1、九年級數學第二十八章銳角三角函數綜合習題大全(含答案)如圖，拋物線F = -A2 +bx + c與X軸交于A(-1,O)、3兩點,與),軸交于點 C(0,4).(1 )求拋物線的解析式；(2 )點P在第一象限的拋物線上，點P的橫坐標為J過點p向i軸作垂線 交直線于點。，設線段尸。的長為？，求，與7之間的函數關系式并求出，的 最大值；(3 )拋物線上一點。的縱坐標為(2 )中?的最大值，連接BD , CO ,在 拋物線上是否存在點七(不與點A , B ,。重合)使得ZD3E = 45。？若存在， 請求出點石的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】(1 ) =儲+ 31+ 4 ;( 2 )川=r+4

2、,當/ = 2時/取最大值,最大值為4 ；( 3 )存在,.【分析】(1)將點A、C的坐標代入即可求出拋物線的解析式；(2 )先求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出直線BC解析式，根據 P、Q所在的圖象表示出它們的坐標，即可求出?與/之間的函數關系式，然后 將二次函數的一般式化為頂點式即可求出機的最大值；（3 ）先求出點D的坐標,從而得出8 = 3 , CQx軸，然后利用等腰直角 三角形的性質可得80 = 40 ,C5 = NOBC = 45。，然后證出/E肝= NQ3C , 可得tan= tan ZD8C ,從而可設瓦 = 3。，則加 = 5。，用含3的式子表示出點E的坐標代入解析式即可求

3、出點E的坐標.【詳解】解：（1）回拋物線1 = -爐+加+。經過a（to）、C（0,4）兩點,一 1 一+ c = 0回/c = 4 .b = 3解得 一c = 4*碘物線的解析式為）=-/ + 3x + 4 ；(2 )令一/ +3x + 4 = 0 ,解得內=T , Z=4 ,團 3(4,0),設直線8c的解析式為 y =去+，將點 3（4,0）, C（0,4）代入,4k + = 0/? = 4 =4回直線3。的解析式為）-4 ,設點。的坐標為（，-/+3/ + 4）,則點。的坐標為（4）, 回 ? = 一/2 +31+4（一/+4）=一產+4/= -（r-2）2+4（0r/2 ,S F)B

4、H = BC-CH =- 2團 NOBC = NDBE = 45。，0 ZOBC - ZCBE = Z.DBE - ZCBE ,即 NEBF = ZDBC ,(U tan AEBF = tan ZDBC ,an EF DH 3設EF = 3a ,貝!J8F = 5。，國。尸=5。-4 ,國 E(4-54,3g),團點石在拋物線上，回34 = (45a)+3(4 5a) + 4 f22解得= (舍去)，,J 2 66一不引【點睛】此題考查的是求二次函數的解析式、利用二次函數求最值、等腰直角三角形 的性質和銳角三角函數，掌握利用待定系數法求二次函數解析式、將二次函數一 般式化為頂點式、等腰直角三角

5、形的性質和同角的銳角三角函數相等是解決此題 的關鍵.62.(1)如圖，點E是正方形ABCD邊BC上任意一點，過點C作直 線CF團AE ,垂足為點H ,直線CF交直線AB于點F ,過點E作EG團AB ,交直 線AC于點G.則線段AD , EG , BF之間滿足的數量關系是；(2 )如圖，若點E在邊CB的延長線上，其他條件不變，則線段AD , EG , BF之間滿足的數量關系是，證明你的結論；-7（3 ）如圖，在（2 ）的條件下，若正方形ABCD的邊長為4 ,tanM=、，將一個45。角的頂點與點A重合，并繞點A旋轉，這個角的兩邊分別交線段EG于M, N兩點.當EN=2時，求線段GM的長.【答案】

6、（1） AD=EG + BF ; （ 2 ） AD=EG-BF ;證明見解析；（3 ） 3.【解析】試題分析（1）由正方形的性質得出AD二AB=BC閆ABC=90。廬ACB=45。, 由平行線的性質得出團CEG=回ABC=90得出團CEG是等腰直角三角形，EG二CE , 由AAS證明回ABE豳CBF ,得出對應邊相等BE=BF ,即可得出AD=EG + BF ;（2 ）由正方形的性質得出AD二AB=BC , MBC=90。，回ACB=45。，由平行 線的性質得出國CEG二回ABC=90,得出回CEG是等腰直角三角形，EG=CE ,由 AAS證明回ABE甌CBF，得出BE二BF ,即可得出AD=

7、EG-BF ;（3過A作AP0EG于P過M作MQ0AG于Q，則四邊形ABEP為矩形， 得出AB二PE , AP=BE ,由正方形的性質得出AB=BC二AD=PE=4 ,由三角函數 得出BE二BF=AP=6，得出PN=2 ,證明gAQMtmiAPN，得出對應邊成比例， AQ=3QM，由勾股定理求出AG，證明回AGP豳GMQ ,得出對應邊成比例，GM二 V2QM，設GM=x ,由勾股定理得出方程，解方程即可.試題解析：（1） AD=EG + BF，理由如下：回四邊形ABCD是正方形，回AD二AB二BC ,國ABC=90 ,國ACB=45,團EG回AB ,國CEG=回ABC=90,國CEG是等腰直角

8、三角形,團EG=CE ,團CFME ,垂足為點H ,國CHE=回CBF=90 ,國F二回CEH ,亞CEH二回AEB ,國F二團AEB,在回ABE和回CBF中，ZF = ZAEBZABE = NCBF , AB = BC國 ABE 團困 CBF(AAS),團BE=BF ,團BOEC+BE=EG+BF ,團AD=EG+BF ;(2) AD = EG-FB,理由如下：團四邊形ABCD是正方形，團AD二AB二BC , 0ABC=9O , MCB=45,團EG回AB ,國CEG二國ABC=90,國CEG是等腰直角三角形，團EG=CE ,0CFEAE ,垂足為點H ,國FHA二回FBC二團ABE=90,

9、國FAH二團BCF ,國FAH 二目BAE ,國BCF二回BAE,在回ABE和國CBF中，ZFBC = ZABE/BCF = /BAE , AB = BC國 ABE 國國 CBF(AAS),團BE=BF , EG=CE=BE+BC=BF+AD ,回AD=EG-BF ;故答案為AD=EG-BF ;(3 )過A作AP團EG于P ,過M作MQ2AG于Q ,如圖所示:則四邊形ABEP為矩形，團AB二PE , AP= BE ,團正方形ABCD的邊長為4 ,回AB二 BOAD= PE=4 , r BC 20tansF=-BF 34x3 EBF= =6 , 2團BE=BF=AP=6 ,回 EN=2,回 PN

10、=2,國PAQ=回MAN=45 z函MAQ二回NAP ,亞APN=回AQM=90 ,西AQM甌APN ,團絲=”AP PN on A0 QMBDv=-，0AQ=3QM ,亞APG是等腰直角三角形，團AG 二524尸=(2x62 = 6五,函G=(3G ,回GQM=12APG=90 z西AGP甌GMQ zGMAGQMPGM QM 即皿。設 GM=x,團GM2=QM2+ ( AG-AQ ) 2 z)2,則x2=（卡解得：x=3或x=6 （不合題意，舍去）,團GM=3 .考點：四邊形綜合題.63 .如圖，在矩形ABCD中，AB= 6 , BC= 8 ,點A在直線I上，AD與 直線I相交所得的銳角為6

11、0。，點P在直線I上，AP= 8 , E阿，垂足為點F , 與點P重合，EF = 6 ,以EF為直徑，在EF的右側作半圓。，點M是半圓O上 任意一點.發現：連接AM ,則線段AM的最大值為；矩形ABCD保持不動，半圓O沿直線向右平移，設平移距離為x.思考：點E落在邊AD上時，求半圓O與矩形ABCD重合部分的面積S ;探究：在平移過程中，當半圓O與矩形ABCD的邊相切時，直接寫出x的 值（參考數據：tan750 = 2+ /結果保留根號）【答案】發現：10 ;思考：3r-生 源究：X的值為（8-36）或（36+2 ） 4或（8+摳）【分析】（1）先判斷出點M在點E的位置時，AM最大，進而利用勾股

12、定理即可得出結論；(2 )半圓0與邊AD的另一個交點為G ,連接OG ,過點。作OH回AD于 H ,先求出OH ,進而求出EG ,最后用扇形和三角形面積差即可得出結論；(3)首先結合圖形，判斷相切可分三種情況，分別畫三種情況對應圖形， 利用切線的性質判斷出回OAP=30 ,進而求出AF,即可得出結論.【詳解】發現：如圖1當點M在點E的位置時，AM最大，連接AE團RtmAFE 且 AP = 8 , EF = 6 ,AE2=EF2 + AP2SAE=V82+62=10即 AM = AE = 10回AM的最大值為10 ;圖2半圓。與邊AD的另一個交點為G ,連接0G ,過點0作0H回AD于H團EF回

13、西 EFA = 90西 DAF = 60甌 OEA = 30國 EOG = 120國OH回AD13團Rt回OHE且 OH =-OE=1 吃H=/OH=,回EG = 2EH = 3G ,畔圓O與矩形ABCD重合部分的面積S = S扇形EOG - S團EOG 二1204x3?360-x3x/3x| =3r -午;/24探究：當半圓。與AD相切時，如圖3過點。作OH回AD于H ,連接AO回EF回，西 EFA = 90回直線I是半圓0的切線回AO平分回PAD國OAP = 白DAP = 30在R挹OFA中，OF = 3團AF = 3 Q取二 PF = AP-AF = 8-3 有當半圓O與AB邊相切時，如

14、圖4連接OA ,過點O作OH團AB于H貝峋CTAF=;國BAP=：（90 +60）=75。在 R恒OFA 中,OF= 3MF二 F =二二）tan NOA尸 tan 752 + /、7取二 PF = AP-AF = 83(2 網 =2 + 3。； 當半圓O與BC相切時，如圖5延長CB交直線I于Q在 RtEABQ 中 z 0BAQ = 90-60 = 30, AB = 6團 BQ = 2 /回 AQ = 4/同的方法得，QF = 3C0x = PQ - FQ = AP+AQ - FQ=8+40 - 36=8+73國在平移過程中，當半圓O與矩形ABCD的邊相切時，X的值為(8-373 ) 或(36

15、 + 2 )或(8 + /3 ).【點睛】本題考察了勾股定理、扇形面積、直線與圓相切、三角函數等知識點；求解 本題的關鍵為熟練掌握直線與圓相切、勾股定理、三角函數等性質，結合圖形運 用到實際問題的求解過程中，從而計算得到答案.64 .如圖，對稱軸為直線工=1的拋物線y=ax2 +bx + c 與x軸交于4(T。)、 8(3,0),與)軸交于C點，拋物線頂點為。，直線8。交)軸于E點.(1 )求拋物線函數表達式；(2 )若點。是位于直線8。下方拋物線上的一動點，以號、尸。為相鄰的 兩邊作平行四邊形。打。，當平行四邊形的面積最大時，求此時平行四邊 形心的面積S及點P的坐標；(3 )在線段80上是否

16、存在點G，使得N&)C = NGCE ?若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1) y =/-2X-3 ;( 2 )平行四邊形PBFD的面積S為2 , P ( 2 , 924-3 ) ； ( 3 )存在.點G的坐標為(y,-y).【分析】(1 )先設拋物線的頂點式，然后利用待定系數法，即可求出解析式；(2 )根據題意，先求出BD的解析式，當PF的值最大時，面積取到最大值，即可得到答案；(3)先證明4CQ = 90。，設點G的坐標為。，2-6),利用三角函數值，求出t的值，即可得到點G的坐標.【詳解】解：(星)設拋物線為丁 =心-a+1把人(-1,0),(2(0,-3)代入得.

17、而 + k = 0a = 1vS /2 , CD= /2 , BD= 2/5 ,團(3揚:+(2=(2府，gg BC2 + CD2 = BD1 ,團 NBC。= 90。，國 tan Z.BDC = 3CD 團點G在線段BD上,所以設點G的坐標為。6),過點G作GH0y軸于點H ,當tan團GCH=3時，(3BDC二回GCE ,GH _/7CH -3-6)9解得：，=c ，2402/ 6 =,7，924團點G的坐標為：(y,-y).【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，二次函數的性質，也考查了三角函數，勾 股定理的逆定理，求二次函數的解析式，求一次函數的解析式，解題的關鍵是熟 練掌握所學的性質進

18、行解題.65.如圖，在四邊形。Z7/7沖，nnunn,頂點礙原點，頂點室軸上, 頂點附坐標為, 口口= 24口，口 = 2600.點瞅點比發，以1叫附 速度向點限動，點如點幅時出發，以又7/，的速度向點主動.規定其中一個 動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動；從運動開始，設爪。點運動的(刁當。為何值時，四邊形Z7Z7Z7爆矩形？【答案】(1)= -4口+ 104 ;(2)附 65【解析】【分析】(1)首先根據頂點A的坐標為(0,8), AC=24cm , OB=26cm f分別求出 點B、C的坐標各是多少；然后應用待定系數法,求出直線BC的函數解析式即 可.(2)根據四邊形AOQP是矩形，可得AP=OQ據此求出t的值是多少即可.【詳解】圖1 頂點麗坐標為(0, 8) , Z7Z7=