1、備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)與圓與相似有關(guān)的壓軸題附詳細答案一、相似1 .設(shè)C為線段AB的中點，四邊形 BCDE是以BC為一邊的正方形.以 B為圓心，BD長為 半徑的。B與AB相交于F點，延長 EB交。B于G點，連接 DG交于AB于Q點，連接(1) AD是。B的切線；(2) AD=AQ;(3) Bb=CF?EG【答案】(1)證明：連接BD,四邊形BCDE是正方形，/ DBA=45 ； / DCB=90，即 DC± AB,.C為AB的中點，.CD是線段AB的垂直平分線，AD=BD,/ DAB=/ DBA=45 ；/ ADB=90 ；即 BDXAD,. BD為半徑，.AD是。B的切線(2)證明:BD=B

2、G,/ BDG=Z G,1. CD/ BE,/ CDG=Z G,1/ G=Z CDG=Z BDG=& / BCD=22.5 , °/ ADQ=90 - / BDG=67.5，/ AQB=Z BQG=90 - / G=67.5 , °/ ADQ=Z AQD, .AD=AQ(3)證明：連接DF,在BDF 中，BD=BF,/ BFD=Z BDF,又 / DBF=45 ,/ BFD=Z BDF=67.5 , ° / GDB=22.5 , °在 RtA DEF與 RtA GCD 中， / GDE=Z GDB+/ BDE=67.5=Z DFE, / DCF玄

3、 E=90 ； RtA DCM RtA GED, cf a -1ED EG ,又 CD=DE=BCBC2=CF?EG【解析】【分析】(1)連接BD,要證AD是圓B的切線，根據(jù)切線的判定可知，只須證 明Z ADB=劣即可。 由正方形的性質(zhì)易得 BC=CD , /DCB=/ DCA=5/ , /DBC=/ CDB=15'，根據(jù)點 C為AB的中點可得 BC=CD=AC所以可得 /ADC=f5'，則 / / ADB=% ,問題得證；(2)要證 AQ=AD,需證/AQD=/ADQ。由題意易得 / AQD=，4 -/G , /ADQ=/'- ZBDG,根據(jù)等邊對等角可得/G=/BD

4、G,由等角的余角相等可得/ AQD=/ADQ,所以AQ=AD;(3)要證乘積式成立，需證這些線段所在的兩個三角形相似，而由正方形的性質(zhì)可得CD=DE=BC所以可知 BC、CF、EG分別在三角形 DCF和三角形 GED中，連接 DF,用有兩 對角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可得證。2.如圖所示， ABC和4ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90°, EC的延長線交BD于點P.(1)把4ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1, BD, CE的關(guān)系是(選填 相等”或不相等”)；簡要說明 理由；(2)若AB=3, AD=5,把4ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/EAC=90時，在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后

5、的圖 形，求PD的值，簡要說明計算過程；(3)在(2)的條件下寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值為,最大值為【答案】(1)解：相等理由： ABC和4ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，/ BAC=Z DAE=90 ,BA=CA, / BAD=Z CAE DA=EA2 .ABDAACE,BD=CE(2)解：作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，若點C在AD上，如圖2所示:/ EAC=90,° CE=Jd"一=二",3 / PDA=/ AEC, / PCD=/ ACE,.,.PCDAACE,PD= 7 :;若點B在AE上，如圖2所示:4 / BAD=90 ；母ABD 中，BD= '2

6、BE=AE- AB=2,5 / ABD=Z PBE / BAD=Z BPE=90,.BAABPEPB % PB 2茄瓦，即3 一回,解得PB=力，PD=BD+PB= +(3) 1; 7【解析】【解答】解：(3)如圖3所示，以A為圓心，AC長為半徑畫圓，當(dāng) CE在。A下 方與。A相切時，PD的值最小；當(dāng) CE在在。A右上方與。A相切時，PD的值最大. 如圖3所示，分兩種情況討論：在RtPED中，PD=DE?sin PER因此銳角 / PED的大小直接決定了 PD的大小. 當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 4ACB的位置時，在 RtACE中，CE= 中 一 $ =4,在 RtDAE 中，DE=、盧 * 字,四

7、邊形ACPB是正方形，PC=AB=3, PE=3+4=7,在 RtPDE 中，PD=威-皿-而 / ,即旋轉(zhuǎn)過程中線段 PD的最小值為1;當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 AB'C'時，可得DP'為最大值，此時，DP'=4+3=7,即旋轉(zhuǎn)過程中線段 PD的最大值為7.故答案為：1, 7.【分析】(1 ) BD , CE的關(guān)系是相等，理由如下：根據(jù)同角的余角相等得出 /BAD=/ CAE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BA=CA DA=EA,從而利用 SAS判斷出 ABDACE,根據(jù)全等三角形應(yīng)邊相等得出 BD=CE(2)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，若點 C在AD上，如圖2所示：首先根據(jù)

8、勾股定理算出CE的長，然后判斷出PCAACE,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 UE - CE ,根據(jù)比例式 列出方程，求解得出 PD的長；若點 B在AE上，如圖2所示：根據(jù)勾股定理算出 BD的PR Bh長，然后判斷出BAgBPE,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 AB BL ,根據(jù)比例式 列出方程，求解得出 PB的長，根據(jù)線段的和差即可得出PD的長；(3)如圖3所示，以A為圓心，AC長為半徑畫圓，當(dāng) CE在。A下方與。A相切時，PD 的值最小；當(dāng)CE在在。A右上方與。A相切時，PD的值最大.如圖3所示，分兩種情況討論：在RtPED中，PD=DE?s冠PED,因此銳角/PED的大小直接決定了 PD

9、的大小.當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 4ACB的位置時，根據(jù)勾股定理算出 CE,DE的長，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出PC=AB=3進而得出 PE的長，根據(jù)勾股定理算出PD的長，即旋轉(zhuǎn)過程中線段 PD的最小值為1;當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 AB'C'時，可得DP' 為最大值，此時，DP'=4+3=7,即旋轉(zhuǎn)過程中線段 PD的最大值為7.3.如圖，在依色敬中，乙故-8廣，點M是AC的中點，以AB為直徑作 L 分別交AC朋于點兒心.（2）填空：©若北h6當(dāng)M 孫時,） ；酉連接加創(chuàng)，當(dāng)4的度數(shù)為 時，四邊形ODME是菱形.【答案】 （1）證明：Z ABC=90 , AM=MC

10、 , . . BM=AM=MC , ，/A=/ABM. .四邊形 ABED 是圓 內(nèi)接四 邊形， ，/ADE+/ ABE=180° , 又 / ADE+/ MDE=180 , . / MDE=/MBA,同理證明： /MED=/A, . . / MDE=/MED, . MD=ME2;江倒【解析】【解答】解：（2）由（1）可知，/A=/MDE,DE/ AB, . . Ab =w-捌. AD=2DM,DM: MA=1 : 3, . DE= ' AB= ' X 6=2故答案為：2. 當(dāng)/A=60°時，四邊形 ODME是菱形.理由如下:連接OD、OE.SC.OA=OD

11、 , /A=60 °, .AOD 是 等邊三 角形， ，/ AOD=60 °, DE/ AB , ，/ODE=/ AOD=60 ； / MDE=/MED=/A=60 ； .ODE, DEM 都是等邊三角形， .OD=OE=EM=DM, .四邊形 OEMD 是菱形.故答案為：60°.【分析】(1)要證 MD=ME,只須證/MDE=/MED即可。根據(jù)直角三角形斜邊上的中線 等于斜邊的一半可得BM=AM=MC ,則/ A=Z ABM ,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)易得 /MED=/A, ZMDE=Z MBA,所以可得 /MDE=/MED;DE 盟(2)由(1)易證得DE/ AB

12、,可得比例式AB .揚,結(jié)合中的已知條件即可求解； 當(dāng)/A=60°時，四邊形 ODME是菱形.理由如下：連接 OD、OE,由題意易得 ODE, DEM都是等邊三角形，所以可得OD=OE=EM=DM,由菱形的判定即可求解。4.如圖1,等腰4ABC中，AC= BC,點 O在AB邊上，以 O為圓心的圓與 AC相切于點 C,交AB邊于點D, EF為。的直徑，EF± BC于點G.麥11(1)求證：D是弧EC的中點；(2)如圖2,延長 CB交。O于點H,連接 HD交OE于點K,連接 CF,求證：CF= OK+DO;2b(3)如圖3,在(2)的條件下，延長 DB交。于點Q,連接QH,若D

13、O= 6 , KG= 2,求QH的長.AC是。O的切線, OCX AC,/ ACO=90 ；a A A+Z AOC=90 ,° ,.CA=CB,/ A=Z B, EFL BC,/ OGB=90 ；/ B+/BOG=90 ；/ BOG=/AOC, / BOG=Z DOE,/ DOC=Z DOE,.點D是應(yīng)的中點(2)證明：如圖2中，連接OC. EF，HC, .CG=GH, EF垂直平分HC, .FC=FH/ / CFK=- / COE / COD=Z DOE, / CFK之 COD, I / CHK= / COD, I/ CHK= / CFK點K在以F為圓心FC為半徑的圓上，F(xiàn)C=FK

14、=FH DO=OF, . DO+OK=OF+OK=FK=CF即 CF=OK+DO曾(3)解：如圖 3 中，連接 OC、彳HMLAQ 于 M.設(shè) OK=x,貝U CF= 6 +x, OG=2 x, GF=$ - ( 2 - x),鄴CG2=CF? - FG2=CC2 - OG2 , 踞世26( 6 +x) 2行-(2-x) 2= ( J 2 (2-x) 2 .J解得x=1, I I.CF=5, FG=4, CG=3, OG=, / CFE=/ BOG,.CF/ OB,0B =磔=GG可得 OB= IS , BG= "22BH=由 BHMsbog, .BM=心,MQ=OQ- OB - B

15、M=在 RtA HMQ 中,qh=.=【解析】【分析】(1)如圖1中，連接OC.根據(jù)切線的性質(zhì)得出 OCAC,根據(jù)垂直的定 義得出/ ACO=90 ,根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出/ A+/ AOC=90 ,根據(jù)等邊對等角得出角形兩銳角互余得出ZA=Z B ,根據(jù)垂直的定義得出/ OGB=90 :根據(jù)直角ZB+Z BOG=90 ;根據(jù)等角的余角相等得出/ BOG=Z AOC,根據(jù)對頂角相等及等量代換得出/ DOC=Z DOE,根據(jù)相等的圓心角所對的弧相等得出結(jié)論；(2)如圖2中，連接OC.根據(jù)垂徑定理得出 CG=GH進而得出EF垂直平分HC,根據(jù)線段垂直平分線上上的點到線段兩個端點的距離相等得出

16、FC=FH根據(jù)圓周角定理及等量代i換得出ZCFK=/ COD, /CHK=/CFK從而得出點 K在以F為圓心FC為半徑的圓上，根 據(jù)同圓的半徑相等得出 FC=FK=FH DO=OF,根據(jù)線段的和差及等量代換得出 CF=OK+DQ(3)如圖 3 中，連接 OG 彳HMLAQ于 M.設(shè) OK=x,則 CF= + +x, OG=2 x, GF= 6-(2-x),根據(jù)勾股定理由 CG2=C* - FG2=CO2 - OG2 ,列出關(guān)于x的方程，求解得出x 一的值，從而得出 CF=5 FG=4, CG=3, OG=，根據(jù)平行線的判定定理得出，內(nèi)錯角相等，兩 直線平行得出 CF/ OB,根據(jù)平行線分線段成

17、比例定理得出 C F：O B = C G： G B = F G : G O ,進而可得 OB,BG,BH的長，由 BHMs BOG,可得 B H ： O B = B M : B G = H M ： O G,再得出BM,HM,MQ的長，在RtAHMQ中，根據(jù)勾股定理得出 QH的長。5.如圖，在平面直角坐標系中， 。為原點，四邊形 ABCD是矩形，點 A、C的坐標分別是 A (0,2)和C (2V；0),點D是對角線 AC上一動點(不與 A、C重合)，連結(jié) BD,作， 交x軸于點E,以線段DE、DB為鄰邊作矩形 BDEF.圖m圖（2）（1）填空：點B的坐標為;（2）是否存在這樣的點 D,使得 DE

18、C是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；（3）求證：的 3 ；設(shè)AD=x,矩形BDEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用 的結(jié)論），并求 出y的最小值【答案】（1） I 切（2）解：存在，理由如下：d,.QA=2,OC=2'；I,tan / ACO= 3 ,/ ACO=30 ；/ ACB=60 °如圖（1）中，當(dāng) E在線段 CO上時， DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有 ED=EC/ DCE=Z EDC=30,°/ DBC=ZBCD=60,° .DBC是等邊三角形， . DC=BC=Z在 RtA AOC 中，/ ACO=

19、30 ； OA=2, .AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2,當(dāng)AD=2時，ADEC是等腰三角形，如圖（2）中，當(dāng) E在OC的延長線上時，4DCE是等腰三角形，只有 CD=CE/ DBC=Z DEC=Z CDE=15,°/ ABD=Z ADB=75 :.ab=ad=2"綜上所述，滿足條件的 AD的值為2或2g.(3)如圖，過點D作MNLAB于點M,交OC于點N。 . A(0.2)和 C(23 ,0),直線AC的解析式為y=-33x+2,設(shè) D (a, -33a+2),DN=-33a+2,BM=23-a / BDE=90 , ° / BDM+Z NDE=

20、90 ,Z BDM+Z DBM=90 :/ DBM=Z EDN, / BMD=Z DNE=90 : .BMDADNE, . DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如圖(2)中，作DHI± AB于HoH 8圖在 RtAADH 中， . AD=x, ZDAH=ZACO=30,° .DH=12AD=12x, AH=AD2-DH2=32x, .BH=23-32x,在 RtBDH 中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, . DE=33BD=3312x2+23-32x2, .矩形 BDEF的面積為 y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即 y

21、=33x2-23x+43,y=33x-32+3. 33>0,，x=3時，y有最小值3.【解析】【解答】(1)二.四邊形AOCB是矩形,BC=OA=2,OC=AB為日, 2)/ BCO=Z BAO=90 ,【分析】(1)根據(jù)點A、C的坐標，分別求出 BC AB的長，即可求解。(2)根據(jù)點 A、C的坐標，求出/ACO, ZACB的度數(shù)，分兩種情況討論： 如圖(1) 中，當(dāng)E在線段 CO上時， DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有 ED=EC如圖 (2)中，當(dāng)E在 OC的延長線上時，4DCE是等腰三角形，只有 CD=CE, /DBC=/ DEC=Z CDE=15，分別求出 AD的長，即可求解

22、。(3) 如圖，過點D作MNLAB于點M,交OC于點N。利用待定系數(shù)法求出直線 AC的解析式，設(shè) D (a,-二Ta+2),分別用含a的代數(shù)式表示出DN、BM的長，再證明 BMDADNE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊成比例，即可求解；如圖(2)中，作DHXAB于H。設(shè)AD=x,用含x的代數(shù)式分別表示出 DH、BH的長，利用勾股定理求出BD、DE的長再根據(jù)矩形的面積公式，列出 y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出頂點坐 標，即可求解。6.已知：如圖，在 RtA ABC中，/C= 90°,點O在AB上，以 O為圓心，OA長為半徑的 圓與AC, AB分別交于點 D, E,且/ CBD= / A

23、.(1)判斷直線BD與。O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(2)若 AD: AO=8: 5, BC= 2,求 BD 的長.【答案】(1)解：BD是。的切線；理由如下： OA=OD,/ ODA=Z A . /CBD=/ A,，/ODA=/ CBD, / C=90 ,°/ CBD+/ CDB=90 ； / ODA+Z CDB=90 ,°/ ODB=90 ；即 BD± OD,.BD是。O的切線(2)解：設(shè) AD=8k,貝U AO=5k, AE=2OA=10k,. AE是。的直徑，/ ADE=90 ,°/ ADE=Z C,又/CBD叱 A, . MDEs BCD,A

24、E BL 10k 曲，疝-正，即額一1，/ ODA=Z CBD,由直角三角形的性解得：BD= .所以BD的長是,【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)和已知得出 質(zhì)得出 /CBD+/ CDB=90 ,因此 Z ODA+Z CDB=90 ,得出 / ODB=90 ,即可得出結(jié)論;(2)設(shè) AD=8k,貝U AO=5k, AE=2OA=10k,由圓周角定理得出 ZADE=90 , AADEABCD,AE BL得出對應(yīng)邊成比例 疝一瓦，即可求出BD的長.7.已知：如圖，在梯形 ABCD中，AB/CD, /D=90°, AD= CD= 2,點E在邊AD上(不 與點A、D重合)，ZCEB=

25、45°, EB與對角線 AC相交于點F,設(shè)DE= x.(1)用含x的代數(shù)式表示線段 CF的長； 如果把4CAE的周長記作Cacae , 4BAF的周長記作Cabaf ,設(shè)/)W=y,求y關(guān) 于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)/ ABE的正切值是 a時，求AB的長.【答案】(1)解：. AD=CD./ DAC=Z ACD=45 ,° / CEB=45,°/ DAC=Z CER Z ECA之 ECA.CEFCAECE )二. 門 儀，Sil在RtA CDE中，根據(jù)勾股定理得,.CA=.CF=CE=、(2)解：./CFEW BFA, /CEB之 CAB,/ E

26、CA=180 - / CEB- / CFE=180-°Z CAB- / BFA, / ABF=180 -° / CAB- / AFB, / ECA土 ABF, / CAE玄 ABF=45 ,° .CEABFAC A AE2 - xC A SFA 種 廣隹* +打 £ + 2 3；/(0vxv 2)，AB=x+2,.一/ABE的正切值是5,AE 2 - x 5，tan/ABE=出"丫 5,.AB=x+2=.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得/DAC=/ACD=45,進而根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似，可得CEM4CAE,然后根據(jù)

27、相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，由三角形的周長比可求解；（3）由（2）中的相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求出AB的關(guān)系，然后可由/ABE的正切值求解.8.如圖，拋物線y=a （x-m-1） 2+2m （其中m>0）與其對稱軸l相交于點P.與y軸 相交于點A（0,m）連接并延長PAPO,與x軸、拋物線分別相交于點B、C,連接BC將 PBC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點 C落在拋物線上，設(shè)點 C、B的對應(yīng)點分別是點 B和C'.（2）求證：/BCA=/CAO;（3）試問：BB' +BCBC是否存在最小值？若存在，求此時實數(shù) m的值，若不存在，請說 明理

28、由.【答案】(1) y= - M+x+l(2)證明：把點 P、A的坐標代入一次函數(shù)表達式:y= kx+b 得:令y= 0,解得：x= - m - 1,即點B坐標為(-m - 1, 0),2m同理直線 0P的表達式為：y=量* i|x，2m越將聯(lián)立得：a (x- m - 1) 2+2m -博 x= 0,其中a=-出'/產(chǎn)， 該方程的常數(shù)項為：a (m+1) 2+2m,c a(m + l)2 + 2ih由韋達定理得： xix2= xc?xp= a = - ( m+1) 2 ,其中 xp= m+1 ,則 xc= - m - 1 = xb ,.BC/ y 軸, Z BC上 Z CAO(3)解：

29、如圖當(dāng)點 B'落在BC所在的直線時,設(shè)：直線I與x軸的交點為D點，連接BB'、BB' +B6BC存在最小值,CC, 點C關(guān)于I的對稱點為C； .CCL,而 0山,CC7/ OD, Z POD= Z PCC； . / PB' UPB '與 180 , PB'由'PBC旋轉(zhuǎn)而得， . / PBC= / PB' ,CPB= PB； Z BPB= Z CPC；Z PBC+Z PB'韋 180 ；. BC/ AO,Z ABC+/ BAO= 180 / PB '韋 / BAO . PB=PB； PC= PC； / PB 

30、9;韋/ PBB =/ PCC= / PCM / PB '韋/ PCC；/ BAO= / PCC；而 / POD= / PCC,/ BAO= / POD, 而 / POD= / BAO= 90°, .BAOAPOD),BO AC二小血將 BO= m+1 , PD=2m, AO= m, OD= m+1 代入上式并解得：m=1 +4(負值已舍去)【解析】 【解答】解：(1)把點 A的坐標代入二次函數(shù)表達式得：m= a (- m - 1)+2m,解得：a =一'朋'j；'則二次函數(shù)的表達式為:(x m T) 2+2m則點P的坐標為(m+1 , 2m),點A的

31、坐標為(0, m),1把m = 1代入 式，整理得：y= - 3 x2+x+1,故：答案為：y= - ； x2+x+1；【分析】(1)把點A的坐標代入二次函數(shù)表達式得：m = a ( - m-1) 2+2m,解得：a =-I伍 T ,把m= 1代入上式，即可求解；(2)求出點 B、C的坐標，即可求解；(3)當(dāng)點 B'落在 BC所在的直線時， BB' +BCBC存在最小值，證 BAA4POD,即可求 解.二、圓的綜合9. (1)如圖1,在矩形 ABCD中，點 O在邊AB上，/AOO/BOD,求證：AO=OB;(2)如圖2, AB是OO的直徑，PA與OO相切于點A, OP與OO相交

32、于點C,連接CB, Z OPA=40 ；求 / ABC 的度數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2) 25°.【解析】試題分析：(1)根據(jù)等量代換可求得 /AOD=/ BOC,根據(jù)矩形的對邊相等，每個角都是 直角，可知/A=/B=90°, AD=BC,根據(jù)三角形全等的判定 AAS證得AODZBOC,從而 得證結(jié)論.(2)利用切線的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)得到圓心角/POA的度數(shù)，然后利用圓周角定理來求 / ABC的度數(shù).試題解析：(1) - ZAOC=Z BOD / AOC -/ COD=Z BOD-/ COD即 / AOD=Z BOC 四邊形ABCD是矩形/ A=

33、Z B=90 ； AD=BCAOD BOC.AO=OB(2)解：.AB是eO的直徑，PA與eO相切于點A, .PA，AB,/ A=90 :又 /OPA=40,/ AOP=50 ；.OB=OC, / B=/OCB.又 / AOP=/ B+Z OCB,1-B OCB AOP 25 . 210.如圖，AB為。O的直徑，點 E在。O上，過點E的切線與 AB的延長線交于點 D,連 接BE,過點O作BE的平行線，交。于點F,交切線于點C,連接AC(1)求證：AC是。的切線；(2)連接EF,當(dāng)/D=。時，四邊形FOBE是菱形.c【答案】(1)見解析；(2) 30. 【解析】【分析】(1)由等角的轉(zhuǎn)換證明出O

34、Cg OCE ,根據(jù)圓的位置關(guān)系證得 AC是。的切線.(2)根據(jù)四邊形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得證 OBE為等邊三角形，而得出 BOE 60 ,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案.【詳解】(1)證明：.CD與。相切于點E,OE CD , CEO 90 , 又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB, OEB OBE , COE COA, y., oc=oc oa=oe OCA0 OCE(SA0 ,CAO CEO 90 , 又AB為。O的直徑， .AC為。O的切線；(2)解：二四邊形FOBE是菱形， .OF=OB=BF=EF .OE=OB=BEOBE

35、為等邊三角形，BOE 60 , 而OE CD,D 30 .故答案為30. 【點睛】本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計算問題，熟練掌握圓的性質(zhì)是本題的解題關(guān)Ir11 .如圖，AB是半圓。的直徑，C是，優(yōu)的中點，D是，芯的中點，AC與BD相交于點E.IK/3 s(1)求證：BD平分/ABC；(2)求證：BE=2AD;(3)求DE的值. BE【答案】(1)答案見解析(2) BE=AF=2AD (3) 五 12【解析】試題分析：(1)根據(jù)中點弧的性質(zhì)，可得弦AD=CD,然后根據(jù)弦、弧、圓周角、圓心角的性質(zhì)求解即可；(2)延長BC與AD相交于點F,證明BCEACF根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=AF

36、=2AQ(3)連接OD交AC于H.簡要思路如下：設(shè) OH為1,則BC為2, OB=OD=J2 ,DH= J2 1,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解.試題解析：(1);D是笳的中點.AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延長 BC與AD相交于點F,證明BCEACF,BE=AF=2AD(3)連接OD,交AC于H.簡要思路如下:設(shè) OH 為 1,則 BC 為 2, OB=OD=J2 , DE DHDH= , 2 1, 一=一BE BCDE =1BE 212 .如圖1,以邊長為4的正方形紙片 ABCD的邊AB為直徑作O 0,交對角線 AC于點E. (1)圖1中，線段AE=；(

37、2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，以點 A為端點作/DAM=30 ,交CD于點M ,沿AM將四 邊形ABCM剪掉，使RtAADM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)(如圖 3),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 a (00< a< 150°),在旋轉(zhuǎn)過程中 AD與。O交于點F.當(dāng)a =30B,請求出線段 AF的長； 當(dāng)a =6叫，求出線段 AF的長；判斷此時 DM與。O的位置關(guān)系，并說明理由；當(dāng)a=。時，DM與。O相切.國1圖2國3街用圖【答案】(1) 2、12 (2)22 % 相離當(dāng)a =90時，DM與。O相切【解析】(1)連接BE, AC是正方形ABCD的對角線，/ BAC=45°, AEB是等腰直角三角

38、形，又 AB=8, .AE=4V2；(2) 連接 OA、OF,由題意得， /NAD=30°, /DAM=30°,故可得 /OAM=30°,ZDAM=30 ；貝U/OAF=60 ；又OA=OF, .OAF 是等邊三角形，.OA=4, .AF=OA=4;連接 B'F,此時 / NAD=60 °, . AB'=8, /DAM=30 °,AF=AB'cos/ DAM=8此時DM與。O的位置關(guān)系是相離;AD=8,直徑的長度相等，當(dāng)DM與。相切時，點D在。上，故此時可得 a 與 NAD=90 °.點睛：此題屬于圓的綜合題，

39、主要是仔細觀察每一次旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)含30。角的直角三角形進行計算，另外在解答最后一問時，關(guān)鍵是判斷出點D的位置，有一定難度.CFDF 313.如圖，AB是。的直徑，弦 CD± AB于點G,點F是CD上一點，且滿足若 連接AF并延長交。于點E,連接AD、DE,若CF=2, AF=3.E(1)求證：ADFsAED;(2)求FG的長;(3)求tan/E的值.【答案】(1)證明見解析；(2)FG =2；(3)-5 .【解析】分析：(1)由AB是。的直徑，弦 CD± AB,根據(jù)垂徑定理可得：弧 AD=M AC, DG=CQCF繼而證得ADFsAED; (2)由CF fd則可求得F

40、G=2； (3)由勾股定理可求得1,CF=2,可求得DF的長，繼而求得 CG=DG=43AG的長，即可求得tan/ADF的值，繼而求得 tan / E=5 .本題解析：.AB是。的直徑，弦 CD>±AB, . dg=cg Ad Ac ， / adf=z aed, / FAD=Z DAE （公共角）,ADFsAED;CFfdCF=2,FD=6, ，CD=DF+CF=8.CG=DG=4,FG=CG-CF=2-. AF=3, FG=2, AG=JaF2 FG2 45,點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角 函數(shù)等知識點，考查內(nèi)容較多，綜合性較強

41、，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合的思想14.如圖，已知 AB是。的直徑，BC是弦，弦BD平分/ABC交AC于F,弦DELAB于H,交AC于G.求證：ag= gd； 當(dāng)/ABC滿足什么條件時， 4DFG是等邊三角形？若 AB=10, sin/ABD= 3 ,求 BC 的長.【答案】(1)證明見解析;2)當(dāng)/ABC= 60°時，4DFG是等邊三角形.理由見解析;(3) BC的長為14 .5(1)首先連接AD,由DE±AB, AB是e O的直徑，根據(jù)垂徑定理，即可得到AD AE，然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，證得Z ADE / ABD,又由弦BD平分/ABC,可

42、得/DBC=/ABD,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，即可證得AG=GD;(2)當(dāng)/ABC=60時，4DFG是等邊三角形，根據(jù)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角與 三角形的外角的性質(zhì)，易求得 Z DGF=Z DFG=60 ,即可證得結(jié)論；(3)利用三角函數(shù)先求出 tan /ABD 3, cosZ ABD=-,再求出DR BF,然后即可求出45BC.【詳解】(1)證明：連接AD, . DEXAB, AB 是。的直徑，Ad Ae , / ADE= / ABD，,.弦BD平分/ ABC,/ DBC= / ABD, / DBC= / DAC,/ ADE= / DAC, .AG=GD；(2)解：當(dāng)/ABC= 60&

43、#176;時，4DFG是等邊三角形. 理由：二.弦BD平分/ ABC,/ DBC= ZABD=30 °,.AB是。的直徑，/ ACB= 90 ；/ CAB= 90 - / ABC= 30 ；/ DFG= / FAB吆 DBA= 60 ; .DEXAB,/ DGF= / AGH= 90 - / CAB= 60 °, .DGF是等邊三角形；(3)解：.AB是。的直徑，/ ADB= / ACB= 90 ； / DAC= / DBC= / ABD,.Ai' sin"：3'在 RtMBD 中，AD= AB?sin/ABD= 6, BD= Jab2 bd2 =8,AD 3, BD 4 tan / ABD= 一，cos/ ABD=一，BD 4AB 5,39在 RtA ADF 中,DF= AD?tan / DAF= AD?tan / ABD= 6 X=,42 .BF=BD- DF= 8 - 9 = 7 ,22 在 RtBCF中，BC= BF?cos/ DBG B