1、純數學是這樣一門學科，在其中我們并不知道我們在談論什么，或者我們不知道我們所談論者是否是真的。 羅素 Bertrand Russell （1872-1970）第九講定理與真理1.一、 夢想與悖論1.1笛卡爾(Ren Descartes ,1596-1650)笛卡爾笛卡爾，法國哲學家、數學家、物理學家、解析幾何的奠基人。1596年3月31日生于法國的圖倫，1650年2月11日在斯德哥爾摩去世。他在科學史上首次提出了運用少數幾條基本法則來理解所有物理變化；致力于把所有知識融為一個統一整體，并對這一新科學的方法論和哲學意義進行了系統的研究。 年輕時，笛卡爾以數學經驗為基礎，創立了一種實用的研究方法；

2、中年后，他轉向哲學，提出“我思故我在”的懷疑觀，使同時代的思想家從中世紀基督教思想的束縛下獲得解放。但 他終生信仰天主教，也致力于科學與宗教的協調。 1619年11月10 日，笛卡爾陷入了對“在我的一生中，我該走哪條路（Ausonius: Quod vitae sectabor iter）”的思索中,隨后，他產生了一系列幻覺和夢幻，這促使他進一步明確自己的生活、工作。他作了三個夢。第一個夢，他看到自己在旋風里蹣跚，而這股旋風對其他人似乎沒有什么影響。他被驚醒后祈求保護，在重新入睡前，對善惡沉思了大約兩小時。一陣刺耳的喧鬧又把他驚醒，他看到了房間里充滿了亮光，眨了眨眼，他又睡著了。第三個夢是幾本

3、書，還有一個陌生人給了他一首以“是與否”開始的詩。其中有一本書是百科全書，笛卡爾認為它代表了眾多科學的統一，那首以“是與否”開頭的詩，代表了真理與謬誤。笛卡爾將這些夢理解為一種啟示，即他的著作應根據幾何學原理將所有知識統一起來。這一發現使他認為自己掌握了一門非凡的新科學，從此，笛卡爾便開始尋找能夠揭開宇宙奧秘并展示科學統一的方法。1928年，他結束探求真理的指導原則的寫作，于1701年才發表。1637年6月8日，笛卡爾發表了著名的哲學著作更好的指導推理和尋求科學真理的方法論，簡稱方法論；揭示了在科學中正確運用理性和追求真理的方法論。該書有三個附錄：折光學、氣象學、幾何學。在幾何學一書中笛卡爾創

4、立了解析幾何。1.2笛卡爾之夢探求真理的指導原則是指導心智的21條原則。原則一:：指出研究的目的，應該是指導我們的心靈，使他得以對于世上呈現的一切事物，形成確鑿的、真實的判斷。原則二：指出應該僅僅考察憑我們的心靈似乎就足以獲得確定無疑的認識的那些對象。原則四：指出方法，對于探求事物真理是絕對必要的。原則五：指出全部方法，只不過是：為了發現某一真理而把心靈的目光應該觀察的那些事物安排為秩序，如欲嚴格遵循這一原則，那就必須把混亂曖昧的命題逐級簡化為其它較單純的命題，然后從直觀一切命題中最單純的那些出發，試行同樣逐級上升到認識其它一切命題。在方法論中，笛卡爾給出了尋求知識的一般途徑，我們可以表示為下

5、圖。僅接納自己理解并可以排除疑問的東西從簡單到復雜的推理進行檢驗把大的困難拆分成小的困難在方法論的附錄幾何學中，笛卡爾又給出了一種大膽的設想：一切問題都可以轉化為代數問題，而一切代數問題都歸結為單個代數方程的求解問題。即：現實問題數學問題（幾何問題）代數問題（解析幾何）多項式方程組一元高次方程萊布尼茲這樣人類的所有問題，都可以通過邏輯計算，理性地、系統地加以解決。笛卡爾的夢想就是設計尋求知識的一般途徑，將世界數學化。即數學真理=數學定理笛卡爾計劃的一個具體的實現方案就是將思維演算化、計算化，以至于可以計算機化。1642年，帕斯卡發明了加法機，即可以進行加減運算的計算機。1673年萊布尼茲創制了

6、第一臺能做四則運算的計算機。同時他指出解析幾何如同一臺龐大的絞肉機，你把問題塞進去，只要搖動曲柄，就可以得到答案。萊布尼茲（Gottfried Leibniz ,1646-1716） 德國數學家、哲學家。1647年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國西北部的漢諾威。他的多才多藝在科學史上少有人能及。萊布尼茲終身致力于尋求一種可以獲得知識和創造發明的普遍方法，他和牛頓各自獨立的創立了微積分。他是現代計算機設計所用二進制語言的發明者，并將其與中國的八卦聯系起來；對此，萊布尼茲曾高興地說“可以讓我加入中國籍了吧”。沙勒沙勒（Michel Chasles,1793-1880） 法國數學家

7、。1793年11月15日生于艾佩爾農，1880年12月18日卒于巴黎。他利用幾何方法研究確定代數問題的解的個數，開創了枚舉幾何。他一貫強調要以歷史發展的眼光來觀察數學史上的創造。1837年，懷著對幾何思想發展史的濃厚興趣，他寫了幾何方法的起源和發展的歷史概述這本重要的數學史著作。在這本著作中，他指出“為幾何大廈添磚加瓦，從此就用不著天才那樣的人物了”。1.3邏輯悖論的出現1900年前后,集合論中出現的3個著名的悖論:布拉利-福爾蒂悖論（1897）、康托爾悖論（1899）、羅素悖論（1903）。布拉利-福爾蒂悖論是一個關于序數的悖論：設W為一切序數所組成的集合。因為W按自然大小順序成一良序集，故

8、W有一序數。由序數性質，這必比W中任一序數都大；但由定義，也出現于W中，從而有，而這是矛盾的。康托爾悖論是關于基數的悖論：設S為一切集合所組成的集合。考慮S的勢。因為任何集合都是S的子集，故不存在其勢大于的集合；但由康托爾定理知道，S的冪集P(S)的勢(s)大于。這就得到了矛盾。羅素悖論中，羅素指出了在日常語言和邏輯中可以出現悖論：設R為一切不屬于自身的集合所組成的集合。在樸素集合論中這樣的R是合法的。R是否屬于R？若R屬于R，則R是R的元素，于是R不屬于自身，即R不屬于R；若R不屬于R，則R不是R的元素,于是R屬于自身，即R屬于R。這是矛盾的。由于布拉利-福爾蒂悖論、康托爾悖論都涉及非常專門

9、的術語和概念，在當時并沒有引起重視，人們認為這些悖論只是因為某些推理環節上的失誤所造成的。而羅素悖論清楚明了地指出了集合論本身存在著矛盾，從此，這些悖論開始受到人們的關注。羅素1919年，羅素又給出上述悖論的一個通俗形式，使得這個悖論為更多的人所了解。這就是著名的理發師悖論：某鄉村理發師宣布了一條原則，他只給本村那些不給自己理發的人理發。問誰給理發師理發？如果理發師給自己理發，那么他是自己給自己理發的人；據村中的理發師只給本村那些不給自己理發的人理發，他不應給自己理發。如果理發師不給自己理發，那么他是不給自己理發的人；據村中的理發師只給本村那些不給自己理發的人理發，他應該給自己理發。這是矛盾的

10、。還有埃庇米尼得斯悖論或說謊者悖論：這個句子是錯的。如果這個句子是錯的，那么上述斷言是錯的，這個句子應該是對的；如果這個句子是對的，那么上述斷言是對的，這個句子應該是錯的，這是矛盾的。這些悖論的一個總的特點，就是所謂的自指（self-reference），再加上非歐幾何出現的矛盾，使的數學的確定性得到了很大程度上的質疑：數學理論是完全的、沒有矛盾的嗎？通過建立集合論的公理化，化解了悖論，沒有發現新的悖論。但是，集合論公理化體系的一致性問題還是沒有得到解決。龐伽萊（Henri Poincar ,1854-1912）（法國）對此評論道：“為了防備狼，羊群已用籬笆圈了起來，但卻不知道圈里有沒有狼”。

11、1.4 1930年之前的兩個基本問題 舊的悖論雖然暫時克服了，但是發現新的悖論的危險依然存在；1930年以前，有兩個基本問題困擾著數學界：數學的完全性（completeness）如果說一個數學系統是完全的，那么這個系統中的所有命題都是可以被證明的；即每一個數學真理都對應著一個數學定理。數學的一致性（consistence）如果說一個數學系統是一致的，那么不可能得出00的結果；或者不能出現這個系統中的一個命題與它的否定命題都是對的，即不能出現悖論。2.希爾伯特綱領希爾伯特希爾伯特(David Hilbert，1862-1943)，德國數學家。1862年1月23日生于哥尼斯堡，1943年2月14日

12、卒于哥廷根。1880年入哥尼斯堡大學，1885年獲博士學位。1892年任該校副教授，翌年為教授，1895年赴哥廷根大學任教授，直至1930年退休。自1902年起，一直是德國數學年刊主編之一。 希爾伯特是二十世紀最偉大數學家之一，他的數學貢獻是巨大的和多方面的。他典型的研究方式是直攻數學中的重大問題，開拓新的研究領域，并從中尋找帶普遍性的方法。他的數學工作主要是代數不變問題（1888-1893）、代數數域論（1894-1898）、幾何基礎（1899-1903）、狄利克雷原理與變分法(1904)、積分方程與無窮維空間理論（1904-1912）、物理學（1912-1922）、數學基礎（1918年以后

13、）。2.1希爾伯特綱領建立的原因 1900年巴黎會議上希爾伯特提出了著名的23個問題，其中第二個問題涉及到了證明數學推理的可靠性。也就是說，只要按照數學推理的規則，就不應該得出相互矛盾的陳述；因為一個命題和它的否定不應該都是定理.這種自洽性（self-consistency）或一致性是希爾伯特心目中任何類型的公理化系統的必要條件。 事實上自洽性或一致性對于一個系統來說是至關重要的。對此，羅素曾經舉了一個例子，來證明“羅素就是教皇”：命題是：如果2+2=5，那么羅素就是教皇（the Pope）。羅素的證明是：如果我們承認2+2=5， 那么我們在方程的每一邊減2，則有2=3；兩邊互換，得到3=2；

14、再在兩邊都減去1，則有2=1。因為教皇和羅素是兩個人，且2=1，所以教皇和羅素是一個人，所以羅素就是教皇！以上論證是嚴密的，但結論顯然是荒謬的。原因是我們的題設2+2=5，破壞了我們已有系統（2+2=4）的一致性（在同一個系統中，2+2=5與2+2=4是相互矛盾的陳述），所以說如果一個系統是不一致的，則可以按照我們的喜好來證明一個論斷是真的，或者是假的，那樣的話，我們的知識就不會建立在一個可靠的基礎之上了。為什么希爾伯特要操心這樣的事情呢？畢竟，至少從歐幾里得（Euclid）時代起，這種讓希爾伯特不太放心的特別的方法始終被數學家們成功地使用著，怎么現在就有問題了？難道2+2=5真的可以發生？三

15、角形的內角和等于180還會有什么問題嗎？這種擔心還真的出現了。首先讓我們回憶一下歐幾里得的幾何原本。幾何原本 幾何原本（Elements）,古希臘數學家歐幾里得所著。最早的印刷本出現于1482年威尼斯。這是一部劃時代的著作，是最早用公理法建立起演繹數學體系的典范。古希臘數學的基本精神，是從少數的幾個原始的定義、公設、公理出發，通過邏輯推理，得到一系列命題。這種精神充分體現在歐幾里得的幾何原本中。在歐幾里得系統中，三角形內角和等于180、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（歐幾里得第五公設）。公元前3世紀到18世紀末，數學家們一直堅信歐氏幾何的完美與正確，但有一件事卻始終讓他們耿耿于懷，

16、這就是歐幾里得第五公設。從古希臘時代開始，數學家們就一直沒有放棄對第五公設的努力。羅巴切夫斯基波約19世紀上半葉，波約(Janos Bolyai ,1802-1860)（牙匈利）和羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevski ,1792-1856）（俄國）各自獨立地證明：存在著完全一致的、關于點和線的數學系統，他們不同于歐幾里得的系統；稱為非歐幾何。繼羅氏幾何后，德國數學家黎曼（B.Riemann,1826-1866）在1854年又提出了一種既不是歐氏幾何，又不是羅氏非歐幾何的新非歐幾何。在這些非歐幾何系統中，三角形的內角和可以小于180（雙曲幾何），也可以大于180（橢圓幾何）。下表

17、給出了上述三種幾何的比較。歐幾里得羅巴切夫斯基黎曼 平面一條平行線 = 180平面宇宙冷寂雙曲(馬鞍)許多平行線180封閉宇宙大擠壓目前，在對宇宙中物質分布的觀察中，發現宇宙在大尺度的結構上遵守波約和羅巴切夫的幾何；在其中給定一條直線和線外一點，通過此點我們可以畫無數條與給定直線平行的直線。上述幾種非歐幾何以及其他類型幾何（如非阿基米德幾何、非德沙格幾何、非黎曼幾何、有限幾何、高維幾何、射影幾何、微分幾何及較晚的拓撲學）的出現,引起了對數學對象和外在世界關系的疑問。因為根據定義，宇宙是真實的世界；而點、平行線和三角形看來遠不是可用感覺獲知的，他們存在于頭腦中，就像可感知物存在于物質對象和日常事

18、件的宇宙中。引發希爾伯特擔心的，是上述三角形的問題；然而，比歐幾里得幾何更讓希爾伯憂慮的是，在20世紀初，羅素等人證明，在日常語言和邏輯中可以出現悖論。對這些邏輯疑難的一個著名的說明是理發師悖論。邏輯工具是構造數學證明時最終依賴的方法；然而，標準的邏輯推理方法對理發師悖論這樣似乎很簡單的問題也無能為力。對于數學家來說，每一個明確的數學問題都應該關聯一個明確的判斷，或者是給出答案，或者是證明它不可解。但是，在古典邏輯的框架內，理發師悖論成為一個不可判定論題（undecidable）。這就是希爾伯特等人開始關注整個數學的邏輯一致性問題的原因。2.2希爾伯特綱領建立的動機希爾伯特綱領建立的動機,就是

19、避免那些悖論混入數學領域。希爾伯特感覺到之所以會產生類似于羅素悖論中所存在的悖論性因素，主要是由于其陳述中的“語義”內容所導致的。他相信，鏟除在數學中出現這種悖論可能性的一個方式，就是為全部數學構建一種純句法的、實質上“無意義”的框架，在其中可以談論數學的真或假。這樣的框架，現在被叫做形式系統，也就是形式化了的公理系統。形式系統由語言、公理、推理規則三個部分組成。形式系統的語言一般采用人工語言，其中規定了語言的符號；符號的有窮序列即符號串稱為一個表達式。就像自然語言中并非所有的字母的序列都是句子一樣，并非所有的表達式都有意義。人們希望指出有意義的那部分表達式，稱之為公式。形式系統中公理需滿足的

20、唯一條件是它是該系統語言中的一個公式。推理規則陳述如何由有窮個確定的公式得到某一確定的公式。在形式系統中，證明的一般思路是，從公理出發，使用推理規則，將公理變成新的公式（即符號串）的有序系列，其中每一個公式（符號串），或者本身是一個公理，或者是以推理規則從它的前身中推理出來的，在這個系列中的最后一個公式（符號串）被叫做該系統的定理。形式系統中所有的公理是定理；若推理規則的假設都是定理，則它的結論也是定理。形式系統的一個公式是否是它的定理是可以機械的檢查的。簡而言之，在形式系統中：公式：按照一定的形式規則排列的符號串；公理：一個公式；推理規則：如何由有窮個確定的公式（規則的假設）得到某一個確定的

21、公式（規則的結論）定理：1. 公理； 2. 若規則的假設是定理，其結論也是。希爾伯特的目的，就是要在數學結構的真事實（真理）與形式系統的定理之間建立一種完美的一一對應的關系。希爾伯特相信，這樣做，就不會有任何羅素型悖論會潛入數學真理的世界中，即使有這樣的悖論也許存在于含糊不清的自然語言的領域里。他的綱領所要做的就是，把整個數學真理全部形式化，以防止悖論跨越自然語言與數學語言的界限而侵入純潔的數學世界。2.3希爾伯特綱領希爾伯特綱領的第一步，建立形式系統；第二步，考慮數學結構，將數學對象與形式系統中的符號、公式相匹配，用不含意義的形式語言來解釋含有意義的數學對象。我們用圖表示如下：數學結構符號和

22、公式公理推理規則定理形式系統（句法）數學世界（語義）數學對象1數學對象2數學真理1920年到1930年間，希爾伯特和他的學生阿克曼（Wilhelm Ackerman）、伯奈斯（Paul Bernays）、馮諾伊曼開展了所謂的元數學（或稱證明論）的研究,它是以數學證明為研究對象的數學理論。希爾伯特等人側重于公理系統的無矛盾性的研究，他們希望用本身無可懷疑的方法（即希爾伯特等人所說的有窮方法，有時又稱初等方法）來論證整個數學是無矛盾的。元數學第一次使一門數學理論整體的作為一個確定的、可用數學方法來研究的研究對象。這是建立任何形式系統的一致性的一種方法。其基本思想是：如果想研究日語的有效性和綜合性，

23、用日語來研究就會有局限；但是如果英語是一種有效的語言，那么就可以利用英語來研究日語。這表明從系統內可以說什么和從系統外關于這個系統可以說什么是有區別的。在元數學中，希爾伯特提議不使用那些有爭議的推論，諸如用矛盾去證明存在、超限歸納、實無窮集、非斷言性的定義、選擇公理等等。存在性的證明也必須是構造性的。希爾伯特把元數學的證明的概念與方法稱為是有限性的（finitary）。在1928年9月意大利博洛尼亞國際數學家大會（ICM）會議上，希爾伯特在談到他的元數學方案時自信地說：“利用這種新的數學基礎人們完全可以稱之為證明理論，我將可以解決世界上所有的基礎問題。”所有有意義的論述都將被證明或證偽，那樣就

24、不存在懸而未決的命題了。2.4希爾伯特的夢想結果：真假定理陳述證明機器希爾伯特的形式系統希爾伯特所夢想的就是構造一個形式系統，其中每一個數學真理都可翻譯成一個定理；反過來，每一個定理都可翻譯成一個數學真理，即它是完備的。而且，數學真理和它的否定不能都翻譯成定理，不能都在該形式系統中可證，即它又是一致的。形式系統的公式如果是一個定理，就一定可以通過一連串適當的推導機械地驗證。證明在本質上就是對一些符號的機械的操作。希爾伯特所追求的正是某種證明真理的機器。只要在機器的一端輸入所需要證明的陳述，搖動手柄，答案就會從另一端蹦出來：要么是真，要么是假。這個證明機器將給每一個數學論斷一個明確的結論。他相信

25、，他的“程序”最終將產生出全部數學的完全的公理化。希爾伯特向數學家們提出號召，將每一個數學真理都形式化，從而永遠排除在數學中出現悖論陳述的可能性。3.夢想的破滅1900年，希爾伯特把注意力從幾何基礎轉移到了分析基礎，并給分析提供了一個公理系統，在同年的巴黎國際數學家大會上，他作了著名的23個問題的報告，其中第二個問題，就是“算術公理的一致性”。1928年9月意大利博洛尼亞國際數學家大會上，希爾伯特提出的至關重要的基本問題是：可否證明每一個真的數學陳述。這個問題改變了我們思考邏輯上可證與實際上是真這兩者之間關系的方式。其實在此以前，數學家就已經知道作為整體的數學一致性問題可還原為算術一致性的問題

26、，即自然數之間的性質和關系的一致性。這樣，作為整體的數學一致性問題就轉化成給“算術理論”一個形式系統。希爾伯特指出這個形式系統應該是：1.有窮可描述；2.完全的；3.一致的；4.足以表達對自然數可以做的全部陳述。有窮可描述指不僅系統的公理和推理規則的數量和長度都應在有窮步驟內可以構造；而且系統中的每一個可以證明的陳述（每一個定理）都應在有窮步驟內可以證明。也就是說只有可以向他人講述，我們才可能真的擁有一個理論；如果證明序列中的公理、推理規則的數量是無窮的，我們就不可能向他人講述。算術形式化的核心問題是，是否存在有窮的步驟，我們可以據此判定每一個算術陳述的真或假。希爾伯特對算術形式化滿懷堅定的希

27、望，并在博洛尼亞宣言中激勵國際數學家去發現或創造這樣的形式化。1931年，距希爾伯特的博洛尼亞宣言不到三年，哥德爾就發表了震撼世界的哥德爾不完全性定理。3.1哥德爾不完全性定理1931年哥德爾在其“論數學原理及其有關系統中的形式不可判定命題”的論文中陳述了哥德爾不完全性定理，該定理由第一、第二兩個不完全性定理組成。哥德爾不完全性定理：哥德爾第一不完全性定理：任一足以包含自然數算術的形式系統，如果是相容的，則它一定存在有一個不可判定命題，即存在某一命題A使A與A的否定在該系統中皆不可證。哥德爾第二不完全性定理：在真的但不能由公理來證明的命題中，包括了這些公理是相容的（無矛盾）這一論斷本身。也就是

28、說，一個足以包含自然數算術的公理系統是相容的，那么這種相容性在該系統內是不可證明的。它揭示了一個事實：算術是不可完全形式化的。它揭示了形式化方法的局限性，使希爾伯特形式系統方案的夢想受到了沉重的打擊。3.2哥德爾定理的證明哥德爾哥德爾（Kurt Godel ,1906-1978），美國數理邏輯學家、哲學家。1906年4月28日出生于捷克的布爾諾(Brno)。童年的哥德爾很敏感、好奇心強，被叫作“為什么先生”。哥德爾興趣很廣，從語言到歷史、數學、物理和哲學。1924年 入維也納大學，理論物理；1929年獲奧地利國籍，完成博士論文。1931年不完全性定理發表。1940年定居普林斯頓；1948年加入

29、美國國籍。1978年1月14日在普林斯頓去世。哥德爾與愛因斯坦普林斯頓 1950年8月對于哥德爾的評價，我們不妨援引以下1965年，極具聲望的奧地利經濟學家摩根施特恩（Oskar Morgenstern）在致奧地利外交部長（后來的總理）克萊斯基（Bruno Kreisky）的一封信，“毫無疑問，哥德爾是在世的最偉大的邏輯學家；確實，像外爾（Hermann Weyl）和馮諾伊曼（John von Neumann）這樣杰出的思想家都承認他確實是自萊布尼茲（Leibniz）以來，或者是自亞里士多德（Aristotle）以來最偉大的邏輯學家。在維也納大學的歷史上，似乎還不曾有哪一位教師的名字象哥德爾的

30、名字那樣光彩照人愛因斯坦曾對我說，他自己的工作本身對他來說已不再是那么重要了，他去研究院，只是為了能享有同哥德爾一同步行回家的特權”。在博洛尼亞國際數學家大會上關于“數學基礎問題”的演說中，希爾伯特列出了4個尚未解決的問題：1.分析的（基本部分、或二階函項演算）的一致性；2.把這個證明推廣到高階函項演算；3.數論與分析公理系統的完全性；4.邏輯規則系統（一階邏輯）的完全性。哥德爾在1929年夏，證明了第4個問題，并以此作為博士學位論文。1930年夏，哥德爾著手研究如何證明分析的一致性（即上述4個尚未解決的問題的第1個問題）。他感到希爾伯特想用有窮主義的方法直接證明分析的一致性是極其費解的。他認

31、為應當分解困難，使各部分易于逐個擊破才好。就本例而言，他的思路是用有窮主義數論去證明數論的一致性，再用數論去證明分析的一致性。（王浩，p56）在用數論的公式表示實數時，需用數論公式的真實性概念來驗證分析的概括公理。然而在這一過程中產生了與真實性和可定義性相聯系的的悖論（如說謊者悖論）。哥德爾發現數論中的真理不能在數論中定義，證明分析一致性的計劃是不可行的。他進一步得出，在數學原理這類稍強一點的系統中存在不可判定命題。1931年哥德爾給出了不完全性定理。哥德爾證明不完全定理的4個步驟如下：1. 把希爾伯特的第一個問題一分為二，先考慮相對比較容易的數論的一致性問題；2. 發現數論中的真理在數論中不

32、能定義，這跟數論取哪個形式公理系統無關；3. 從真實性轉向可證性，構造了一個不可判定論斷；4. 發現完全性陳述自身也是不可判定的。哥德爾特意聲明，他的結果的根本點不在于任何形式系統都無法包羅全部數學，或者說都能被超出，這一點從康托爾德對角線法已經能得出了，他并未排除數學的某些相當強的子系統具備完全性的可能。相反，他的結果的根本點在于每一個既含加法又含乘法的數學形式系統都包含頗為簡單的命題，在其中可以表達，但在其中不可判定。（王浩，p114） 哥德爾的思路是：對于每一個形式系統 ，總可以構造出一個從系統外看來是真的，但在系統內卻不能判定的陳述G。在證明算術不完全性時，希爾伯特的一個洞見對哥德爾具

33、有相當大的啟發性。希爾伯特意識到數學分支的每一個形式化其本身便是一個數學對象。而且，在此以前哥德爾已經發現通過使用自然數本身來鏡像反映有關自然數之間關系的所有陳述的方式。同樣的對象可以用兩種不同的方式來考慮，這是相當關鍵的一種思路；這樣使對象自己述說自己成為可能。為此，哥德爾發明了一種方式，使用算術語言本身對算術中的所有可能的陳述進行編碼，通過自然數本身來鏡像反映有關自然數之間關系的所有陳述，即算術即可作為一被解釋的數學對象，又可作為談論自身的未被解釋的形式系統。哥德爾設計了一種叫做“哥德爾配數”的方案，將羅素與懷特海（Alfred North Whitehead）的三卷本的數學原理中的所有符

34、號與陳述編碼。對于羅素與懷特海的數學原理，哲學家和教育家凱梅尼（John Kemeny）稱這是一本“被每個哲學家所討論，而實際上又無人讀過的名著”。 基本邏輯符號的哥德爾配數（簡化本）符號哥德爾數意義1非2或3如果那么4存在=5等于06零s7的直接后繼（8標點符號）9標點符號接下來我們看一下這個配數過程是如何進行的。首先考慮邏輯公式： 它的意義是：存在著一個數x， 它是數y的直接后繼。其中x、y是兩個數值變元，用大于10的素數來表示；令x = 11、y = 13；再用表中相應數字來代換邏輯公式中的其它符號。這樣一來，邏輯公式經過編碼，成為數的序列8，4，11，9，8，11，5，7，13，9這個

35、序列唯一地確定了邏輯公式，這些數稱為哥德爾數。因為算術是研究數的性質的，所以我們希望用一種更明確的單個的數來表達這個公式。根據算術基本定理，我們知道，所有的自然數都可以唯一地分解成素數的乘積，即于是，哥德爾取素數中的前10個素數（邏輯公式經過編碼后由10個數表示），然后對每一個素數，求其在公式中所對應成分的哥德爾數次冪。這樣，邏輯公式就定義為下面的數： 所得的積便是邏輯公式最終的哥德爾數（讀者若感興趣，可計算出這個數）。其實萊布尼茲和希爾伯特都曾經提出用數來表示概念或詞句的想法，但是哥德爾才是系統發揮這種想法，應用“哥德爾配數法”做出語法算術化的驚人之舉的第一人。（王浩，p354）哥德爾用自然

36、數表示符號，用數的序列表示句子，用數的序列的序列表示證明。于是，對于數學原理中用邏輯語言表達的每一個算術陳述和陳述序列，我們都能安排一個唯一的哥德爾數與其對應。這使用算術來考察算術本身的真理成為可能。接下來，哥德爾開始利用這些數，按照推理規則構造一個真的陳述，得出一個驚人的結論。雖然布勞維曾提出過數學不可被任何形式系統窮盡。然而在形式系統內部構造一個命題，又表明它在系統中不可判定，由此推出一致性在系統自身中的不可證，是由哥德爾所做出的。以算術的方式編碼處于不同語義層次的邏輯表達式是哥德爾走向不完全性的重要一步。哥德爾發現，造成邏輯悖論的所有情況，都是類似于它們以所謂的自指（self-refer

37、ence）概念為基礎。一個典型的例子就是說謊者悖論（Liars paradox）：這個句子是錯的這個陳述中包含了真概念。而塔爾斯基（Alfred Tarski）已經證明，真概念不可能在正被談及“真”的那個形式系統的界限內加以把握，為了避開永遠難以捉摸的真與假的概念，哥德爾意識到應該用某種可以形式化的東西來代替“真”，這就是“可證性”的概念。于是，哥德爾利用它的編碼方案，通過46條推理，來編碼上述悖論，將其翻譯成：這個陳述是不可證的稱為哥德爾句G。接下來討論這個論斷的邏輯結果：1. 如果哥德爾陳述G是可證的；由于G是真的，根據論斷，它不可證。因此，在這個系統中，陳述G和它的否定都成立，所以，這個

38、系統是不一致的。2. 如果哥德爾陳述G是不可證的；由于陳述G是真的，但是卻不可證，所以，這個系統是不完全的。于是得出了: 對于算術的任何一致的形式化系統，都存在著在那個形式系統內不可證明的算術真理這一驚人的結論。它表明：對于任何可以表達初等算術所有陳述的一致的形式系統，一定存在這樣哥德爾句G，它是真的，但在這個系統中不可證明，因此，形式化一定是不完全的。這個定理徹底地粉碎了希爾伯特將全部數學形式化的幻想。從上我們可以看出哥德爾定理證明的兩個關鍵步驟是：1.哥德爾配數：對算術中的所有可能的陳述進行編碼；2.用哥德爾配數編碼出一個論斷（哥德爾句G）：“這個陳述G是不可證的”。哥德爾不完全性定理G2被證明被否定 當布勞維（直覺主義）弄清楚了直覺上明確的東西不及經典數學上證明的東西多