1、精選優質文檔-傾情為你奉上血樣的分組檢驗的數學模型組員：張明輝 楊宗云 范 彧 一. 摘 要 本文主要為了解決減少血樣檢驗次數這個實際問題,為了在人群中(數量很大, 基本上是健康人)找出某種病毒的感染者,為減少檢驗次數(目的是降低費用) ,通常采用篩選的辦法：即假設人群總數為n, 將人群分成m組,每組的人數為k,將每組的k份血樣混在一起進行化驗, 若化驗結果呈陽性,則需要對該組的每個人重新進行化驗, 以確定誰是病毒感染者;若化驗結果呈陰性, 則表明該組全體成員均為陰性,不需要重新化驗。通過把人群分為若干組,每組若干人,易得到混合血樣檢驗次數,陽性組的概率,進而引入陽性組數的平均值,從而得到平均

2、總檢驗次數,最后通過一個人的平均檢驗次數的一元函數,把問題歸結為一個關于每組人數k的一元函數E(k) ,求解得E(k)=kp+1/k;通過計算, 當p>0.307時不應分組;將第1次檢驗的每個陽性組再次分m組,通過建立一個關于k,m的二元函數E(k,m),通過求導得穩定點函數,解方程組得:k=1/m=p -1/2關鍵詞:先驗概率; 平均總檢驗次數; 血樣的 陰陽性; 組的基數 二. 問題的提出 在人群（數量很大）中進行血樣檢驗，設已知先驗陽性率為 p, 為減少檢驗次數將人群分組。 若 k人一組，當 k份血樣混在一起時，只要一份呈陽性，這組血樣就呈陽性，則該組需人人檢驗；若一組血樣呈陰性，

3、則該組不需檢驗 在一個很大的人群中，通過血樣檢驗普查某種疾病,假定血樣為陽性的先驗概率為p(通常p很小).為減少檢驗次數,將人群分組,一組人的血樣混合在一起化驗.當某組的混合血樣呈陰性時,即可不經檢驗就判定該組每個人的血樣都為陰性;而當某組的混合血樣呈陽性時,則可判定該組至少有一人血樣為陽性,于是需要對這組的每個人再作檢驗.(1),當p固定時(如0.01%,0.1%,1%)如何分組,即多少人一組,可使平均總檢驗次數最少,與不分組的情況比較.(2),當p多大時不應分組檢驗.(3), 討論兩次分組的情況，即陽性組再分組檢驗。（4），討論其它分組方案，如半分法、三分法。三.基本假設2.1 血樣檢查到

4、為陽性的則患有某種疾病,血樣呈陰性時的情況為正常2.2 血樣檢驗時僅會出現陰性,陽性兩種情況,除此之外無其它情況出現,檢驗血樣的藥劑靈敏度很高,不會因為血樣組數的增大而受影響.2.3 陽性血樣與陽性血樣混合也為陽性2.4 陽性血樣與陰性血樣混合也為陽性2.5 陰性血樣與陰性血樣混合為陰性四.符號說明變量：n ：檢驗人群總數 p ：陽性的先驗概率 K:每組的人數q:陰性先驗概率q=1-pL:為一次分組沒人的化驗次數的最小值X:一次分組每人的化驗次數M:組數E(x):X的數學期望，即均值 血樣檢驗為陽性(患有某種疾病)的人數為:z=np發生概率:Pi,i=1,2,.,x檢查次數:Ri,i=1,2,

5、.x平均總檢驗次數: 五. 問題的分析 根據題意,由已知的先驗概率是一個很小的數值,我們大可不必要一個一個地檢驗,為減少檢驗次數,我們通過一次分組,從而可使檢驗次數大大減少;然而通過再一次分組,可使結果進一步優化,從而達到一個更佳的結果.由基本假設有p + q = 1,且被測人群全體n為定值,所以為使驗血次數最少只需使平均每人的驗血次數最少即可1對每一分組的檢測結果只有兩種結果, 若血樣為陰性則只需驗這一次, 概率為qk , 否則需驗k1次,概率為1 - qk 1人群全體n中每人的平均需驗次數為X 的均值, 需要考慮的問題是: 在0 < q < 1的范圍內含參數q的函數是否存在極值

6、點; q在什么范圍內才能使分組驗血實際有效。六， 模型建立與求解 設總人數為n,已知每人血樣陽性的先驗概率為p,記血樣陰性的概率q=1-p模型一： 設分x組,每組k人(n很大,x能整除n,k=n/x),混合血樣檢驗x次.陽性組的概率為P1=1-qk,分組時是隨機的,而且每個組的血樣為陽性的機率是均等的,陽性組數的平均值為xp1,這些組的成員需逐一檢驗,平均次數為kxp1,所以平均檢驗次數N=x+kxp1,一個人的平均檢驗次數為N/n。記作:E(k)=1/k+1-qk=1/k+1-(1-p)k(1)問題是給定p求k使E(k)最小. p很小時利用可得(1-p)k=1-kp得E（k）=1/k+kp

7、(2) 顯然k=p-1/2時E(k)最小.因為K需為整數,所以應取k=p-1/2和k=(p-1/2)+1,比較E(K),得到K的最優值,見表1. P (%) K E(k) 0.01% 100 0.020 0.1% 32 0.063 1% 10 0.196 2% 8 0.274 5% 5 0.426 表1 一次分組檢驗結果圖一當p=0.01%時,可用MATLAB模擬出E(k)=1/k+0.0001×k的圖像如圖一,曲線是關于k的圖像. 圖形一2），下圖一是關于p和k的關系圖（p=0.01%）圖二 同上法,當p=0.1%時,可用MATLAB模擬出E(K)=1/K=0.001×K

8、的圖像如圖二,曲線是關于k的圖像.其它情況我們一樣可用其所長Maple模擬出類似的圖像： 圖2 此圖是p=0.1時k關于p的圖像 模型二 隨著p的增加k減小,E(k)變大.只要E(k)>1時，就不應分組,即當E(K)>1時，不應分組，即： 用數學軟件求解得檢查k=2,3,可知當p>0.307不應分組.4.3 模型三 將第1次檢驗的每個陽性組再分y小組,每小組m人(y整除k,).因為第1次陽性組的平均值為,所以第2次需分小組平均檢驗次,而陽性小組的概率為(為計算簡單起見,將第1次所有陽性組合在一起分小組),陽性小組總數的平均值為這些小組需每人檢驗,平均檢驗次數為所以平均總檢驗次

9、數N=x+,一個人的平均檢驗次數為N/n,記作(注意:n=kx=myx)：, (3)問題是給定p求k,m使E(k,m)最小.P很小時(3)式可簡化為： (4) 對(4)分別對k,m求導并令其等于零,得方程組:舍去負數解可得:(5)且要求k,m,均為整數.經在(5)的結果附近計算,比較E(k,m),得到k,m的最優值,見表2： p k M E(k,m) 0.01% 700 100 0.0028 0.1% 125 25 0.0161 1% 22 11 O.O897 2% 14 7 0.131 5% 8 4 0.305 表2 二次分組檢驗結果 與表1比較可知,二次分組的效果E(k,m)比一次分組的效

10、果E(k)更好.4.4 模型四(平均概率模型)1）主要參數： 患病人數:z=np 組的基數:每組需要檢驗的人數。 平均檢驗次數: 陽性血樣的分組模型:可分為x組,每組k人 分組要滿足的條件: 其中y為患病人數.2），分組人數=患病人數(即:血樣呈陽性的人數)時,通過這樣的分組模型可以使檢驗次數達到最優.2）當z>k()時,一組人不能包括所有的病人數,第一次檢驗的基數較大.3）當z<k時，檢驗多一組時組的基數會很大，而且每一組的概率相差無幾十年來具體例子見附錄二模型推廣 本數學模型也可適用于某人民醫院要對某地區的居民是否患有某種病(如乙肝)的檢驗,并對該地區的病情作一定的預測,從而達

11、到預防和及早治療的效果.乙肝的血樣檢驗只有陰性,陽性兩種情況,我們可用本數學模型切實地解決這個問題.6 模型評價由于血樣的先檢概率通常很小,為減少檢驗次數,我們通過先對檢驗的人群進行分組,引入陽性組的概率,通過陽性組數的平均值作為橋梁,由于陽性組的人需要全部重新檢驗,最后可得平均總檢驗次數,進而得到一個人的平均檢驗次數的一元函數.然而我們通過對陽性組人群進行再次分組(即對檢驗人群進行二次分組),從而得到一個關于兩次分組人數二元函數,進而得到更為優化的數學模型.最后,我們引入平均概率模型,再把血樣檢驗中出現的可能性細化,得到當血樣檢驗為陽性的人數等于分組后每一組的人數時,通過這樣的分組模型可以使

12、檢驗次數達到最優,但是我們尚未能給出確實的理論證明.附錄【1】：假定陽性血樣的人群有6個小組時的Matlab的程序如下:clear;clc;counter=0;z=input('請輸入病人數 ')for r1=1:zfor r2=r1:z-r1for r3=r2:z-r1-r2for r4=r3:z-r1-r2-r3for r5=r4:z-r1-r2-r3-r4if r1+r2+r3+r4+r5=zr1,r2,r3,r4,r5counter=counter+1;#計數器endendendendendendcounter#輸出計數的結果輸入z的值為10,輸出計算結果:couter

13、=7圖一程序： >> k=0:20:400k = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400>> p=1./k+0.0001*kp = Columns 1 through 17 Inf 0.0520 0.0290 0.0227 0.0205 0.0200 0.0203 0.0211 0.0222 0.0236 0.0250 0.0265 0.0282 0.0298 0.0316 0.0333 0.0351 Columns 18 through 21 0.036

14、9 0.0388 0.0406 0.0425>> plot(k,p)>> xlabel('人數k')>> ylabel('E（k）')>> title('圖一')圖二程序：>> k=26:2:40;>> p=1./k+0.001*k;>> plot(k,p)>> xlabel('k')>> ylabel('E（k）')>> title('圖二')，p=0.01%時的，p,k圖程序

15、k=0:20:200k = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200>> p=(1./k).2;>> plot(k,p)>> xlabel('人數k')>> ylabel('p')>> title('圖一')p=0.1%時p,k圖程序：>> k=20:2:40;>> p=(1./k).2;>> plot(k,p,'r')>> xlabel('k')>> ylabe

16、l('E(k)')title('圖二')附錄【2】n=1000.P=1%.分100組 陰性組 陽性組分組可能情況概率檢驗次數平均檢驗次數 1 99 1P1=1/42 110 2.619 2 98 5P2=4/42 120 11.429 3 97 8P3=8/42 130 24.763 4 96 9P4=9/42 140 30 5 95 7P5=7/42 150 25 6 94 5P6=5/42 160 19.048 7 93 3P7=3/42 170 12.143 8 92 2P8=2/42 180 8.571 9 91 1P9=1/42 190 4.524 1

17、0 90 1P10=1/42 120 4.762平均檢驗次數：個人平均檢驗次數：E=N/1000=0.1429n=1000,p=1%,分125組，每組8人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗次數平均檢驗次數 1 124 0 0 0 0 2 123 4P1=4/40 141 14.100 3 122 8P2=8/40 149 29.800 4 121 9P3=9/40 157 35.325 5 120 7P4=7/40 165 28.875 6 119 5P5=5/40 173 21.625 7 118 3P6=3/40 181 13.575 8 117 2P7=2/40 189 9.450 9 116 1P8=1/40 197 4.925 10 115 1 P9=1/40 205 5.125平均檢驗次數：個人平均檢驗次數：E=N/1000=0.1628 n=1000,p=1%,分為50組，每組20人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗次數平均檢驗次數 1 99 1 P1=1/530 70 0.1321 2 98 10 P2=10/530 90 1.6981 3