1、基本原理篇1第十二章教育評估模糊數學論模糊數學 (Fuzzy Mathematics) 自 1965 年創立以來，已經廣泛應用于社會科學研究領域。本章在簡要介紹模糊數學的基本原理和探討教育及其評估現象模糊性的基礎上，研究模糊數學的理論與方法在教育評估中的應用。第一節模糊數學的基本原理與教育現象的模糊性一、模糊數學的基本原理(一 )模糊數學概述模糊數學是1965 年由美國控制論專家扎德(LAZaden) 首先提出來的，它是研究模糊領域中事物數學化的一門邊緣學科，現已成為數學的一個重要分支。數學起源于對實際問題的描述， 實踐是數學的源泉。 而人類實踐的范圍是廣闊的， 用數學的觀點可以把實踐中所遇到

2、的現象大致分為三類： 確定現象、 隨機現象和模糊現象。 為解決和描述確定現象，逐步發展起來的數學工具有幾何、代數、數學分析、微分方程等，習慣上把其稱為“經典數學” ；為解決和描述隨機現象，逐漸發展起來的數學工具有概率論和數理統計， 習慣上稱其為 “統計數學”；而人們的實踐中往往發現有一條不相容原理當一個系統的復雜性增加時， 人們使它精解化的能力將減小， 在達到一定閾值以上時， 復雜性與精確性互相排斥， 與復雜性緊緊相伴的， 就是模糊性。而模糊數學就是研究和處理模糊現象的一種新的數學方法。“數學”與“模糊”本來是互相對立的詞，扎德把二者統一在一起，不是讓數學變成模模糊糊的東西，也不是讓數學放棄它

3、何兆華：教育評估的模糊數學技術與方法，中國教育評估專業委員會第二次代表大會暨第五屆學術年會論文，1994 年 10 月，天津。的嚴密性去遷就模糊性，而是要讓數學進入模糊現象這個禁區。但是，也不能把“模糊”一詞看成純粹消極的貶義詞，過分的精確反倒模糊，適當的模糊反倒精確，模糊的手段常常可以達到精確的目的。模糊數學的一個重要特點，就是要使數學回過頭來吸取人腦識別和判決的模糊特點，使之運用于計算機，使部分自然語言能夠作為算法語言直接進入程序，使人能以簡易的程序調動機器完成更復雜的任務，從而大大提高機器的活性，形成一種新的更加靈活而簡捷的處理手段與方法。概率論和數理統計的產生， 把數學的應用范圍從必然

4、現象領域擴大到偶然現象領域，彌補了經典數學之不足。模糊數學的產生，把數學的應用范圍從精確現象領域擴大到模糊現象領域， 彌補了經典數學和統計數學之不足。概率論和數理統計研究和處理隨機性，模糊數學研究和處理模糊性， 二者都屬于不確定數學， 他們之間有深刻的聯系， 但又有著本質的不同。 模糊數學把傳統數學從 “二值邏輯”的基礎擴展到連續值上來，更具有深遠的意義。(二 )模糊子集的基本概念集合論是現代數學的基礎。在經典數學的普通集合論中，一個元素是否屬于集合 A 是明確的。即uA或uA二者必屬其一，且只屬其一，它的邏輯基礎是二值邏輯。除了普通集合( 亦稱論域 ) 的子集外，還有另外一種子集，他們沒有明

5、確的“邊界” ，稱其為“模糊子集” ，并用下面帶波浪的大字母 ( 如 A，B 等 ) 來表示。為了表示某一元素與模糊子集的關系，扎德提出了“隸屬度”的概念，即是說，對于論域的每一個元素ui 在閉區間 0， 1中給它一定對應的數字指標，用以表明ui 對于模糊子集 A 的隸屬程度，并用A (u i ) 或 i A 表示，稱為元素ui 對模糊子集 A 的隸屬度。定義 ：給定論域 U，所謂指定了U 上的一個模糊子集A ，是指對任意 u U，都有一個隸屬度(0 1 ) 與之相對應。稱基本原理篇3為 A 的隸屬函數，記作 = A (u) 或 A (u)顯然A(u)值愈大，表示u 對 A 隸屬程度愈高；A

6、1時表示 u肯定屬于 A ； A (u)0 時表示 u 肯定不屬于 A 。扎德建議將模糊子集表示成AA/ uA /A/ U1 12U 2m m=m(U)i A /U iii 1U 中其中 U 為論域，這里的“”號并無求和之意。當論域的元素為無窮不可數時，則可記成AA( u) / u(uU )同樣這里的積分號也無求積分之意。顯然，模糊子集A 完全可以由其隸屬函數A( u) 來描述，因此也可以用模糊向量( 即隸屬度向量) 來表示A1A, 1A,m A當一個子集的隸屬度只取0 或 1 時，則子集就退化成普通子集，普通子集的隸屬函數稱為特征函數，用CA(u) 表示，即CA (u)1(uU )0(u U

7、 )注意模糊子集是通過隸屬函數來下定義的，它本身沒有明確的范圍，若一定要問其圖像，需要選取門坎。是介于0，1 之間的一個實數，當，便算作u ，否則，便算作，這樣得A( u)Au A到一個普通子集，記作AuuU ,A (u)叫做 A的圖像，叫置信水平。當從 1 下降到零， A 逐漸擴張，象征 A 是一個具有游動邊界的集合。(三 )模糊集合的運算可以利用特征函數 CA(u) 和隸屬函數 A (u) 來定義子集的運算，這樣便很自然地將普通子集的運算推廣到模糊子集的運算上去。設 A、 B、C、 D為論域 U上的四個普通子集，A、B、C、D 為論域U 上的四個模糊子集，則兩類子集的運算規則可以對比如下：

8、1. 相等若 A=B,則對一切 uU, 有 CA(u)=C B(u)若 AB ，則對一切 uU, 有A(u)B(u)2. 包含若 A B，則對一切 uU, 有 CA(u) CB(u)若 AB ，則對一切u U,有 C A (u)B (u )3. 余集 (補集)若 A 與 A 互為余集，則對一切u U, 有 C (u)1CA (u)A若 A 與 A 互為余集，則對一切uU, 有A(u)1C A(u)4. 并集若 C=A B，則對一切 u U，有 Cc(u)=max CA(u),C B(u) 若 CA B ，則對一切 uU，有C( u)max A (u)， B (u)5. 交集若 D=A B，則對

9、一切 u U，有若 D A B , 則對一切 uU，有 CD (u )min CA (u)，CB (u)D (u)minA(u)，B (u)并集 C 和交集 D 的隸屬函數可表示為C (u )A(u )B(u )(CAB)D (u )A(u)B( u)(DAB)其中“”和“”分別表示“取大”和“取小”運算。模糊子集的并、交運算可以推廣到任意多個模糊子集上去，設CmDmAiAi且有i 1 i 1 c (u)supAi (u ),Am (u)D (u )iufA i (u),Am (u )式中 sup、 inf分別表示上確界和下確界6. 代數積模糊集A 與 B 的代數積為A B ，其隸屬函數規定為

10、基本原理篇5ABAB7. 代數和模糊集 A 與 B 的代表和記為A + B ，其隸屬函數AB ，規定為當ABAB1當8. 環和AB1A B1 模糊集 A，B 和記為 AB ，其隸屬函數規定為AB 規定為ABABAB注意，當AB 雖在于 1，但ABAB 不超過 1 時，應直接計算，而不應取AB =1。顯然環和也可由下算出AB 1A B 9. 絕對差模糊集 A與 B 的絕對差記為A B ，其隸屬數A B規定為 A B =AB 二、教育及其評估現象的模糊性所謂模糊性， 是指客觀事物差異的中間過渡的 “不分明性”、事物類屬的不清晰性、事物性狀的不確定性，表現了客觀事物兩極對立的不充分性和自身同一的相對

11、性。教育這種事物也具有模糊性。(一 )教育歸屬的不清晰性教育是培養人的社會活動，屬于一種社會范疇，其在類屬性是明確的而不是模糊的。但其界限又不很分明，具有模糊性。從教育與社會的經濟、 政治制度的關系來看， 一定社會的教育總是受一定社會政治、 經濟的制約，政治、 經濟決定教育的性質，決定教育的領導權和受教育權，決定教育的方針政策，決定教育的目的和某些教育內容。教育的這些方面是隨著經濟基礎的變化而變化的，屬于上層建筑的范疇。但是，自然學科的內容、各科教法、 教學中的組織形式、學制中的入學年齡、 各級各類學校的入學年限等，則不隨經濟基礎的變化而變化，故不屬于上層建筑的范疇。從教育與生產力的關系來分析

12、，教育能夠進行勞動力再生產；教育勞動是一種生產勞動，因為它已經成為“總體工人的一個器官” ，教師勞動是為了“訓練保持勞動能力” ，他們也是生產勞動者；同時，教育還可以使知識形態的生產力轉化為直接的生產力， 它是從物質生產部門中分化出的一個生產部門。 因此，教育又具有生產力的屬性。實質上，從教育的起源、教育發展的歷史事實以及教育與生產力和生產關系等方面綜合分析，我們認為教育具有生產力和上層建筑的雙重屬性，具有階級斗爭和生產斗爭工具的雙重特征。這兩種屬性和職能是矛盾的，但又不具備充分性；又是統一的，但其有相對性；兩者同一于模糊性。(二 )教育功能的相對性隨著人類文明的發展，教育的社會功能愈來愈顯示

13、出多方面的意義。但是由于人們對社會發展和教育功能認識的局限性，以及教育系統中每一個能動者的主觀性，教育諸方面的功能只能部分地或在一定程度上實現，甚至于與社會的要求相反。具體說，在一定的歷史條件下，教育動機和教育效果不會是絕對地成“正比例”關系。不少的時候卻是，好的教育動機沒有收到良好的教育效果，同一教育方法的作用也是此一時彼一時，而某一受教育者的激奮感和危機感又可能來自同一教育內容。 因此，可以認為，每一位教育者的作用或每一種教育方法的功能大小，則大多數是以兩極之間的某一狀態反映出來，它既是全體受教育者反應中的概率性體現，也是某個受教育者接受程度的不確定性表現。教育功能的相對性還在于教育功能過

14、程的多維性。教育功能體現的主要指標是促進受教育者的自我完善和社會化，而受教育者不僅是教育影響的接受者，也是教育過程的主體和能動者；不僅是教育過程的參與者，也是社會之成員。受教育者性狀的極大可塑性，既表現在品德、知識、能力和個性各方面的質和量的變化的彈性上，也存在于接受外界影響的多渠道、心理內部因素的多因聯動、以及身心內外交互作用的復雜性上。這種學習過程中基本原理篇7功能上的復合性，使教育功能更具不穩定性，使教育現象具有模糊性。(三 )教育性狀的不確定性和教育評估的模糊性事物的類屬區分總是以它們的某種性狀為依據的。清晰事物某性狀是肯定的、分明的，而模糊性則是事物性狀的不確定性。在教育評估的實踐中

15、，我們常說“某某學校辦學水平高” ，“某位校長治校藝術好” 、“某位教師很會教書” 、“某套教材編得很好” 、“某位學生數學成績一般”等等。這“高” 、“好”、“很會”、“很好”、“一般”等程度副詞就是一種性狀描述。但是，怎樣才算辦學水平“高” ，“很好”到了什么程度，怎樣才算“很會”教書等等，顯然是模糊的。另外，事物性狀是一種質的規定性，而同一質的不同程度之間的差異則是一種量的區別，唯物辯證法質量規律表明，事物的質變，是一種量的不斷積累，也是事物不同發展階段的連接。在教育評估中，質量互變過程的劃分往往也是模糊的。如高考初錄線為 500 分，考生錄取與否以 500 分為界而發生質變，但不能因此就說落榜者的知識、技能和智力發展水平絕對不及錄取者。如此等等，教育評估過程中這種消除不了的性狀變化在量上的不確定性，決定了教育評估的模糊性。教育的模糊性是教育過程諸要素普遍聯系和不斷變化產生的差異性的反映，它本身是客觀的。但是，人們的認識總是不斷地深入，去接近教育的本來面目的。由于認識過程還要受到主客觀條件的限制，因此，認識只能是教育現象的近似抽象。由于不同的人對教育現象判斷依據的差異性，使教育現象本身的確定性方面又產生了差異。因此，教育現象的相對性也是主客體交互作用的反映，也是人們的一種主觀判斷。綜上所述，教育現象的模糊性是其歸屬的不清晰性、功能的相對性、性狀的不確定性和評估的模糊性等特性