1、關于電梯系統優化問題的數學模型摘要在高層商務樓里，電梯承擔著將人和貨物運送到各個樓層的任務。在當今社會，工作 生活節奏愈發加快，因而電梯系統的運行效率對人們的生活的影響不可忽視。目前的高層 商務樓等大多數高層建筑中，一般都使用單井道單轎廂或者單井道雙轎廂兩種模式的電梯， 本文就結合這兩種模式，根據實際情況將問題分為兩種情況考慮，重點討論了將電梯運行 效率最大化的方法，建立了相關模型，并給出了相應的優化參數。本文將電梯系統的優化分為高峰期和非高峰期兩種時期進行討論。高峰期時通過對問 題的分析，發現可以設置電梯區間以盡可能減少目標層較高的乘客占用目標層較低的乘客 的電梯資源，根據這一思想，我們將其

2、簡化為排隊問題來考慮，并據此建立了排隊模型， 通過實地統計數據以及C語言的編程，能夠較好地解出模型，得到在高峰期時將一部分電 梯區間的頂層設為第14層左右的優化方案。非高峰期時通過對這一時期特點的分析，以 每臺電梯在無乘梯需求時自動停留的樓層為著眼點，采用枚舉的方法編程求解，得到在非 高峰期將電梯均勻分布在樓層中的優化方案。 最后，我們對模型參數進行了靈敏度的分析, 發現雖然模型對數據的依賴性較強，但最優方案不隨參數的波動而變化，所以這個結果還 是可信的。本文提出的方案直觀易行，且幾乎不需額外的經濟投入，可行性很強，具有較好的參 考價值。一問題重述在高層商務樓里，電梯承擔著將人和貨物運送到各個

3、樓層的任務。目前的高層商務樓 等大多數高層建筑中，主要使用單轎廂和雙轎廂兩種電梯運行系統。單轎廂電梯在向上運 行時，只有滿足了所有“上行請求”時才會開始滿足“下行請求”，反之亦然；而對于雙 轎廂電梯，乘客在進入轎廂前就通過按鈕面板選擇了要停靠的樓層，系統迅速整合分析接 收到的流量數據，并調度合適的轎箱來應接乘客。現有一座商務樓，設計地上層數為 28層，地下停車樓2層，每層的建筑面積為1500 平方米，樓內有6個用于客梯的電梯井道。電梯按照商務樓建筑面積15至20平方米每人的標準來設計。第1層的樓層高為4.8米，其余層均為3.2米，設計電梯的平均運行速度 1.6米/秒。我們的任務是：1 .建立一

4、個合適的單轎箱客梯系統的運行方案，使盡可能地提高電梯系統的運行效率；2 .分別在運行的高峰期與非高峰期，對雙轎箱的電梯系統與單轎箱的電梯系統的運行效 率等進行對比分析，評價兩種方案的優劣性，估計雙轎廂系統運行效率的提高率。二基本假設1 .電梯載客量為13人，且不超載。13人載客量是國內最常見的一種電梯規格，并且為了 乘梯安全，電梯不應超載。2 .電梯在每層停留的時間相等。在假設 1成立的前提下，電梯乘客可以迅速有序地離開 電梯，電梯停留時間受離開人數的影響可以忽略不計。3 .乘客的到達形成泊松流。4 .商務樓工作人員均勻分布在地上 2層到28層的每一層，即電梯乘客在每一層下電梯的 概率相等。5

5、 .在上班高峰期無人下電梯，在下班高峰期無人上電梯6 .使用每層地下停車樓的人數相等。三符號及名詞說明輸入層：有需要乘電梯的人流入的樓層。目標層：乘客想要到達的樓層。服務：在上班高峰期電梯由輸入層出發到載完13個人回到輸入層稱為一次服務。?=(?,?)?：第k個電梯或電梯井道的運行區間，即被限制只能從p層運行至U q層。A=(?1,?2,?3,?4,?5,?6):高峰期電梯系統運行的一種安排方案。?：第k個電梯在無乘梯需求是停留的樓層。B =( ?1, ?2,？?)? ：m個電梯在非高峰期的一種運行方案，m=6或12。f(A):安排方案A下乘客等待時間的期望。f( B)：安排方案B下乘客等待時

6、間的期望。W(?)： 乘坐第k個電梯的乘客等待時間的期望。入，A:乘客形成的泊松流的強度。t( p,q):電梯從p層運行到q層所用的時間?0：電梯在每層停留的時間。t( ?)：在高峰期第k個電梯完成一次服務所用的時間。?1 ：使用地下停車樓的人數比例。?2：不使用地下停車樓的人數比例。N(?): 第k個電梯一次服務中所能運行到的最高層。P(n)：在上班高峰期電梯在一次服務中停留 n次的概率。四問題分析本題是對電梯系統的優化問題，優化的標準就是找到一種方案 A使所有乘客等待時間 的期望f(A)最小。這里為了敘述方便，將地下 1層、2層分別記為-1層、-2層，地上1 層、2層、28層分別記為0層、

7、1層、27層。我們發現，不管是單轎廂電梯系統，還是雙轎廂電梯系統，在上班高峰期，0層、-1層和-2層為輸入層，1層至27層為目標層，在下班高峰期，1層至27層為輸入層，0層、 -1層和-2層為目標層，也就是說，在高峰期，輸入層和目標層分別有所集中；而在非高 峰期，輸入層和目標層都是隨機分散的。所以，為了合理優化電梯系統的效率，應把這兩 種時期分開考慮。高峰期的分析上班高峰期的分析上班高峰期的輸入層為0,-1 , -2層，則電梯的初始位置只能集中分布在這三層。目 標層越大，電梯需要上升的高度就越高，一次服務的時間就會越多。由于乘客想要到達的 目標層是隨機的，因而一次服務中只要有人的目標層較大，相

8、應電梯的等待人群需要等待 的時間就越多，而一些目標層較低的乘客同樣需要等待這樣的時間，可以理解為高目標層 乘客占用了低目標層乘客的“資源”。這就造成了等待時間的增加。所以我們提出一種電 梯區間的思想，即在上班高峰期將每個電梯所能運行的范圍加以限制，同時令目標層不同 的乘客乘坐不同區間的電梯，這樣目標層較低的乘客乘坐區間較小的電梯，等待的時間就 會有所降低，而目標層較高的乘客乘坐區間較大的電梯，等待時間影響不大。在這種情況下，單轎廂電梯系統和雙轎廂電梯系統的模型一致，考慮到這一過程符合 排隊過程的特點，可以將其簡化為排隊模型，并編程求得最優解。下班高峰期的分析下班高峰期的輸入層為1層至27層，目

9、標層為0,-1 , -2層，電梯的初始位置無法 集中。輸入層越高，電梯需要運行到很低的目標層再回到輸入層，經過的樓層數越多，所 用的時間也就越多。因而只要高輸入層的乘客有乘梯需求，那么低輸入層的乘客就會大大 增加，可以理解為高輸入層乘客占用了低輸入層乘客的“資源”這樣輸入層較低的乘客乘 坐區間較小的電梯，等待時間就會有所降低，而輸入層較高的乘客乘坐區間較大的電梯， 等待時間影響不大。在這種情況下，單轎廂電梯系統每個輸入層都符合排隊過程的特點，可將其簡化為排 隊模型；非高峰期的分析非高峰期的輸入層和目標層都是隨機分散的， 且人流量小，因而不同于高峰期的分析。 對于每個單轎廂電梯和雙轎廂電梯，其初

10、始位置應在 -2層至27層之間，在某一時刻，有 人需乘電梯，則他在1層至27層的概率相等，只需簡化為安排 6個單轎廂電梯或者12個 雙轎廂電梯的初始位置，使乘客等待電梯的時間期望盡可能小即可。這一模型可以通過編 程完成。五模型的建立與求解單轎廂電梯系統的求解上班高峰期單轎廂電梯系統的求解對于上班高峰期，每個輸入層都要有一個區間從本層到27層的電梯以保證乘客能到達任何目標層,則?1=(0,27)?, ?3=(- 1,27)?, ?5=(- 2,27)?,同時令？?2=(0,?1嚴, ?4=(- 1,?, ?6=(- 2,?3)?o那么對于每個電梯及其乘客，都可以簡化為如圖模型111。為了使模型與

11、排隊模型相符，這里把13個乘客看作一個“乘客集合”，則“乘客集合”輸入的泊松流強度為?,此時模型符合排隊模型，且符合 M/G/1排隊，可用排隊論公式13求解。對于輸入層為0層的？?2, t( ?2)為電梯停留所用時間與電梯運行所用時間之和，電梯運行所用時間為2(2N(?2)+1)=4N(?2)+2,電梯停留所用時間為n?0P(n),其中?(13,?) x?n 1,min13,N( ?2) , P(n)=一? 13 .1, Q(13,n)為把 13 個人分為 n 組的可能數。則, 1t( ?2)=4N(?2)+2+n?0?(13,?) x?1?113由排隊論公式，乘第2個電梯的乘客等待時間的期望

12、W?#?：；：?2), ( P=?(t(?2)且 W?1)=W(?2)( ?1 =27) o對于輸入層為0層，當？?1=0,乘坐2號電梯的概率為0,當？?1=27,乘坐2號電梯的 概率為1/2,假設次概率服從線性關系，則乘坐 2號電梯的概率為署，那么乘坐1、2號電梯的乘客等待時間的期望為一？1 一?1一W(?1,?2)二喜W?2)+(1-弟W(?1)_?1 ?2(?2(t (?2)+ ?(t (?2) +i ?1)一而2(1- ?2?(t(?2)- 54)?1(?2(t(?i)+ ?(t(?i)同時，記A為所有乘客到達的泊松強度，則乘1、2號電梯乘客的泊松強度為？?i A ,故1、 2號電梯“

13、乘客集合”的泊松強度分別為?1=(，?廣芻一.2 54 13 為了解出模型，我們需要？?0, A和？?1三組參數。對于？?0,我們實地做了實驗，統計記錄下了一組電梯停留時間的數據，如圖所示：我們發現，數據大致都集中在一條平行于 x軸的直線上，對數據求均值得？?0二。對于？?1,我們找到了一家與問題中商務樓規模類似的公司，調查得到開車上班的人所占比例為%這里認為？?1=% ?2=%對于A,我們同樣是在這家公司大廳實地做了統計，得到 30分鐘內到達329人，這 里認為鼠=。取?1=1,227,得到W(?1,?2)與？?1的關系如圖 從圖中可以看出，當？?尸14時，w?1,?2)最小，即(？?1,

14、?2尸27 1c41時為最優方案。同樣，對于輸入層為-1層，有W? ”?2 ?4(?2(t (?4)+ ?(t (?4) +1 ?2、?3(?九(?3)+ ?(t(?3)W?34)=_542(1 - ?4?(t (?4)(1- 54)2(1- ?3?(t(?3)?(13,?)x?9 ?八?9 ?9 A且 t( ?4)=4N(?4)+4+n?0-?2132, ?3=(1-高4H ?4=看高，得到W(?3,?4)與？?2的關系如圖從圖中可以看出，當？?2 = 14時，W?3,?4)最小，即(？?3,?4) = 2J -14時為最優方案。對于輸入層為-2層，有W? ”、_?3 ?6(?2(t (?6

15、)+ ?(t (?6) +1 ?3)?5(?2(t(?5)+ ?(t(?5) W?5, .6尸542(1- ?6?(t (?6)(l- 54)2(1- ?5?(t(?5)一 一一一 ？?(13,?)x?3 ?2A ?3?2 A且 t( ?6)=4N(?6)+6+n?0-?3i33，?5=(1-9)?6=媼總，得到W(?5,?6)與？?3的關系如圖；為時為最優方案。從圖中可以看出，當？?3 = 14時，W?5,?6)最小，即(？?5,?6)= 2,. n n 1 d o o . 一,于是我們得到，當A=41c4 2114 2； 丁時，f(A)最小，為f(A)= ?1W(?1, ?2)+?pW(?

16、3, ?4)+?22W(?5,?6)= o下班高峰期單轎廂電梯系統的求解對于下班高峰期，每個目標層都要有一個區間從本層到 27層的電梯以保證任何輸入 層的乘客都能到達目標層，則？?1=(0,27)?, ?3 = (- 1,27)?, ?5 = (- 2,27)?,同時令?2=(0,?1嚴，?4=(- 1,?2)?, ?6=(- 2,?3)?0對于每個輸入層的乘客，都有剛好沒乘上電梯的乘客需要等待電梯一次服務之后才可 以接受服務，和“乘客集合”參數方面，？?0和？?1應當保持不變，而A則會發生變化，于 是我們在同一家公司于下班高峰期做了統計，得到30分鐘離開391人，這里認為A=。故我們得到 W

17、?1,?2)與？?1、W(?3,?4)與？?2、W?5,?6)與？?3的關系分別如圖由圖可知，當？?1=13時，W(?1,?2)最小，即(？?1, ?2)=以 段時為最優方案。2 713由圖可知，當？?2 = 14時，W?3,?4)最小，即(？?3,?4)= 271 ；時為最優方案。由圖可知，當？?3 = 14時，W?5,?6)最小，即(？?5,?6)= 2搟；/時為最優方案。于是我們得到，當a=27 1c33；4 22衰時，f(A)最小，為2713 2714 2714?2?2f(A)= ?1W(?1, ?2)+ /W(?3, ?4)+fW(?5, ?6)二。非高峰期單轎廂電梯系統的求解非高峰

18、期的輸入層和目標層都是隨機分散的，且人流量小，因此不應分析電梯的區間 安排，而應從電梯在無乘梯需求時自動停留的位置入手分析。如所說，記B =(?1,?2,?3,?4,?5,?6)?,設某乘客所在樓層為n,則他所要等待的 時間為mint( ?,n)(i=1,2,3,4,5,6)。并且我們認為此乘客在-2層到27層的概率相等,故等待時間的期望f( B )=4?=- 21mint (?,n),(i=1,2,3,4,5,6)通過編程枚舉，可以得出，當 6=(- 2,2,7,12,17,22)?時,f( 0)最小,為f( B )=1=-2 30mint(?,n)二。模型結論至此，我們得出了單轎廂電梯系統

19、運行效率最優化的運行方案，即在高峰期采取方案A= 00- 1- 1- 2- 2 卜班時乘客等彳寺時間的期望為下班時等彳寺時間的期望為.* 271427142714)非高峰期采取方案6=(- 2,2,7,12,17,22)?,等待時間期望為。雙轎廂電梯系統的求解上班高峰期雙轎廂電梯系統的求解對于上班高峰期，每個輸入層都要有一個區間從本層到 27層的電梯井道以保證乘客能 到達任何目標層兩個電梯的區間相同，這樣可以避免控制臺的混亂，則？?1 = (0,27) ?,?3=(- 1,27)?, ?5=(- 2,27)?,同時令？?2=(0,?1)?, ?4=(- 1,?2)?, ?6=(- 2,?3)?

20、0此時，同一井道內兩個電梯一次服務一共可以運載26個人，這里把26個乘客視為一?個“乘客集合”，相應的泊松流強度為強，則此模型可以簡化為排隊模型。同，我們得到,W? ?仁?1 ?2(?% (?2)+ ?(t (?2) C ?1 ?1(?2(t(?1)+ ?(t(?1) W?1, .2)-542(1- ?2?(t (?2)(1- 54)2(1-?1?(t(?1)?1-(1-?1A26 ，?1 ?i a ? q? .2 54 26故我們得到 W(?1,?2)與？?1的關系如圖由圖可知，當？?1-12時，W(?1,?2)最小，即(？?1, ?2)= 27 10時為最優方案。同理可得 W(?3,?4)

21、與？?2、W(?5,?6)與？?3的關系分別如圖由圖可知，當？?2 - 14時，W(?3,?4)最小，即(？?3,?4)= 2J ；時為最優方案。由圖可知，當？?3 = 14時，W(?5,?6)最小,即(？?5,?6)= 27 ；：時為最優方案。一00_1 O O . 一 .于是我們得到，當a= 1t2 2114 22葡時，始)最小，為一 一 一？2 一？2 一f(A)= ?iW(?i,?2)+-22W(?3, ?4)+-22W(?5,?6)=。下班高峰期雙轎廂電梯系統的求解對于下班高峰期，每個目標層都要有一個區間從本層到 27層的電梯井道以保證任何輸 入層的乘客都能到達目標層，則 ?1=(0

22、,27)?, ?3=(- 1,27)?, ?5=(- 227)?,同時令 ?2=(0,?1)?, ?4=(- 1,?2)?, ?6=(- 2,?3)?。同，將26個乘客視為一個“乘客集合 A 。故我們得到W-?1,?2)與？?1、W-?3,?4)與？?2、W?5,?6)與？?3的關系分別如圖 由圖可知，當？?1=12時，W?1,?2)最小，即(？?1, ?2)= 27 102時為最優方案。由圖可知，當？?2 = 14時，W?3,?4)最小，即(？?3,?4)= 2： 14時為最優方案。由圖可知，當？?3 = 14時，W?5,?6)最小，即(？?5,?6)= 2，；/時為最優方案。00.1于是我

23、們得到，當A=27 102 27 14 27 /時，f(A)最小，為 ?9f(A)= ?iW(?1,?2)+-F2W(?3, ?4)+W(?5,?6)二。非高峰期雙轎廂電梯系統的求解非高峰期的輸入層和目標層都是隨機分散的，且人流量小，因此同一井道中的電梯在 無乘梯需求時自動停留的位置可以不同，則同，記 B=(?1,?2,?3?12)?,設某乘客 所在樓層為n,則他所要等待的時間為mint( ?,n)(i=1,2,3,12) 0并且我們認為此乘客在-2層到27層的概率相等，故等待時間的期望f( P )=?=- 230mint (?,n),(i=1,2,3,12)通過編程枚舉可以得出，當 6=(-

24、 2,0,2,5,7,10,12,15,17,20,2326)?時,f( B)最小,為f( B )二秘-2 1mint(?, n)二。30模型結論至此，我們得出了雙轎廂電梯系統運行效率最優化的運行方案，即在高峰期采取方案A= 00- 1- 1- 2- 2 卜班時乘客等彳寺時間的期望為下班時等彳寺時間的期望為.* 271427142714)非高峰期采取方案6=(- 2,02,5,7,10,12,15,17,20,23,26)?,等待時間期望為。六模型的比較高峰期電梯系統效率的比較上班高峰期，雙轎廂電梯系統平均等待時間為，單轎廂電梯系統平均等待時間為，雙33 34. 12 24轎廂電梯系統比單轎廂

25、系統效率提高了./ X 100%=%下班高峰期,雙轎廂電梯系統平均等待時間為，單轎廂電梯系統平均等待時間為，雙轎廂電梯系統比單轎廂系統效率提, 45.06- 15.24Fx100%=%非高峰期電梯系統效率的比較非高峰期，雙轎廂電梯系統平均等待時間為，單轎廂電梯系統平均等待時間為，雙轎 2 47- 1 33廂電梯系統比單轎廂系統效率提高了 tK-X 100%=%1.33七模型的靈敏度分析因為本文的模型所需參數幾乎都是通過小范圍的統計得到，因此還需考慮參數波動對 模型結果的影響。先考慮A的波動對結果的影響。這里將 A的值作士的波動，得到等待時間期望隨樓 層的變化，結果如圖我們發現雖然期望值均隨 A

26、的波動而變化，但整體增減趨勢沒有改變。再考慮？?1的波動對結果的影響。這里將？?1的值作士的波動，得到等待時間期望隨樓 層的變化，結果如圖我們發現雖然期望值均隨？?1的波動而變化，但整體增減趨勢沒有改變。所以我們認為模型結果是可信的。八模型的優缺點模型優點本模型最顯著的優點就是簡單直觀，能很好地借助現有模型對問題進行分析和求解， 便于編程計算。同時將問題根據實際情況作不同考慮，建立不同的模型，使結果更具實際 參考意義，而且提出的解決方案簡單易行，在經濟上幾乎不會造成額外的支出，可行性很 強。模型缺點與本模型最顯著優點一一簡單相伴而來的缺點就是參數過多，對數據的依賴性強，需 要統計大量的真實數據

27、才能更加準確地求解模型，而由于時間有限，我們這里統計的數據 量還不夠，參數的波動雖然對方案整體設計基本上沒有影響，但對相關的數據結果可能會 造成一些影響，還需要進一步加大數據統計量，以對模型作進一步完善。123瑩榮玉張宋孟參考文獻,運籌學基礎，北京：清華大學出版社，20100興，孫海濤，運籌學，北京：經濟科學出版社，2011。柯，排隊論基礎及應用，上海：同濟大學出版社，1989。附錄1.求解期望值的C語言程序#include#include#include#include#*分別取和進行計算*/intmcn(intn,intm);intzuhe(intm,intn);intjiecheng(i

28、ntm);intmin(inta,intb);intmain(intargc,char*argv)(inti,j,p,q;p=0;/*p 取-2-10分別計算*/for(q=1;q28;q+) (intTT=0;intTN=0;intdata3030; /*data ni n代表電梯最高向上走m層返回，其中n代表運行過程中電梯停留的層數所對應的次數，若上升一層的時間是 T1,停留一層的時間是T2,則其對應的時間是 2*m*T1+n*T2*/memset(data,0,sizeof(data);for(i=1;iq-p+1;i+)for(j=1;jmin(i+1,14);j+)dataij=mc

29、n(13,j)*zuhe(i-1,j-1);/*下一步應該是確定對應的時間中每個時間所對應的次數來計算平均數和方差*/for(i=1;i30;i+)for(j=1;j30;j+)if(dataij!=O)TT+=(2*i*T1 +j*T2)*dataiU;TN+=dataij;)floatave=;ave=TT/TN;floatvar=;floattemp=;for(i=1;i30;i+)for(j=1;j30;j+)if(dataij!=O)temp+= dataij*pow(2*i*T1 +j*T2-ave,2)；)var=temp/TN;floatE=;E=ave;floatD=;D=v

30、ar;floatlmt1=;lmt1=(1-(float)q/27)*W*A/26;floatlmt2=;lmt2=(float)q*W*A/702;floatkey=;key=(float)q/54*lmt2*(E*E+D)/(1-lmt2*E)+(1-(float)q/27)*lmt1*5287/(1-101*lmt1);printf(q=%d 平均數=%f 方差=%f%f%f 結果=%fn,q,E,D, lmt1,lmt2,key);)system(PAUSE);return0;intmcn(intn,intm)(intf2020,i;for(i=1;i=15;i+)for(m=1;m=i;m+)(if(m=1|i=m|i=2)fim=1;elsefim=fi-1m-1+m*fi-1m;)returnfnm;)intzuhe