相切于點a，點p是直徑ab左側半圓上的動點，過點p作直線l的垂線，垂足為c，pc與o交于點d，連接pa、pb，設pc的長為x .當x為何值時， pd·dc 的值最大？最大值是多少？【極端原理求最值】例：（13西雙版納）如圖5，ab是o的直徑，點

4、c在o上，點p在線段oa上運動，設pcb，則的最大值是 【添加輔助圓】例：（15武漢）如圖，abc、efg均是邊長為2的等邊三角形，點d是邊bc、ef的中點，直線ag、fc相交于點m當efg繞點d旋轉時，線段bm長的最小值是（ ） b d五、方法點睛求圓中最值問題常用的方法有1.應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值；2.應用垂線段最短的性質求最值；3.應用軸對稱的性質求最值；4.應用二次函數求最值；5.應用極端原理求最值（從極端、臨界點等特殊位置入手）6.借助輔助圓，運用圓的有關性質求最值六、鞏固訓練：1.（12黃石）如圖所示，直線cd與線段ab為直徑的圓相切于點d，并交b

5、a的延長線于點c，且ab=2，ad=1，p點在切線cd上移動.當apb的度數最大時，則abp的度數為（ ）a. 15° b.30° c. 60° d.90°2.（12呼倫貝爾）如圖，o的半徑為5，弦ab的長為8，m是弦ab 上的動點,則線段om長的最小值為.( ) a. 5 b. 4 c. 3 d.2反思與糾錯3.（12蘭州）如圖，已知o是以坐標原點o為圓心，1為半徑的圓，aob=45°，點p在x軸上運動，若過點p且與oa平行的直線與o有公共點，設p（x，0），則x的取值范圍是 。 第1題圖 第2題圖 第3題圖 4（12武漢）在平面直角坐標系中

6、，點a的坐標為（3，0），點b為y軸正半軸上的一點，點c是第一象限內一點，且ac=2，設tanboc=m，則m的取值范圍是 5.如圖，線段ab=4，c為線段ab上的一個動點，以ac、bc為邊作等邊acd和等邊bce，o外接于cde，則o半徑的最小值為( ). a.4 b. c. d. 26.在平面直角坐標系中，以坐標原點o為圓心，2為半徑畫o，p是o上一動點，且p在第一象限內，過點p作o的切線與軸相交于點a，與軸相交于點b，線段ab長度的最小值是 . 第4題圖 第5題圖 第6題圖7.如圖，定長弦cd在以ab為直徑的o上滑動（點c、d與點a、b不重合），m是cd的中點，過點c作cpab于點p，若

7、cd=3，ab=8，則pm長度的最大值是 8.如圖，o的直徑為4，c為o上一個定點，abc=30°，動點p從a點出發沿半圓弧向b點運動（點p與點c在直徑ab的異側)，當p點到達b點時運動停止，在運動過程中，過點c作cp的垂線cd交pb的延長線于d點（1）在點p的運動過程中，線段cd長度的取值范圍為 ；（2）在點p的運動過程中，線段ad長度的最大值為 . 第7題圖 第8題圖9(13武漢四調）如圖bac60°，半徑長1的o與bac的兩邊相反思與糾錯切，p為o上一動點，以p為圓心，pa長為半徑的p交射線ab、ac于d、e兩點，連接de，則線段de長度的最大值為（ ） a3 b6

8、c d10.（14武漢四調）如圖，點p為o內的一個定點，點a為o上的一個動點，射線ap、ao分別與o交于b、c兩點.若o的半徑為3，op=，則弦bc的最大值為（ ） a. b.3 c. d.11.（13武漢）如圖，e、f是正方形abcd的邊ad上兩個動點，滿足aedf，連接cf交bd于點g，連接be交ag于點h，若正方形的邊長為2，則線段dh長度的最小值是 第9題 第10題 第11題12.如圖，bac=60°，半徑為1的o與bac的兩邊相切，p為o上一動點，以p為圓心，pa長為半徑的p交射線ac、ab于d、e兩點，連接de,求線段de長度的最大值.13.（15南寧）如圖，o的直徑ab=8，點m在o上，m