1、小學六年級下冊數學奧數知識點講解第1課列方程解應用題試題附答案習題一L某工廠三個車間共有180人，第二年間人數是第一車間人數的3倍還多1 人，第三車間人數是第一車間人數的一半少L人.三個車間各有多少人？2-甲、乙兩個容器共有溶液2600克.從甲容器中取出）,從乙容 器中取出，兩個容器共剩溶液2。00克，求兩個容器原來各有溶液多少克？3- 25支鉆筆分給甲、乙,丙三人.乙分到的比甲的一半多3支，丙分到的 比乙的一半多3支.問,甲、乙、丙三人各分到幾支鉛筆？工甲.乙共有圖書63冊，乙.丙共有圖書苻冊.三人中圖書最多的人的 書數是圖書最少的人的書數的2倍.問甲.乙，丙三人各有圖書多少冊？5.體育用品

2、商店購進5。個足球，如個籃球，共30。0元.零售時足球加價 9%,籃球加價11%,全部賣出后獲利潤2兆元.問二每個足球、籃球進價各多 少元76.王虎用1元錢買了油菜籽、西紅柿杼和蘿卜籽共100包.油菜籽3分錢一 包,西紅柿籽4分錢一包，蘿卜籽1分錢7包，問王虎買進油菜籽、西紅柿籽和 蘿卜籽各多少包？習題一解答1,解=設第一車間有戈人，則第二車間有©3宜十/ 人 第三車間有 白人x+ 3 煞+ 1 +1w -1 = 130.2汽三403M+1=3X40 十 1 = 121,管，第一車間有40人，第二車間有12L人，第三車間有19人.2.解：設甲容器原有溶液x克，乙容器原有溶液(2600

3、-x)克.xX (1-1) +(2600-x) X (1-1) =2000x = 16002600-x = 2600-1600 = 1000.答，甲容器原有溶液1600克，乙容器原有溶液1300克.3.提示：設甲有x支，乙分到的比甲的一半多3支，則乙有 (9+ 3)支.丙分到的比乙的一半多3支，則丙有心(1 + 3) + 3支. 乙乙 乙解：設甲有鉛筆N支，則乙有鉛筆(1+?)支，內有鉛筆擊裊+ 3)+3支.x + !北+ 3+5（次+ 3） +3 = 2522 23 151x + = 254 2x= 101 1-x + 3 = -X0 + 3 = 82 21 C1x+3）+3=7. 乙 乙答

4、：甲、乙、內各分得鉛第1U支、8支、7支.4 .提示：這道題要先推理后列方程.關鍵是分析出甲、乙、丙三人中誰 最多、誰最少.依題意；甲+乙二63,乙+丙二77,兩式相減得丙-甲二題目中 還給出圖書最多的人的書數是圖書最少的人的書數的2倍，也即它們的 和是圖書最少的人的3倍，又3T77,所以不可能是乙和丙兩人,由丙大于于 甲，知丙不是最少,若丙最多，甲最少,設丙有圖書k冊，則由條件有；x = 28.求出乙為49本，這樣顯然丙不是最多，也不是最少.因此，乙最大，甲最睇設用有圖書其冊，則乙有圖書2x冊k+2K= 63x=212x=4277-42=35.答：甲有圖書21冊，乙有圖書42冊，丙有圖書35

5、冊.5 .解：設每個足球進價x元，每個籃球進價y元.倒乂 十 40y = 3000（1）9% 50 + 11% y 40 = 298 （2）由得 5x+4y=300 （3）由（2）得 45x+44y=2980 （4）用C4）-X9得8y=280/. y=35.把y=35代入（3）得5x+4X 35=300x=32.答：每個足球進價32元，每個籃球進價35元.6 .解：設買回油菜籽x包，西紅柿籽飽，則蘿卜籽為C100-x）包.3x + 4y+yX (100/-y)依題意，逆值一定是整數，那么竦?也一定是整數，所以y必須是20的倍 數.當尸20時，x=3? 100-x-y=77.當y>40時

6、，父是負數，不合題意.所以只能有一組解.魯 王虎買油菜將3包，西紅才褥加包，蘿卜籽仃包.小學六年級下冊數學奧數知識點講解第2課關于取整計算試題附答案例1判斷正誤：若2日3 (i)=1.則&二8解：不正確.假設 U) = 0, 則；xl =K.原式為；2 +3(X)=1, 5 J =lr例2求11993中可被2或3或5整除的整數的個數.ei + r 3x 1.Bx2、3x10例3 求+ J + +的值.例4求滿足方程3十 =19的工的值.例5問下面一列數中共出現了多少個互不相同的數?例6設和1001 12一心其中M n均是自然數,則門最大取多少?答案例1判斷正誤：若2K+3 3 =1.則

7、=0.解：不正確.假設« = 0,則，同=x.原式為：2 （x） +3 （x） =1, 5 k =1,=矛盾.例2求11993中可被2或3或5整除的整數的人數.分析我們知道，自然數中不超過n的口的倍數的個數是（-）.所以1 n1993中能被2、3、5整除的數分別有（挈）=996 （個），（注）乙31993= 664 （個），詈）=398 （個）.但若把這三個數相加，作為答案就 多了，因為有些數被重復計算了,例如6及其倍數，既是2的倍數，又是3的倍 數，被計算了兩次.同理，重復計算兩次的數還有10及它的倍數和15及它的倍數，一共有萼十辱十等=66父個）要從和中減去.進一步 6 1U1

8、j還要考慮30及它的倍數，它們既是2、3與5的公倍數，也是6、10與15的公倍 數.開始計算了三次，后來又減去了三次，所以要補上.解：合題意的數有:1993, 1993. 1993, 1993, 1993, 1993, t 1993,亍乜/川k - 丁H 丁HF】乜丁 = 2058-663 + 66 = 1461 （個）,mic +3義1r3x2、,3X10,必上例3求不】+（F- +的值.分析加法運算中常用高斯求和法簡算.求H的基本方法是根據定義" W+&.要善于觀察特殊值.解，答+ （'干）是整數，斗，十弋產=地是整數，3x1 3x103x1 3xl0n 3x1

9、3xl（i而亓+FT=丁川+（中+ 寸'書+空是整數，又因0< (等> <1, 0< 答 <1,3x10TT <2,在0至2之間的整數只有1.(當113x1 F同理誓()1111r 3x10.+ .11+節 =1I =3-1 = 2.)=2, 3'5、,3x6、中 + E =2.3x21, 3x10+1寸 +(TT=2例4求滿足方程(x) + 2x)=19的x的值.分析 解這道題的關鍵是由"(x) +&求2x的整數部分和小數部分.解：因為K二氏+ &,則2K=2氏+2僅.(2k) = 2W+2W1=2x+ 2

10、71;.g0<x<l, .*.0<2x<2.現在時僅分段來討論：當o< W< J時,0<2 £ <1,這時(2x)=2【X, 10原方程化為：3 (x) =19, x=,此時無解.當時，l<2(x)<2,這時(2x) =2 (x) +1,原方程化為：3Ex+1=19,/. 3x = 18,x=6.故滿足原方程的K為大于或等于6J且小于7的數，即若 乙乙說明：此題運用了適當分類討論的數學思想.例5問下面一列數中共出現了多少個互不相同的數?I2 221993?，1993 分析首先要考慮由己知條件我們能推出什么？222可推知這一列

11、數的笫一項諒)=0,第二項()=0, 19932一共有1993個數，最后一項(彳醞)=1993.可推知這一列數不等于同一個數，但也不是互不相同.I2 221993，可推知這一列數是逐漸增大的，即礪K.<該】©考慮利用公式(a+b) 2二I + 2ab + b:分析項的變化.©考慮利用公式1 + b）三£+2ab + b吩析項的變化.（k + M k2 2k+ 1因與子=1+ 言，根據性質4,Otr 4- 1若蕓1則這列數的相鄰兩項有關系，k2 < k2 | 2k +111993<1993 + 1993，若黑41,則這列數的相鄰兩項有關系，lr2l

12、r2 9lr-I- 1（短）+1（短十溫'即相鄰兩項或相等或是相鄰自然數。關鍵在確定k.解：數列的第k項是焉y, k=h 2、1993.21r + 1由 得2k+ 61993,也就是k>996.這說明當k996時，裝1QQ721QQ72由分析知從（備）至最后一項既）互不相同，共有1993-997 + 1二997 （個）.而當k4996時，前996項的相鄰兩項相等或差1.因知第一項=0,又第996項（）=497,所以共有4%+ 1 =498個不同的 數.綜上所述，這一列數共有997十498二1495個不同的數.例6設E100I =12-M,其中脹：n均是自然數.則n最大取多少？解：

13、V 12=22X3,而人中因數2有竽+ 察+翳）=97個，A中因數3有與+ （翳）+ （舞）+ （竽）=48個.A二248K2T 34& k=2（12）48，k=124S* M,其中122M./. n>大取48.習題二1.在110000這一萬個自然數中，有多少個數能移被5或7整除?2.已知：3=（199 x 1W +19" 2、,-'-+97199x96.卡 c 門F）求；3.求滿足方程必+ 2s 口g的工的值.4. k是自然數，且1001 * 1002 ， - * 1985 * 198611R年級奧數下冊：第二講是整數，k的最大值是多少1關于取整計算習題解答習

14、題二解答L解:在這一萬個自然數申，能被5或7整除的數有10000丁+【1000C1 , 710000, 1 內人 萬一= 3143 個.2 .鵬/筍+箸是整數.199 乂 1 19” 95+-，9797=1四（整數）. 199x197159 X：199 y 9697、,199x1)+ 十-一-一773797199 Ml97199 x 96 + 199*9697""是整數.又199197( 199x1. j 199乂 961/. 0< + < 29797可得與/ +笥戶岑;+笠駕= 198同理(199x2199x959797= 198,= 198.199 乂 4%

15、( 199 乂 49)97 十一97/. 3=198X48=9504.3 .解：二 X (x) +&, 2x=2x+2 (x,/.(2x) =2 xl + (2x)J若0<x<5，則。<2x<L原方程化為3 (x) =18, (x) =6,64x <.若:<幺)<1,貝Ul(2 漢)<2原方程化為3 (x) +1-18,顯然此時無解.，適合方程的x為乙4 .解:由已知條件推知,k的最大值=1001 T002 1985 1986中因子11的個數，也就是11的幕次數.11001 1002 1985 - 1986=19861十1000!而198

16、6!中因子11的毒次數為，+ (等)+(旱)=180 + 16+1 = 197,1000!中因子11的昂次數為,100011十罌= 90+8= 98.k的最大值為197-98=99.小學六年級下冊數學奧數知識點講解第3課最短路線問題試題附答案例1如下圖，偵察員騎與從口也出發，古匕地取情報.在去B地之前需要先 飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節省時 間，請你在圖中標出來.例2如圖一只壁虎要從一面墻壁a上網點，爬到鄰近的另一面墻壁口上的B點 捕蛾，它可以沿許多路徑到達，但哪一條是最近的路線呢*例3長方體研卬一5 口中，AB=4, 2 £3 , AD=1,有一只

17、小蟲 從頂點D出發，沿長方體表面爬到B點，問這只小蟲怎樣爬距離最短？（見圖 ）例4景泰藍廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品成金線，如下左圖，如果 將金線的起點固定在A點，繞一周之后終點為B點，問沿什么線路嵌金線才能使 金線的用量最少1J'例5有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為A0的中點，試求以A為起 點，以B為終點且繞圓錐惻面一周的最短路線.例6如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點爬到桶內的B點 去尋找食物，己知A點沿母線到桶口C點的距離是12里米，B點沿母線到桶口 D 點的距離是8厘米，而C D兩點之間的（桶口）弧長是15厘米.如果螞蟻爬行 的是最短路線，應該怎么走？

18、路程總長是多少？例8在河中有M B兩島（如下圖），六年級一班組織一次劃船比賽，規則 要求船從A島出發，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試 間應選擇怎樣的路線才能使路程最短？答案例1如下圖,偵察員騎馬從神出發.去B地取情報.在去B地之前需要先 飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物,那么偵察員選擇怎樣的路線最節省時 間.請你在圖中標出來.解:要選擇最節省時間的路線就是要選擇最短踣線.作點兒關于河岸的對禰點M、即作AA,垂直于河岸，與河岸交于點C, 且使AC二C,連接A，B交河岸于一，點P,這時P點就是飲馬的最好位置，連樓 PM此時PA+PB就是偵察員應選擇的最短躇線.證明：設河岸上還

19、有異于F點的另一點PJ 連接P'A, P'B, PA，.VP y A+P 7 B = P z+P 7 B>Ay B=PK，+FB=PA+PB，而這里不等式 P 'A，+F，B>A，B成立的理由是連接兩點的折線段大于直線段，所以PA+FE是最 短路線.此伊愉J用對稱性把折線APB乃成了易求的另一條最短路線即直線段rB, 所以這種方法也叫做化直法.其他還有旋轉怯.翻折怯等.看下面例題.例2如圖一只壁虎要從一面墻壁q上A點，爬到鄰近的另一面墻壁吐的瞋 捕蛾，它可以沿許多路徑到達，但哪一條是最近的路線昵9解；我們假想把含B點的堵口順時針旋轉90'（如下頁右圖

20、），使它和含A 點的墻故I底向一年面上，此時。強過果的質置記為B點的位置記為， 則機1之間最通路線應該是線段出、設這條線段與墻棱線交于一點P,那 么口折線4PE就是從A點沿著兩扇墻面走到B點的最短路線.證明：在墻棱上任取異于P點的P'點，若沿折線AP'B走，也就是沿在墻 轉90“后的路線AP, 走都比直線段APB，長，所以折線APB是壁虎捕蛾的最 短路線.由此例可以推廣到一般性的結論；想求相鄰兩個平面上的兩點之間的最通 路線時，可以把不同平面轉成同一平面，此時，把處在同一平面上的兩點連起 來，所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構成的折線，就是 所求的最短路線.例3

21、 長方體ABCDA，B，C，D，中，AB=4, A，A二2，AD=1,有一只小蟲 從頂點D，出發，沿長方體表面爬到B點，問這只小蟲怎樣爬距離最短？（見圖 Q）解；因為小蟲是在長方體的表面上爬行的，所以必需把含DB兩點的兩 個相鄰的面“展開”在同一平面上，在這個“展開”后的平面上D ' B間的最 短路線就是連結這兩點的直線段，這樣，從D，點出發，到B點共有六條路線供 選擇.從D，點出發，經過上底面然后進入前側面到達B點，將這兩個面攤開在 一個平面上（上頁圖（2）,這時在這個平面上DJ B間的最短路線距離就 是連接D、B兩點的直線段，它是直角三角形AB"的斜邊，根據勾股定理，D&

22、#39; B2=D，A4止（1+2）2+ 425,'.D ' B=5.容易知道，從“出發經過后他面再進入下底面到達B點的最短距離也是5.從D,點出發，經過左側面，然后進入前例I面到達瓦點.將這兩人面攤開 在同一平面上，同理求得在這個平面上“、B兩點間的最短路線（上頁圖 ），有：D' B2斗（1+4）2=29.容易知道，從D出發經過后側面再進入右側面到達B點的最短距離的平 方也是29.從D點出發，經過左側面，然后進入下底面到達B點，將這兩個平面攤 開在同一平面上，同理可求得在這個平面上D，、B兩點間的最短路線（見 圖），D' D 2 A 4D,B2=（2+4）4P

23、=37.容易知道，從D，出發經過上側面再進入右側面到達B點的最短距離的平 方也是37.比較六條路線，顯然情形、中的路線最短，所以小蟲從V點出發， 經過上底面然后進入前側面到達B點（上頁圖（2）,或者經過后側面然后進 入下底而到送B點的造蛙是最短路線 它的長度是£個單位長度.利用例2、例3中求相鄰兩個平面上兩點間最通距離的旋轉、翻折的方法， 可以解決一些類似的問題，例即求六棱柱兩個不衽鄰的側面上睛叫兩點之間的 最短路線問題下左圖），同樣可以把A、B兩點所在平面及與這兩個平面都相 鄰的平面展開成同一個平面（下右圖），連接A、E，版線段AP1P2B, Pl、P2是殯 段AB與兩條側棱線的交

24、點，則折線AP1P2B就是AB間的最短路線.S柱表面的最短路線是一條曲線，“展開”后也是直線3這條曲線稱為螺 旋線.因為它具有最短的性質，所以在生產和生活中有著很廣泛的應用.如， 螺釘上的螺紋，螺旋輸粉機的螺旋道，旋風除塵器的導灰槽，棺腔里的螺紋等 都是螺旋線，看下面例題.例4景泰藍廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品嵌金線，如下左圖，如果 將金線的起點固定在A點，繞一周之后終點為B點，問沿什么線路嵌金線才能使 金線的用量最少？解；將上左圖中圓柱面沿母線卷剪開，展開成平面圖形如上頁右圖（把圖 中的長方形卷成上頁左圖中的圓柱面時，丁分別與機B重合），連接 ABJ再胞上貝右圖還原成上貝左圖的形狀，則A

25、B，在圓柱面上形成的曲線就 是連接AB且繞一周的最短線路.圓錐表面的最短路線也是一條曲線，展開后也是直線.請看下面例題.例5有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為80的中點，試求以A為起 點，以B為終點且澆圓椎側面一周的最短路線.解，將圓錐面沿母線A0剪開，展開如下圖（把右圖中的扇形卷成上圖中的 圓錐面時，A- B，分別與A、B重合），在扇形中連AB，則將扇形還原成圓 錐之后，AB'所成的曲線為所求.例6如下圖3在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點爬到桶內的B點 去尋找食物，己知&點沿母線到桶口C點的距離是12厘米，B點沿母線到桶口 D 點的距離是8厘米，而C、D兩點之間

26、的（桶口）弧長是15厘米.如果螞蟻爬行 的是最短路線，應該怎么走？路程總長是多少？分析 我們首先想到格桶的圓柱面展開成矩形平面圖（下圖），由于B點在 里面，不便于作圖，設想將BD延長到F,使DF二BD,即以直線CD為對稱軸，作 出點B的對稱點F,用F代替B,即可找出最短路線了.解；將圓柱面展成平面圖形（上圖），延長BD到F,使DF二BD,即作點B關 干直線CD的對稱點F,連結好，交桶口沿線CD于0.因為桶口沿線CD是B、F的對稱軸，所以0B = 0F,而A、F之間的最短線路 是直線段AF,又如二A0 + 0F,那么A、B之間的最短距離就是A0 + 0B,故螞蟻應 該在桶外爬到0點后，轉向桶內B

27、點照去.廷長AC到E,使CE=DF,易知aAEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD,根據 勾股定理，相三（AC+CE）斗E產=（12 + 8» + 152=625=252,解得AF=25.即螞蟻爬行的最短路程是25厘米.例8在河中有A、B兩島（如下圖），六年級一班組織一次劃船比賽，規則 要求船從A島出發，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試 問應選擇怎樣的路線才能使路程最短？解：如上圖，分別作A、B關于甲岸線、乙岸線的對稱點和B"連結 AJ 分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點，則AfEfFfBA是最短路線, 即最短路程為：AE+EF + FB + BA.證明

28、：由對稱性可知路線AfEFB的長度恰等于線段A，B，的長度.而 從內島到甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路線，利用時稱方法都可以 化成一條連接A < B，之間的折線，它們的長度都大于線段A，B，例如上 圖中用“”表示的路線A-E）一F ' 一B的長度等于折線AE / F，B的長度，它大于A，B '的右度，所以A-E*iF*3*'A是最匆路線.習題三1 .如下圖，EF為一河流的河岸線，假設成一條直線，A、B是河中兩個小 島，有一只船經常從A島把水產運回岸上，再把食品等物運回B島，再由B島將 水產運上岸上，最后由岸上將食品等物運回A島，問轉運碼頭應設在何處，才

29、能使運輸船的航程最矩.-B2 .少先隊一小隊組織一次有趣的賽跑比賽，規則是從A點出發（見下 圖），跑到墻邊，用手觸摸墻壁，然后跑到B點,接著，離B點再次跑到墻邊手 觸摸墻壁后，跑到C點.問選擇怎樣的路線最節省時間，請你在圖中標出來.A-B3.如下圖，在河彎處M點有個觀測站，觀測員要從M點出，先到AB岸，再 到CD岸，然后返回M點，問船應該走什么路線最短？4 .如下圖，M B兩個村子之間隔了兩條河，兩條河的寬度相同，為了使 兩個村子之間的行程最知，在這兩條河上架橋的時候,應該把精架在哪里？（兩座橋分別垂直于兩條河的河岸.）5 .如下圖，在河的兩岸共有三個小鎮h B、C.問應在河的什么位置架兩 座

30、橋，使兩岸人們來往路程最短？（兩座橋都垂直于河岸.）匚6,如下圖是T丘臺球桌子，桌子上球R與球B之間有其它球阻隔.現在要 擊碎，經桌邊CD、CF兩次反射再碰到B球，請你畫出AI來行走的最短路線.CL7 .如下圖，M氏C三點分別是正方體三條棱的中點，一只小蟲沿著正方 體的表面從點碘到點C,圖中所示路線是否為小蟲爬行的最短第線？8 .如下圖，鼠E為長方體同一棱上的兩個頂點，且AE二孔底面為邊長是2 的正方形，氏C、D分別到底面距離為工工6,連接AB. BC, CD, DE,則折線 ABCDE為以A為起點，況為終點斃犢柱側面一周最短的路線，請說明理由.9 . 00的半徑為W厘米，扇版AA，是。的四分

31、之一（下左圖），把扇形 0AV卷成圓錐面（下右圖）？取母線0A甲點B及AB中點M.從N拉一繩子圍 繞圓錐面轉到下底面A點（下右圖,試求此繩的最短長度.六年級奧數下冊：第三講 最短路線問題習題解答習題三解答1 .作點A關于EF的對稱點卜點，連結卜點, B點交EF于P點，則P點即為 所求，它就是轉運科頭應設的位置.2 .解法1：分別作h C關于墻線的對稱點A ' , C J ,分別連結卜、B和 CL B,它們分別交墻線于E、F兩點，則A-E-B-F-C即最短路線.解法2；作B關于墻線的對稱點B，,連結M B C、U ,它們交于墻線 處也既、F點，最短路函司薛是L3 .分別作M點關于孫CD的

32、時稱點Ml、M2,連簞M1M2分別交AB、CD于N1、 N2兩點,連結帆、MN2,則1即+即改+由1蹴是最短路程.Ml4 .過M B分別向兩條河作垂線，并截取AA，二BB，等于河寬，連結A < B,分別交兩相鄰河岸于C、D兩點，分別過C、D兩點向兩條河的另一岸作垂 線，分別交另一岸于& F兩點，CE. DF即架橋位置.B5 .過A作河岸線垂線，并在其上截取AA'等于河寬，連結A，B和A'C,分 別交河岸于反兩點，過碟F分別作河岸垂線交另一岸于M N兩點，見歸此FN 即為架橋位置.6 .分別作M B關于CD. CF的對稱點A<,連結卜B J 交CD. CF于P

33、、Q兩點，則APfPQfQB就是沖所走的最短路線.7 .共有三種路線可供選擇.第一，如圖甲，把前面和右側面展開在平面 上，連結AC.若設正方體邊長為2,由勾股定理可求得（2+1）2=10； 第二，魅至左面至上面到C,易知其最短距離的平方也為10;第三，如圖乙，把 前面和上面展開在平面上，連結AC, （B在線段AC上）,同理求得AC、2? + 2-8,所以第三種路線，即題中所示路線，是沿正方體表面從A到C的最短路 線.B C甲乙3.因為將棱柱的側面展開之后為一正方形，如下圖，ABCDE恰好為正方形 的對角線,因此折線ABCDE是繞惻面一周的最短路線.9.將圓鏈面沿母線0A翦開，把圓錐面攤成平面（

34、如下見圖）則卜M為 繩的最短距離，根據勾股定理,MA' 2=0I: + 0A?三（4 + 2）上 +那=1。（平方厘米），MA，=10 1厘米）即繩的最短距離為10厘米,0 B吊A小學六年級下冊數學奧數知識點講解第4課奇妙的方格表試題附答案第四講奇妙的方格表方格表是人們最熟悉最簡單的圖形之一.但這個簡單的圖形卻可以說是一 個廣闊的數學天地,其中包含著許許多多奇妙的數學問題.許多問題看起來非 常簡單非常有趣,但卻要用到許多教學方法，蘊含著許多深刻的道理.這些方 法和道理在我們以后的學習中將經常用到.一.計數問題例1下圖中共有多少個矩形?例2在上頁的方格表中，共有幾個艮丁形（含有3個小方格

35、 的拐.也可以是“口口”或或?例3在4 X 4的方格表中，至少放上幾個ff日口 “后，才能使 這一表中不能再放下一個"|廣了（不許重疊）斤如果是5 X 6或gxg的 方格表，結果如何？例3在4X4的方格表中，至少放上幾個“日二!”后，才能使 這一表中不能再放下一個“日二”了（不許重疊）？如果是5 X 6或8X8的 方格麥，結果如何？二、染色方法染色方法實際上是一種分類方法，不過對有些問題來說，通過染色能使問 題比較直觀，解決起來更方便.例4如圖是半張象棋盤，一只馬能否從A處出發，跳遍半張象棋盤而使每 個格點只經過一次？例5正方體形的房子共分27個小房間，每相鄰兩個房間都有門相通（上、

36、 下兩間也有門相通）.每個房間里都有一塊奶酪，右下角的房間有一門通向外 面.一只耗子從最中間的房間出發.想走遍各個房間，且每個房間只經過一 次，最后從右下角出來，這樣是可否能？如果可能，該怎么走？三，抽屜原理例6能否在8X8的方格表的每個方格中寫上限1、2中的一個數，使每 行、每列以及兩條對角線上各數之和都互不相等？例7在5X5的方格表中，任意挖去一個方格后，是否總能用8個“ 住”形完全差住？如果不能，請說明道理.XbaaycJ；：e四.分類, 試裝，遞推.尋求規律例8在4乂4的方格表中任意挖去一格，是否總能用5個以正'用蓋住1對干8 X 8或16 X 1。的方格表，結論如何3例9在一

37、個6X 6的方格表中任選5個方格徐黑，然后再逐步招凡是與兩 個或兩個以上黑格相鄰的方格徐黑，不斷按這個法則做下去，證明.無論怎樣 選擇最初的5個方格，都不可能按這樣的法則將所有方格全部除黑.答案第四講奇妙的方格表方格表是人們最熟悉最簡單的圖形之一,但這個簡單的圖形卻可以說是一 個廣闊的數學天地，其中包含著許許多多奇妙的數學問題.許多問題看起來非 常簡單非常有趣，但卻要用到許多教學方法，藁含著許多深刻的道理.這些方 法和道理在我們以后的學習中將經常用到，一.計數問題例1下圖中共有多少個矩形，分析如果直接數，假容易遺漏或者重復.為了避免遺漏或重復，可以將 圖形中的各種矩形按形狀大小分類，分別計數后

38、再相加.在分類計數中如果能 發現規律，那就更簡單了.解法L在己知的方格表中，共有5X3二15個，“ ”共有4X 3二12個，“口口”共有3X3 = 9個，如此進行下去，把各類矩形的個數相 加，可得矩形總數為90個.解法2：將各類矩形列出表來（如下頁圖），分析各類矩形個數的算式, 很容易發現規律，于是可得矩形總個數為：（1+2+3+4+5）X（3+2+1） =90 個.4X33X3m Il 4X23X2田旺4X13X1用苴5X3 5X2 E 5X例2在上頁的方格表禮共有幾個“土”形（含有3個小方格的拐,也可以是或"g或“izq”）?例3在4X4的方格表中，至少放上幾個“日口”后，才能使

39、 這一表中不能再放下一個“日口”了（不許重疊）？如果是6 * 6或8乂8的 方格表，結果如何？解：如圖，在4X4的方格表中放下3個L形，即不能再放下一個L形了.如果只放了兩個L形，那么可以證明總還能再放下一個L形.因為每個 “田”字形內至少蓋住兩格后才不再能放下L形，而4X4的方格表中共有4個不 相重疊的“田”字形，至少應蓋住2義4空格后，才不再能放一個L形，如果只 放了兩個L形，僅僅蓋住6格，所以總還能再放一個L形.從以上兩步，可以看出4 *4的方格表中至少放上3個L形后，才能使這一表 中不再能放下一個L形.例3在4X4的方格表中，至少放上幾個“斗f后,才能使這一表中不能再放下一個"

40、;日二”了（不許重疊）？如果是6 * 6或gxg的 方格表，結果如何？解：如圖，在4X4的方格表中放下3個L形，即不能再放下一個L形了.如果只放了兩個L形，那么可以證明總還能再放下一個L形.因為每個 “田”字形內至少蓋住兩格后才不再能放下L形，而4xq的方格表中共有4個不 相重疊的“田"字形，至少應蓋住2 乂 4二8格后，才不再能放一個L形，如果只 放了兩個L形，僅僅蓋住6格，所以總還能再放一個L形.從以上兩步，可以看出4乂4的方格表中至少放上3個L形后，才能使這一表 中不再能放下一個L形.在6X6的方格表中有9個不相重疊的“田”字形，每個“出”字形至少蓋 住兩格，才不再能放下一個L

41、形，這樣至少應蓋住18格，也就是至少要放上6個 L形.如右圖，己放了6個L形，確實己不能再放下一個L形了，因此6個是最少 的數目.卜11JL卜-F1L用同樣的方法可以得到在8X8的方格表中至少放上11個L形后，就不再能 放下一個L形了.二、染色方法染色方法實際上是一種分類方法，不過對有些問題來說，通過染色能使問 題比較直觀，解決起來更方便.例4如圖是半張象棋盤，一只馬能否從樹出發，跳遍半張象懼盤而使每 個格點只經過一次？解：把半張象懼盤的格點（共45個）相間地涂上黑、白兩色（黑色用 “乂 ”表示，如圖共有22個黑點，23個白點.按照馬走步的規則，每步走 “日”字的對角線，不論馬在何處也不論往哪

42、個方向跳，起點和終點的顏色總 是不同的.由于故h是黑格點，如果馬從故h出發跳遍每個格點且每個格點只經 過一次，那么需經過21個黑點，23個白點，黑、白格點數相差2,故這樣的走 法是不可能的.例5正方體形的房子共分27個小房間，每相鄰兩個房間都有門相通（上、 下兩間也有門相通）.每個房間里都有一塊奶酪，右下角的房間有一門通向外 面.一只耗子從最中間的房間出發，想走遍各個房間，且每個房間只經過一 次，最后從右下角出來，這樣是可否能1如果可能，該怎么走？解：將27個小正方體相間染成黑、白兩色（婦圖），共13個房黑間，14個 白房間，中間房間是黑色.如果從中間房間出發，每個房間經過一次，共需經 過12

43、個黑房間（除中間房間外）、14個白房間.但是與黑房間相鄰的都是白房 間，與白房間相鄰的都是黑房間，路線只能是：黑一白一黑一白這是不可能 實現的.如果改從任一個（不是右下角的）白房間出發，就能達到目的.請自己設 計路緣三、抽JB原理例6能否在8X8的方格表的每個方格中寫上。、1、2中的一個數，使每 行、每列以及兩條對角線上各數之和都互不相等？解：8行、8列及兩條對角線共有IX個和數，將這18個和數作為“蘋果 8個數（每個數是0、1、2幣的一個）的和最小是0,最大是16,共有17種不同 的和，將這17個不同的和作為“抽屜力.根據抽屜原理，必有一個“抽屜”中 存在2個或2個以上的“蘋果”，這就是說，

44、在L8個和數中至少有2個相等，不 可能都互不相等.例7在5X5的方格表中，任意挖去一個方格后，是否總能用8個“ %”形完全蕓住?如果不能，請說明道理.解法1,如右圖，將5X5的方格表挖去一格（用影）后，剩下的24格不可能用8個“ + ”先完全蓋住.因為如臬完全蓋住，為了蓋住a格， 需要用一個L形蓋住a、d、e或a、b、。三格，由于兩邊對稱，不妨設蓋住a、 b、c三格，這樣，x格就不可能被任何一個L形蓋住（否則就重疊了），所以這 24格不可能被完全蓋住.解法2：如圖，標上"X ”的格共有9個，如果挖去的一格不是標上“X ”的格，那么剩下的24格不可能被X個L形蓋住.這是因為任意兩個“X

45、 ” 格不可能被同一個L形蓋住，這9個“X 格若都能被蓋住，至少需要9個L形， 因此不能用8個L形蓋住剩下的2 4格.說明；解法1雖然很簡單，但要想到這種解法，需要做多次試驗（當挖去 的一格在某些位置時，題目的要求是可以成立的）.解法2實際上用了抽屜原 理，“乂”格看作“蘋果 g個L形看成“抽展”.用抽展原理的關鍵是要設 計好“抽屜”和“革果四.分類.試驗.遞推.尋求規律例8在4X4的方格表中任意挖士一格，是否總能用5個"Fhr形姜住?對干8 X 3或16 X 16的方格表，結論如何？分析對于4X4的方格表，由挖去一格的位置不同，可分三種情況討論.這種分類討論的方法，對于4義4的方格

46、表來說，由于試驗次數較少，還比較容 易得到結論.但對于8X8的方格表9需要分1謝情況，分別去試驗；對于16X 16的方格表，則需要分36種情況.對于每種情況，由于表格較大，試驗起來也 很整瑣.如果運用數學上稱為“遞推的方法，問題就簡單得多了，不僅能輕 易地解決8X& 16X16的方格表的問題，還能解決32X32、64X 64、等方 格表中的類似問題.解法1,對于4X4的方格表，由挖去一格的不同位置，可分三種情況，每 種情況都能運用5個L形蓋住，因此在4X4的方格表中任意挖去一格，總能用5 個L形蓋住（如下圖）.對于8X8及16X16的方格表，由于分類情況較多,這里從略.解法2：先考慮2

47、X2的方格表，任意挖去一格，剩下3格總是恰好能用1個L 形蓋住.對于4X4的方格表，挖去的一格總在某個角上的2X2小方格表內，不妨設 在左上來，那么左上角的2X2小方楮表中剩下3和能用1個L形蓋住.在右上、 右下.左下的3個2X2方格表中，先各挖去靠中間的一格（如圖），乘”下的各 能用1個L形蓋住，而挖去的3格也恰能用1個L形蓋住.對于8X8的方格表，挖去的一格總在某個角上的4X4方格表內，不妨設在 左上角，那么左上角剩下的部分總能用5個L形蓋住.在右上、右下、左下的3 個4乂4方格表中，先各挖去靠中央的一格（如右到），由上述結論，各4乂4方 格表中剩下部分總能分別用5個L形蓋住.而挖去的3格

48、也恰能用1個L形蓋住， 所以，XX g方格表中任意挖去一格，總能用21個二形完全蓋住.同樣，對于16XL6的方格表，任意挖去一格后，總可以用況個L形完全蓋 住.例9在一個6X6的方格表中，任選5個方格徐黑，然后再逐步將凡是與兩 個或兩個以上黑格相鄰的方格涂黑，不斷按這個法則做下去，證明：無論怎樣 選擇最初的5個方格，都不可能按這樣的法則將所有方格全部涂黑.0分析先試驗一下，在上圖的方格表中選5格涂黑，然后按給定法則涂黑另 一些格，直到上圖,已無法再將其余的方格涂黑,如果改變最初5格的位 置，雖然最后涂黑的部分會不同，但都不能將所有方格全部涂黑.為了證明這 一結論，如果將最初5格的不同位置一一列

49、舉出來，再逐個證明，當然也是可 以的（這種方法叫枚舉法），不過過于繁瑣.因此，應該在試驗中尋求規律， 不被表面現象迷惑.證明，考慮涂黑過程中黑色區域的周界總長度.設小方格的邊長為1,則 開始有5個黑格，黑色區域總長度不大于20.按照題設的涂黑法則，每格在涂 黑前后，黑色區域的周界不會變長（此方格至少有兩邊是原來黑色區域的周 泉當此格涂黑宕，這就邊己不再是邊泉而另而邊可能成為邊界）.如果能 格所有方格都涂黑，那么黑色邊界的總長度應為24,由以上分析，這是不可靛 的，因此，無論怎樣選擇最初的5個方格，都不可能按照題設的法則將全部方 格涂黑小學六年級下冊數學奧數知識點講解第5課巧求面積試題附答案習題

50、五L直角三角形ABC中，AD=DB=4.5E米，=涯木，求四邊形DBCE的面積.（下圖）2 .下圖中的三角形被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，圖中的數字是 相應線段的長度，求兩部分的面積之比.3 .如上右圖，在ZkABC中，AD=1AB, BE = EF = FC, CG = |gA,求 陰影都分面積占三角形ABC面積的幾分之幾？4 .如圖，BD=|bC,三角形ABC的面積是48平方厘米，AC = 16厘米,AE二11厘米，三角形DAE的面積是多少？5 .己知：AE=?AC, CD = yBC, BF=?AB,求三角形DEF的面積與三 546角形ABC的面積之比.（下圖）6 .如下圖所示己知A

51、BCD是長方形票"言弓,求三角形會E與 三角形DEF的面積之比.7 .如下圖所示，把/XABC的BA邊延長1倍到D點.AC邊延長3倍到F點，CB邊 延長2倍到E點，連接DE、EF、FD,得到DEF.已知三角形DEF的面積為54平方 厘米，求AAEC的面積.2_8 .如上右圖所示，已知久如二1, A£ = ED, ED二三BC,求陰影的面 積.9 .在/XABC中，CD. AE, BF分別為K、AC. AB長 的:求%MM與為加之比，10 一把邊長為40厘米的正方形ABCD沿對角線AC截成兩個三角形，在兩個三 角形內按圖示剪下兩個內接正方形鼠，N.這兩個正方形中面積較大的是哪

52、一 個？它比較小的正方舷面現大安少平方厘米？六年級奧數下冊：第五講 巧求面積習題解答習題五解答1解，在AADE與AABC中，因為AD = BD,所以AD = ：AB,又因為 乙AE = ；AC,所以“般=gx觸c =：久即所以S四邊形DBCE = 3s3.1 1 G1因為%杷c=X（45X2）X（3- -） =y （平方厘米），所以 應山比、+苧中平方厘米）.答:四邊形DBCE的面積為33平方厘米.32 .解：因為AE = 1, CE=2, fUAC = l + 2 = 3 = -CE. 乙因為CD= 1, DB二3,所以BC二 1+3二生4CD.L3所以有 S&用 C =X4XS&a

53、mp;cde = 6S&cde = 5S 甲. 乙所以S乙二SAABC-S甲二6s甲-S甲二5s甲.所以S甲：S乙二S甲；5s甲二1 : 5.答：甲乙兩部分的面積之比為1 ： 5.3,解；利用正文中的結論容易求得；_2 4、_xS42G =4 X y X S樹=7sCABC， _£ 2_S&BDE = ' X 耳 乂此C，ACFG-=彳義耳S&ABC = $AABC ,>121所以Sajjjd +S&BDE+S&CFG = C -+ S AABC5=一«- 9 "AABC所以S快彭=0-§）SAABC

54、答：陰影部分的面積占三角形ABC面積的孑 4解 S&ade = *aadc =£x Q痂= -X |x48=22 （平方厘米）.lb 3答；AADE的面積為22平方厘米.5 解：S6AEPS&CDE5=X64=-X515XS16 ABC1_5s砥 c廠 3、，1 “ rc = - x-xq c*Q&BFD _ 4 E Q（1ABC _ 所以SADEF =6卯 C -$3歷-3插血-$ACDE=（1.122）s1658, 4ABe一兩船C所以SAdef : SAzbc=61 : 120.答：ZDEF與ABC的面積之比為61 ： 120.6幅因為票一崇41123K

55、Zcf = -cd=-ab, fd=-ab, ab=-fd,又Nbae=Nedf njn乙= 90° ,133所以有SZXABEtgX - x S6EDF = jSdEDFABE : Saedf=3 ： 4.答：三角形ABE與三角形EDF的面積之比為3： 4.7 .解：SAADF=4 X 1 X SAABC=4SAABC,SABED=2X2 x SAABC=4SAABC,Saecf=3 X 3 x s abc=9Sa ABC.Saecf=3X 3X Sa ABC = 9s ABC.所以 SADEF 二 SAADF+SAEBD+SECF+Sa®=4SAABC4-4SAABC+9SAABC+SAABC=18SAABC所以S.=SADEP = X54 = 3 （平方厘米）. Io答：三角形ABC的面積為3平方厘米.8 .解：連DF.因