1、第十三章軸對稱13. 1軸對稱13. 1. 1軸對稱教學目標【知識與技能】掌握軸對稱圖形和關于直線成軸對稱等概念.【過程與方法】通過生活中的具體實例認識，培養觀察、思維、操作、歸納能力.【情感態度】體驗數學與生活的聯系,發展審美觀.【教學重點】準確掌握軸對稱圖形和關于直線成軸對稱的實質.【教學難點】軸對稱圖形和關于直線成軸對稱的區別與聯系.一、情境導入，初步認識展示學生按要求收集的圖片資料，教師指導并對所有圖片進行分類:第一類 是軸對稱圖形,第二類是關于一條直線對稱的圖形.學生觀察,并以小組為單位,討論下列問題：1 .第一類圖案有什么共同特征？2 .第二類圖案有什么共同特征？【教學說明】教師講

2、課前，先讓學生完成“自主預習”.二、思考探究，獲取新知1 .軸對稱圖形在學生交流和說出兩類圖案的特征的基礎上，教師提出第一類的圖案稱為軸 對稱圖形.問題1學生嘗試說出軸對稱圖形的定義,教師適當糾正與補充.問題2請學生再舉一些日常生活中的軸對稱圖形的例子.問題3請觀察下列圖案,看這些軸對稱圖形各有幾條對稱軸.2 .兩個圖形關于某條直線對稱教師提出第二類圖案稱為兩個圖形關于某條直線對稱.問題4鼓勵學生說出兩個圖形關于某條直線對稱的定義.問題5舉出生活中兩個圖形成軸對稱的例子.如：提示：對稱軸可能不止1條,也可能是水平的或傾斜的.教師再歸納總結軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱間的區別與聯系.三、運用新知

3、，深化理解1 .如圖，在由小正方形組成的L形的圖形中，用三種不同的方法添畫一個小 正方形，使它成為軸對稱圖形.2 .角是軸對稱圖形,它的對稱軸是.【教學說明】問題1中有兩種方法比較容易，方法3鼓勵學生交流討論得到; 問題2提醒學生不能說成角平分線.3 .角平分線所在的直線.四、師生互動，課堂小結本節課你學會了什么？有哪些收獲?還有什么疑問？1.布置作業：從教材“習題13.1”中選取.2 .如圖是一個圓形的紙片,請問：它是軸對稱圖形嗎?如果是，對稱軸有多少 條?請你找到它的圓心.3 .完成練習冊中本課時的練習.遜教學反思本課時教學應重視以下幾點：1 .努力體現數學與生活的聯系，從實際中學習新知，

4、使學生認識這種學習方 法.2 .形成提煉概念的能力，注重從實物的形象思維向抽象思維轉變.3 .在對比中發現，認識知識，如“軸對稱”與“軸對稱圖形”的區別與聯系.13.1.2線段的垂直平分線的性質 導教學目標【知識與技能】1 .了解兩個圖形成軸對稱的性質，了解軸對稱圖形的性質.2 .探究線段垂直平分線的性質.【過程與方法】經歷探索軸對稱圖形性質的過程,發展空間觀察能力.【情感態度】體驗數學與現實間的聯系,發展審美感,激發興趣.【教學重點】軸對稱的性質,線段垂直平分線的性質.【教學難點】線段垂直平分線的性質.各教學同程 一、情境導入，初步認識問題1下面圖形中哪些是軸對稱圖形？如果是,請說出它的對稱

5、軸.問題2如果兩個圖形成軸對稱,那么這兩個圖形有什么關系?(如圖2, ZUBC和B' C'關于直線MN對稱)【教學說明】兩個圖形成軸對稱,那么這兩個圖形就全等.由此提出線段垂直 平分線定義:經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平 分線.如圖3,直線1是線段AB的垂直平分線.教師講課前，先讓學生完成“自主 預習”.二、思考探究，獲取新知1 .探究軸對稱的性質作兩個成軸對稱的三角形,如圖.(2)將對稱點分別用線段連接起來,觀察它與對稱軸的位置關系及數量關系, 你能得到什么結論?是如何得到這個結論的？(3)軸對稱圖形是否也具備這樣的性質呢?舉例說明.2 .探索線段

6、垂直平分線的性質探究1教材中的“探究”.學生先思考教科書上的問題，然后讓學生以線段代替木條進行畫圖探究.任 意畫一條線段AB,畫出它的垂直平分線MN,在MN上任取點Pl, P2, P3,分別量一量 點Pi, % P3到點A,點B的距離，你有什么發現?與同伴交流,說明理由.探究2如圖,PA=PB,取線段AB的中點0,連接P0, P0與AB有怎樣的位置關 系？指導學生運用三角形全等知識判定PAOgZXPBO,從而推得P0是線段AB的 垂直平分線.教師總結線段垂直平分線的性質與判定.例1如圖所示，有一塊三角形田地,AB二AOIOm,作AB的垂直平分線ED交AC 于D,交AB于E,量得4BDC的周長為

7、17m,請你替測量人員計算BC的長.ADA=DB.乂BDC 的周長為 17m, AB=AC=10m,ABD+DC+BC=17(m).DA+DC+BC=17,BP AC+BC=17(m).10+BC=17(m),BC=7 (m).3 .作簡單軸對稱圖形的對稱軸.例2如圖所示，ABC與4A' B' C'關于某條直線對稱，請你作出這條直線.【分析】ABC與aA' B' C'中的點A與A',點B與B',點C與C'是 對應點，連接一對對應點，如連接BB',作線段BB'的垂直平分線即可.ft?：（1）如圖所示，連接BB

8、',分別以點B, B'為圓心，以大于BB'的 2長為半徑作弧，兩弧相交于D、E兩點；（2）作直線DE, DE即為所求的直線.三、運用新知，深化理解1 .如果AABC中，NBAO110。，P, Q在BC上,若MP, NQ分別垂直平分AB, AC,則NPAQ的度數是2 .如圖，正方形ABCD的邊長為4cm,則圖中陰影部分的面積為.笫2題圖笫4題圖知線段PA=5,則線段PB的長度為（3 .如圖所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已A. 6B. 5C. 4D. 34 .如圖所示,0C是NAOB的平分線,AC_LAO,BC_LBO,則0C與AB的關系是 (

9、).A.AB垂直平分0CB. 0C垂直平分ABC. 0C只平分AB但不垂直D. 0C只垂直AB但不平分5.如圖，ABC中，AB=AC, NA=36° , AC的垂直平分線交AB于E, D為垂足, 連結EC.(1)求NECD的度數；(2)若CE=5,求BC的長.【教學說明】指導學生解答上述習題時，強調學生應：(1)注意成軸對稱的 兩個圖形的全等關系，由此可得到幾組邊、角的相等；(2)注意線段垂直平分線 的性質的靈活運用.【答案】1.40°2.8cm2 3. B 4. B5. (1) VDE 垂直平分 AC, ACE=AE, A ZECD=ZA=36° . (2) V

10、AB=AC, NA=36° , AZB=ZACB=72° , VZECD=36° , ZBCE=ZACB-ZECD=36° ,NBEC二72° 二 ZB, r.BC=EC=5.四、師生互動，課堂小結問題：本節課學會了什么？有哪些收獲?還有什么疑問？由學生表述，教師歸納總結.導評后作業1 .布置作業：從教材“習題13. 1”中選取.2 .完成練習冊中本課時的練習.景敦學反思本課教學力求充分體現內容的基礎性，方法的靈活性、學生學習的主體性和 教學的主導性，在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考、比較觀察、動手 交流和表述，并借助多媒體的手段輔助教

11、學，增強直觀性、激發學習興趣.強調分組討論，學生與學生之間很好地交流與合作，利用師生的雙邊活動， 激發學生學習興趣，教師從中發現、搜集學生的學習情況，查漏補缺，適時調度, 從而順利達到教學的目的.13.2畫軸對稱圖形第1課時作軸對稱圖形景教學目標【知識與技能】1 .通過動手操作體驗如何作軸對稱圖形.2 .能作出一個圖形經一次或二次軸對稱變換后的圖形.3.能利用軸對稱變換設計一些簡單的圖案.【過程與方法】通過實際操作獲取作軸對稱圖形的方法,并應用于簡單的圖案設計.【情感態度】通過圖案設計等活動，培養學生的動手操作能力'，審美及數學興趣,發展學 生的空間觀念.【教學重點】作一個圖形經軸對稱

12、變換后的圖形.【教學難點】通過動手操作總結軸對稱變換的特征.學教與國道一、情境導入，初步認識利用多媒體向學生展示剪紙圖片,供學生欣賞，并請學生交流:如此漂亮的剪 紙是如何剪出的呢?問題1請學生拿出畫有一個簡單風箏(如圖形狀)的半透明紙，把這張紙對 折后描圖,學生畫好后打開對折的紙,觀察并回答下列問題：(1)畫出的圖形與原來的圖形有什么關系？(2)兩個圖形成軸對稱有什么特征？問題2如果改變對稱軸的方向和位置，結果乂如何呢？讓學生在剛才的紙 上任意折疊,描圖,打開紙.你發現了什么？【教學歸納】由學生畫圖、操作、觀察后總結出：(1)由一個平面圖形可以得到它關于一條直線1對稱的圖形,這個圖形與原 圖形

13、的形狀、大小完全一樣.(2)新圖形上的每一點,都是原圖形上的某一點關于直線1的對稱點,連接任 意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分.【教學說明】教師講課前，先讓學生完成“自主預習” .二、思考探究，獲取新知【教學說明】成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由另一個圖形經軸對稱變換后 得到.一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎，經軸對稱變換擴展而成 的.問題 除上面所用的描圖法;還可用什么方法畫出軸對稱變換后的圖形？請 學生間交流探討.例1(1)如圖1,已知AABC和直線1,作出與AABC關于直線1對稱的圖形.(2)將AABC的位置移至圖2,圖3,圖4時,再作出關于直線1對稱的圖形.并驗證畫

14、法.AB【歸納總結】一個平面圖形都是由一些點組成，點動成線，故要畫一個圖形經 軸對稱后的圖形，只要找到一些特殊點，作出這些特殊點的對稱點即可.【教學說明】利用軸對稱變換,可以設計出精美的圖案.有時，將平移和軸對稱結合起來, 可以設計出更美麗的圖案.例2操作并思考：如圖所示,取一張薄的正方形紙,沿對角線對折后，得到一個等腰直角三角形, 再沿斜邊上的高線對折，將得到的三角形沿黑線剪開，去掉含90°角的部分，拆 開折疊的紙,并將其鋪開.(1)你會得到怎樣的圖案?先猜一猜,再做一做.(2)你能說明為什么會得到這樣的圖案嗎?應用學過的軸對稱的知識試一試.(3)如果將正方形紙按上面方式折3次,然

15、后再去掉含90°角的部分展開后 的結果乂會怎樣?為什么？解：(1)得到一個有2條對稱軸的圖形.(2)按照上面的做法，實際相當于折出了正方形的2條對稱軸，因此圖中得 到的圖案一定有2條對稱軸.(3)按題中的方式將正方形對折3次,相當于折出了正方形的4條對稱軸，因此得到的圖案一定有4條對稱軸.【教學說明】教師參與,與學生一起操作,力求使圖案與花邊完美.三、運用新知，深化理解1 .把下列圖形補成關于直線1對稱的圖形.2 .如圖,利用軸對稱變換畫出花瓶的另一半.3 .如圖，左邊的旗子經過幾次軸對稱變換,可以變成右邊的旗子?你能設計一 種變換方案嗎？4如果我們把臺球桌做成等邊三角形形狀,那么從

16、AC中點D處出發的球,能 否依次經BC, AB兩條邊反射后回到D處?如果認為不能，請說明理由；如果認為能, 請作出球運動的路線.【教學說明】指導學生解答上述習題時，要注意引導學生：（1）畫軸對稱圖 形時，要先畫好關鍵的對應點；（2）在已知成軸對稱的圖形時，利用成軸對稱的 圖形的性質，找出對稱軸.【答案】4.能.運動路線如圖的D-E-F-D四、師生互動，課堂小結教師請學生回憶本節內容,學生發言談收獲,最后引導總結.找對稱點的坐標之間的關系,規律.孝教學15程一、情境導入，初步認識用多媒體展示北京城風光圖片,及北京城形象地圖.問題1老北京的地圖(教材圖13. 2-3)中，西直門和東直門是關于中軸線

17、對 稱的，如果以天安門為原點,分別以長安街和中軸線為x軸和y軸建立平面直角坐 標系,對應于如教材圖13. 2-3所示的東直門的坐標，你能找到西直門的位置和坐 標嗎？學生指出西直門的位置或坐標，由此指出用坐標表示軸對稱，很方便確定一 個地方的位置.【教學說明】教師講課前，先讓學生完成“自主預習” .問題2(1)在直角坐標系中畫出下列已知點：A(2, -3);B(-1,2);C(-6, -5) ;D(3, 5) ;E(4, 0) ;F(0, -3).(2)畫出這些點分別關于x軸、y軸對稱的點，并填寫表格.(3)請你仔細觀察點的坐標，你能發現關于坐標軸對稱的點的坐標有什么規 律嗎？(4)請你想辦法檢

18、驗你所發現的規律的正確性,說說你是如何檢驗的.已知點(3,-1)(-2,1)(-1,-3)(3,2)(0,-1)關于軸 的對稱點關于夕軸的對稱點【歸納結論】點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標為(x,-y),即橫坐標相等，縱坐標互為 相反數；點(x,y)關于y軸對稱的點的坐標為"x,y),即橫坐標互為相反數， 縱坐標相等.二、典例精析，掌握新知例1已知點Pt (a-1, 5)和B(2, b-1)關于x軸對稱，則(a+b)刈'的值為().A. 0B.-1C. 1D. (-3)2012【分析】 由題意可知，=2，解得16 1 = -5."-3 .(0 + 6)2012 =

19、 (3 一4)沏2 =1,選 C./)= -4.出示新問題：1 .如圖，分別作出APaR關于直線X=1和直線y=1對稱的圖形.2 .試找出它們對應點的坐標.3 .猜想:如果作關于直線x=3和直線y=-4對稱的圖形,試找出它們對應點的 坐標,并總結出一般性規律.點(x, y)關于直線x=m對稱點的坐標是(2m-x, y),即若兩點(Xi, yj, (x2, y2)關 于直線x=m對稱,則，y尸y,2點(x, y)關于直線y=n對稱點的坐標是(x, 2n-y),即若兩點(x“ yj, (x2, y2)關 于直線y=n對稱，則x尸整,n二空三.2例2如圖,梯形ABCD關于y軸對稱，點A的坐標為(-3

20、, 3),點B的坐標為 (-2, 0),試寫出點C和點D的坐標,并求出梯形ABCD的面積.【分析】已知點D與點A關于y軸對稱,點B和點C關于y軸對稱，由此可推 知點D,點C的坐標.解：點D與點A(-3,3)關于y軸對稱,點D的坐標為(3, 3).同理點C的坐標為(2, 0).故 AD= 3-(-3) =6, BC= 2- (-2) =4,AS 梯形=1 (AD+BC) 0E=-X (6+4) X3=15. 22【教學說明】由以上例題，應讓學生掌握：1 .平行于x軸的兩點之間的距離等于兩點橫坐標差的絕對值.2 .求規則圖形的面積應選用平行于x軸(或y軸)的邊為底邊，求面積較方便. 三、運用新知，

21、深化理解1 .說出下列各點關于x軸,y軸對稱的點的坐標.(-2, 6), (1,-2), (-1,3), (-4,-2), (1,0).2 .四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(-5, l),B(-2, l),C(-2, 5),D(-5, 4),分別作出與四邊形關于x軸和y軸對稱的圖形.3 .在坐標系中描出點 A (-1, 3), B (5, -4), C (-3, -1), D (-1, 1), E (-3, 5), F (5, 8),連接AB, BC, AC, DE, EF, DF,請你判斷所得圖形是軸對稱圖形嗎？如果不是，請 你說明理由；如果是,請說出對稱軸.【教學說明】教師指導學生

22、完成上述問題的解答，提示學生解題過程中注重畫圖找答案, 體驗數形結合的作用.同時,鼓勵學生從實際解題中總結題中所隱含的規律.【答案】1.巳知點X軸 的對稱點關于y軸 的對稱點(-2,6)(-2,-6)(2,6)(1,-2)(1.2)(-1,-2)(-1,3)(-1.-3)(1,3)(-4,-2)(-4,2)(4,-2)(1.0)(1.0)(-i,o)4 .略5 .圖略.所得圖形是軸對稱圖形，對稱軸是y=2.四、師生互動，課堂小結教師引導學生總結本節課用坐標表示軸對稱的主要解題方法和解題思路.1 .已知點關于某條直線對稱的點的坐標可以通過尋找線段間關系來求.2 .學生表述關于x軸,y軸對稱的點的

23、坐標規律.季課后作業1 .布置作業：從教材“習題13.2”中選取.2 .完成練習冊中本課時的練習.孝教學反思本課時采用探究、發現式的教學方法，通過找具有一定代表性的分別位于四 個象限及坐標軸的一些點的對稱點及坐標，尋找關于坐標軸對稱的點的坐標的一 般規律，可培養學生觀察、歸納、分析問題解決問題的能力，并通過研究線段之 間關系發現對稱點的坐標之間的關系，從中體驗數形結合思想，教學中應讓學生 認識到尋找規律后檢驗其正確性是科學研究問題的一個必不可少的步驟.13.3等腰三角形13. 3. 1等腰三角形第1課時等腰三角形的性質孝教學目標【知識與技能】1 .理解掌握等腰三角形的性質.2 .運用等腰三角形

24、性質進行證明和計算.3 .觀察等腰三角形的對稱性、發展形象思維.【過程與方法】1 .通過實踐、觀察、證明等腰三角形的性質，發展學生推理能力.2 .通過運用等腰三角形的性質解決有關問題,提高運用知識和技能解決問題 的能力.【情感態度】引導學生對圖形的觀察、發現，激發學生的好奇心和求知欲，并在運用數學 知識解答問題的活動中取得成功的體驗.【教學重點】等腰三角形的性質及應用.【教學難點】等腰三角形的證明.一、情境導入，初步認識問題1讓學生根據自己的理解，做一個等腰三角形.要求學生獨立思考，動 手做圖后，再互相交流評價.可按下列方法做出：作一條直線1,在1上取點A,在1外取點B,作出點B關于直線1的對

25、稱點C, 連接AB, AC, CB,則可得到一個等腰三角形.問題2老師拿出事先準備好的長方形紙片按下圖方式折疊剪裁.C W 今 觀察并討論：ZXABC有什么特點？教師指導，并介紹等腰三角形的相關概念, 及等腰三角形是軸對稱圖形.【教學說明】教師講課前，先讓學生完成“自主預習” .二、思考探究，獲取新知教師依據學生討論發言的情況，歸納等腰三角形的性質：NB=NC一兩個底角相等.BD二CD-AD為底邊BC上的中線.NBAD=NCAD-AD為頂角NBAC的平分線.NADB二NADC=900 -AD 為底邊 BC 上的高.指導學生用語言敘述上述性質.性質1等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成：“等邊對等角

26、”）.性質2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線，底邊上的高重合(簡記為: “三線合一”).教師指導對等腰三角形性質的證明.1 .證明等腰三角形底角的性質.教師要求學生根據猜想的結論畫出相應的圖形，寫出已知和求證.在引導學 生分析思路時強調：(1)利用三角形全等來證明兩角相等.為證NB二NC,需證明以/B, ZC為元 素的兩個三角形全等,需要添加輔助線構造符合證明要求的兩個三角形.(2)添加輔助線的方法可以有多種方式：如作頂角平分線,或作底邊上的中線, 或作底邊上的高等.2 .證明等腰三角形“三線合一”的性質.【教學說明】在證明中，設計輔助線是關鍵，引導學生用全等的方法去處理， 在不同的輔助線

27、作法中，由輔助線帶來的條件是不同的,重視這一點，要求學生板 書證明過程，以體會一題多解帶來的體驗.例 如圖,在ABC中,AB=AC,點D在AC上，且BD二BOAD,求ABC各角的度數.解：；AB二AC, BD=BC=AD,r. NABONC=NBDC, NA=NABD （等邊對等角）.設 NA二x,則 NBDC=NA+NABD=2x,從而 NABC=NC=NBDC=2x.于是在AABC 中，有NA+NABC+NC=x+2x+2x=180° ,解得x=36°于是在ABC 中，有NA=36° , NABONO72° .【教學說明】等腰三角形“等邊對等角”及“

28、三線合一”性質，可以實現由 邊到角的轉化，從而可求出相應角的度數.要在解題過程中，學會從復雜圖形中分解出等腰三角形，用方程思想和數形結合思想解決幾何問題.三、運用新知，深化理解第1組練習：1 .如圖,在下列等腰三角形中,分別求出它們的底角的度數.2 .如圖，ZABC是等腰直角三角形,AB=AC, ZBAC=90° , AD是底邊BC上的高,標出NB, ZC, ZBAD, ZDAC的度數,指出圖中有哪些相等線段.3 .如圖，在ABC, AB=AD二DC, NBAD=26° ,求 NB 和 NC 的度數. Az第2組練習：1.如果AABC是軸對稱圖形，則它一定是（）A.等邊三角

29、形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形2 .等腰三角形的一個外角是100° ,它的頂角的度數是（）A. 80°B. 20°C. 80° 和 20°D. 80° 或 50°3 .已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm,并且它的周長為16cm.求這個等腰 三角形的邊長.4 .如圖，在ABC中，過C作NBAC的平分線AD的垂線，垂足為D, DE/7AB交AC于E.求證:AE=CE.A E C【教學說明】等腰三角形解邊方面的計算類型較多，引導學生見識不同類型，并適時概括 歸納,幫學生形成解題能力,注意提醒學生分類討論思想的應用

30、.【答案】第1組練習答案：1. (1)72° ; (2)30°2. NB=NONBAD=NDAC=45° ; AB=AC, BD=DC二AD3. NB=77° , NO38. 5°第2組練習答案：1 .C2 .C3 .設三角形的底邊長為xcm,則其腰長為(x+2)cm,根據題意，得2(x+2)+x=16. 解得x=4.，等腰三角形的三邊長為4cm, 6cm和6cm.4 .延長 CD 交 AB 的延長線于 P,在aADP 和 AADC 中，NPAD二NCAD, AD=AD, Z PDA=ZCDA, AAADPAADC. A ZP=ZACD. X.

31、VDE/7AP, .ZCDE=ZP. A ZCDE= NACD,，DE=EC.同理可證:AE=DE. .AE=CE.四、師生互動，課堂小結這節課主要探討了等腰三角形的性質，并對性質作了簡單的應用.請學生表 述性質，提醒每個學生要靈活應用它們.學生間可交流體會與收獲.1 .布置作業：從教材“習題13.3”中選取.2 .完成練習冊中本課時的練習.教學反思本課時應把重點放在逐步展示知識的形成過程上，先讓學生通過剪紙認識等 腰三角形；再通過折紙猜測、驗證等腰三角形的性質：然后運用全等三角形的知識加以論證.由特殊到一般、由感性上升到理性，邏輯演繹，層層展開，步步深入.第2課時等腰三角形的判定景教學目標【

32、知識與技能】L理解掌握等腰三角形的判定.2.運用等腰三角形判定進行證明和計算.【過程與方法】通過推理證明等腰三角形的判定定理,發展學生的推理能力，培養學生分析、 歸納問題的能力.【情感態度】引導學生觀察,發現等腰三角形的判定方法,獲得成功的感受，并在這個過程 中體驗學習的樂趣.【教學重點】等腰三角形的判定定理.【教學難點】等腰三角形判定定理的證明.等教學國道一、情境導入，初步認識先請學生回憶等腰三角形的性質，再向學生提出下列問題.問題1如圖，位于海上A, B兩處的兩艘救生船接到0處遇險船只的報警，當 時測得NA=NB.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發,能不能大約同時趕到 出事地點（不考慮風

33、浪因素）.引導學生作如下思考：應該能同時趕到出事地點，因為兩艘救生船的速度相同，同時出發，在相 同的時間內走過的路程應該相同，也就是0A=0B,所以兩船能同時趕到出事地點.(2)能同時趕到0點位置的一個很重要的因素是NA=/B,也就是說如果NA 不等于NB,那么同時以同樣的速度出發就不能同時趕到出事地點.【教學說明】教師講課前，先讓學生完成“自主預習” .問題2根據上述探究，考慮：“在一個三角形中，如果兩個角相等，那么它 們所對的邊也相等”，并證明這個結論.1 .指導學生表述結論并寫出證明過程.2 .指出表述要嚴謹，如不能說成：“如果一個三角形的兩個底角相等，那么它 是等腰三角形”.二、思考探

34、究，獲取新知例1求證：如果一個三角形的一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那 么這個三角形是等腰三角形.【教學說明】本題是文字敘述的證明題，先應將文字語言轉化為相應的數學 語言,再根據題意畫出相應的幾何圖形.要證明這個問題，由特征結論聯想“等角對等邊“，而等角由已知的平行線和 角平分線可推得.例2如圖，標桿AB高5m,為了將它固定,需要由它的中點C向地面上與點B 距離相等的D, E兩點拉兩條繩子，使得D, B, E在一條直線上,量得DE=4m,繩子CD 和CE要多長？【教學說明】這是一個與實際生活相關的問題，要解決這類問題，需要將實際問題抽象為 數學模型.本題的實質是已知等腰三角形的底邊和底邊

35、上的高,求腰長的問題.解：如圖(2),選取比例尺為1 ： 100.作線段DE=4cm.作線段DE的垂直平分線MN,與DE交于點B.在MN上截取BC=2. 5cm.連接CD, CE, ACDE就是所求的等腰三角形,量出CD的長,就可以計算出要 求的繩長.例3如圖，已知4ABC中,AB=AC, BD, CE分別是兩腰上的中線.求證:BD=CE.證明：VAB=AC,NABONACB (等邊對等角).乂，CDAC, BEAB, 22，CD二BE.在ABEC和ACDB中，VBE=CD, NABONACB, BOCB,r.ABECACDB(SAS)./.BD=CE.三、運用新知，深化理解1 .如圖，NA=

36、36° ,NDBC=36° ,NC=72° ,分別計算Nl, N2的度數，并說明 圖中有哪些等腰三角形.2 .如圖，把一張矩形的紙沿對角線折疊,重合部分是一個等腰三角形嗎?為什 么？3 .如圖,AC 和 BD 相交于點 0, AB/DC, 0A=0B.求證:0C=0D.4 .如圖，在AABD 中，C 是 BD 上的一點，且 AC_LBD,AC=BC=CD. （1）求證:AABD 是等腰三角形.（2）求NBAD的度數.【教學說明】上述習題要引導學生邊做題邊總結，熟悉等腰三角形的性質與 判定常與哪些知識在一起應用，等腰三角形性質與判定間有什么區別與聯系，并 鼓勵學生探

37、究一題多解的方法.【答案】1. N1 =72° , N2=36° ;等腰三角形有：ABC、ABD、ABCD2. 是等腰三角形,可證得N1=N23. VOA=OB, /. ZA=ZB.又：ABDC,，NA=NC, ZB=ZD. /. ZC=ZD, /. OC=OD （等角對等邊）.4. （l） ffiW： VAC1BD, AZACB=ZACD=90° . X VAC=AC, BC=CD, A AACBA ACD（SAS）. AB二AD（全等三角形的對應邊相等）.ABD是等腰三角形.（2）由（1） 可知 AB=AD, A ZB=ZD. XVAC=BC, AZB=ZBA

38、C, AAC=CD. AZD=ZDAC.在4 ABD 中,NB+ND+NBAC+NDAC=180° . A 2（ZBAC+ZDAC）=180° , A ZBAC+Z DAC二90° ,即 NBAD=90° .四、師生互動，課堂小結利用問題指導學生總結：問題1你學會了幾種判定等腰三角形的方法？問題2等腰三角形性質與判定有哪些聯系和區別？【總結】本節課主要探究了等腰三角形判定定理,并對判定定理的簡單應用 有了一定的認識,在利用定理的過程中體會定理的重要性.在直觀的探索和抽象 的證明中養成一定的邏輯推理能力.課后作業L布置作業:從教材“習題13.3”中選取.2

39、.完成練習冊中本課時的練習.孝教學反思利用等腰三角形的性質定理與判定定理的互逆關系來學習等腰三角形的判 定是很重要、很常見的研究問題的方法，本節之前線段垂直平分線的知識的學習 及以后學習平行四邊形等特殊四邊形的知識時會反復用到這種方法.13.3.2等邊三角形第1課時等邊三角形的性質與判定至專教學目標【知識與技能】1 .掌握等邊三角形的定義.2 .理解等邊三角形的性質與判定定理.【過程與方法】經過應用等邊三角形的性質與判定的過程培養學生分析問題、解決問題的能 力.【情感態度】通過對等邊三角形的學習，了解等邊三角形的對稱美,增強應用數學知識解 決實際問題的信心.【教學重點】等邊三角形的性質和判定方

40、法.【教學難點】等邊三角形性質的應用.孕敦學亙程一、情境導入，初步認識在等腰三角形中，有一種特殊的等腰三角形三條邊都相等的三角形，它叫 等邊三角形.請大家畫圖并結合等腰三角形的知識探討等邊三角形具有哪些特征, 同學間互相交流.教師歸納總結如下：1 .等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸.2 .等邊三角形的三個內角都相等,并且每一個角都等于60。.3 .三角都相等的三角形是等邊三角形.4 .有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.其中，前兩個是等邊三角形性質，后兩個是等邊三角形的判定.【教學說明】學生的發言會是多方位多角度的,教師應從邊、角、對稱性等 類型歸納.同時強調，作為特殊的等腰三角形

41、,等邊三角形首先具備等腰三角形的 所有性質.教師講課前，先讓學生完成“名師導學”.二、思考探究，獲取新知例1如圖，已知P.Q是ZkABC的邊BC上兩點，且PB=PQ=QC二AP二AQ,求N BAC的大小.【分析】由已知顯然可知AAPQ是等邊三角形，每個角都是60。.乂知4APB與AQC都是等腰三角形，兩底角相等，由三角形外角性質即可推得NPAB=30。.解:TAP二 AQ二PQ,APQ是等邊三角形.，Z PAQ= Z APQ= Z AQP=60°.乂 ，AP=PB,J ZPAB=ZPBA.又，:ZAPQ=ZPBA+ZPAB,r. ZPAB=30°.同理 NQAC=30

42、76;.J Z B AC= Z PAB+ Z PAQ+ Z QAC= 120°.【教學說明】本例綜合應用等邊三角形與等腰三角形在角方面的性質，要求 解題要規范,表述要有條理，言必有據，可讓學生說出過程中每一步的依據.例2在等邊4ABC中，NABC和NACB的平分線相交于點O, BO, CO的 垂直平分線分別交BC于點E和點F.求證：4OEF是等邊三角形.【分析】由角平分線得NOBC=NOCB=30。,再根據線段垂直平分線的性質可 得OE=BEQF=CF.據此可計算出/OEF及NOFE的度數，進而可證得ZkOEF是等 邊三角形.【證明】E,F分別是BO,CO的垂直平分線上的點，OE=B

43、E,OF=CF.VAABC是等邊三角形，且OB,CO分別平分NABCNACB, ZOBE=ZBOE=ZOCF=ZCOF=30°.ZOEF=ZOFE=60°. ZEOF=60°.OEF是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角形）.【教學說明】證明一個三角形是等邊三角形，要靈活運用判定方法，根據已知提供的條件 靈活選擇，本題可用多種方法證明.三、運用新知，深化理解1 .AABC 中,AB二BC,NB=NC,則NA=.2 .下列說法不正確的是（）.3 .有兩個角為60。的三角形是等邊三角形8 .有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形C.有兩個外角相等的等腰三角

44、形是等邊三角形D.三個外角都相等的三角形是等邊三角形3 .已知NAOB=30。,點P在/AOB內部,P1與P關于OB對稱,P2與P關于OA 對稱，則PQP2是（）三角形.A.直角B.鈍角 C.等腰 D.等邊4 .如圖，在等邊4ABC中,D為BC上一點,BD=2CD,DE_L AB于E,CE交AD于 P.求NAPE的度數.【教學說明】用多媒體（或小黑板）出示以上問題，學生可在老師指導下完成，鞏固 所學知識.【答案】1.60°2.C3.D4.解：:ABC為等邊三角形. r.ZB=ZACB=60°, AC=BC, 又,.DE_LAB, ZB=60°, ZBDE=30&#

45、176;.ABE=-BD,而 BD=2CD2r.BE=CD.SaBCE 和ZkCAD 中BE = CD« ZB = ZACB BC = ACAaBCEaCAD,AZBCE=ZDAC 而 NBCE+NACE=60。,ZDAC+ZACE=60°.AZAPC=120°,/. ZAPE=60°.四、師生互動，課堂小結教師指導學生回憶本節所學知識點，學生間交流，互相查漏補缺.L布置作業:從教材“習題13.3”中選取.2 .完成創優作業中本課時的“課時作業”部分.黨？教與反思本課時學習特殊的等腰三角形等邊三角形，可讓學生先自主探索再合作 交流，小組內、小組間充分交流

46、后概括所得結論，這既鞏固等腰三角形的應用知 識，乂類比探索等腰三角形性質和判定定理的方法，加深了對等腰三角形與等邊 三角形聯系與區別的理解.第2課時含30°角的直角三角形的性質卡”瓠與目標【知識與技能】1 .熟練掌握含30°角的直角三角形的性質.2 .會利用性質解題.【過程與方法】通過直尺量取得到直觀結論，然后加以證明?！厩楦袘B度】本節課使學生經歷了 “實驗一一猜想一一證明”的過程，使同學們初步體驗 了自然科學的一般研究方法，提高了學生研究和學習的興趣.【教學重點】在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的 一半.【教學難點】巧妙運用性質解題.歸”

47、him一、情境導入，初步認識用兩個全等的含30°角的直角三角尺，試著把它們拼在一起，看能否拼成 一個等邊三角形，然后以小組為單位一起討論可從中發現什么結論，并予以證明.老師指導拼圖，得出結論，并一起證明結論.（1）在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.（2）在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對 的銳角為30。.【教學說明】教師講課前，先讓學生完成“自主預習”.二、思考探究，獲取新知例 1 在 RtZXABC 中，ZC=90° ,ZBAC=60° ,NBAC 的平分線 AM 的長為15cm,求BC的長.【分析】要求B

48、C的長，可分別求出BM和CM的長.利川等腰三角形的判定得出BM=AM,利用含30°角的直角三角形的性質得CM=!AM,將所求線段 2轉化為已知線段進行求解.解：在 RtZABC 中，ZC=90° ,ZBAC=60° ,AZB=30° .TAM 平分NBAC, AZCAM=ZBAM=30o . ZB= Z BAM, .AM=BM= 15cm.，在 RtZkACM 中，ZCAM=30° .VCM=-AM=7.5cm.2.BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.【教學說明】在直接求一條線段不易求的情況下，可以將其轉化為求易 求的兩條線段的和或差

49、進行計算.例 2 在 RtAABD 中，NADB=90。，NA=60° ,作 DC AB,KZDBC=ZBDC,DC 與 BC 交于點 C,已知 CD=4cm.（1）求NCBD的度數；（2）求AB的長.【分析】（1）根據直角三角形的兩個銳角互余，可知NDBA的度數，再由DC AB及等腰三角形的性質即可計算NCBD的度數；（2）可作等腰三角形CBD 底邊上的高，延長交AB于點E.根據等腰三角形“三線合一”，可以得出CE平 分BD且平分NDCB,由此可知4BCE是等邊三角形，所以BE=4,則DE=BE=4. 再證明4ADE是等邊三角形即可.解：(1)在 RtAADB 中,V ZA=60&

50、#176; ,ZADB=90° ,A ZABD=30° .XVAB/7CD,/.ZCDB=ZABD=3O° .AZCBD=ZCDB=30o .(2)過點C作CMJ_BD于點M,交AB于點E,連接DE,則DE=EB,A ZEDB=ZEBD=30° .V ZCDM=30° ,ZCMD=90° ,ACM=-CD=2.2XVZEBM=ZCBM=30° ,BM=BM,ZEMB=ZCMB=90° , ACBMAEBM(ASA), r.EM=CM=2./. DE=2EM=4.V ZDEA=ZEDB+ZEBD=60° ,

51、ZA=60° ,/ AD=DE=4.XVZADB=90° ,ZABD=30° ,AAB=2AD=8.【教學說明】直角三角形30°角的性質常與直角三角形的兩個銳角互余同時運用，此性 質是求線段長度和證明線段間倍分問題的重要依據.例3如圖所示，在aABC中，AB二AC,D為BC邊上的點，if D < DE_LAB,DF_LAC,垂足分別為 E、F, NBAC=120。.求證:DE+DF=|bC.|【分析】VAB=AC,ZBAC=120° , A ZB=ZC=30° .乂 DE±AB.DF±AC, 可以構造兩個含3

52、0°角的直角三角形.【證明】VAB=AC,ZBAC=120° , r.ZB=ZC=l(180° -120° )=30° .乂 ；DE_LAB,DF，AC, A ZBED=ZCFD=90° .在 RtZBDE 中，V ZB=30° ,ADE=-BD. 2同理，在 RtZMZDF 中，DF=-CD.A2kA DE+DF= - BD+ - CD= - (BD+CD)= -BC.n2222120°j；JB L_Za£例4如圖所示，在四邊形ABCD中，AD=4,BC=1,ZA=3O° ,。 ENADC=1

53、20° ,試求 CD 的長.【分析】由于CD不是特殊三角形的邊長，所以無法利用已知條件直接求出, 延長AD、BC,將題中已知條件集中在兩個特殊的三角形中.解：延長AD、BC交于點E,在 RtZABE 中，ZE=180° -90° -30° =60° ,又NCDE=180° -120° =60° ,A ZDCE=60° .CED是等邊三角形.設 CD=x，貝ij BE=l+x,AE=4+x,在 RtZABE 中，V ZA=30° ,AAE=2BE.BJ 4+x=2(l+x),解得 x=2,即 CD

54、 的長為 2.三、運用新知，深化理解1.若三角形的三個內角的比為1 ： 2 ： 3,則它的最短邊與最長邊的比為().A.1 : 3B.1 ： 2C.2 : 3D.1 : 42.如果一個三角形是軸對稱圖形，且有一個角是60。，那么這個三角形是【答案】1.B2 ,等邊三角形四、師生互動，課堂小結特殊直角三角形，運用性質先判斷，30°所對的直角邊，長度恰為斜邊一半.1 .布置作業：從教材“習題13.3”中選取.2 .完成練習冊中本課時的練習.教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，經歷觀察、實驗、歸納等思維 過程，從中獲得數學知識與技能，體驗教學活動的方法，同時升華學生的情感、態度和價值觀

55、.13.4課題學習最短路徑問題景教學目標【知識與技能】L 了解最短路徑問題.2.掌握解決最短路徑問題的方法.【過程與方法】通過解決最短路徑問題的過程培養學生分析問題的能力.【情感態度】通過對最短路徑問題的學習，增強應用數學知識解決實際問題的信心.【教學重點】解決最短路徑問題.【教學難點】最短路徑的選擇.教學同程一、情景導入，初步認識問題1如圖，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊1飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短?C，問題2如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造 在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與 河垂直

56、.）a【教學說明】（1）C為直線1上的一個動點，那么，上面的問題可以轉化為: 當點C在1的什么位置時，AC與CB的和最小.作出點B關于1的對稱點B',連接AB',線段AB'與直線1的交點C的 位置即為所求.（2） N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b,交直線a于點M,這樣， 上面的問題可以轉化為下面的問題：當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB 最小？將AM沿與河岸垂直方向平移,移動距離為河寬，則A點移到A'點，連接A'B,線段A' B與直線b的交點'的位置即為所求，即在點N處造橋MN.教師講課前，先讓學生完成“自主預習”.二、

57、思考探究，獲取新知例 要在燃氣管道1上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管 道的什么地方，可使所用的輸氣管道最短？【分析】本問題就是要在1上找一點C,使AC與CB的和最小.設B'是B 關于直線1的對稱點，本問題也就是要使AC與CB'的和最小.在連接AB'的線 中，線段AB'最短.因此，線段AB'與直線1的交點C的位置即為所求.【教學說明】解決最短路徑問題通常運用的知識有“過直線作已知點的對稱 點”，“兩點的所有連線中，線段最短”等.三、師生互動，課堂小結這節課主要學習了最短路徑問題，讓學生相互交流體會與收獲，并總結本課 所學知識.a課后作業完成練習冊中本課時的練習.本課時教學時要盡量創設與學生生活環境、知識背景相關的教學情境，以生 動活潑的形式呈現有關內容