1、自然主義與數學本體論葉峰（北京大學哲學系） 摘要：自然主義是一種一般的哲學世界觀。它蘊含著對本體論、認識論等哲學問題的答案。本文將從說明什么是自然主義的基本信念開始，然后闡述它蘊含的對關于抽象數學對象的本體論問題的回答。它將是反實在論的回答，即它否認抽象數學對象客觀存在。最后，本文將說明這種反實在論的自然主義將如何回答它所面臨的兩個重要問題，即解釋數學語言的意義在于什么、數學知識是關于什么的知識，還有解釋數學在科學中的可應用性。這是作者本人提出的一種徹底的自然主義的數學哲學的一個部分。 1 自然主義的基本信念 這里所說的“自然主義”，指的是在二十世紀的分析哲學傳統中的自然主義傾向?？梢哉f，某種

2、一般性的自然主義傾向已經被分析哲學傳統中的多數哲學家接受。但即使在分析哲學傳統之中，在“自然主義”這個標簽下也有種種不同的哲學觀點與派別。甚至在數學哲學中，自然主義也有多種形式 Maddy （2005）討論了數學哲學中的自然主義的三種形式，但還不包括我們這里提出這種自然主義數學哲學。比如，蒯因是自然主義的主要倡導者之一，但他同時又是數學實在論者 。與他相反Penelope Maddy在最近十年來也以倡導一種形式的自然主義為己任，但她似乎更傾向于數學反實在論 見Maddy （2007）。在數學哲學中，以前的種種自然主義更多地強調，我們應該尊重科學家們與數學家們的科學實踐與數學實踐。這些自然主義強

3、調，沒有所謂的在科學之上的“第一哲學”。它們認為，哲學家的任務僅僅是對科學與數學實踐作解釋，而不是從所謂的“第一哲學”出發，指導科學與數學實踐，或者為數學與科學提供基礎。這是以前自稱為“自然主義”的各種數學哲學的共同點與標志。但在此之下他們又得出了實在論或反實在論的不同的結論。在分析哲學傳統中的心靈哲學中也有各種形式的自然主義。在那里，“自然主義” 主要指的是與心-物二元論相對立的一種基本哲學態度 當然也與唯心論相對立，但今天似乎沒哲學家認真看待唯心論了。，其中包括各種形式的“物理主義” 見Papineau (1993), Kim (2006)。因此，“自然主義”可能是一個已經被用得太濫的標簽

4、。 但是，我們認為，對“自然主義”的各種理解其實都包含了一個共同的核心，即各種形式的自然主義者都公開地承認的一些基本信念。在此基礎之上，有些自然主義者可能加上了其它的信念。但就數學哲學而言，我們相信，各種形式的自然主義都公開地認可的這些基本信念，就足以確定一種真正自然主義的數學哲學。至于那些在“自然主義”這個標簽之下的種種不同的數學哲學，我們認為，要么它們隱含地違背了自己公開宣示的一些自然主義基本信念，要么它們沒有將自己公開宣示的一些自然主義基本信念貫徹到底。因此，它們不是徹底地自我一致的自然主義。所以，盡管“自然主義”這個標簽已經被用得太濫，我們還是將我們所提出的這種數學哲學稱為自然主義數學

5、哲學，或者稱為徹底的自然主義的數學哲學，以強調它是徹底地貫徹了自然主義的基本信念。 本小節將提出并討論我們所理解的、作為自然主義的核心的，自然主義的基本信念。它們是各種形式的自然主義都公開地承諾的基本信念。這里我們不打算為自然主義的基本信念作辯護。我們只是從這些基本信念出發，考察它們的推論。我們的目的在于說明它們蘊含著關于數學的本體論問題的怎樣的回答。 自然主義的基本信念也就是現代科學的基本世界觀，是許多人（至少表面上）承認的。另一方面，當然也有許多人反對自然主義。本書不打算反駁那些反自然主義的觀點。就數學哲學來說，我們相信，反自然主義的數學哲學，也應該首先嘗試提出一個自身協調一致的數學哲學理

6、論，回答關于數學的哲學問題。 我們將自然主義的基本信念概括為如下正、反兩個方面的要點：（1） 人類是自然進化的產物，是自然世界的一部分；人的心靈，心靈的屬性、認知能力與過程等等，原則上可歸約為大腦神經元的結構、屬性、活動過程或功能，而且也是自然進化的產物。（2） 沒有超自然的、獨立于物質的認知主體；哲學問題的提出不應該預設一個超自然的、獨立于物質的心靈或認知主體，我們也不應該從這樣一個心靈或認知主體的角度去回答哲學問題。 （1）中的“原則上可歸約”的確切涵義，是目前分析哲學中的心靈哲學中各種自然主義理論之間正在爭論的問題。這里我們不假設對它的任何一種具體的回答，而只強調這些回答的共同的一面，即

7、斷言沒有獨立于物質世界的心靈，沒有在任何意義上都不可歸約為神經元的、只屬于心的、特殊的心靈屬性、能力等等。這將在下面的自然主義的基本信念的推論（3）、（4）、（5）、（6）等等中得到具體化?；谶@種對“原則上可歸約”的寬泛的理解，（1）應該是所有自稱是自然主義者的哲學家都能接受的。否認它直接意味著接受某種形式的心-物二元論甚至唯心論等等。比如，蒯因就稱人類是“物質世界中的物質性的居民” “physical denizens in the physical world”，見Quine (1995), p. 16。因此他應該接受這個自然主義的基本信念。 （2）其實是（1）的推論。既然人的心靈是自然

8、進化的產物，原則上可歸約為大腦神經元的活動與功能，他們就不是超自然的、獨立于物質的。因此，我們的涉及心靈的哲學問題，都應該是關于作為自然世界的一部分的人的問題，尤其是關于大腦的問題，而不是關于一個假設的、超自然的認知主體的問題。比如，考慮一個懷疑論者提出的問題“你如何知道眼前的這些事物存在”或“我如何知道我的手存在”。懷疑論者的“你”、“我”顯然不是指作為自然世界的一部分的某個大腦。如果它們指的是作為自然世界的一部分的某個大腦，那么對這些問題的回答應該是自然主義的回答，應該是描述那個大腦（以及與之相連接的身體）如何從一個受精卵由基因控制發育而成，如何在與環境中的相互作用中（即學習中）成熟，如何

9、特別地從環境通過感官獲得某種相關的信息而認識到大腦之外的某個事物，比如，通過眼睛接收眼前的事物發出的光波而認識到那個事物，或者通過神經系統直接感受到與大腦相聯接的手，等等等等。這些顯然不是懷疑論者所期待的回答。顯然，懷疑論者引誘聽眾假設，“你”、“我”是指某個不屬于這個自然世界的超自然的認知主體。懷疑論者首先預設存在這樣一個超自然的認知主體，然后設想這個超自然的認知主體與某個“外部世界”相隔離、相對立，然后在這些預設前提之下問，那個超自然的認知主體如何能夠認識那個“外部世界”。而在懷疑論者那里，這個超自然的認知主體的存在性，似乎比大腦、手、眼前的事物等等的存在性更確定得多。所謂“更確定的多”，

10、當然還是指相對于那個超自然的認知主體更確定得多，而不是相對于那個大腦更確定得多。自然主義者不接受懷疑論者的問題中的關于超自然的認知主體的預設。在自然主義者看來，是懷疑論者的大腦在“引誘”聽眾的大腦去假設，在自己的大腦背后還有一個不屬于這個物質世界的、與這個物質世界相對立的“自我”。自然主義者當然承認他們自己也是這個自然世界的一部分。他們對懷疑論者與懷疑論者的聽眾的描述，是一些大腦對另外一些大腦的觀察與描述。如果拒絕預設在自己的這個大腦背后還有一個超自然的“自我”，懷疑論者的問題就無法被提出來。 在自然主義者看來，人類的大腦容易產生一種普遍的幻覺，即將自己視為這個自然世界之外的、不屬于這個世界的

11、、與這個世界相對立的、也在本質上不同于這個物質世界中的事物的一個“主體” 這應該也就是佛教哲學中說的“我執”。因此，包括一些自稱是自然主義者的哲學家，也常常還是不自覺地從一個超自然的、獨立于物質的認知主體的角度，去提出或嘗試回答哲學問題，常常還是不自覺地處處預設一個超自然的認知主體，而不是將問題理解為相對于作為自然世界一部分的人或大腦的問題。也就是說，他們常常不自覺地忘記了（2），而采納了上面所描述的懷疑論者的提出與嘗試回答問題的視角或預設。我們認為，這尤其包括了蒯因，而且那就是為什么他從自然主義出發，會得出數學實在論而不是反實在論 見Ye（2007e）。從自然主義的基本信念（1）與（2）出發

12、會得出一些重要的推論。其中的一些推論似乎沒有得到一些自認的自然主義者的重視，尤其是當他們忘記了（2）的時候。這就是他們的哲學理論與他們自己公開承認的自然主義的基本信念潛在地相沖突的根源，或者是他們未能徹底地貫徹自然主義的基本信念的原因。 首先，從自然主義的基本信念（1）與（2）出發會得出關于認識論的一個推論。在自然主義者看來，既然我們人類是自然進化的產物，既然沒有超自然的認知主體，認識論問題，即關于一個認知主體如何認識事物的問題，就只能是關于作為自然世界的一部分的人的大腦如何認識事物的問題。因此，自然主義的基本信念有這樣的關于認識論的推論：（3） 認識論問題，是關于大腦有怎樣的由基因決定的內在

13、結構，如何在學習中成熟，如何通過感官接受環境的信息，如何在大腦中表示、處理這些信息等等的問題。（4） 回答認識論問題，不應假設一個與所謂的“外部世界”相對立的、超自然的認知主體；也不應假設認知主體有任何不可在原則上歸約為大腦的內在結構與功能的認知能力。 蒯因曾經從自然主義的立場說過，認識論是心理學的一個分支。（3）是這一說法的一種表達 所以在這一點上蒯因是一個徹底的自然主義者。但是，當他提出所謂的“整體主義認識論”的時候，似乎偏離了自然主義的基本信念。參見Ye（2007e）。從今天的心理學發展的角度看，與認識論問題相關的是認知心理學，因此應該說，認識論是認知心理學的一個分支。當然，作為一種哲學

14、理論的認識論，它所感興趣的問題與普通心理學家所感興趣的問題會有所不同。比如，如何從大腦的認知功能的角度說明數學知識的內容在于什么，數學知識的內容如何與數學的可應用性相關聯，數學知識的規范性與客觀性是基于什么等等。這些是哲學家們感興趣的問題，但可能都不是普通心理學家感興趣的問題。所以，真正重要的不是認識論的學科歸屬問題。真正重要的是：在自然主義的框架下，認識論問題是關于大腦的問題，而不是關于一個超自然的心靈的問題；對認識論問題的回答應該以現代科學對大腦的認知結構與功能的認識為基礎，這包括認知心理學、腦科學等等對大腦的認知結構與功能的認識，也包括試圖模擬大腦的認知結構與功能的人工智能研究所提示的對

15、大腦的認知結構與功能的認識。 這里還要預先說明一下，稱認識論是心理學的一個分支并不否認認知過程中的規范性。相反，從自然主義的角度看，既然一切都是自然進化的產物，沒有超自然的主體，因此，各種規范性，包括真理、語義指稱、意義、邏輯規則的邏輯有效性、乃至于倫理規范性等等，都應該可以在自然主義的框架下得到解釋，即通過歸約為某種自然規律性得到解釋，也就是說，都應該可以被自然化。這將是自然主義哲學的最主要的任務。本小節后面將要討論真理、語義指稱、以及邏輯規則的邏輯有效性的自然化問題。這里只是要指出，一些哲學家，如弗雷格，對所謂的心理主義的批評并不適用于這種自然主義。比如，這些批評認為，心理主義混淆了一個推

16、理規則的客觀上的邏輯有效性，與一個推理規則常常被人使用這一心理事實。但是，自然主義哲學的主要任務之一就是要在自然主義的框架下解釋它們之間的區別。這也就是將其中的規范性自然化。 （4）同樣是（3）的推論，是從反面表達（3）。在自然主義看來，沒有傳統意義上的所謂“內在于心的東西”與“外部世界中的事物”之間的絕對區別。所謂“內在的”只能是指腦腔中的，或屬于神經元的，而神經元本身是自然世界的一部分，是從其它自然事物進化或發育產生的，而且是通過感覺器官，通過光波、聲波等等，與其他事物直接相聯系的。自然主義者拒絕將認知主體與外部世界隔離開的那種認識論圖景。認知主體就是自然世界中的大腦。而且，在自然主義者看

17、來，認知主體，即大腦，與其他事物之間的聯系，最終都是物理性的聯系，比如，通過光波、聲波等物理作用而建立起來的聯系。換句話說，“認識”是作為自然事物的大腦與其它自然事物之間的自然聯系，就像兩個物理系統之間通過物理上的相互作用建立起來的聯系。我們還會繼續使用“內部”、“外部”這些詞匯，如“外部事物”、大腦中的“內在表征”等等 見下面關于語義指稱關系的討論。但它們將是相對于一個大腦而言的。而且，一個大腦也可以通過一些間接的手段觀察、認識自己，或自己的一部分。因此，“外部事物”只是指一個大腦的認識對象，不一定是“腦殼之外的”。用數學術語來說，認識關系，作為自然事物之間的關系，對某些事物可以是自反的 當

18、然一般不是對稱的。 這也意味著，自然主義者拒絕關于心靈如何認識（或稱“把握”）獨立于心靈、也獨立于物質世界的抽象對象或概念的那些思辨。這些思辨都假設心靈有一種在原則上不可還原為大腦與環境中的事物的相互作用的，神秘的直覺能力，使得心靈能夠以某種方式直接地“把握”那些獨立于心靈、也獨立于物質世界的抽象對象或概念，即與那些抽象對象或概念建立起某種非物質性的“認識”關系。這與（4）相沖突。這同時意味著，自然主義拒絕以這種思辨為基礎來解釋人類心靈如何認識抽象數學對象的那種形式的數學實在論。這實際上是將上數學哲學中所熟知的數學實在論的認識論難題 見Benacerraf（1973），參見葉峰（2005）。，

19、以自然主義的方式表達出來。它蘊涵著，自然主義應該是與數學實在論相沖突的。 最后，這些并不排除，在回答認識論問題的時候，我們可以利用我們通過自己的大腦的內省所獲得的關于大腦如何工作的知識。自然主義只是強調，我們不應該將自己視為一個超自然的主體，我們應該時時意識到自己是這個物質世界的一部分，是進化、生理發育、與學習（即與環境的交互作用）的結果，而且，我們與其它事物之間的聯系最終都是物質性的聯系，是神經元通過光波等等與其它物質性的事物之間的聯系。這樣，我們就不會將心靈與“外部世界”隔離開，然后幻想心靈如何“把握”那個“外部世界”中的非物質性的抽象實體。這種幻想是當一個人采納了主觀的視角，將自己當作這

20、個世界之外的、處于這個世界的對立面的“主體”的時候，很自然地產生的。一個客觀的科學觀察者，在觀察一個大腦如何工作、如何與環境中的其它事物相互作用的時候，不會去問那個大腦如何“把握”獨立于那個大腦、又獨立于物質世界的抽象對象或概念。那是沒有科學意義的。 關于語義指稱問題，自然主義也有類似的推論。首先，語詞不會自己指稱事物。只有通過大腦（或心靈）理解并解釋語詞，才能將語詞與語詞所指稱的事物相聯結。一般將大腦（或心靈）中能夠表示外部事物或事物的狀態的，稱為內在表征（inner representation），它們包括大腦（或心靈）中能夠表示外部事物的概念，能夠表示事物的狀態的思想等等。概念用語詞表達

21、。比如，普通名詞“狗”表達一個概念，這個概念又表示狗這一類事物。這里所說的概念、思想，都是指在一個個體大腦（或心靈）中具體地存在著的內在表征。它們本身是具體事物，不是指實在論者所設想的、作為一個獨立于心靈的抽象實體的、公共的概念或思想。比如，一個大腦（或心靈）中表示狗的概念，有可能包含了這個大腦（或心靈）對一些狗的樣例的形象的知覺記憶，或關于狗的一些特征的描述，它們決定了這個概念表示狗這一類事物。這個意義上的概念是當前的認知心理學與心靈哲學研究的對象 見Murphy (2002)，Laurence and Margolis (1999)。 大腦（或心靈）中也有表示語詞本身的概念。比如，一個人學

22、習了“狗”這個詞以后，就有了表示“狗”這個詞的一個概念，它可能包含了關于“狗”這個詞的形狀的記憶，由此決定了它表示所有“狗”這個文字符號的具體例子。因此，假設我們用“狗”代表表示“狗”這個文字符號的例子的一個概念，而用狗代表表示狗這一類事物的概念 英文文獻中習慣上用全部由大寫字母構成的詞，比如DOG，代表相應的詞“dog”在大腦中所表達的概念。中文里沒有大小寫之分。我們這里用尖括弧將一個詞括起來以代表相應的概念。，那么語詞與事物的聯系是這樣的：文字“狗”的例子 Ü“狗”«狗Þ 狗的類其中，箭頭Þ表示概念與所表示的對象之間的表示關系，“狗”與狗都是存在于一

23、個個體大腦（或心靈）中的概念，«則表示大腦（或心靈）的記憶中兩個概念之間的聯結。這里，大腦（或心靈）中的概念與外部事物之間的表示關系，是語義關系中真正重要的環節。 然后，從自然主義的角度看，既然心靈原則上可歸約為大腦，概念、思想等內在表征也原則上是由大腦中的神經元結構實現的，而且（5） 概念等內在表征與它們所表示的外部事物之間的表示關系，是自然事物之間的關系，即大腦中的實現概念的神經元結構與環境中的事物之間的聯系，它們最終只能通過大腦與環境中的事物之間的物理聯系來實現。（6） 心靈沒有什么原則上不可歸約為物理聯系的所謂意向性能力，使得心靈中的概念能夠神秘地表示獨立于物質世界、也獨立于

24、心靈的事物，或使得語言中的詞項能夠神秘地指稱那些事物。 既然語詞與事物之間的語義指稱關系是通過概念與事物之間的表示關系來實現的，它也在根本上是自然世界中作為物質對象的具體的語音文字與其它物質對象之間的關系。是大腦通過眼睛、耳朵識別具體的語音文字，將語音文字與大腦中由神經元實現的概念等內在表征相聯系，再通過身體，將概念與它們所表示的事物相聯系，才使得語詞指稱事物。這種聯系，也最終只能由自然世界中的物理聯系來實現。 在現代心靈哲學中，在自然主義的框架下描述這種概念與外部事物之間的表示關系的理論，稱為意向性自然化或概念內容自然化（naturalizing intentionality, natura

25、lizing content）理論。它意味著用普通的科學語言，特別地，不用“指稱”、“意指”、“表示”、“關于”、乃至“相信”等等這些所謂的意向性詞匯（intentional terms），來描述、刻畫概念與它們所表示的對象之間的這種表示關系，也就是將表示關系處理為自然事物之間的自然關系，就像普通的科學理論所研究的那些自然事物之間的關系。表示關系自然化也蘊涵著語詞與事物之間的指稱關系的自然化。 將概念的表示關系自然化，也就是將表示關系中的規范性自然化。一個人很可能在行為上多次地將不是狗的東西，比如遠處草叢中的黃鼠狼，或者一個外表像狗但內部是機器的機器狗，歸入他的表示狗的概念之下。但我們認為那是

26、犯錯誤。一個概念有它所謂的“真正地表示”的事物，它們不一定是事實上常常被歸入這個概念的事物。這是表示關系中的規范性。將意向性自然化，就是要用自然化的、不含意向性詞匯的語言，來說明所謂的一個概念“真正地表示”的事物是什么，也就是將表示關系中的規范性自然化。 已經有數種意向性自然化理論被提出來，但它們也都存在著一些問題 見Adams (2003)，Neander (2004)。對此，我們也提出了一種新的意向性自然化理論，它似乎能夠解決現有的理論中的主要問題 見Ye (2007a, 2007b, 2007c)。但意向性自然化還是一個需要更深入地研究的課題，我們的新理論也只涉及了一部分類型的內在表征，

27、包括一些類型的可用簡單詞項表達的概念。這里不能詳細介紹這種新理論或其它理論。但是，我們將假設，意向性自然化是可能的。這包括假設一種關于概念的結構的理論，以及一些自然化的、決定概念如何依其結構表示事物的語義規則 參見Ye (2007a, 2007b, 2007c)。 這里要注意的是，意向性自然化理論只考慮那些可以表示與大腦有物質性的聯系的具體事物的概念。而且，既然心靈沒有什么原則上不可歸約為物理聯系的意向性能力，使得心靈中的概念能夠表示獨立于物質世界、也獨立于心靈的抽象事物，那么，不表示具體事物的那些概念，如數學概念，就不表示任何對象。這是在自然主義的框架中看數學實在論的指稱難題。它也應該蘊涵著

28、，自然主義是與數學實在論相沖突的。 另一方面，數學概念不表示事物不意味著它們沒有意義或沒有認知功能。表示大腦之外的事物僅僅是大腦中的概念的認知功能中的一種。那些不表示事物的概念，包括數學概念，還有其它的認知功能。描述數學語言的意義，恰恰在于描述數學概念的這些不同于表示事物的認知功能。 特別地，那些不直接表示具體事物的概念，包括數學概念，還可以通過與其它直接表示具體事物的概念相結合，來與大腦之外的具體事物產生聯系。因此，可以直接表示具體事物的概念與它們所表示的事物之間的表示關系，是數學概念與其它具體事物之間的聯系的基礎。數學概念與其它具體事物之間的這種間接的聯系，恰恰是我們的自然主義數學哲學要描

29、述的。 所以，大腦中的概念可分為兩類：可直接表示具體事物的概念與不直接表示具體事物的概念。前者將稱作實際概念（realistic concepts），后者將稱為抽象概念（abstract concepts）。所以，數學概念是抽象概念。要注意的是，這里的抽象概念仍舊指大腦之中的由神經元結構實現的內在表征，是具體地存在于大腦之中的事物。與之相對應，我們將稱實在論者所相信存在的，獨立于心靈的概念為“作為抽象實體的概念”。注意，實在論者可能相信，有一個作為抽象實體的、公共的、可同時被不同的心靈“把握”的、名詞“狗”所表達的概念狗。這樣一個概念本身是一個抽象實體，但它表示的是具體事物。所以，作為抽象實體

30、的概念也可以是實際概念或抽象概念。我們當然不認為有這樣的公共的概念。限于篇幅這里不能討論不必承認這樣的作為抽象實體的概念的理由參見Ye（2007b）。 如果意向性能夠自然化，那么“真”作為大腦中的思想與其它事物的狀態之間的對應關系也可以被自然化。大腦中的思想可以由概念構成，由陳述句表達。比如，“狗是哺乳動物”表達由兩個概念狗與哺乳動物構成的一個思想。這兩個概念分別表示兩類事物，即狗的類與哺乳動物的類。因此，這個思想是真的，假如這兩類事物客觀上有著包含關系。既然概念狗和哺乳動物與狗和哺乳動物這兩類事物之間的表示關系可以被刻畫為自然事物之間的自然關系，即可以被自然化，這里的“真”，作為大腦中的一個

31、思想的屬性，或作為一個思想與環境中的事物的狀態之間的關系，也是自然化的屬性或關系。這是真理的自然化。也就是說，在自然主義的框架下，“真”作為一個屬性或關系，是自然事物的自然屬性或自然事物之間的關系，就像一般科學理論研究的其他自然事物的屬性或關系。而且，這實際上是對應論式的真理論（correspondence truth），不過其中的對應關系是自然事物之間一個自然關系，是基于大腦中的概念與它們所表示的事物之間的自然化的表示關系。 這里只是以最簡單的包含兩個概念的思想來說明一個自然化的、對應式的真理論，如何可以由關于概念的自然化的表示理論導出。一個完備的自然化的真理論，就像一個完備的自然化的概念理

32、論一樣還有待進一步探索。這里我們也假設這是可能的。它應該包括對思想的結構的描述。一個一般的思想是由概念及其它思想用邏輯概念構造而成的。所以，一個自然化的真理論應該包括以自然化的方式描述邏輯概念的意義，它們對復雜的思想的自然化的“真”屬性的影響等等。 同樣地，這個自然化的“真”屬性只適用于那些由可以直接表示具體事物的實際概念構成的思想。特別地，既然數學概念不直接表示任何事物，由數學概念構成的數學思想也不直接表示任何事物的狀態。這個自然化的“真”屬性不適用于數學思想。同時，這也不意味著數學思想沒有意義。數學思想同樣可以間接地與具體事物的狀態相聯系。這也是我們的自然主義數學哲學要研究的。 我們同樣將

33、可依自然化的對應關系對應于具體事物的事態的思想稱為實際思想（realistic thoughts），而將那些不表示具體事物的事態的思想，如數學思想，稱為抽象思想（abstract thoughts）。自然化的“真”屬性只適用實際思想。同樣地，這里的抽象思想本身還是大腦中的具體事物。實在論者則是相信有作為抽象實體的、公共的、可被不同的心靈“把握”的思想。一般所說的一個語句表達的命題，如果字面意義上存在的話，應該是這樣的公共的思想。與前面提到的作為抽象實體的概念一樣，自然主義者不認為我們有必要承認這種作為抽象實體的、公共的、可被不同的心靈“把握”的思想存在。 “真”被自然化以后，邏輯有效性也可隨之

34、被自然化。一個推理規則是大腦對思想作從前提到結論的推理變換的一個模式。它是有效的，假如對同一模式的推理變換，當作為前題的思想都是真的時候，作為結論的思想也是真的。這是普通的，基于對應論的真理論的，對有效性的刻畫。顯然，這種對邏輯有效性的解釋不是心理主義的解釋。一個大腦中很可能常常發生不有效的推理變換。邏輯有效性中的規范性來源于自然化的“真”關系中的規范性，而它又來源于自然化的概念與事物之間的表示關系中的規范性。 這個關于推理規則的有效性的刻畫假設了“真”屬性可以被用于前提和結論，因此這些前提和結論應該是能夠直接表示具體事物的事態的實際思想。但是，一個對數學思想作的推理，可以與一個對實際思想作的

35、推理具有相同的模式。所以我們常常也說一個對數學思想的作推理是有效的。 關于意義問題，我們最后還要說明一下，這里我們側重于談論概念和思想，而不是語詞和語句。由前面所述，語詞或句子是先與概念或思想相聯系，然后才與它們所表示的事物或事態相聯系。但是，由于同一個語詞或句子可以被不同的大腦理解，可以在不同的大腦中與不同的概念或思想象聯系，所以，討論語詞和句子的指稱、真值的時候，還還考慮另外一些因素，即一些社會性的因素。一個語詞的指稱，應該由該語詞在語言共同體中的各個大腦中所表達的概念共同地決定。這是語言哲學中應該考慮的因素。由于我們這里感興趣的是數學哲學，我們將忽略這一點。比如，假設在經歷了一個地球上的

36、大災難以后，地球上只有一個數學家與科學家活著，那么當這個人做數學研究或將數學應用于科學的時候，就沒有因一個詞或句子在不同的大腦可以與不同的概念或思想象聯結而導致的一些問題。或者我們可以假設，一個共同體中的大腦之間有著最充分的交流，使得各個大腦永遠是將具有非常相似的結構的概念或思想與同一個語詞或句子相聯結。這樣，也沒有因一個詞或句子在不同的大腦可以與不同的概念或思想象聯結而導致的問題。對于一般的語言，這可能是太理想化的假設，但恰恰對于數學語言來說這并不太過分，因為我們發明數學語言的目的之一就是要避免由于對詞義的不同理解所可能帶來的概念上混亂。 更進一步，由于我們將盡可能地忽略心理學上的細節，我們

37、將假設大腦中的一個數學概念或思想的結構，就如同語言中的一個數學詞項或語句的邏輯結構。所以，以后我們有時可能將大腦中的數學概念與思想就當作語言中的詞項與語句，也就是說，我們有時假設這些詞項、語句等等就在大腦之中。這種假設在直觀上是合理的。它也許在心理學上是極不準確的。但我們這里關心的是關于數學的那些哲學問題，這種假設似乎不影響我們對那些問題的分析與回答。 最后，作為自然化的認知關系、語義指稱關系、與“真”關系的推論，我們有（7） 真正存在著的事物都是這個物質性的自然世界之中的事物，即宇宙之中與大腦有直接或間接的物理聯系的事物。（8） 沒有所謂獨立于物質世界的抽象對象、抽象概念；即使有，它們也是不

38、可能被物質的大腦認識到或指稱到。因此我們相信，徹底的自然主義蘊涵數學反實在論。換句話說，假如抽象數學對象客觀地存在，那么，從自然主義的角度，關于它們的認識論問題與指稱問題將是不可解的。這是自然主義蘊含的對數學的本體論問題的回答。 從人是自然世界的一部分，到認知過程是大腦與環境的交互活動，語義關系也是大腦與環境中的事物之間的自然關系，再到關于抽象實體的反實在論的結論，這些是自然主義的基本信念及其推論。自然主義數學哲學就是要在這個背景下描述與解釋我們的數學實踐。 2 自然主義數學哲學的任務 由于數學概念與思想不表示任何事物或它們的事態，在大腦中構造數學概念，考慮數學思想，對它們進行推理等等，類似于

39、想象一些事物，編織關于想象中的事物的故事等等。在這個意義上，我們也常說數學對象是虛構的對象、數學思維活動是想象事物的活動等等。將數學理論與虛構的故事相比擬的想法很早就被人提出過比如Renyi (1967)。但Renyi對目前活躍的數學哲學研究幾乎沒有任何影響。它意味著，數學公理是我們關于想象中的事物的基本假設；數學證明是從這些基本假設出發，推導它們邏輯地蘊涵的結論；數學應用則是用虛構的事物模擬真實的事物。將數學對象視為虛構的事物，也是對關于數學對象的本體論問題的一種反實在論的回答。 從另一個角度說，針對實在論者對抽象數學對象的客觀存在性的信念我們可以問，我們能不能想象抽象數學對象，就像我們想象

40、像孫悟空那樣的事實上不存在但如果存在的話則應該是具體對象的事物，或者像我們想象像外星人那樣的可能存在的具體事物。似乎我們應該承認，我們也可以想象一些抽象數學對象，而不論它們是否真的存在。換句話說，即使抽象數學對象真的存在，我們也可以不談論它們，而談論我們自己想象中的抽象數學對象，就像我們可以不談論真的外星人，而談論我們自己想象中的外星人。然后，一個自然的想法是，數學理論就是描述這些我們自己想象出來的抽象數學對象，而數學應用就是用想象的對象模擬真實的事物。用想象的對象模擬真實的事物，就像人們所說的用虛構的故事中的人物來揭示真實的人性。這似乎是可行的，而且，能夠成功地用一個故事來揭示真實的人性，并

41、不需要故事中的人物真實存在。故事依舊僅僅是虛構的故事。 這樣，實在論者所面臨的認識論難題、指稱難題等等就似乎都不存在了。既然故事是我們自己編的，當然不存在關于故事中的陳述的認識論問題；既然故事中的對象是我們虛構的，也不存在如何指稱到它們的問題。這是一個數學反實在論者針對數學實在論的信念的一個最自然、最容易想到的回應。 這種對數學實踐的解釋，與一種樸素的數學反實在論或形式主義在本質上是一致的。說數學對象是我們的想象，數學公理是關于我們的想象的假設，與說數學只是從公理推導定理沒有實質性的差別。所以，它也應該面臨著一樣的問題，即如何解釋數學的可應用性。困難主要在于，數學故事中的虛構的對象并非準確地模

42、擬了真實的事物。特別地，在數學應用中，我們常常是用無窮、連續的數學模型來模擬宇宙中的有限、離散的事物，而無窮的數學對象并非準確地模擬了有限、離散的真實事物。自然主義的數學哲學當然需要解決這個問題。但另一方面，如果我們將這個具體的問題暫時放在一邊，這種對數學實踐的直觀描述還是有吸引力的，尤其是假如我們注意到了這個事實：一個故事確實可以有用，且以某種形式包含了真理，而同時故事中提到的事物又不必在字面意義上存在，故事中的陳述不必是字面意義上的真理。這似乎就是我們作為一個反實在論者所需要的。下面，一方面我們要澄清一些關于這種對數學實踐的疑慮；另一方面，我們也要指出這種直觀的描述的不足之處，由此引出一個

43、自然主義的數學哲學所應該做的。 很自然地，對于將數學理論與故事作比擬會有些疑慮，但大部分直觀的疑慮是容易澄清的。比如，一種疑慮是，抽象數學對象是不屬于時空的、是永恒的，因此不能是生活于時空歷史中的人虛構出來的。這當然是假設了抽象數學對象是真正地獨立于我們的心靈存在的。假設抽象數學對象客觀存在，當然它們不是我們虛構的。但是，我們應該可以想象某些事物是不屬于時空的、是永恒的。如果我們甚至不能想象任何事物是不屬于時空的、永恒的，那么顯然更談不上我們可以認識那些事物。一個相關的疑慮是，有無窮多的、乃至不可數的抽象數學對象，我們不可能虛構出無窮多的對象來。這當然也是循環論證。如果無窮多的抽象數學對象都獨

44、立于我們的心靈真實存在，我們作為有限的人當然不能一個個地想象完它們，但我們只是在想象有無窮多的抽象數學對象。事實上，我們在想象一個無窮序列的時候，僅僅是在想象一個尾巴變得模糊的序列，或僅僅是用“如此等等”這些詞來表達我們的想象。 還有一個相關的疑慮是這樣的 見Burgess (2004)。：關于具體事物的判斷，我們知道在什么情況下它是真的，在什么情況下它僅僅是想象，比如，對一個偵探的關于某人作了案的判斷，我們知道在什么情況下它是真的，在什么情況下它僅僅是想象；但對于數學判斷，似乎沒有這樣的區別，因為數學判斷如果是真的就必然是真的。然而，假如對數學對象沒有“一個想象是真的”與“一個想象僅僅是想象

45、（或僅僅是一致的想象）”之間的差別，那么結果只能是：（1）只要能邏輯上一致地想象數學對象，那些想象就自動地是真的；或者，（2）關于數學對象的想象只能僅僅是想象的，說它是真的是無意義的。第三種情形，即數學對象存在（且可以被認識）但我們不能想象數學對象，似乎是自相矛盾的。（2）當然與數學對象是虛構的對象的說法是一致的。（1）事實上也與這種說法不相沖突，因為（1）意味著，對于數學對象來說，可想象就已經蘊涵“真”，那么，再說數學想象是“真的”其實就是多余的。 另一種疑慮提出，故事是隨意的虛構而數學則應該不是隨意的；數學在學科分類中是與科學同類，而不是與虛構作品（fiction）同類 同上。事實上，虛構

46、作品也能夠表達關于真實事物的真理。人們有時說，一個虛構的文學作品能夠比歷史實錄更深刻地揭示關于社會與人性的真理。在科學中我們也談論一些虛構的事物，比如，在一本物理學教科書中談論的質點、理想氣體等等，或者在一本經濟學教科書中談論的虛構的工廠、公司等等。一篇文章或一本書是被歸類為虛構作品（fiction）還是被歸類為非虛構作品（non-fiction）作品，應該是基于文章或書的主要目的是否在于表達某種真理，而不是基于其中所直接談論的對象是真實的還是虛構的。我們對一些最基本的數學對象的想象是有明確的目的的。比如，自然數是被用來與離散的物體（或相對于一個單位的物理量）作一一對應，以此表示事物的數量與其

47、它物理屬性；初等幾何中的幾何圖形則是為了直接模擬物理世界中的各種形狀；抽象的集合則是為了模擬具體事物的聚合體。因此，數學不是隨意編撰的故事。將數學與虛構的故事相比擬，是為了強調它們在本體論與認識論方面的共同性，即它們不是直接地談論客觀存在的對象，不是字面意義上的真理。當然，也是由于在想象無窮數學對象的時候，那些想象可能超出了這個真實的世界，不能對應于這個世界中的任何東西，因此只能僅僅是想象。這些都不排除數學與其它虛構的故事在許多方面有重要的區別。 數學理論與一般的故事的區別在于兩個方面。一是上面已經提到的，即數學想象有直接模擬具體事物的目的。二是數學“故事”中的概念是最大可能地精確、嚴密的。它

48、從最簡單的概念，即從對最簡單的事物的想象開始，比如，從想象集合開始，用嚴密的邏輯構造編織出其它復雜的概念、思想，編織出整個極其復雜的數學故事。集合也許是我們所能想象的事物中最簡單又具有一定的結構的東西。它剔除了具體事物的任何物理、化學、生物等等方面的屬性，只保留了最簡單的個體事物之間的等同性關系與個體事物與類的歸屬關系。數學就是用這種簡單的想象中的事物，來精確嚴密地構造其它復雜的想象中的事物，來模擬真實的事物。這好比用一些精確、簡單的小磚塊來構造一個復雜但嚴密的大廈。這使得數學既可以模擬相當復雜的事物，又可以保持所想象、構造的東西的精確性、嚴密性。 將數學對象視為虛構的對象并不降低數學的重要性

49、。想象能力是人類最重要的智能上的能力之一。在規劃我們的所有的未來的行動的時候，我們都會想象虛構的場景。用精確的數學中的想象的事物來模擬真實事物，使得我們能夠對數學模型作精確、嚴密的計算與推理，更是人類的重要發明。對將數學與虛構故事比擬的這些疑慮，都是基于這樣一個直觀的想法：我們的思想必須是字面意義上真的，必須對應于某種客觀實在，才能對我們有認知價值；僅僅是虛構的思想是沒有價值的。但事實上，我們在日常生活、工作中，談論虛構的事物的時候可能要遠遠多于直接談論真實的事物的時候。比如，在物理學課堂中我們談論質點、理想氣體等等虛構的事物；在心理學課堂中我們可能談論一個虛構的、理想化的人物的心理發展，等等

50、。在多數情況下我們并不直接地談論這個世界中的真實事物。正是這種談論虛構的事物的能力，使得我們能夠表達我們關于這個世界中的真實事物的一般性的知識、一般性的規律。我們可以談論虛構的事物來表達我們的一般性的理論，然后將理論應用于具體的事物。 以上是對數學反實在論的一些直觀的解釋與辯護。它們有一定的說服力，但很可能不足以說服持有數學實在論信念的人。數學實在論者可能會承認，質點、理想氣體、或一個虛構的、理想化的人物都不真正存在，但認為數學對象與它們不同。因此，數學實在論者的任務就是要說明究竟不同在哪里，究竟為何數學對象必須是真實的存在，而不能僅僅是虛構的。這里我們不打算反駁數學實在論，也不打算論證數學實

51、在論者的任務不可能完成。相反，我們要指出，上面的對數學反實在論的直觀的解釋與辯護還是不夠的。由此，我們將引出自然主義的數學反實在論自身應該解決的問題。 首先，將數學與虛構的故事相比擬，將數學對象視為“虛構的對象”、“想象的事物”等等，僅僅是一種比喻式的說法。這種比喻式的說法也許可以幫助我們認識到，數學實在論的信念并不像它初看起來的那樣自明，但是，一種比喻式的說法本身還不是對數學的本性的真實的解說。比如，這種比喻式的說法一方面說數學對象不存在，一方面又說我們用虛構的數學對象模擬真實的事物。我們如何能夠用不存在的東西來模擬真實的東西？能否說既然我們能夠用數學對象模擬其它事物，數學對象就在某種意義上

52、存在了？換一個角度來考慮，當科學家們用“虛構的”數學對象來模擬真實事物的時候，他們做的判斷是字面意義上的真判斷嗎？如果是，那么它是否意味著數學對象必須至少在某種意義上存在？如果不是，那么為什么科學家們最終得出關于真實事物的判斷是字面意義上的真判斷？這些都是這種直觀的、比喻式的說法還未回答的問題。 最根本的問題是，我們要追求的是對人類的數學實踐的字面意義上真的描述與解釋。既然抽象數學對象不存在，不論它們是虛構的還是別的什么，我們在描述、解釋人類的數學實踐的時候就不應該繼續談論抽象數學對象。比如，如果我們認為神話的對象或宗教信仰的對象是虛構的，那么，當我們科學地描述、解釋人類的神話創造活動或宗教信

53、仰活動的時候，就不應該像神話或宗教信仰的傳播者那樣，繼續像談論真實事物那樣談論神話中的人物或宗教信仰中的神。在描述宗教信仰的社會功能的時候，我們不應該說，“神幫助了世人建立起一套社會規范”。類似地，描述數學的應用時，我們也不應該說“科學家們使用了數學對象來模擬物理對象”。我們應該說明，在數學實踐中究竟什么真正存在，然后，我們應該談論那些真正存在著的東西，對它們作字面意義上真的、科學的描述與解釋。 顯然，我們的大腦不會創造出“虛構的事物”。所謂“虛構的事物”只是一種非字面意義的說法。我們的大腦只能創造出在大腦中存在的概念、思想、知覺形象等等內在表征。在大腦的想象活動中真正存在著的是想象活動本身。

54、既然“虛構的事物”不存在，真正存在的應該是大腦在進行虛構活動的時候，大腦中的概念、思想、推理等等。同樣地，既然數學對象不存在，在人類的數學實踐中真正存在的，應該是大腦在進行數學思維活動的時候，大腦中的數學概念、思想、及推理等等。因此，對人類的數學實踐的字面意義上真的描述與解釋，應該是描述與解釋人類大腦的數學思維活動及其與環境中的事物之間的關系，也就是將人類的數學實踐，當作包括人類大腦的數學思維活動及其與環境中的事物之間的聯系的自然現象，來作科學的描述與解釋。這就是在自然主義的框架下描述、解釋數學實踐所要做的。 人類大腦的數學思維活動這種自然現象包括許多方面。其中有一些方面應該是屬于心理學領域的

55、，比如，大腦如何習得數學概念等等。自然主義數學哲學，作為一個哲學理論，關心的是其中的一些哲學家與邏輯學家們感興趣的問題。這些問題可以且目前只能用概念分析、邏輯分析的手段，基于我們對自己的大腦中的數學思維活動的內省的知識來回答。因為，目前我們對大腦的認識還極其有限，我們不可能像其它科學領域中那樣，用實驗的手段和構造數學模型的方式來回答這些問題。另一方面，試圖回答這些問題的時候，我們可以盡可能地忽略、回避心理學上的細節，而專注于我們從邏輯與哲學的角度感興趣的方面。這不可避免地使得我們對人類的數學實踐的描述與解釋不是非常精確的。但是，對所研究的對象進行一定程度的簡單化，忽略一些細節，是所有科學研究的

56、共同特點。比如，經濟學描述、解釋人類的經濟行為的時候同樣要忽略許多方面的細節。 從哲學與邏輯的角度，我們感興趣的問題包括關于數學語言，或大腦中的數學概念與思想的意義問題。既然數學概念與思想不表示任何事物或事態，描述它們的意義就應該是描述它們在大腦中在其他方面的認知功能。我們感興趣的問題包括關于數學的認識論問題。既然數學知識不是關于大腦之外的抽象數學對象的知識，我們應該解釋一個大腦的數學知識體現在哪些方面，是關于什么事物的知識，如何在大腦的認知活動中起作用等等。數學實踐中的客觀性與數學的先天性等問題，可能也是典型的只被哲學家們感興趣的問題。心理學家們也許不會關心這些問題。從自然主義的角度回答客觀

57、性問題，是要指出數學實踐中的各種客觀性的表現，說明承認客觀性不蘊涵著任何與自然主義的基本信念相矛盾的東西，比如，不蘊涵著承認獨立于物質世界的抽象對象、抽象概念等等。還有關于數學的先天性問題，則首先要求在自然主義的框架下解釋先天性的意義，然后要回答人類的數學知識是否還是先天的，而且，不論這個答案是肯定還是否定，還要回答為什么人類有關于數學的先天性的強烈的直覺。 最后，要以這種自然主義的方式解釋數學的可應用性，就是要對“大腦成功地應用了數學”這種自然現象作科學的解釋。大腦成功地應用了數學，這是已知的、正在發生的自然現象。要解釋這種現象，就是要描述其中的規律、機制，用我們已知的、更具一般性的概念、原理等等，去說明這種現象如何發生。當然，這首先需要將數學的可應用性問題，更清晰地表達為關于一類自然現象的規律性的問題。這里我們要強調的是，它與其它科學領域對自然現象的解釋應該在原則上是一樣的，應該是字面意義上真的，對真實的自然事物的規律性的解釋。 這些是自然主義的數學哲學的具體任務。在回答這些問題的時候，我們可以假設大腦中的數學概念與思想有一些結構，假設大腦有一些基本的認知功能，包括構造、處理概念與思想的功能。這些假設可能只能是非常抽象的、不可被實驗驗證的。但是，作為一種哲學理論，只要它們符合現代認知心理學中有限的關于大腦的知識，只要它們符合我們通過內省獲得的關于大腦如何工作的知