1、第六節拋物線(范圍、對稱性、頂點、離最新考綱1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質心率).2.理解數形結合思想.3. 了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用.京展乩比知譏課前自主回顧(對應學生用書第158頁)必備知識填充H1.拋物線的概念平面內與一個定點 F和一條定直線1(1不經過點F)的距離心逆點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線1叫做拋物線的準線.2.拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2= 2px ( p0)y2= 2px( p0)x2= 2py ( p0)x2= 2py ( p0)p的幾何意義：焦點 F到準線1的距離圖形ILrLL晨 1|q0*l頂點坐標O0,

2、0)對稱軸x軸y軸焦點坐標限0pF -2, 0F0, pF0, -f離心率e= 1準線方程x=一p2_ p x2y=_ Pp y=2范圍x 0,y C Rx0,xe Ry 0)焦點F的弦，若A(xi, yi) , B(x2, y2),E為弦AB的傾斜角.則22P2sin a(1)xiX2=p yiy2= -.p2.(2)弦長 | AB = xi + x2+ p =(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切.(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.E學情自測驗收：)一、思考辨析(正確的打“，”，錯誤的打“X”)(1)平面內與一個定點 F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定

3、是拋物線.()(2)拋物線y2=4x的焦點到準線的距離是 4.()a，0,準線方程是x 拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.()(4)方程y= ax2(aw0)表示的曲線是焦點在 x軸上的拋物線，且其焦點坐標是答案(1)X (2) X (3) X (4) X二、教材改編,1 2 ,、，、一1 .拋物線y=4x2的準線方程是()A. y=- 1C. x= - 1A - y=4x2,x2=4y,2.若拋物線y=4x2上的一17A.一1615B.一167C.8B. y=-2D. x=- 2,準線方程為y = - 1.X M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標D. 0B M到準線的距離等于 M到焦點的

4、距離，又準線方程為151.尸話23 .過拋物線y=4x的焦點的直線l交拋物線于Rxi, y1), Qx2, y2)兩點，如果Xi + X2=6,則| PQ等于()A. 9B. 8C. 7D. 6B 拋物線y2=4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x=1.根據題意可得，| PQ = | PF +|QF=xi+1+ X2+ 1 = Xi + X2 + 2= 8.4.已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經過點R 2, 4),則該拋物線的標準方程為.y2=8x 或 x2=y 設拋物線方程為 y2=2px(pw0)或 x2=2py(pw0).將 P(-2, 4)代入，分 別得方程為y2= 一 8

5、x或x2= y.后萌里考考點 課堂考點探究(對應學生用書第159頁)。考點1拋物線的定義及應用|腺通法與拋物線有關的最值問題的解題策略(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離， 構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中，垂線段最短”解決.思噬例(1)(2019 長春模擬)已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線l與x軸的交點為K,拋物線上一 點P.若|PF =5,則 PFK勺面積為()A. 4B. 5C. 8D. 10(2)(2019 福州模擬)已知拋物線y2=4x的焦點F,點A(4 , 3), P為拋

6、物線上一點，且點 P不在直線AF上，則當 PAF周長取最小值時，線段 PF的長為()A. 113 B.4C. 521D.7(1)A (2) B (1)由拋物線的方程 y2 = 4x,可得 F(1,0) , K( -1,0),準線方程為x = - 1.設Rxo,yo),則 |PF=Xo+1 = 5,即 Xo=4,不妨設 Rxo, yo)在第一象限，則 P(4 , 4),所以 &pkf=習 FK| y0| =2X2X4= 4.故選 A.(2)如圖，求 PAF周長的最小值，即求| PA + | PF的最小 準線上的投影為 D,根據拋物線的定義，可知|PF = | PD,因此| PA 小值，即| PA

7、 + |PD的最小值，可得當D, P, A三點共線時，| PA 此時P9-, 3 , F(1,0),線段PF的長為9+1=13.故選B.444EW點評 拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相互十 |PF的最十 | PD最小，轉化是解題的關鍵.1.(2019 臨川模擬)若拋物線y2=2px(p0)上的點軸距離的3倍，則p等于()1A.B. 1值.設點p在A：xo,，2)到其焦點的距離是C.3D. 22D 由拋物線y2=2px知其準線方程為 x= p.又點A到準線的距離等于點 A到焦點的距離，xo2=xo+xo=A 號,/2 .丁點 A在拋物線 y2= 2px 上，且 = 2. 0,，p= 2.

8、故選 D.24422 .動圓過點(1,0),且與直線x= 1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為 .y2= 4x 設動圓的圓心坐標為(x, y),則圓心到點(1,0)的距離與到直線x=1的距離相等，根據拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2=4x.23 .已知拋物線方程為 y=4x,直線l的方程為x-y+5 = 0,在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d1,到直線l的距離為d2,則d1 + d2的最小值為 .3J2-1 由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)點P到y軸的距離d1=|PF 1,所以 d1 + d2=d?+| PF 1.易知d2+ | PF的最小值為點F到直線l的距離，故d2+|PF的最

9、小值為+5|=32,所以41 +1d1+d2的最小值為3、一 1.。考點2拋物線的標準方程與幾何性質唳通法1 .求拋物線標準方程的方法求拋物線的標準方程的主要方法是定義法和待定系數法.若題目已給出拋物線的方程(含有未知數x軸上的拋物線的標準方程可統P),那么只需求出 p即可；若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在設為y2= ax(aw0), a的正負由題設來定； 焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設為x2=ay(aw0),這樣就減少了不必要的討論.2 .拋物線性質的應用技巧3 1)利用拋物線方程確定其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程.4 2)要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運

10、算.|盤3典例(1)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點 R4, 2)的拋物線的標準方程是()A.y2= - xB.x2= -8yC.y2= _ 8x或 x2= yD.y2= _x 或 x2= 8y(2)(2018 北京高考)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2 = 4ax截得的線段長為4, 則拋物線的焦點坐標為.(1)D (2)(1,0)(1)(待定系數法)設拋物線為y2=mx代入點P(-4, 2),解得m= 1,則拋物線方程為y2=-x;設拋物線為x2=ny,代入點P( -4, 2),解得n=- 8,則拋物線方程為x2=8y.(2)由題知直線l的方程為x=1,則直線與拋物線

11、的交點為（1 , 2 a 0）.又直線被拋物線截得的線段長為4,所以4=4,即a=1.所以拋物線的焦點坐標為（1,0）.國點評若拋物線的焦點位置不確定，應分焦點在x軸和y軸兩種情況求解，如本例（1）.教師備選例題點M（5,3）到拋物線y= ax2的準線的距離為 6,那么拋物線的標準方程是（）A.21x y12yB.x2=1y或x2=_y12y36yC.21x = -36yD.x2= 12y 或 x2= 36y將y = ax2化為x2= ；y.當a0時，準線y =,貝U 3T4a.當a0）,圓的方程為x2+y2 = r2.|AB=4 ,2, | DE=2 5拋物線的準線方程為x=-P，. .不妨

12、設Ap, 2m，D -p,南點 A：, 2 也 ,Dp, 小 在圓 x2+y2=r2 上,162+ 8 = r , p2p + 5，16 . p2，丁 + 8=4+5,，p= 4(負值舍去).赳典翅.C的焦點到準線的距離為4.1 .若雙曲線C： 2x2 y2=mm 0）與拋物線y2=16x的準線交于A, B兩點，且| AB =443,則m的值是20 y2=16x的準線l： x= 4,因為C與拋物線y2=16x的準線l： x=4交于A, B兩點，| AB設A在x軸上方,所以 A(4,24)，B(-4, 一2短)，將A點坐標代入雙曲線方程得2X( 4)2(23)2= m所以m= 20.2.已知拋物

13、線x2 = 2py(p0)的焦點為F,點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，若 FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為 .PM垂直于拋物線的準線，設2x2= 4y 由 FPM為等邊三角形，得| PM= | PF ,由拋物線的定義得2_ m P 一PP rn, 2p ,則點Mm 2 ,因為焦點F 0, 2 , 4FPM是等邊三角形，所以解得m12因此拋物線方程為x2=4y.P=2，。考點3直線與拋物線的綜合問題考向1直線與拋物線的交點問題 唳通法直線與拋物線交點問題的解題思路(1)求交點問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組.(2)與交點相關的問題通常借助根與系數的關系或用

14、向量法解決.愿典例(2017 全國卷I)設A, B為曲線C y=上兩點，A與B橫坐標之和為4.(1)求直線AB的斜率;(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線 AB平行，且 AML BM求直線 AB的方程.解(1)設 A(xi, yi) , Rx2, y2),22xix2.則 xiwx2, yi = 4，y2= 4, xi + x2=4,yi y2 xi + x2于是直線AB的斜率k=y- =x =1.xi x242x 一 , x(2)由 y=-,得 y =2.設M3, y3),由題設知=1,解得x3=2,于是M2,i)設直線AB的方程為y=x+m,故線段AB的中點為N(2,2 +m ,

15、 |MN=| m 1|.x22將 y = x+ m代入 y=Z得 x -4x-4m= 0.當 A = 16(m+1)0 ,即 m1 時，xi,2 = 221.從而 | AB =，2| xi X2| = 4y21 一.由題設知 | AB = 2| MN ,即 4d2 m 1 =2( mH 1),解得 m 7.所以直線AB的方程為y= x+7.E?點訐(1)對于拋物線x2=ay(aw0),直線與拋物線相切問題多用到導數的有關知識.(2)本例第(2)問中，找出隱含條件| AB =2| MN是解題的關鍵.者向2拋物線的焦點弦問題唳通法 解決拋物線的弦及弦中點問題的常用方法(1)有關直線與拋物線的弦長問

16、題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點， 可直接使用公式| AB =X1 + X2+p,若不過焦點，則必須用一般弦長公式.(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求” “整 體代入”等解法.Ies典例(2018 全國卷)提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.設拋物線 C: y2 = 4x的焦點為F,過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于 A, B 兩點，| AB =8.(1)求l的方程;(2)求過點A, B且與C的準線相切的圓的方程.解(1)由題意得F(1,0),l 的方程為 y=k(x1)( k0).設 A(x1, y1) ,

17、Rx2,y2) y= k x-1 , 由 y2 = 4x得 k2x2(2 k2+4) x+ k2=0. = 16k2+ 160,故.22k 4x1+ x2= -72- k4k2+ 4k22xo+ 1=y。一 x。+ 122- + 16.所以 | AB = | AF + | BF| = (x1 + 1) + (x2+ 1)=，什4k2+4一 r八人,由題設知 T2= 8,解得k= 1或k= 1(舍去).k因此l的方程為y=x1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=- (x- 3),即y=x+5.設所求圓的圓心坐標為(x。，y。)，則yc= xo+ 5,X

18、o= 3 ,Xo= 11 ,解得或yo= 2yo= 一 6.因此所求圓的方程為(x 3)2+( y2)2= 16 或(x 11)2+(y+6)2= 144.應點評(1)本例第(1)問中，X1 + X2是建立等式的紐帶.(2)本例第(2)問中，設出圓心坐標(X0, yo), 構造關于北,腳的方程組是關鍵.I理典題1.(2019 開封模擬)已知直線y=kx+t與圓x2+(y+1)2= 1相切且與拋物線 C： x2=4y 交于不同的兩點 M, N,則實數t的取值范圍是()A. ( 一 00, 一 3) U (0 , 十00)B.(巴-2) U (0 , +oo)C. ( -3,0)D. ( 2,0)

19、由直線與圓相切得， j = 1，即k2= t 2+ 2t , x/TTk2y = kx +1,22得 x -4kx-4t = 0.x =4y由題意知 =16k2+16t 0.即 12+ 3t 0,解得 t 0 或 t V 3.故選 A.2. (2018 全國卷I )設拋物線 C: y2=4x的焦點為F,過點(一2,0)一一，2 _、一且斜率為弓的直線與C交于M N3兩點，則FMFNf=()A. 5B. 6C. 7D. 82 -一，2 2, y= o x+2,_ 2D 法一：過點(一2,0)且斜率為不的直線的萬程為y = -(x+2),由 3得x5x3 32y = 4x,x = 1, x= 4,

20、一+ 4 = 0,解得x=1或x=4,所以或不妨設M1,2) , N(4,4),易知F(1,0),所以FMy= 2y= 4, =(0,2) , FNh (3,4),所以 FM FNf= 8.故選 D.2 -、， 、一2, 2,y=Q x+2 ，32法二：過點(一2,0)且斜率為w的直線的萬程為 y = -(x+2),由3得x -5x+43 32y =4x,=0,設 Mxi,y1),N(x2,y2),則 y10,y20,根據根與系數的關系，得xi +x2=5,xiX2=4.易知F(1,0),所以 FM= (Xi1, yi), FN=(X2 1, y2),所以 FM FN= (xi 1)( X2

21、1) + yiy2= X1X2 (xi + X2) + 1 +4XiX2 = 4-5+ 1 + 8=8.故選 D.3.已知拋物線y2=16x的焦點為F,過F作一條直線交拋物線于A, B兩點，若|AF=6,則| BF =、 ，一 . .p一.12 不妨設A（xb y）, B（X2, y2）（ A在B上方），根據焦半徑公式| AF = X1+= X1+ 4= 6,所以X1=2,十=4小，所以直線AB的斜率為k = 2 =-2 所以直線方程為 y=- 2（x-4）,與拋物線方 程聯立得 x2-10x+16=0,即（x2）（ x8） =0,所以 X2=8,故 | BF = 8 + 4= 12.課外素養

22、提升數學運算一一“設而不求”在解析幾何中的妙用（對應學生用書第160頁）1 .數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程，解析幾何正是利用數學運算解決幾何問題的一門科學.2 . “設而不求”是簡化運算的一種重要手段，它的精彩在于設而不求，化繁為簡.解題過程中，巧妙設點，避免解方程組，常見類型有： （1）靈活應用“點、線的幾何性質”解題；（2）根據題意，整體消參或整體代入等. J巧妙運用拋物線定義得出與根與系數關系的聯系，從而設而不求22【例1】（2019 泰安模擬）在平面直角坐標系 xOy中，雙曲線12-b2=1（a0, b0）的右支與焦點為F的拋物線 x2=2py（p

23、0）交于A, B兩點，若| AF + | BF = 4| OF ,則該雙曲線的漸近線方程為y=22x設 A(XA,yA),Rxb,yB),由拋物線定義可得|AF+|BF=yA+ p+yB+p = 4Xp?yA+ yB=P,可得 a2y2 2pb2y + a2b2= 0,x2= 2py所以yA+ yB= 當=p,解得a= J2b,故該雙曲線的漸近線方程為 y=乎x. a2評析根據拋物線的定義把| AF + | BF用A, B點的縱坐標表示，再把雙曲線方程和拋物線方程聯立得到A, B點縱坐標和的關系，然后進一步求解即可.【素養提升練習】1. （2019 懷化模擬）過拋物線y2=4x的焦點作兩條互相

24、垂直的弦AB CD則四邊形ACB畫積的最小值為（）C. 32D. 64C 焦點F的坐標為(1,0)，所以可設直線AB的方程為y=k(x1),代入y2 = 4x并整理得k2x2-(2 k2+ 4)x+ k2= 0,44所以 xi + x2= 2 + 1, | AB = xi + x2+2 = 4 + p.同理可得| CD =4+4k2.所以四邊形 ACBD勺面積i 4 k2+1S= 51ABi CDj22k.4=8.Jk8 k2+ 32,當且僅當 k=l時故選C.I奧錄機中點弦或對稱問題，可以利用“點差法”， “點差法”實質上是“設而不求”的一種方法【例2】(1) ABC的三個頂點都在拋物線E：

25、 y2=2x上，其中 A(2,2) , ABC勺重心G是拋物線 E的焦點，則BC所在直線白方程為.(2)拋物線E： y2=2x上存在兩點關于直線 y=k(x 2)對稱，則k的取值范圍是 x+y + 4=0 (2)( -a. 2, 2)(1)設 B(xb yi) , C(x2, y2),邊BC的中點為 Mx0, y0),易知X1 + X2+212xi + x21x0 = 一,24從而y0 =2又 yi = 2xi,y2= 2x2,兩式相減得(yi+y2)(yi y2)= 2(xi x2),則直線BC的斜率kBc=xi x2 yi+y2i rrh = - =1, 2y0 v。故直線BC的方程為y(

26、 i) = x + 4 ,即4x+4y+5=0.(2)當k=0時，顯然成立.yi y22當 kwo時，設兩對稱點為B(xi,yi) ,C(x2,y2) ,BC的中點為M(x。，y。)，由y2= 2xi,y2= 2x2,兩式相減得(yi +y2)( yi y2) = 2( xi x2),則直線 BC的斜率kBc=21xi-x2yi+y2與由對稱性知kBC=i2 一一口點M在直線y=k(x2)上，所以yo= k,yo=k(xo 2),所以xo= i.由點M在拋物線內，得y02x0,k即(一k)22,所以一心卜啦,且kw0.綜上，k的取值范圍為(一42,啦).評析(1)先求BC的中點坐標，再用點差法

27、求解.(2)分k=0和kwo兩種情況求解，當 k=0時，顯然成立，當 kwo時，用點差法求解.【素養提升練習】. 1 2.中心為(0,0), 一個焦點為F(0,5y2)的橢圓，截直線y=3X2所得弦中點的橫坐標為2,則該橢圓的方程是()22b.75 + 25= 12x2 2y2A. 75 + 25 = 122C.25+ 75= 1D.一 2 一 22x 2y25+ 7575C 由題意知c=5，2,設橢圓方程為a2-50+a2=1,消去V，整理y = 3x 222222 12 a2 50.得(10a -450)X 12(a -50)x+(4 -a)( a 50) = 0,由根與系數的關系得xdu

28、= 10a2_450 = 1,解口 2b j、e ,x2y2得a2= 75,所以橢圓方程為25+獲=1.求解直線與圓錐曲線的相關問題時，若兩條直線互相垂直或兩直線斜率有明確.J等量關系，可用“替代法”，“替代法”的實質是設而不求2y =2x,由，1y=k X-2 ,設 A(xb V1) , RX2,V2),則 X1 + X2= 1 +J.2【例3】 已知F為拋物線C： y =2X的焦點，過F作兩條互相垂直的直線 l 1, l2,直線l 1與C交于A, B兩點，直線12與C交于D, E兩點，則| AB + IDE的最小值為8 由題意知，直線11,12的斜率都存在且不為0, F 2, 0 ,不妨設11的斜率為k,則l 1： y= k X-2 ,1112： y= k x2 .k2消去 y 得 k2X2- ( k2+ 2)x+ = 0,由拋物線的定義知,| AB =X1 + X2+ 1 = 1 +