1、八年級(jí)下數(shù)學(xué)壓軸題1. ，正方形ABCD中, / MAN=45 , / MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CBDC (或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn) M N, AFU MN于點(diǎn)H.(1) 如圖，當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN寸，請(qǐng)你直接寫出 AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；(2) 如圖，當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)，(1 )中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還 成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；(3) 如圖，/ MAN=45 , AHI MN于點(diǎn)H,且MH=2 NH=3求AH的長(zhǎng).(可利用(2)得到的結(jié)論)2. 如圖， ABC是等邊三角形，點(diǎn) D是邊BC上的一點(diǎn)，以 AD為邊作等邊 AD

2、E過點(diǎn)C作CF/ DE交AB于點(diǎn)F.1 假設(shè)點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)如圖，求證：EF=CD2在1的條件下直接寫出 AEF和厶ABC的面積比;3假設(shè)點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)除 B、C外如圖，那么1中的結(jié)論是否仍然3. 1如圖1,在正方形 ABCD中, E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 DF=BE求證：CE=CF(2) 如圖2,在正方形 ABCD中, E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果/ GCE=45 ,請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明：GE=BE+GD(3) 運(yùn)用(1)( 2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖 3,在直角梯形 ABCD中, AD/ BC( BO AD) , / B=90 ,

3、AB=BC E 是 AB 上4 .如圖，正方形ABCD中, E為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF丄DE,與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F.連接EF,與CD邊交于點(diǎn) G,與對(duì)角線 BD交于點(diǎn)H.(1 )假設(shè) BF=BD='二，求 BE 的長(zhǎng)；(2)假設(shè)/ ADE=2/ BFE,求證：FH=HE+HDGH2C5 .如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn) P在對(duì)角線 AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn) B,另一邊與射線 DC相交于Q.探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為 x.(1) 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的猜測(cè)；(2) 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形

4、PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系， 并寫出函數(shù)自變量x的取值圍；(3) 當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)， PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出 所有能使厶PCQ成為等腰三角形的點(diǎn) Q的位置.并求出相應(yīng)的 x值，如果不可 能，試說明理由.6. Rt ABC與Rt FED是兩塊全等的含 30°、60°角的三角板，按如圖(一)所示拼 在一起，CB與DE重合.(1) 求證：四邊形 ABFC為平行四邊形；(2) 取BC中點(diǎn)0,將厶ABC繞點(diǎn)0順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖 (二)中厶A B' C'位置, 直線B'C'與AB CF分別相交于P、Q兩點(diǎn)，

5、猜測(cè) 0Q 0P長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并 證明你的猜測(cè)；(3) 在(2)的條件下，指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時(shí)，四邊形PCQB為菱形？(不 要求證明)7 .如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)F在CD邊上，射線 AF交BD于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線 于點(diǎn)G.(1) 求證： ADEA CDE(2) 過點(diǎn)C作CFU CE交FG于點(diǎn)H,求證：FH=GH(3) 設(shè)AD=1, DF=x,試問是否存在x的值，使 ECG為等腰三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求 出x的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.&在平行四邊形 ABCD中，/ BAD的平分線交直線 BC于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)F.(1) 在圖1中證明CE=CF(2) 假設(shè)/ ABC

6、=90 , G是EF的中點(diǎn)(如圖2),直接寫出/ BDG的度數(shù)；(3) 假設(shè)/ ABC=120 , FG/ CE FG=CE 分別連接 DB DG(如圖 3),求/ BDG的度數(shù).9 .如圖，？ ABCD中, DEI BC于點(diǎn)E, DHL AB于點(diǎn)H, AF平分/ BAD分別交 DCDE DH于點(diǎn) F、G M 且 DE=AD(1)求證： ADG2 FDM10.如圖，在正方形 ABCD中, E、F分別為BC AB上兩點(diǎn)，且 BE=BF過點(diǎn)B作AE的垂線交AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作CF的垂線交BC于點(diǎn)H延長(zhǎng)線段AE、GH交于點(diǎn)M(1 )求證：/ BFCK BEA(2)求證：AM=BG+GM11.如下列圖

7、，把矩形紙片 OABC放入直角坐標(biāo)系xOy中，使OA 0C分別落在x、y軸的正半軸上，連接 AC,且AC=4j£, 生40A 2(1) 求AC所在直線的解析式；(2) 將紙片OAB(折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合(折痕為EF),求折疊后紙片重疊局部的 面積.(3) 求EF所在的直線的函數(shù)解析式.312 .一次函數(shù) 尸詩垃+&的圖象與坐標(biāo)軸交于 A B點(diǎn)(如圖)，AE平分/ BAO交x軸于點(diǎn)E.(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2) 求直線AE的表達(dá)式；(3) 過點(diǎn)B作BF丄AE,垂足為F,連接OF,試判斷 OFB的形狀，并求 OFB的面積.(4) 假設(shè)將條件“ AE平分/ BAO交x軸于點(diǎn)E改

8、變?yōu)椤包c(diǎn)E是線段OB上的一個(gè) 動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn) O B重合)，過點(diǎn) B作BF丄AE,垂足為F.設(shè)OE=x BF=y, 試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域.X.QX13. 如圖，直線l i的解析表達(dá)式為：y=- 3x+3 ,且l i與x軸交于點(diǎn)D,直線l 2經(jīng)過點(diǎn)A,B,直線li,丨2交于點(diǎn)C.(1) 求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2) 求直線l 2的解析表達(dá)式；(3) 求厶ADC的面積；(4) 在直線l 2上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P,使得 ADP-與 ADC的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).L y /'Q3/ X3_¥ J14. 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方形

9、OACB勺頂點(diǎn)A B分別在x軸與y軸上， 0A=6 OB=10.點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0, 2),點(diǎn)P從 點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿線段 AC- CB的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P與點(diǎn)B重合時(shí) 停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒.(1) 當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求直線DP的函數(shù)解析式；(2) 求 OPD勺面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；如圖，把長(zhǎng)方形沿著 OP折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在AC邊上，求點(diǎn)P 的坐標(biāo).(3) 點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在使 BDP為等腰三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形 ABCD為平行四邊形，A、B、C的

10、坐標(biāo)分別是 A (- 5, 1), B (- 2, 4), C (5, 4),點(diǎn)D在第一象限.(1) 寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過B D兩點(diǎn)的直線的解析式，并求線段BD的長(zhǎng)；(3) 將平行四邊形 ABCD先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的四邊形AiBiGD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？并求出平行四邊形ABCD與四邊AiBiCiD重疊局部的面積.R/理D%016.如圖，一次函數(shù).-I的圖象與x軸、y軸交于點(diǎn)A B,以線段AB為邊在第一象限作等邊 ABC(1 )求厶ABC的面積;(2 )如果在第二象限有一點(diǎn) P ( a, L);試用含有a的代數(shù)式表示四邊形 ABPO的面 積，并求出當(dāng)

11、 ABP的面積與厶ABC的面積相等時(shí)a的值；(3) 在x軸上，是否存在點(diǎn) M使厶MAB為等腰三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.2卜了C0A2021年06月17日梧桐聽雨的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一.解答題(共16小題)1.，正方形ABCD中，/ MAN=45 , / MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CBDC (或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn) M N, AHL MN于點(diǎn)H.(1) 如圖，當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN寸，請(qǐng)你直接寫出 AH與AB的數(shù)量關(guān)系：AH=AB ;(2) 如圖，當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)，(1 )中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還

12、 成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；(3) 如圖，/ MAN=45 , AHL MN于點(diǎn)H,且MH=2 NH=3求AH的長(zhǎng).(可利用解答解：(1)如圖AH=AB(2)數(shù)量關(guān)系成立.如圖，延長(zhǎng)CB至E,使BE=DN/ ABCD是正方形， AB=AD / D=Z ABE=90 ,在 Rt AEB和 Rt AND中，* 匕桂E二乂ADN,遲氏二EiN Rt AEB Rt AND AE=AN / EAB=Z NAD/ DAN丄 BAN=45 , / EAB+Z BAN=45 , / EAN=45 , Z EAMZ NAM=4° ,rAE-AN在厶 AEMfn ANM中，/酣H二Z

13、1Wi【，,AM-AM AEMA ANM Sa aei=S anm EM=MN/ AB 人日是厶AEMA ANM寸應(yīng)邊上的高, AB=AH(3) 如圖分別沿 AM AN翻折 AMHA ANH得到 ABMA AND BM=2 DN=3 / B=Z D=Z BAD=90 .分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C,得正方形ABCD由(2)可知，AH=AB=BC=CD=AD設(shè) AH=x 貝U MC=x- 2, NC=x- 3,在Rt MCN中，由勾股定理，得 MN=MC+NC2 2 2 5 = (x- 2) + (x- 3)(6 分)解得xi=6, X2=- 1 .(不符合題意，舍去)圖2 .如圖， ABC是等邊

14、三角形，點(diǎn) D是邊BC上的一點(diǎn)，以 AD為邊作等邊 ADE過點(diǎn) C作CF/ DE交AB于點(diǎn)F.1 假設(shè)點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)如圖，求證：EF=CD2在1的條件下直接寫出 AEF和厶ABC的面積比；3假設(shè)點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)除 B C外如圖，那么1中的結(jié)論是否仍然 成立？假設(shè)成立，請(qǐng)給出證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由.(1)證明： ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn),解答b-：. AD丄 BC 且/ BAD土/ BAC=30 ,2 AED是等邊三角形, AD=AE / ADE=60 , / EDB=90 -Z ADE=90 - 60° =30°,/ ED/ CF, Z FCB=

15、/ EDB=30 ,vZ ACB=60 , Z ACF=/ ACB-Z FCB=30 , Z ACF=/ BAD=30 ,在厶 ABDD CAF 中， AB=CA ,;Zfac=Zb ABDA CAF (ASA), AD=CF/ AD=ED ED=CF又 v ED/ CF,四邊形EDCF是平行四邊形, EF=CD(2)解： AEF和厶ABC的面積比為：1 : 4;(易知 AF=BF , 延長(zhǎng) EF 交 AD 于 H , AEF 的面積丄？ EF? AH丄？丄CB丄?2? BC? AD由此即可證明)22(3)解：成立.理由如下： ED/ FC, :丄 EDB玄 FCB/ AFCh B+Z BCF

16、=60 +/ BCF, / BDAh ADE+Z EDB=60 +/ EDB/ AFC=Z BDAzb=zfacAB 二 CA ABDA CAF (AAS, AD=FC / AD=ED ED=CF又 ED/ CF,四邊形EDCF是平行四邊形, EF=DC 3. (1)如圖1 ,在正方形 ABCD中, E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 且DF=BE求 證：CE=CF(2) 如圖2,在正方形 ABCD中, E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果Z GCE=45 , 請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明：GE=BE+GD(3) 運(yùn)用(1) (2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖 3,在直角梯形 AB

17、CD中, AD/ BC( BO AD) , Z B=90°, AB=BC E 是 AB上一點(diǎn)，團(tuán)1圖2S 3解答(1)證明：四邊形 ABCD是正方形， BC=CD/ B=Z CDF=90 ,/ ADC=90 ,/ FDC=90 ./ B=Z FDC/ BE=DF CBEA CDF(SAS. CE=CF(2) 證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至F,使DF=BE連接CF.由(1)知厶 CBEA CDF,/ BCE=/ DCF/ BCE+Z ECD玄 DCF+Z ECD即/ ECF=/ BCD=90 ,又/ GCE=45 ,/ GCF2 GCE=45 ./ CE=CF GC=GC ECGA FCG

18、GE=G F GE=GF=DF+GD=BE+GD(3) 解：如圖3，過C作CGLAD,交AD延長(zhǎng)線于 G.在直角梯形ABCD中,TAD/ BC / A=Z B=90° ,又/ CGA=90 , AB=BC四邊形ABCG為正方形. AG=BC-( 7 分)/ DCE=45 ,根據(jù)(1) (2)可知，ED=BE+DG(8分) 10=4+DG即 DG=6設(shè) AB=x,貝U AE=x 4 , AD=x 6 ,在 Rt AED中，/ dE=aD+aE,即卩 102= ( X 6) 2+ (X 4) 2.解這個(gè)方程，得：x=12或x= 2 (舍去).( 9 分) AB=12.X 12=108.-

19、 S 梯形 ABCt=.L (AD+BC ? AB丄X( 6+12)2 2即梯形ABCD勺面積為108. ( 10分)4 .如圖，正方形ABCD中, E為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF丄DE,與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F.連接EF,與CD邊交于點(diǎn) G 與對(duì)角線 BD交于點(diǎn)H.(1 )假設(shè) BF=BD= _：，求 BE 的長(zhǎng)；fh=he+hd解答(1)解：四邊形 ABCD正方形,/ BCD=90 , BC=CD Rt BCD中, BC+cD=BEt即 bC= c 2) 2( BC 2, BC=AB=1 DF丄 DE/ ADE+Z EDC=90 =Z EDC丄 CDF/ ADE玄 CDF在厶 ADED CD

20、F中，rZADE=ZCDF亦M, ADEA CDF(ASA , AE=CF=BF BC=- 1 , BE=AB AE=1-二-1 =2-2證明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH, ADEA CDF DE=DF DEF為等腰直角三角形，/ DEF玄 DFE=45 =Z DBC/ DHE2 BHF,/ EDH2 BFH 三角形的角和定理，在厶 DEHDA DFI 中，/DEH二上DFI,EH=F I DEHA DFI SAS, DH=DI,又/ HDE2 BFE / ADE=N BFE/ HDE2 BFE丄/ ADE/ HDE丄 ADE=45 ,/ HDE=15 ,/ DHI=Z DEH+Z

21、HDE=60 ,即厶DHI為等邊三角形， DH=HI, FH=FI+HI=HE+HD5. 如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn) P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊與射線 DC相交于Q探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x .(1) 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的猜測(cè)；(2) 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形 PBCQ勺面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并 寫出函數(shù)自變量x的取值圍；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)， PCC是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所 有能使 PCQ成為等腰三角形的點(diǎn) Q的位置.并求出相應(yīng)的 x值，

22、如果不可能，試說明 理由.解答解：1 PQ=PB 1 分過P點(diǎn)作MN BC分別交AB DC于點(diǎn)M N,在正方形ABCD中, AC為對(duì)角線， AM=PM又 AB=MN MB=PN/ BPQ=90 ,/ BPM丄 NPQ=90 ;又/ MBP# BPM=90 ,/ MBP# NPQ在 Rt MBP Rt NPQ中,kZMBF=ZNPQ Rt MB曰 Rt NPQ 2 分 PB=PQ2 - S 四邊形 PBC=S PB+S4PCQ AM/ AP=x,2 %， CQ=C- 2NQ=H *,又 T Sapb= , BC? E1Spc=7CC? PN亍1 -? 1? 1冬?當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重

23、合,PQ=QC 此時(shí)，x=0. 5 分當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，且 CP=CQ寸，6分有：QN=AM=PM=：x,2 2CP=1 -x, CQ=QN CNx=2x - 1,當(dāng)二-x= _ - 1 時(shí)，x=1 . 7 分.6. Rt ABC與Rt FED是兩塊全等的含 30°、60°角的三角板，按如圖一所示拼在一起，CB與DE重合.1求證：四邊形 ABFC為平行四邊形；2取BC中點(diǎn)O將厶ABC繞點(diǎn)0順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖二中厶 A B' C'位置， 直線B'C'與AB CF分別相交于P、Q兩點(diǎn)，猜測(cè)OQ 0P長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的 猜測(cè)；3 在

24、2的條件下，指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時(shí)，四邊形PCQB為菱形？不要 求證明解答(1)證明： AB3A FCB AB=CF AC=BF四邊形ABFC為平行四邊形.(2)解：OP=OQ理由如下： OC=OB / COQW BOP / OCQMPBQ COQ BOP OQ=OP(3)解：90°.理由： OP=OQ OC=OB四邊形PCQB為平行四邊形，/ BC丄 PQ四邊形PCQB為菱形.7 .如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)F在CD邊上，射線 AF交BD于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于 點(diǎn)G.(1) 求證： ADEA CDE(2) 過點(diǎn)C作CH丄CE,交FG于點(diǎn)H,求證：FH=GH(3 )設(shè)AD=

25、1, DF=x,試問是否存在 x的值，使 ECG為等腰三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出解答(1)證明：四邊形 ABCD是正方形, DA=DCZ 1 = / 2=45°, DE=DE ADEA CDE(2)證明： ADEA CDE/ 3=Z4,/ CHL CE:丄 4+Z 5=90°,又/ 6+Z 5=90°, 4=Z 6=Z 3,TAD/ BG/ G=/ 3,/ G=Z 6, CH=GH又/ 4+Z 5= / G+Z 7=90°,/ 5=Z 7, CH=FHFH=GH(3) 解：存在符合條件的x值此時(shí)Z ECG>90°，要使 ECG為等腰三角形，

26、必須 CE=CG Z G=Z 8,又 tZ G=/ 4, Z 8=Z4, Z 9=2Z 4=2Z 3, Z 9+Z 3=2 Z 3+Z 3=90°, Z 3=30°, x=DF=1x tan30&在？ ABCD中, Z BAD的平分線交直線 BC于點(diǎn)E,交直線 DC于點(diǎn)F.(1) 在圖1中證明CE=CF(2) 假設(shè)Z ABC=90 , G是EF的中點(diǎn)(如圖2)，直接寫出Z BDG的度數(shù)；(3) 假設(shè)Z ABC=120 , FG/ CE, FG=CE 分別連接 DB DG(如圖 3),求Z BDG的度數(shù).解答(1)證明：如圖1,D/ AF 平分/ BAD/ BAF=/

27、 DAF,四邊形ABCD是平行四邊形, AD/ BC, AB/ CD/ DAF=Z CEF, / BAF=Z F ,/ CEF=Z F. CE=CF(2 )解：連接GC BG四邊形ABCD為平行四邊形，/ ABC=90 ,四邊形ABCD為矩形，/ AF 平分/ BAD/ DAF=Z BAF=45 ,/ DCB=90 , DF/ AB,/ DFA=45，/ ECF=90 ECF為等腰直角三角形， G為EF中點(diǎn)， EG=CG=FGCGL EF, ABE為等腰直角三角形，AB=DC BE=DC/ CEF=Z GCF=45 ,/ BEG=/ DCG=13°在厶BEGW DCG中jEG 二 C

28、G .卜；一；， I BE二DC BEGA DCG BG=DG/ CGL EF,/ DGC# DGA=90 ,又/ DGCN BGA/ BGA丄 DGA=90 , DGB為等腰直角三角形，/ BDG=45 .(3)解：延長(zhǎng) AB FG交于H,連接HDTAD/ GF AB/ DF,四邊形AHFD為平行四邊形/ ABC=120 , AF平分/ BAD/ DAF=30，/ ADC=120，/ DFA=30 DAF為等腰三角形 AD=DF CE=CF平行四邊形AHFD為菱形 ADH DHF為全等的等邊三角形 DH=DF / BHD=/ GFD=60/ FG=CE CE=CF CF=BH BH=GF在厶

29、BHD與 GFD中,BHD二ZGFIi, 砂GF BHDA GFD / BDH2 GDF / BDGM BDH+Z HDGM GDF+Z HDG=60分別交DC9 .如圖，？ ABCD中，DEL BC于點(diǎn)E, DHL AB于點(diǎn)H, AF平分/DE DH于點(diǎn) F、G M 且 DE=AD(1) 求證： ADG2A FDM(2) 猜測(cè)AB與DG+CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測(cè).ABCD是平行四邊形, AB/ CD AD/ BC/ BAF=Z DFA/ AF 平分/ BAD,/ DAF=Z DFA AD=FD/ DEL BC DHL AB/ ADG2 FDM=90 ,在厶 ADGA FDM中 ,

30、rZDAG=ZDFM AD=FD , ADG FDM( ASA).(2) AB=DG+EC證明：延長(zhǎng) GD至點(diǎn)N,使DN=CE連接AN/ DEL BC AD/ BC / ADN=/ DEC=90 ,在厶ADNm DEC中,rAD=DEZAEM=ZDEC， ADNm DEC(SAS, / NAD=/ CDE AN=DC / NAGM NAD+Z DAG / NGA2 CDE+Z DFA/ NAGZ NGA AN=GN=DG+CE=DC四邊形ABCD是平行四邊形, AB=CD AB=DG+EC10. 如圖，在正方形 ABCD中, E、F分別為BC AB上兩點(diǎn)，且 BE=BF過點(diǎn)B作AE的垂線交AC

31、于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作CF的垂線交BC于點(diǎn)H延長(zhǎng)線段AE、GH交于點(diǎn)M.(1) 求證：/ BFC=/ BEA(2)求證：AM=BG+GM解答證明：(1 )在正方形 ABCD中, AB=BC Z ABC=90 , 在厶ABE和 CBF中，居BC-ZABC=ZABC艇二B卩 ABEA CBF (SAS,:丄 BFCN BEA(2) 連接 DG 在厶ABGDA ADG中,'AB二應(yīng)D ZDAC=ZBAC=45°，.AG二AG ABGA ADG( SAS , BG=DGZ 2= / 3,/ BGL AE/ BAE+Z 2=90°/ BAD玄 BAE+Z 4=90°,/

32、2= Z 3=Z 4,/ GML CF, Z BCF+Z 仁90°,又Z BCF+Z BFC=90 , Z 1 = Z BFC=/ 2, Z 1 = / 3,在厶 ADG中,/ DGCZ3+45°, Z DGC也是厶CGH勺外角， D、G M三點(diǎn)共線，Z 3= Z 4 (已證)， AM=DM/ DM=DG+GM=BG+GM AM=BG+GMrj>v11. 如下列圖，把矩形紙片 OABC放入直角坐標(biāo)系xOy中，使OA OC分別落在x、y軸的正半軸上，連接AC,且AC=4 S - 7丄(1) 求AC所在直線的解析式；(2) 將紙片OAB(折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合(折痕為EF

33、),求折疊后紙片重疊局部的面積.解答解:oc.1OA2(1)-可設(shè) OC=x 貝y OA=2x在Rt aoc中，由勾股定理可得 oC+oA=aC, x2+ (2x) 2= (4. p 2,解得 x=4 (x= - 4 舍去)， OC=4 OA=8 A ( 8, 0), C (0, 4),設(shè)直線AC解析式為y=kx+b ,f 8kfb=0*直線AC解析式為y=-二x+4 ;(2)由折疊的性質(zhì)可知 AE=CE設(shè) AE=CE=y 貝U OE=8- y,在Rt OCE中，由勾股定理可得 oE+oC=cE, ( 8 - y) 2+42=y2，解得 y=5 , AE=CE=5/ AEF=/ CEF, /

34、CFE=Z AEF, / CFE=/ CEF, CE=CF=5 Sacef=； CF? OC=L X 5X 4=10 ,即重疊局部的面積為 10;(3 )由(2)可知 0E=3 CF=5, E (3, 0), F (5, 4),設(shè)直線EF的解析式為y=k'x+b'.站-2區(qū):;2解得A、B點(diǎn)(如圖)，AE平分/ BAO交x=-6軸于點(diǎn)E.J0O備用團(tuán))(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2) 求直線AE的表達(dá)式；(3) 過點(diǎn)B作BF丄AE,垂足為F,連接OF,試判斷 OFB的形狀，并求 OFB的面積.(4) 假設(shè)將條件“ AE平分/ BAO交x軸于點(diǎn)E改變?yōu)椤包c(diǎn)E是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E

35、不與點(diǎn) O B重合)，過點(diǎn) B作BF丄AE,垂足為F.設(shè)OE=x, BF=y,試求 y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域.解答解:(1)對(duì)于y=-當(dāng) x=0 時(shí)，y=6 ;當(dāng) y=0 時(shí)，x=8, OA=6 OB=8在Rt AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=10,那么 A (0, 6), B (8, 0);(2)過點(diǎn)E作EGL AB,垂足為G (如圖1所示)，/ AE平分/ BAO E0丄 AO EGL AQ EG=OE在 Rt AOE和 Rt AGE中，AE=AEEO=EG' Rt AOE Rt AGE( HL), AG=AO設(shè) OE=EG=x 貝U有 BE=8- x, BG=A

36、- AG=10- 6=4,在 Rt BEG中, EG=x BG=4 BE=8- x,根據(jù)勾股定理得：X+4= (8 - x) 2,解得：x=3, E (3, 0),設(shè)直線 AE的表達(dá)式為 y=kx+b (k豐0),將 A (0 , 6), E (3 , 0)代入 y=kx+b 得:063k+b=0，那么直線 AE的表達(dá)式為 y= - 2x+6;(3) 延長(zhǎng)BF交y軸于點(diǎn)K (如圖2所示)，/ AE平分/ BAQ/ KAF=Z BAF,又BF丄AE,/ AFK=Z AFB=90 ,在厶AFK和 AFB中，rZKAF=ZBAF二療二AF,.ZafkZafe AFKA AFB, FK=FB即F為KB

37、的中點(diǎn)，又 BOK為直角三角形， OFBK=BF,2 OFB為等腰三角形，過點(diǎn)F作FH丄OB垂足為H (如圖2所示),/ OF=BF FH丄 OB OH=BH=4F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4 ,設(shè) F (4 , y),將 F (4 , y)代入 y= - 2x+6 ,得：y= - 2 , FH=| - 2|=2 ,nt 1 1那么 Saob= OB? FH= X 8 X 2=8;2 2 ；(4 )在 Rt AOE中 , OE=x OA=6根據(jù)勾股定理得：AE= x'i =.)',13. 如圖，直線l i的解析表達(dá)式為：y=- 3x+3 ,且l i與x軸交于點(diǎn)D,直線l 2經(jīng)過點(diǎn)A , B,

38、直線l 1 , l 2交于點(diǎn)C.(1) 求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2) 求直線12的解析表達(dá)式；(3) 求厶ADC的面積；(4) 在直線l 2上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P,使得 ADP-與 ADC的面積相等，請(qǐng)直接寫 出點(diǎn)P的坐標(biāo).1 Y /"03/r¥3 j/A (4, 0)¥解答解：(1 )由 y= - 3x+3，令 y=0,得-3x+3=0, / x=1,二 D( 1 , 0);(2)設(shè)直線l 2的解析表達(dá)式為y=kx+b ,由圖象知：x=4 , y=0;解得y=-3s+3尸討(3)由'二，x=3,-廠一，代入表達(dá)式 y=kx+b ,/ AD=3二 Sa adx

39、3X |-3|=(4) A ADP與厶ADC底邊都是 AD,面積相等所以高相等， ADC高就是點(diǎn) C到直線AD的距離，即C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=| - 3|=3 ,那么P到AD距離=3, P縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=3,點(diǎn)P不是點(diǎn)C,點(diǎn)P縱坐標(biāo)是3, / y=1.5x - 6, y=3,/ 1.5x - 6=3 x=6,所以 P (6, 3).14. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方形 OACB勺頂點(diǎn)A、B分別在x軸與y軸上， 0A=6 OB=10點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0, 2),點(diǎn)P從點(diǎn)A 出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿線段 AC- CB的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)， 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

40、秒.(1) 當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求直線DP的函數(shù)解析式；(2) 求 OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；如圖，把長(zhǎng)方形沿著 OP折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在AC邊上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在使 BDP為等腰三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.解答解：(1 )v OA=6 OB=10四邊形OACB為長(zhǎng)方形, C (6, 10).設(shè)此時(shí)直線DP解析式為y=kx+b , 把(0, 2), C (6, 10)分別代入，得6出二10解得 那么此時(shí)直線DP解析式為yx+2;(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，OD=2高為6, S=6;當(dāng)點(diǎn) P 在線段 BC 上時(shí)，OD=2 高為 6+10- 2t=16 - 2t , S呂 X 2 X( 16- 2t ) =- 2t+16 ;設(shè) p (m 10),貝U pb=pb =m 如圖 2 ,/ OB =OB=10 OA=6 AB 二廠=8 , B' C=10- 8=2,/ pc=6- m m=22+ (6 - m 2，解得