1、11.5效益的合理分配在經濟或社會活動中若干實體（如個人、公司、黨派、國家等）相互合作結成聯盟或集團，常能比他們單獨行動獲得更多的經濟或社會效益。確定合理地分配這些效益的方案是促成合作的前提。先看一個簡單例子。甲乙丙三人經商。若單干，每人僅能獲利1元；甲乙合作可獲利7元；甲丙合作可獲利5元；乙丙合作可獲利4元；三人合作則可獲利11元。問三人合作是怎樣合理地分配11元的收入。人們自然會想到的一種分配方法是：設甲乙丙三人各得元，滿足 （1）， （2）（2）式表示這種分配必須不小于單干或二人合作時的收入，但是容易看出（1），（2）有許多組解，如（）=(5，3，3)，(4，4，3)，(4，3.5，3.

2、5)等。于是應該尋求一種圓滿的分配方法。上例提出的這類問題稱為n人合作對策（Cooperative n-person Game）。L.S.Shapley1953年給出了解決該問題的一種方法，稱Shapley值。n人合作對策和Shapley值 n個人從事某項經濟活動，對于他們之中若干人組合的每一種合作（特別，單人也視為一種合作）。都會得到一定的效益，當人們之間的利益是非對抗性時，合作中人數的增加不會引起效益的減少。這樣，全體n個人的合作將帶來最大效益。n個人的集合及各種合作的效益就構成n人合作對策，Shapley值是分配這個最大效益的一種方案。正式的定義如下。設集合，如果對于I的任一子集s都對應

3、一個實值函數，滿足 （3） （4）稱 I,v為n人合作對策，v為對策的特征函數。在上面所述經濟活動中，I定義為n人集合，s為n人集合中的人一種合作，為合作s的效益。用表示I的成員i從合作的最大效益中應得到的一份收入。叫做合作對策的分配（Imputation），滿足 （5） （6）請讀者解釋（6）式的含義。顯然，（3），（4）定義的n人合作對策 I,v通常有無窮多個分配。Shapley值由特征函數v確定，記作。對于任意的子集s，記，即s中各成員的分配。對一切，滿足的x組成的集合稱 I,v的核心（Core）。當核心存在時，及所有s的分配都不小于s的效益，可以將Shapley值作為一種特定的分配，即

4、。Shapley首先提出看來毫無疑義的幾條公理，然后用邏輯推理的方法證明，存在唯一的滿足這些公理的分配，并把它構造出來，這里只給出的結果，Shapley公理可參看11,83。Shapley值為 （7） （8）其中是I中包含i的所有子集，是子集s中的元素數目（人數），是加權因子，表示s去掉i后的集合。我們用這組公式計算本節開始給出的三人經商問題的分配，一次解釋公式的用法和意義。甲乙丙三人記為I=1,2,3，經商獲利定義為I上的特征函數，即。容易驗證v滿足（3），（4）。為計算首先找出I中包含1的所有子集：1，1,2，1,3，I，然后令s跑遍，將計算結果計入表1.然后將表中末行相加得。同法可計算出

5、。它們可作為按照Shapley值方法計算的甲乙丙三人應得的分配。讓我們通過此例對（7）式做些解釋。對表1中的s，比如1,2，是有甲（即1）參加時合作s的獲利，是無甲參加合作s（只剩下乙）的獲利，所以可視為甲對這一合作的“貢獻”。用Shapley值計算的甲的分配是，甲對他所參加的所有合作（）的貢獻的加權平均值，加權因子取決于這個合作s的人數。通俗地說就是按照貢獻取得報酬。表1 三人經商中甲的分配的計算Shapley值方法可以有效地處理經濟和社會合作活動中的利益分配問題。請看下面的例子。污水處理費用的合理分擔 沿河有三城鎮1,2和3，地理位置如圖1所示。污水需處理后才能排入河中。三城鎮既可以單獨建

6、立污水處理廠，也可以聯合建廠，用管道將污水集中處理（污水應由河流的上游城鎮向下游城鎮輸送）。用Q表示污水量（單位：t/s），L表示管道長度（單位：km），按照經驗公式已知三城鎮污水量為，L的數值如圖1所示。試從節約總投資的角度為三城鎮制定污水處理方案。如果聯合建廠，各城鎮如何分擔費用。三城鎮污水處理共有以下5種方案，計算出投資費用以作比較。1） 分別建廠。投資分別為，總投資2)1,2合作，在城2建廠，投資為，總投資3）2,3合作，在城3建廠，投資為，總投資4）1,3合作，在城3建廠，投資為，這個費用超過了1,3分別建廠的費用，合作沒有效益，不可能實現。5）三城合作，在城3建廠，總投資為。比較結

7、果以千元最小，所以應選擇聯合建廠方案。下面的問題是如何分擔費用。總費用中有3部分：聯合建廠費；城1至2的管道費；城2至3的管道費。城3提出，由三城按污水量比例5:3:5分擔，是為城1,2鋪設的管道費，應由他們擔負；城2同意，并提出由城1,2按污水量之比5:3分擔，則應由城1自己擔負；城1提不出反對意見，但他們計算了一下按上述辦法各城應分擔的費用：城3分擔費用為； 城2分擔費用為； 城1分擔費用為；結果表明城2,3分擔的費用均比他們單獨建廠費用C（2），C（3）小，而城1 分擔的費用卻比C（1）大。顯然，城1不能同意這種分擔總費用的方法。為了促成三城聯合建廠以節約總投資，應該尋求合理分擔總費用的

8、方案。三城的合作節約了投資，產生了效益，是一個n人合作對策問題，可以用Shapley值方法圓滿地分配這個效益。把分擔費用轉換為分配效益，就不會出現城1聯合建廠分擔的總費用反比單獨建廠費用高的情況。將三城鎮記為，聯合建廠比單獨建廠節約的投資定義為特征函數。于是有 三城聯合建廠的效益為64千元，用Shapley值作為這個效益的分配，城1應分得的份額的計算結果列入表2，得到。類似地算出，。可以驗證。看來。城2從總效益64千元中分配的份額最大，你能從城2的地理位置與合作對策的角度解釋這個結果嗎。表2 污水處理問題中的計算最后，在聯合建廠方案總投資額556千元中各城的分擔費用為：城1是；城2是；城3是。

9、Shapley值方法的缺點及其他解決辦法 Shapley值方法以嚴格的公理為基礎，在處理合作對策的分配問題時具有公正、合理等優點，但是它需要知道所有合作的獲利，即要定義的所有子集（共個）的特征函數，這在實際上常常做不到，如n個單位合作治理污染，第i方單獨治理的投資和n方合作治理的投資Y通常是已知的。為了度量第i方在合作中的“貢獻”，還通常設法知道第i方不參加合作時其余n-1方所需的投資。特征函數應定義為合作的獲利，即節約的投資，有 ，顯然除此之外還有許多不知道，無法利用Shapley值方法求解。下面仍以本節開始提出的三人經商問題為例，介紹幾種其他解決辦法。我們只知道全體合作的獲利，記作，及無i

10、參加時其余n-1方合作的獲利，記作，且記。試確定各方對全體合作獲利的分配，記作。在三人經商問題中。1. 協商解分配按以下兩步進行，先從n個n-1方合作的獲利得出各方分配的下限，即求解 （9）得到 ， （10）再計算按下限分配后集體合作獲利的剩余為，它通常是較小的部分，經協商將其平均分配，于是最終的分配結果為 （11）剩余，它等價于，請讀者考察這個假定的含義。對三人江上問題，。2. 均衡解設各方能夠接受的現狀點為，可看做談判時的威懾點，在此基礎上均衡的分配全體合作的獲利B。根據n個數的和一定，當他們相等時乘積最大的原理，該模型為 （12）得到 （13）時，相當于各方平均分配B；時，均衡解等價于協

11、商解。3. 最小距離解設存在一個各方理想的分配上限，記作，追求分配結果與這個上限的距離最小，模型為 （14） 得到 （15） i方的理想上限若取為,看作i方對全體合作的“貢獻”或i方的邊際效益，將其代入（15）式可得，與（11）式相同，及最小距離解等價于協商解，對三人經商問題，。4. 滿意解i方分配的滿意度定義為，其中是現狀點，是理想點。為追求各方的滿意度都高，用最小最大模型 （16）得到 （17）可以驗證，當時，滿意解等價于協商解，當時，即按照各方理想上限的比例進行分配。5. Raiffa解Howard Raiffa提出的解決辦法按以下步驟進行：1）按照n個n-1方合作的獲利得到各方分配的下

12、限，即協商解中（見（10）式），作為分配的基礎；2）當j方加入（原來無j的）n-1方合作時計算獲利的增加，即j方的邊際效益，是最小距離解中的上限；3）按兩部分配：先由j方和無j的n-1方平分，然后n-1方再等分，即 （18）其中n-1方是在的基礎上分配；4）j取1,2，n，重復第3步，然后求和、平均，得到最終分配為 （19）將，代入，（19）式又可表為 ， （20）對三人經商問題，。幾種方法的比較 上面介紹的方法中，協商解、均衡解、最小距離解和滿意解比較簡單、容易理解，并且在許多情況下是等價的，不妨并為一類，這樣，連同Shapley值方法我們討論了3類方法：Shapley值方法；協商解等；Raiffa解。下面結合一個較為極端的例子說明它們的特點。例 有一資方（甲）和二資方（乙、丙），當且僅當資方與至少一勞防合作時才獲利10元，應如何分配該獲利？解 甲、乙、丙三方記作1,2,3，1）Shapley值方法 特征函數定義為獲利，則子集1,2，1,3，1,2,3的特征函數為10，其余均為0，容易算出Shapley值，將其作為一種分配，即得。2）協商解等 由得到=，于是。3）Raif