1、專題15 不等式性質，線性規劃與基本不等式考綱解讀明方向考點內容解讀要求高考示例常考題型預測熱度不等式的概念和性質了解現實世界和日常生活中的不等關系,了解不等式(組)的實際背景理解2017山東,7;2016北京,5;2013陜西,10選擇題分析解讀1.了解不等式的有關概念及其分類,掌握不等式的性質及其應用,明確各個性質中結論成立的前提條件.2.能利用不等式的相關性質比較兩個實數的大小.3.利用不等式的性質比較大小是高考的熱點.分值約為5分,屬中低檔題.考點內容解讀要求高考示例常考題型預測熱度1.平面區域問題會從實際情境中抽象出二元一次不等式組;了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區域表示二元

2、一次不等式組理解2016浙江,3;2016山東,4;2015課標,15;2014課標,9選擇題填空題2.線性規劃問題會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題,并能加以解決理解2017課標全國,5;2017課標全國,14;2017課標全國,13;2016課標全國,13選擇題填空題分析解讀1.多考查線性目標函數的最值問題,兼顧面積、距離、斜率等問題.2.能用線性規劃的方法解決重要的實際問題,使收到的效益最大,耗費的人力、物力資源最少等.3.應重視數形結合的思想方法.4.本節在高考中主要考查與平面區域有關的范圍、距離等問題以及線性規劃問題,分值約為5分,屬中低檔題.考點內容解讀要求高考示例常考

3、題型預測熱度利用基本不等式求最值了解基本不等式的證明過程;會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題掌握2017天津,12;2017江蘇,10;2015陜西,9選擇題填空題分析解讀1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添項或配湊因式構造基本不等式形式的技巧,同時注意“一正、二定、三相等”的原則.2.利用基本不等式求函數最值、求參數范圍、證明不等式是高考熱點.本節在高考中主要以選擇題或填空題的形式進行考查,分值約為5分.考點內容解讀要求高考示例常考題型預測熱度不等式的綜合應用能夠靈活運用不等式的性質求定義域、值域;能夠應用基本不等式求最值;熟練掌握運用不等式解決應用題的方法掌握2017天津

4、,8;2014福建,13;2013課標全國,11選擇題填空題解答題分析解讀不等式的性質與函數、導數、數列等內容相結合,解決與不等式有關的數學問題和實際問題是高考熱點.2018年高考全景展示1【2018年理數天津卷】設變量x，y滿足約束條件則目標函數的最大值為A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】分析：首先畫出可行域，然后結合目標目標函數的幾何意義確定函數取得最大值的點，最后求解最大值即可.點睛：求線性目標函數zaxby(ab0)的最值，當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，

5、在y軸上截距最小時，z值最大.2【2018年理新課標I卷】已知集合，則A. B. C. D. 【答案】B點睛：該題考查的是有關一元二次不等式的解法以及集合的補集的求解問題，在解題的過程中，需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補集中元素的特征，從而求得結果.3【2018年全國卷理】設，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出，得到的范圍，進而可得結果。詳解：.，,即，又，即，故選B.點睛：本題主要考查對數的運算和不等式，屬于中檔題。4【2018年浙江卷】若滿足約束條件則的最小值是_，最大值是_【答案】 -28【解析】分析:先作可行域，再平移目標函數對應的直線，從而確定最值.詳解：

6、作可行域，如圖中陰影部分所示，則直線過點A(2,2)時取最大值8，過點B(4,-2)時取最小值-2. 點睛：線性規劃的實質是把代數問題幾何化，即用數形結合的思想解題.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數的最大或最小值會在可行域的端點或邊界處取得.5【2018年理數天津卷】已知，且，則的最小值為_.【答案】【解析】分析：由題意首先求得a-3b的值，然后結合均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果，注意等號成立的條件.詳解：由可知，且：，因為對于任意x，恒成立，結合均值不等式的結論可得：.當

7、且僅當，即時等號成立.綜上可得的最小值為.點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤6【2018年理北京卷】若𝑥,y滿足，則2y𝑥的最小值是_.【答案】3【解析】分析：將原不等式轉化為不等式組，畫出可行域，分析目標函數的幾何意義，可知當時取得最小值.詳解：不等式可轉化為，即，滿足條件的在平面直角坐標系中的可行域如下圖令，由圖象可知，當過點時，取最小值，此時，的最小值為.點睛：此題考查線性規劃，求線性目標函數的最值，當時，直線過可行域在軸上截距最大時，值最

8、大，在軸上截距最小時，值最小；當時，直線過可行域在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.7【2018年江蘇卷】在中，角所對的邊分別為，的平分線交于點D，且，則的最小值為_【答案】9【解析】分析：先根據三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質和三角形面積公式得，化簡得，因此當且僅當時取等號，則的最小值為.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.8【2018年理新課標I卷】若，滿

9、足約束條件，則的最大值為_【答案】6【解析】分析：首先根據題中所給的約束條件，畫出相應的可行域，再將目標函數化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結合的幾何意義，可以發現直線過B點時取得最大值，聯立方程組，求得點B的坐標代入目標函數解析式，求得最大值.詳解：根據題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：由可得，畫出直線，將其上下移動，結合的幾何意義，可知當直線過點B時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.點睛：該題考查的是有關線性規劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據目標函數的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判

10、斷哪個點是最優解，從而聯立方程組，求得最優解的坐標，代入求值，要明確目標函數的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據不同的形式，應用相應的方法求解.9【2018年理數全國卷II】若滿足約束條件則的最大值為_【答案】9【解析】分析：作出可行域，根據目標函數的幾何意義可知當時，.詳解：不等式組表示的可行域是以為頂點的三角形區域，如下圖所示，目標函數的最大值必在頂點處取得，易知當時，.點睛：線性規劃問題是高考中常考考點，主要以選擇及填空的形式出現，基本題型為給出約束條件求目標函數的最值，主要結合方式有：截距型、斜率型、距離型等.2017年高考全景展示1.【2017課標II，理5】設，滿足約束

11、條件，則的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】試題分析：繪制不等式組表示的可行域，目標函數即：，其中表示斜率為的直線系與可行域有交點時直線的截距值，數形結合可得目標函數在點 處取得最小值 ，故選A。【考點】 應用線性規劃求最值【名師點睛】求線性目標函數zaxby(ab0)的最值，當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大。2.【2017天津，理2】設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為（A） （B）1（C） （D）3【答案】【解析】目標函數為四邊形ABCD及其內部

12、，其中，所以直線過點B時取最大值3，選D.【考點】線性規劃【名師點睛】線性規劃問題有三類:（1）簡單線性規劃，包括畫出可行域和考查截距型目標函數的最值，有時考查斜率型或距離型目標函數；（2）線性規劃逆向思維問題，給出最值或最優解個數求參數取值范圍；（3）線性規劃的實際應用，本題就是第三類實際應用問題.3.【2017山東，理4】已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】試題分析：由畫出可行域及直線如圖所示，平移發現，當其經過直線與的交點時，最大為，選C.【考點】 簡單的線性規劃【名師點睛】利用線性規劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(

13、1)在平面直角坐標系內作出可行域；(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形；(3)確定最優解：在可行域內平行移動目標函數變形后的直線，從而確定最優解；(4)求最值：將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值4.【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【考點】1.指數函數與對數函數的性質.2.基本不等式.【名師點睛】比較冪或對數值的大小,若冪的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數單調性進行比較,若底數不同,可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數函數、對數函數的性質及基本不等式作出判斷.5.【2

14、017課標3，理9】等差數列的首項為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數列，則前6項的和為ABC3D8【答案】A【考點】 等差數列求和公式；等差數列基本量的計算【名師點睛】(1)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想解決問題.(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.6.【2017北京，理4】若x，y滿足 則x + 2y的最大值為（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】試題分析：如圖，畫出可行域，表示斜率為的一組平行

15、線，當過點時，目標函數取得最大值，故選D.【考點】線性規劃【名師點睛】本題主要考查簡單線性規劃解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數賦予幾何意義；求目標函數的最值的一般步驟為：一畫二移三求其關鍵是準確作出可行域，理解目標函數的意義常見的目標函數有：（1）截距型：形如.求這類目標函數的最值常將函數轉化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；（2）距離型：形如；（3）斜率型：形如，而本題屬于截距形式.7.【2017浙江，4】若，滿足約束條件，則的取值范圍是A0，6B0，4C6，D4，【答案】D【解析】試題分析：如圖，可行域為一開放區域，所以直線過點時取最小值4

16、，無最大值，選D【考點】 簡單線性規劃【名師點睛】本題主要考查線性規劃問題，首先由不等式組作出相應的可行域，作圖時，可將不等式轉化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍8.【2017天津，理8】已知函數設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】不等式為(*)，當時，(*)式即為，又（時取等號），（時取等號），所以，當時，(*)式為，又（當時取等號），

17、（當時取等號），所以，綜上故選A【考點】不等式、恒成立問題【名師點睛】首先滿足轉化為去解決，由于涉及分段函數問題要遵循分段處理原則，分別對的兩種不同情況進行討論，針對每種情況根據的范圍，利用極端原理，求出對應的的范圍.9.【2017課標3，理13】若，滿足約束條件，則的最小值為_.【答案】【解析】試題分析：繪制不等式組表示的可行域，目標函數即：，其中表示斜率為的直線系與可行域有交點時直線的截距值的 倍，截距最大的時候目標函數取得最小值，數形結合可得目標函數在點 處取得最小值.【考點】應用線性規劃求最值【名師點睛】求線性目標函數zaxby(ab0)的最值，當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大

18、時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.10.【2017天津，理12】若，則的最小值為_.【答案】【考點】均值不等式【名師點睛】利用均指不等式求最值要靈活運用兩個公式，（1），當且僅當時取等號；（2），當且僅當時取等號；首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號成立的條件；另外有時也考查利用“等轉不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.11.【2017課標1，理13】設x，y滿足約束條件，則的最小值為 .【答案】【解析】試題分析：不等式組表示的可行域如圖所示，易求得，由得在軸上的截距越大，就越小所以，當直線直線過

19、點時，取得最小值所以取得最小值為【考點】線性規劃.2016年高考全景展示1.【2016高考新課標1卷】若,則( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：用特殊值法,令,得,選項A錯誤,選項B錯誤,選項C正確,選項D錯誤,故選C考點：指數函數與對數函數的性質【名師點睛】比較冪或對數值的大小,若冪的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數單調性進行比較,若底數不同,可考慮利用中間量進行比較.2.【2016高考浙江理數】在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影由區域中的點在直線x+y2=0上的投影構成的線段記為AB，則AB=（ ）A2 B4 C

20、3 D【答案】C考點：線性規劃【思路點睛】先根據不等式組畫出可行域，再根據題目中的定義確定的值畫不等式組所表示的平面區域時要注意通過特殊點驗證，防止出現錯誤3.【2016年高考北京理數】若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】試題分析：作出如圖可行域，則當經過點時，取最大值，而，所求最大值為4，故選C. 考點：線性規劃.【名師點睛】可行域是封閉區域時，可以將端點代入目標函數，求出最大值與最小值，從而得到相應范圍.若線性規劃的可行域不是封閉區域時，不能簡單的運用代入頂點的方法求最優解.如變式2，需先準確地畫出可行域，再將目標函數對應直線在可行域上移動，觀察z的

21、大小變化，得到最優解.4. 【2016高考浙江理數】已知實數a，b，c（ ）A若|a2+b+c|+|a+b2+c|1，則a2+b2+c2<100B若|a2+b+c|+|a2+bc|1，則a2+b2+c2<100C若|a+b+c2|+|a+bc2|1，則a2+b2+c2<100D若|a2+b+c|+|a+b2c|1，則a2+b2+c2<100【答案】D【解析】試題分析：舉反例排除法：A.令，排除此選項，B.令，排除此選項，C.令，排除此選項，故選D考點：不等式的性質【方法點睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法解答本題時能夠對四個選項逐個利用賦值的方式進行排除

22、，確認成立的不等式5. 【2016年高考四川理數】設p：實數x，y滿足，q：實數x，y滿足則p是q的( )（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：畫出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區域在命題中不等式表示的圓盤內，故選A.6.【2016高考山東理數】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】試題分析：不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點的三角形區域,表示點（x,y）到原點距離的平方,最大值必在頂點處取到,經驗證最大值為,故

23、選C.考點：簡單線性規劃【名師點睛】本題主要考查簡單線性規劃的應用，是一道基礎題目.從歷年高考題目看，簡單線性規劃問題，是不等式中的基本問題，往往圍繞目標函數最值的確定，涉及直線的斜率、兩點間距離等，考查考生的繪圖、用圖能力，以及應用數學解決實際問題的能力.7.【2016高考天津理數】設變量x，y滿足約束條件則目標函數的最小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】試題分析：可行域為一個三角形ABC及其內部，其中，直線過點B時取最小值6，選B.考點：線性規劃【名師點睛】線性規劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍.8. 【2016高考新課標3理數】若滿足約束條件 則的最大值為_.【答案】【解析】試題分析：作出不等式組滿足的