1、.創意平板折疊桌摘 要 本文圍繞著平板折疊桌的最優加工參數問題，設計了不同的模型和算法。主要利用幾何分析和空間向量運算，運用MATLAB軟件，模擬了折疊桌的動態變化過程，求解出了給定條件下的加工參數，并給出了桌腳邊緣線的數學描述。問題一，折疊桌的圓形桌面存在外截和內截兩種不同的截法。經計算得到：圓形桌面的最外側桌腿長度，因此排出外截法，并記錄了內截法下桌面內各木條的長度。分析了桌腿木條開槽產生的機理（見圖5），并由勾股定理求出了桌子在收納和展開兩種狀態下，鋼筋所處的位置（槽線縱坐標），得出了桌腿木條開槽長度等于兩個狀態下鋼筋的位置之差。利用MATLAB軟件求解出了桌腿長度、桌腿傾角、斜邊等各加

2、工參數（見表1）及桌腿末端點的空間坐標（見表2），模擬出了折疊桌的動態變化過程（見圖7，程序見附錄1）。問題二，從穩固性、加工方便、用材最少三個方面考慮。首先分析切割與和開槽的總費用，求出當其最小時，木條的最優寬度。然后對桌子受力分析得到：當桌腿水平方向總的合力為零時，折疊桌的穩固性最好。設比例系數為鋼筋位于在最外側桌腿處的長度與最外側桌腿長度之比，求解與各加工參數的關系。根據木板長度與的關系，求出當時，木板長度最小，木板尺寸為，此時桌子的耗材最少。最后利用MATLAB軟件模擬此桌子從平鋪狀態運動到穩定狀態的變化過程。問題三，在空間坐標系中，首先根據用戶要求，建立了最接近客戶所期望形狀的數學描

3、述模型，求出了任意尺寸平板的桌腿木條長度與平板長度和鋼筋到圓心距離的函數關系。根據空間三維向量的運算關系，推出了桌角邊緣線與鋼筋到桌面的距離和鋼筋到桌腿末端距離的參數方程，并以該參數方程為橋梁，在滿足客戶的要求前提下，以產品的穩固性、加工方便、用材最少為目的，求出平板折疊桌的尺寸。在該模型下，本文設計出了心形的折疊桌，并給出了10張動態變化示意圖。關鍵詞：折疊桌 最優加工參數 動態變化 桌腳邊緣線 開槽長度1、 問題重述某公司發明了一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩

4、根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度。建立數學模型討論以下問題：1. 假設給定長方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立模型模擬此折疊桌的動態變化過程，并給出此折疊桌的設計加工參數（例如，桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線的數學描述。2. 折疊桌的設計應做到產品穩固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優設計加工參數，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高70 cm

5、，桌面直徑80 cm的情形，確定最優設計加工參數。3. 建立數學模型，使得該模型可以根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優設計加工參數，使得生產的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。并根據所建立的模型設計幾個創意平板折疊桌。要求給出相應的設計加工參數，并畫出至少8張動態變化過程的示意圖。2、 問題分析2.1背景介紹折疊結構是近年來應用越來越廣泛的一種可展開結構形式。折疊結構具有位形的不確定性，它可以由一種緊密的收縮狀態逐步轉變為完全展開的結構體系1。從結構特性上，折疊結構可以分為柔性折疊結構和剛性折疊結構。對柔性折疊結

6、構的研究主要有程涵等人2，采用單元坐標空間轉換方法建立了降落傘直接折疊模型。本題的研究對象創意平板折疊桌是剛性折疊結構。解文靜等人3分析了在不同領域，按照不同標準可展結構的劃分，如從概念上將其分為折疊結構（foldable structure）、充氣結構及索膜結構(inflatable structure & cablemembrane structure)、張拉整體結構(tensegrity structure)及開合結構(retractable structure)四大類，而按展開機理又可以分為剪式單元結構，單元在彈簧或電機的驅動下伸長縮，可展材料在外力作用下展，及剛性板單元折疊重

7、合在節點的作用下展開或者剛性板單元旋轉展開（如可開合結構等）。折疊結構形形色色，種類繁多，但現階段應用最廣的是剪式結構，因此，對剪式可展結構的研究較多，如文獻45，而對可開合結構等的研究較少?？砷_合結構中，Rising Side Table是Rising系列的最新作品6。經過之前的設計實踐，這件作品更注重于表達木制品的優雅和設計師所想要強調的自動化與功能性。分析折疊桌的加工參數可以為設計師提供最優加工方案。2.2問題分析本題是分析創意平板折疊桌加工參數問題，問題一至問題三，是由特殊到一般的過程。問題一是針對給定長方形平板尺寸及桌子高度等信息情況下，模擬折疊桌的動態變化過程，并給出加工參數。首先

8、，圓形桌面的截法分為外截和內截兩種，不同的截法，得到的加工參數不同，因此，可以根據截取的約束條件，選出正確的桌面截取方案。桌子有兩個極端狀態，收納狀態（初始水平狀態）和展開狀態（穩定狀態），桌腿木條開槽長度應為兩個狀態下鋼筋的位置之差。然后，根據各桌腿長度與傾角可以求出桌腿末端點的空間坐標。利用MATLAB軟件求解出桌腿長度、桌腿傾角、斜邊等各加工參數，并可以模擬出桌子的動態變化過程。問題二是對任意給定的折疊桌高度和圓形桌面的直徑，分析最優設計加工參數?？梢詮淖雷拥姆€固性和加工費用兩方面考慮。由于加工費用主要由切割費用和開槽費用組成，因此，先將總加工成本分解為切割費用與開槽費用之和，再分析取得

9、最低成本情況；對桌子受力分析，可以得到最優穩定狀態條件。在最低成本和最優穩定狀態基礎之上，得到的加工參數即為最優加工參數。問題三是建立模型，可以根據顧客要求確定加工參數。在空間坐標系中，由轉動中心的坐標可以表示桌腿木條的長度。通過空間三維的向量運算關系可以推出桌角邊緣線的參數方程。根據參數方程，對客戶任意設定的折疊桌高度、桌腳邊緣線的形狀等要求，可以求解出最優加工參數。3、 模型假設1.假設平板折疊桌都是用木制的，除了鋼筋之外；2.假設木制各處都是均勻的；3.假設加工完美，使得各個桌腿木條都是直線，不存在彎曲的情況；4.假設鋼筋的韌性良好；5.在計算最優木條寬度時，假設木條的最佳寬度為：6.假

10、設木條之間的接縫很小，相對于木板的寬度可以忽略，且加工過程中木條寬度也不減??；7.假設木條間、木條與鋼筋間、木條與桌面之間接觸面光滑，或摩擦力可以忽略不計，使木條能自由移動。4、 模型建立與求解折疊結構是近年來應用越來越廣泛的一種可展開結構形式。折疊結構具有位形的不確定性，它可以由一種緊密的收縮狀態逐步轉變為完全展開的結構體系1。為了合理使用材料，增大有效使用面積，有必要對折疊桌的加工參數進行分析，并對其變化過程進行計算機仿真模擬，建立數學模型，以便更好地進行折疊桌設計，從而為創意平板折疊桌設計提供更好的辦法。4.1問題一的模型建立4.1.1模型準備1.桌面的兩種截法平板折疊桌的圓形桌面是從矩

11、形木板上截取而得的，據分析可知，圓形桌面有外截和內截兩種不同的截法，如下圖1和圖2所示。圖1：圓形桌面外截示意圖（） （）圖2：圓形桌面內截示意圖將木條按由左到右的順序，從1到20進行編號，該編號也是桌腿的編號（一組桌腿），圖1和圖2中的點O是圓形桌面的圓心。如上圖1所示，外截法的圓形桌面與木條1和20是相切的。左邊：設桌面與木條2的兩個交點分別為、C，分別過、C點作木條1的垂線，則該垂線即為1號木條的截痕，即桌面與桌腿1鉸鏈的位置，依次過桌面與木條3的交點作木條2的垂線，直至第10號木板，各個垂線即為木條的截痕。右邊從20號木條依次向左直至10號木條，即分別從左右兩邊進行。圖2中，2(b)是

12、2(a)中圓形桌面與矩形相交處的放大圖。內截法的圓形桌面與木條同樣有兩個不同交點、，分別過、兩點作木條的垂線，該垂線就是1號木條的截痕，即為內截法的桌面與桌腿1鉸鏈的位置，同理，分別過木條2與桌面的兩個交點作木條3的垂線，該垂線即為桌面與桌腿2鉸鏈的位置，依次截到第10號木條為止。同理，20號木條向左截，直至10號木條為止。 2.方案選取為了判斷兩種不同圓桌面截法的正確性，本文根據已知條件，設定了桌面截取的約束條件：已知折疊后桌子的高度為53cm，長方形平板的厚度為3cm。因此，長方形平板完全展開成折疊桌后的實際高度應為，而最外側的桌腿即1號（或20號）桌腿的長度應滿足不等式條件：。（1）外截

13、法（圖1）：圓桌面的半徑等于長方形寬的一半，即，圓心O到第一根木條的距離等于圓半徑減去木條的寬，即，則在直角三角形中，由勾股定理得：則大小為長方形平板長的一半減去的值，即這說明，外截法中最外側桌腿即桌腿1（或桌腿20）的長度比折疊桌的高度小，不滿足圓形桌面截法的約束條件。因此，外截法不合理，不予考慮。（2）內截法（如圖2所示）：由于桌面圓心到矩形各邊的距離（如）相等，且等于矩形寬的一半（25cm），即；與相等等于圓桌面的半徑（設為），即。則在直角三角形中：則，同時的值即為一根木條的寬，即可得出。因此，內截法中桌腿1的長度是長方形平板長度的一半減去木條1在圓形桌面內長度的一半（即AB的長），即。

14、可得出，內截法滿足圓形桌面截法的約束條件，即該方法是合理的。同時，我們記錄了內截法下，圓形桌面內各木條的長度，如下圖3所示：圖3：桌面木條長度示意圖在直角三角形中，由勾股定理得：即圓形桌面的半徑為。可推出，與對稱，計算公式相同，同理可得到另一組的值。則由勾股定理可得圓形桌面木條的長度計算公式：4.1.2桌腿木條開槽的長度1.桌腿開槽產生機理由文獻4可知，進行折疊桌分析時一般需要考慮兩個方面的因素：首先應分析折疊桌從收納到展開的全過程，另一方面就是要研究折疊桌在展開后承受荷載時的受力情況。本題先研究折疊桌從收納狀態（水平狀態）到展開的全過程，該過程是一個動態變化過程。長方形平板展開成折疊桌的動態

15、變化過程中，各個桌腿是以桌腿與桌面鉸鏈處為轉動中心旋轉的，如下圖4所示：圖4：桌腿轉動中心示意圖在圖4中，紅色線部分即為各桌腿與桌面鉸鏈的位置，點A、點B即為桌腿1（20）和桌腿2（19）的轉動中心,點D是鋼筋所在位置。桌腿在轉動的過程中要求桌腿木條有空槽，以保證鋼筋滑動的自由度，原理如圖5所示。圖5：桌腿木條開槽產生機理示意圖上圖是折疊桌在某轉動時刻，最外側比鄰的兩根木條（即1、2號木條或20、19號木條）空間狀態投影到木條1所在平面的平面圖（側面）。其中：是桌腿1（20）的轉動軸，是桌腿2（19）從鋼筋位置到其轉動中心的距離在該平面（桌腿1所在平面）的投影，為的運動軌跡。當（桌腿1或20）

16、轉動到位置時，（桌腿2或19）運動到位置，則桌腿2（19）的點變化到點。在此變化過程中，鋼筋在桌腿2（19）上的位置由點轉移到點。要保證桌腿1（20）和桌腿2（19）能同時從點轉動到點，則必須要使桌腿2（19）上的開槽長度至少為。2.桌腿木條開槽長度長方形平板處于在水平面（即桌子處于收納狀態），鋼筋位于最外側木條（即1（20）號木條）的中點位置，同時也應位于所有木條的中點位置。當桌腿開始移動時，鋼筋在桌腿空槽范圍內移動。圖6是折疊桌處于展開（穩定）狀態的平面投影圖，取水平面為平面直角坐標系，以最外側木條（即1號/20號木條）在圓形桌面內的中點為原點O（以1（20）號和2（19）號桌腿為例）。圖

17、6：開槽位置求解示意圖在圖中：是原點O到桌面邊緣上1（20）號木條（最外側木條）的距離，即圓形桌面內木條1（20）長度的一半，即；是原點O到桌面邊緣上2（19）號木條的距離，即圓形桌面內木條2（19）長度的一半，即，點是鋼筋所在位置。則，是鋼筋到水平面的距離，等于桌子高度的一半，即；是最外側桌腿（1號/20號桌腿）上鋼筋距離其轉動中心的長度，等于1（20）號桌腿長度的一半，即。由于鋼筋固定在最外側木條的點D處，因此，桌子處于收納狀態時，鋼筋的位置（槽線始端縱坐標）為：，桌子處于展開狀態（圖6）時，鋼筋的位置（槽線末端縱坐標）為：在直角三角形中，由勾股定理得：同理，在直角三角形中，由勾股定理得：

18、因此，鋼筋可移動范圍（即滑動的自由度），就是鋼筋展開狀態時的位置與收納狀態的位置之差，即桌腿木條開槽長度應為：。其他桌腿木條的開槽長度同理可得。然后根據各桌腿長度與傾角可以求出桌腿末端點的空間坐標。本文采用MATLAB軟件進行求解，同時模擬出了折疊桌的動態變化過程如下圖7所示（程序見附錄1），加工參數結果見下表1。(a)：運動中 (b)：穩定后圖7：折疊桌動態變化過程示意圖上圖中，7（a）是折疊桌在運動中的形狀，7(b)是折疊桌穩定后的形狀，紅色弧線所在平面時折疊桌在水平方向的投影。表1：加工參數表木條編號123456789101/2桌面木條長度/cm2.50 11.18 15.21 18.0

19、3 20.16 21.79 23.05 23.98 24.62 25.00 桌腿長度/cm57.50 48.82 44.79 41.97 39.84 38.21 36.95 36.02 35.38 35.00 桌腿傾角/rad1.05 1.35 1.51 1.62 1.71 1.77 1.82 1.85 1.88 1.89 斜邊/cm28.75 25.60 25.04 25.04 25.24 25.51 25.79 26.04 26.23 26.34 槽線始端縱坐標/cm31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 槽線

20、末端縱坐標/cm31.25 36.78 40.25 43.06 45.39 47.31 48.84 50.02 50.85 51.34 開槽長度/cm0.00 5.53 9.00 11.81 14.14 16.06 17.59 18.77 19.60 20.09 其中，斜邊是展開狀態下，桌腿上鋼筋位置到其轉動中心的距離。上表1是左（右）半邊木板的加工參數，右（左）半邊的加工參數由對稱性質可得。3.桌腿邊緣線在用MATLAB軟件求解加工參數，并模擬的過程中，我們記錄了基于各桌腿長度與傾角求出的桌腿末端點的空間坐標，1到10號桌腿空間坐標結果如下表2所示（詳見附錄2）。表2：1到10號桌腿邊緣線的

21、坐標描述桌腿編號12345678910X軸坐標-25-22.5-20-17.5-15-12.5-10-7.5-5-2.5Y軸坐標30.89 21.70 17.87 15.80 14.70 14.16 13.95 13.91 13.93 13.97 Z軸坐標50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 4.2問題二的模型建立4.2.1折疊桌設計方案的成本分析設長方形平板的尺寸為（單位：cm），其中。圖8：長方形平板示意圖假設平板被切割成根木條（即有根桌腿）。則需要切割次，切割的總長度為，每根木條的寬為。設每切割的費用為。隨

22、著逐漸增大，開槽的成本也在逐漸增大，且增加的速度很快。因此，設開槽的總費用為：，其中為任意常數。則折疊桌加工的總成本為：其中：為常數，為自變量，是因變量。即隨變動而變動。等式兩邊同時對求導得到，取其為0，即得到，由導數性質可知此時的加工總成本最低。則每根木條的寬為：，即每根木條的寬為常數。假設最合適的木條寬度為。因此，對于任意給定圓形桌面直徑，和最合適的木條寬度，按照問題一中的內截法切割桌腿，可以唯一確定桌腿切割的長度。4.2.2折疊桌設計方案的受力分析據分析，要使折疊桌的穩固性好，則必須要使桌腿水平方向總的合力為零。若水平方向桌腿總的合力向外，則折疊桌會外滑；若水平方向桌腿總的合力向內，則桌

23、腿的荷載過大，導致桌腿斷裂。因此，水平方向桌腿總的合力向外是最優狀態。設最外側桌腿的長度為（單位：cm），鋼筋在最外側桌腿固定處到該桌腿轉動中心的長度為（單位：cm），如圖9所示，定義。圖9：桌腿在平面的投影示意圖圖9是桌子處于展開狀態，桌腿水平方向總的合力為零時各桌腿在最外側桌腿平面的投影側視圖。桌子實際高度，為鋼筋到水平面的距離，設，為最外側桌腿的傾角。為第根木條的橫坐標（以圓形桌面圓心為原點）。設點的橫坐標為。由桌腿水平方向總的合力為零可得：利用MATLAB軟件進行求解得到任意值對應的值，如下圖10所示（程序詳見附錄3）。圖10：值與值的關系曲線圖4.2.3加工參數確定由于任意一個均可對

24、應唯一的值，根據問題一的模型，可以得到任意一個對應的加工參數。利用MATLAB軟件求解得到以下兩組關系（見圖11）（程序詳見附錄3）：. 任意一個對應的長方形平板長度的一半；. 任意一個對應的處于正中間位置桌腿槽線末端的縱坐標。圖11：與和的關系示意圖其中：橫坐標為，是長方形平板長度的一半，是正中間位置桌腿槽線末端的縱坐標。由于，因此，即的取值范圍為：。當時，折疊桌的穩固性最好、加工最方便同時用材最少，且此狀態下，桌子的動態變化如圖12所示（詳見附錄3），最優加工參數見表3。 (a) (b)圖12：最優狀態桌子的動態示意圖上圖是折疊桌的穩固性最好、加工最方便同時用材最少最優狀態下，桌子的動態變

25、化過程，(a)在先，(b)在后。此時木板的尺寸為：。表3：時的加工參數編號12345678桌面木板半長度2.50 14.14 19.53 23.45 26.58 29.15 31.32 33.17 開槽線始端55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 開槽線末端55.67 61.41 64.82 67.67 70.17 72.40 74.39 76.17 開槽線長度0.00 5.74 9.16 12.01 14.51 16.74 18.73 20.50 編號910111213141516桌面木板半長度34.73 36.06 37.17 38.

26、08 38.81 39.37 39.76 40.00 開槽線始端55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 開槽線末端77.74 79.12 80.30 81.29 82.11 82.73 83.18 83.45 開槽線長度22.08 23.45 24.63 25.63 26.44 27.07 27.52 27.78 4.3問題三的模型建立4.3.1坐標系的建立建立一個三維坐標系，如下圖13所示。圖13：空間三維坐標圖4.3.2桌腿木條的長度設長方形平板的的尺寸的（單位：cm），設折疊桌的桌面的邊緣線對應的函數為：。則第根桌腿的轉動中心的坐標

27、表示為：其中代表桌腿木條的條數，則，代表地第條桌腿，是桌面圓的半徑，單位：cm，是木條的寬度單位：cm。則第根桌腿木條的長度為：例如當滿足時，其中。則第根桌腿的轉動中心的坐標為：則第根桌腿木條的長度為：4.3.3 桌角邊緣線的參數方程表示圖14：某轉動時刻最外側桌腿側視圖假設鋼筋固定在最外側桌腿（1（20）號桌腿）的位置是圖14所示的點，其中是桌腿木條與桌子邊緣的交點，即桌腿的轉動中心，是桌腿的另外一個端點，是鋼筋在最外側桌腿（1（20）號桌腿）位置到轉動中心的距離。由于鋼筋是固定在1號（20號）桌腿上的，因此，在轉動過程中，是一個常數。設，當1（20）號桌腿長度確定以后，該比列就是恒定的。當

28、桌子處于展開狀態時，桌面高度為，減去桌子的厚度后才為桌子的實際高度（）。作最外側桌腿木條與實際桌高構成幾何圖形（見圖15）。圖15：展開狀態下最外側桌腿木條示意圖設鋼筋旋轉全過程（桌子由收納狀態到展開狀態）的角度為，則的旋轉角度范圍為：。 轉動過程中外側比鄰桌腿木條投影在1號（20號）桌腿所在平面的狀態如圖16所示。圖16：外側桌腿木條投影在1號桌腿平面的側視圖可知，當鋼筋的軸線旋轉角度大小時，鋼筋的空間曲線可以表示為：圖中各個點之間的距離為：圖中向量之間的關系表示為：且有：再者：則可得到：因此得出：進而可得到桌角邊緣線的參數方程為：其中：為第根桌腿木條的長度，且4.3.4圖形的設計以上述參數

29、方程為橋梁，在問題一模型基礎上，可以根據客戶的要求求出最優加工參數，流程圖如下。圖17：圖形設計流程圖在該模型下，本文設計出了心形平板折疊桌，并模擬出它的動態變化示意圖（以view(-9,32)視角觀察，以視角view(145,16)觀察的圖詳見附錄），如圖18所示（程序見附錄4）。 圖18：心形折疊桌的動態變化示意圖5、 模型評價1.分析了桌腿開槽產生機理和折疊桌的圓形桌面存在的外截和內截兩種不同截法，并選取了最優方案；2.解出了桌角邊緣線的參數方程，定量地描述了桌角邊緣線；3.得出了穩固性、加工方便、用材最少時，木板尺寸大小，以及常數的變化范圍；4. 建立了最接近客戶所期望形狀的數學描述模

30、型；5. 在滿足客戶的要求前提下，以產品的穩固性、加工方便、用材最少為目的，求出平板折疊桌的尺寸。6. 模型缺點是，使用范圍需要有良好的幾何外觀（如，對稱、比列關系）。參考文獻1 趙洪斌,吳知豐,謝禮立等.SVD方法在折疊結構分析中的應用J.工程力學,2006,23(3):11-16.DOI:10.3969/j.issn.1000-4750.2006.03.003.2 程涵,余莉,張鑫華等.基于IMM修正的降落傘折疊建模方法J.計算機輔助設計與圖形學學報,2013,25(5):751-757.DOI:10.3969/j.issn.1003-9775.2013.05.021.3 解文靜,陸帥,邢

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32、r*sin(jiao);zy=r*cos(jiao);plot(zx,zy)hold on% 計算小木棍長度d=;for i=1:10 D=sqrt(r2-(2.5*i)2); d=d,D;end % 畫小木棍xx=0:2.5:25;X=xx(1:10);xx(2:11);Y=d;d;X=X,X;Y=Y,-Y;X=X,-X;Y=Y,Y;plot(X,Y,'b')axis(-60 60 -60 60 -60 30)view(61,25)% 畫長木條xx=-25:2.5:25;yy=60*ones(1,21);xx=xx;xx;yy=yy;-yy;plot(xx,yy,'b

33、')d=d(10:-1:1);%長度J=;for h=1:25l=(y-2*d(1)/2/2;L=sqrt(l2-h2);jiao1=asin(h/l);%第一個角度jiao=jiao1; %記錄角度xieb=l; %記錄短腿的長度for i=1:9 cz=d(i+1)-d(1); xie=sqrt(h2+(L-cz)2); xieb=xieb,xie; %記錄桌角到鋼條的距離 jo=acos(L-cz)/xie); if jo<jiao(length(jiao) jo=pi-jo;%因為角度一直增大到大于90，arcsin小于90故為其余角 end jiao=jiao,jo;e

34、ndhuxian=xieb+d;%開槽線末端% 開槽線plot(-25,-25;25,25,31.25,-31.25;31.25,-31.25,'r')xx=-25:2.5:0;yy=huxian;xx=xx(1:10);xx(2:11);yy=yy;yy;xx=xx,xx;yy=yy,-yy;xx=xx,-xx;yy=yy,yy;plot(xx,yy,'r')% 畫桌腿tui=y/2-d;xbian=-25:2.5:-2.5;ybian=d;zbian=xbian*0;xtui=xbian;ytui=ybian+tui.*cos(jiao);ztui=tui.

35、*sin(jiao);% figureX=xtui;xbian;Y=ytui;ybian;Z=ztui;zbian;X=X,X;Y=Y,-Y;Z=Z,Z;X=X,-X;Y=Y,Y;Z=Z,Z;h=plot3(X,Y,-Z);pause(0.01)delete(h)J=J,sum(cos(jiao);endh=plot3(X,Y,-Z);figureplot(1:length(J),J)附錄二、桌腳邊緣線空間坐標X坐標：-25.0 -22.5 -20.0 -17.5 -15.0 -12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 -25.0 -22.5 -20.0 -17.5 -15.0 -1

36、2.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 25.0 22.5 20.0 17.5 15.0 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 25.0 22.5 20.0 17.5 15.0 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 Y30.9 21.7 17.9 15.8 14.7 14.2 13.9 13.9 13.9 14.0 -30.9 -21.7 -17.9 -15.8 -14.7 -14.2 -13.9 -13.9 -13.9 -14.0 30.9 21.7 17.9 15.8 14.7 14.2 13.9 13.9 13.9 14.0 -30.9 -21.7 -17.9 -1

37、5.8 -14.7 -14.2 -13.9 -13.9 -13.9 -14.0 Z50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 附錄三、用材最少桌子動態變化示意圖及程

38、序實現clc,clear,H=70;H=H-3;kuan=80;n=kuan/2.5/2;r=sqrt(kuan/2)2+2.52);% 計算小木棍長度d=;for i=1:n D=sqrt(r2-(2.5*i)2); d=d,D;end%d=d(length(d):-1:1);x0=d;Y=;X=;K=;M=0.1;for k=0:0.05:1 h=H*k; xx=;yy=;kk=; for x=x0(1):0.05:x0(length(x0) y=0; for i=1:length(x0) y=y+(x-x0(i)*h/(h2+(x-x0(i)2);%sinO*cosO end if y&

39、lt;M & y>-M yy=yy,y; xx=xx,x; kk=kk,k; end xx=min(abs(xx);yy=min(abs(yy);kk=min(abs(kk); end X=X,xx;Y=Y,yy;K=K,kk;end%ZH=;CH=;CH3=;CH4=;for i=1:length(K) h=K(i)*H; zhou=sqrt(X(i)-2.5)2+h2);% chang=zhou/K(i)+2.5; CH2=; for j=1:n chang2=d(j)+sqrt(h2+(d(j)-X(i)2); CH2=CH2,chang2;%每個木棍截線最大值 end C

40、H4=CH4,CH2(n);%最中間板截線最大值 ZH=ZH,zhou;%最外面木棍（第一根）軸的長度 CH=CH,chang;%桌腿受力最小時長方形長的一半 CH3=CH3,sum(CH2)-CH2(1)*n;%每個k對應的總截線長endplot(K,CH);%桌腿受力最小時長方形長的一半hold onaxis(0 1,0,400)plot(K,ZH,'g')%最外面木棍（第一根）軸的長度 plot(K,CH3,'r');%每個k對應的總截線長plot(K,CH4,'k');%最中間板截線最大值% K的范圍 bibi=0,K(find(CH4-

41、CH=min(abs(CH4-CH);% 畫當k=0.65的圖k=bi(2);CH=CH(k/0.05);X=X(k/0.05);% 畫圓figurejiao=0:0.01:2*pi;zx=r*sin(jiao);zy=r*cos(jiao);plot(zx,zy)view(58,20)hold onaxis(-CH CH -CH CH -CH CH)% 畫小木棍xx=0:2.5:kuan/2;X=xx(1:n);xx(2:n+1);Y=d(length(d):-1:1);d(length(d):-1:1);X=X,X;Y=Y,-Y;X=X,-X;Y=Y,Y;plot(X,Y,'b&#

42、39;)% 畫長木條xx=-kuan/2:2.5:kuan/2;yy=CH*ones(1,n*2+1);xx=xx;xx;yy=yy;-yy;plot(xx,yy,'b')% 求參數for h=1:H*kl=(CH-d(1)*k;L=sqrt(l2-h2);jiao1=asin(h/l);%第一個角度jiao=jiao1; %記錄角度xieb=l; %記錄短腿的長度for i=1:n-1 cz=d(i+1)-d(1); xie=sqrt(h2+(L-cz)2); xieb=xieb,xie; %記錄桌角到鋼條的距離 jo=acos(L-cz)/xie); if jo<ji

43、ao(length(jiao) jo=pi-jo;%因為角度一直增大到大于90，arcsin小于90故為其余角 end jiao=jiao,jo;endhuxian=xieb+d;%開槽線末端% 開槽線plot(-kuan/2,-kuan/2;kuan/2,kuan/2,huxian(1),-huxian(1);huxian(1),-huxian(1),'r')xx=-kuan/2:2.5:0;yy=huxian;xx=xx(1:n);xx(2:n+1);yy=yy;yy;xx=xx,xx;yy=yy,-yy;xx=xx,-xx;yy=yy,yy;plot(xx,yy,'

44、;r')% 畫桌腿tui=CH-d;xbian=-kuan/2:2.5:-2.5;ybian=d;zbian=xbian*0;xtui=xbian;ytui=ybian+tui.*cos(jiao);ztui=tui.*sin(jiao);X=xtui;xbian;Y=ytui;ybian;Z=ztui;zbian;X=X,X;Y=Y,-Y;Z=Z,Z;X=X,-X;Y=Y,Y;Z=Z,Z;h=plot3(X,Y,-Z);pause(0.01)delete(h)endh=plot3(X,Y,-Z);附錄四、心形桌面的動態變化過程示意圖clc;clear;hight=70;%可以改變，桌

45、子要求高70cm%a,b,c,可以改變，為長方形木板的尺寸a=180;%可以確定腿長b=80;%直接用桌面直徑，求得半徑r;c=3;%可以設置為0？%計算參變量；r=b/2;%半徑，與寬有關；N=32;%腿數量，直接假設的，此處與w還有b寬有關？；w=b/N;%腳寬h=70;%桌子的高度%已知桌面邊緣性的形狀（方程x=f(y)），求卓邊緣與腿的接觸位置y0=(-r+w/2):w:(r-w/2);y0=y0'%根據r（b/2），w求y0x0=sqrt(r2-y0.2);%此處是已經確定卓邊緣方程z0=zeros(1,N);z0=z0'y00=(-r+w/2):w:0;x00=sq

46、rt(b/4)2-(y00+b/4).2);y01=y00,y00+b/2; y01=y01'x01=x00,x00;x01=x01'z01=z0;% %此時已經確定了桌面的空間構造了；L=a/2-x0;%各條腿的長度；L1=a/2-x01;k=1/2;%k是相對外腿(第一根腿的長度)的位置,01;R=k*L(1);%L(1)最長腿的長度，k是相對外腿的位置；R為鋼筋的旋轉的半徑R1=k*L1(1);%求最終的傾斜角batal=-asin(h-c)/L(1);%取負號的原因：是因為向z軸的負向旋轉batal1=-asin(h-c)/L1(1);%求鋼筋各點的空間位置%注：鋼筋的

47、旋轉軸不是y軸x1=R*cos(batal)+(a/2-L(1);%坐標變換好，后面的就都不需要再換了x1=x1*ones(N,1);y1=y0;z1=R*sin(batal);z1=z1*ones(N,1);x11=R1*cos(batal1)+(a/2-L1(1);%坐標變換好，后面的就都不需要再換了x11=x11*ones(N,1);y11=y0;z11=R*sin(batal1);z11=z11*ones(N,1);for theata=linspace(0,batal,10)figurehold onplot3(x0,y0,z0,'b','linewidth&

48、#39;,4);%畫x軸正半部分的桌邊圖形plot3(-x01,y01,z01,'b','linewidth',4);%畫x軸正半部分的桌邊圖形% plot3(-x0,y0,z0,'b','linewidth',4);%畫x軸負半部分的桌邊圖形plot3(-x01(1) x0(1),. y01(1) y0(1),. z01(1) z0(1),. 'b','linewidth',4);%連接卓邊緣直線部分plot3(-x01(end) x0(end),. y01(end) y0(end),. z01(

49、end) z0(end),. 'b','linewidth',4); axis(-a/2 a/2 -a/2 a/2 -(h+1) 1);%控制坐標軸xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');% view(-9,32);view(145,16); if theata>batal1 x11=R*cos(theata)+(a/2-L(1);x11=x11*ones(N,1); y11=y0; z11=R*sin(theata);z11=z11*ones(N,1); endlength1

50、1=sqrt(x11-x01).2+(y11-y01).2+(z11-z01).2);%對應點上的鋼筋與卓邊界對應點的距離； endlength21=L1-endlength11;%鋼筋到桌腿端點的距離; %根據向量運算得到端點腿的坐標； x21=(endlength21./endlength11+1).*x11-(endlength21./endlength11).*x01; y21=(endlength21./endlength11+1).*y11-(endlength21./endlength11).*y01; z21=(endlength21./endlength11+1).*z11-

51、(endlength21./endlength11).*z01; xx=x01,x21;xx=xx' yy=y01,y21;yy=yy' zz=z01,z21;zz=zz' h5=plot3(-x11(1) x11(end),y11(1) y11(end),z11(1) z11(end),. 'r','linewidth',3); h6=plot3(-xx,yy,zz,'linewidth',2); end x1=R*cos(theata)+(a/2-L(1);x1=x1*ones(N,1); y1=y0; z1=R*sin(theata);z1=z1*ones(N,1); endlength1=sqrt(x1-x0).2+(y1-y0).2+(z1-z0).2);%對應點上的鋼筋與卓邊界對應點的距離； endlength2=L-endlength1;%鋼筋到桌腿端點的距離; %根據向量運算得到端點腿的坐標； x2=(endlength2./endlength1+1).*x1-(endlength2./endlength1).*x0; y2=(endlength2./endlength1+1).*y1-(endlength2./endlength1).*y0; z2=(endlength2./endlen