1、導數在導數在實際生活中的應用實際生活中的應用新課引入新課引入: : 導數在實際生活中有著廣泛的應導數在實際生活中有著廣泛的應用用, ,利用導數求最值的方法利用導數求最值的方法, ,可以求出可以求出實際生活中的某些最值問題實際生活中的某些最值問題. .1.1.幾何方面的應用幾何方面的應用2.2.物理方面的應用物理方面的應用. .3.3.經濟學方面的應用經濟學方面的應用 ( (利潤方面最值利潤方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) )(面積和體積等的最值面積和體積等的最值)例例1 1：在邊長為在邊長為60 cm60 cm的正方形鐵片的的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊四角切

2、去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起沿虛線折起( (如圖如圖) )，做成一個無蓋的，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？底的容積最大？最大容積是多少？xx6060 xx由題意可知，當由題意可知，當x x過?。ń咏^?。ń咏? 0）或過大（接近）或過大（接近6060）時）時，箱子容積很小，因此，箱子容積很小，因此，1600016000是最大值。是最大值。答：當答：當x=40cmx=40cm時，箱子容積最大，最大容積是時，箱子容積最大，最大容積是16 16 000cm000cm3 323( )602xV xx 解：設箱底邊長為

3、解：設箱底邊長為x xcmcm，則箱高，則箱高 cmcm， 得箱子容積得箱子容積602xh(060)x23260( )2xxV xx h令令 ，解得，解得 x=0 x=0（舍去），（舍去），x=40 x=40，23( )6002xV xx并求得并求得V(40)=16000V(40)=16000解：設圓柱的高為解：設圓柱的高為h h，底半徑為，底半徑為R R，則表面積則表面積例例2 2：圓柱形金屬飲料罐的容積一定圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底半徑應怎樣選取，才時，它的高與底半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最??？能使所用的材料最省？2VhRS=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=R

4、V=R2 2h h，得，得 ，則，則2222( )222VVS RRRRRR22( )40VS RRR 令令32VR解得，解得， ，從而，從而答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省3322342()2VVVVhRV即即h=2Rh=2R因為因為S(R)S(R)只有一個極值，所以它是最小值只有一個極值，所以它是最小值變式變式1：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值定值S時，它的高與底面半徑應怎樣選時，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最??？取，才能使所用材料最?。坷? 3 在如圖所示的電路中，已在如圖所示的電路中，已知電源

5、的內阻為知電源的內阻為r r，電動勢為，電動勢為，外電阻外電阻R R為多大時，才能使電功為多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？率最大？最大電功率是多少？Rr 例例4.4.強度分別為強度分別為a,ba,b的兩個光源的兩個光源A,B,A,B,他們間他們間的距離為的距離為d d，試問：在連接這兩個光源的線，試問：在連接這兩個光源的線段段ABAB上，何處照度最??？試就上，何處照度最??？試就a=8,b=1,d=3a=8,b=1,d=3時回答上述問題（照度與光的強度成正比，時回答上述問題（照度與光的強度成正比，與光源距離的平方成反比）與光源距離的平方成反比）變式變式2埃及金字塔氣勢宏偉號稱世界七大

6、奇跡之埃及金字塔氣勢宏偉號稱世界七大奇跡之一一, ,修金字塔時需大量的方石，在運方石時修金字塔時需大量的方石，在運方石時遇到一個問題，若一塊方石其重為遇到一個問題，若一塊方石其重為P P牛頓，牛頓，設此方石與地面之間摩擦系數為設此方石與地面之間摩擦系數為，用外力，用外力F F拉方石使之移動，問此力與水平方向的夾拉方石使之移動，問此力與水平方向的夾角角為多少時，最省力為多少時，最省力, , 你能做到嗎你能做到嗎? ?試一試一試試. .FFPNfFPNf( )(0)12sincosPF 解：2)cos1(sin)sin1(cosPF:tan答時最省力。 。例例5、在經濟學中，生產、在經濟學中，生產

7、x單位產品的成本稱單位產品的成本稱為成本函數同，記為為成本函數同，記為C(x)，出售，出售x單位產品單位產品的收益稱為收益函數，記為的收益稱為收益函數，記為R(x)，R(x)C(x)稱為利潤函數，記為稱為利潤函數，記為P(x)。（1）、如果）、如果C(x)，那么生產多少，那么生產多少單位產品時，邊際最低？單位產品時，邊際最低？(邊際成本：邊際成本：生產規模增加一個單位時成本的增加量生產規模增加一個單位時成本的增加量)（2）、如果）、如果C(x)=50 x10000，產品的單，產品的單價價P1000.01x，那么怎樣定價，可使利，那么怎樣定價，可使利潤最大？潤最大？(0100)q變式變式3 3：已知某商品生產成本已知某商品生產成本C C與產量與產量q q的函的函數關系式為數關系式為C C=100+4=100+4q q，價格，價格p p與產量與產量q q的函的函數關系式為數關系式為 求產量求產量q q為何值時，為何值時，利潤利潤L L最大？最大？1258pq分析：利潤分析：利潤L L等于收入等于收入R R減去成本減去成本C C，而收入，而收入R R等于產量等于產量乘價格由此可得出利潤乘價格由此可得出利潤L L與產量與產量q q的函數關系式，再的函數關系式，再用導數求最大利潤用導數求最大利潤211252588