1、第8章 位移法 一、一、 位移法是計算超靜定結構的另一種基本方法。位移法是計算超靜定結構的另一種基本方法。分析超靜定結構時，有兩種基本方法：分析超靜定結構時，有兩種基本方法：第一種：第一種： 以多余未知力為基本未知量；先求其反力或內力，然后計以多余未知力為基本未知量；先求其反力或內力，然后計算位移算位移力法。力法。第二種：第二種： 以結點未知位移為基本未知量；先求其位移，然后再計算以結點未知位移為基本未知量；先求其位移，然后再計算內力內力位移法。位移法。結構結構在外因作用下產生產生內力變形內力與變形間存在關系內力與變形間存在關系8.1 概述概述力法力法：由變形協調條件建立由變形協調條件建立位移

2、方程位移方程；位移法位移法：由平衡條件建立的由平衡條件建立的平衡方程平衡方程。二、位移法與力法的區別二、位移法與力法的區別1.1.主要區別是主要區別是基本未知量基本未知量選取不同選取不同力法：多余未知力作為基本未知量；力法：多余未知力作為基本未知量；位移法：結點位移位移法：結點位移( (線位移和角位移線位移和角位移) )作為基本未知量。作為基本未知量。2.2.建立的基本方程不同建立的基本方程不同注意：注意：力法的基本未知量的數目等于超靜定次數，而力法的基本未知量的數目等于超靜定次數，而 位移法的基本未知量與超靜定次數無關。位移法的基本未知量與超靜定次數無關。1.1.剛結點剛結點所連接的各桿端截

3、面變形后有所連接的各桿端截面變形后有相同的角位移相同的角位移；三、位移法的基本假定三、位移法的基本假定2.2.各桿端之間的連線長度變形前后保持不變，即各桿端之間的連線長度變形前后保持不變，即忽忽略桿件的軸向變形略桿件的軸向變形；3.3.結點線位移的弧線運動用垂直于桿軸的切線代替，結點線位移的弧線運動用垂直于桿軸的切線代替，即即結點線位移垂直于桿軸發生結點線位移垂直于桿軸發生。四、用位移法計算超靜定結構的思路四、用位移法計算超靜定結構的思路例如：用位移法求解如圖所示的剛架。例如：用位移法求解如圖所示的剛架。由此可知，結點由此可知，結點1只有轉角只有轉角Z1，而無線位移。因節點，而無線位移。因節點

4、1為為剛節點，匯交于結點剛節點，匯交于結點1的兩桿桿端也應有同樣的轉角的兩桿桿端也應有同樣的轉角Z1。1.為了使問題簡化，作如下計算假定：為了使問題簡化，作如下計算假定：1）在受彎桿件中，略去桿件的軸向）在受彎桿件中，略去桿件的軸向 變形和剪切變形的影響。變形和剪切變形的影響。2）假定受彎桿兩端之間的距離）假定受彎桿兩端之間的距離 保持不變。保持不變。ABCP荷載效應包括：荷載效應包括：內力效應內力效應：M、Q、N；位移效應位移效應：AABCP附加附加剛臂剛臂附加剛臂限附加剛臂限制結點位移，荷載制結點位移，荷載作用下附加剛臂上作用下附加剛臂上產生產生附加力矩。附加力矩。對結點施加產生對結點施加

5、產生相應的角位移，以相應的角位移，以實現結實現結點位移狀態的一致性。產點位移狀態的一致性。產生相應的附加約束反力。生相應的附加約束反力。ABC實現位移狀態可分兩步完成實現位移狀態可分兩步完成疊加兩步作用效應，約束結構與原結構的荷載特征及位疊加兩步作用效應，約束結構與原結構的荷載特征及位移特征完全一致，則其內力狀態也完全相等；移特征完全一致，則其內力狀態也完全相等； 由于原結構沒有附加剛臂：因此附加約束上的由于原結構沒有附加剛臂：因此附加約束上的附加內力應附加內力應等于等于0，按此可按此可列出求解結點位移的基本方程。列出求解結點位移的基本方程。ABCPStep1：附加剛臂：附加剛臂限制結點位移，

6、荷限制結點位移，荷載作用下附加剛臂載作用下附加剛臂上產生上產生附加力矩。附加力矩。Step2：對結點施加產生：對結點施加產生相應的角位移，以實現結相應的角位移，以實現結點位移狀態的一致性點位移狀態的一致性，產產生相應的生相應的附加約束反力。附加約束反力。ABC使結點使結點1正好轉動一個轉角正好轉動一個轉角Z1時，使時，使所加的附加約束不再起作所加的附加約束不再起作用，其數學表達式為用，其數學表達式為：R1=0 上式意義：上式意義：外荷載和實際應有的轉角外荷載和實際應有的轉角Z1共同作用于基本結構時，共同作用于基本結構時，附加約束反力矩為零（剛臂不起作用）。附加約束反力矩為零（剛臂不起作用）。R

7、11=r11Z1Z1=1根據疊加原理，共同作用等于單獨作用的疊加：根據疊加原理，共同作用等于單獨作用的疊加： R1R11R1P=0 （a) R11為強制使結點發生轉角為強制使結點發生轉角Z1時時 所產生的約束反力矩。所產生的約束反力矩。R1P為荷載作用下所產生的為荷載作用下所產生的 約束反力矩。約束反力矩。 為單位位移（轉角為單位位移（轉角Z11）產生的約束反力矩。）產生的約束反力矩。上式的物理意義是，上式的物理意義是，基本結構由于轉角基本結構由于轉角Z1和外荷載和外荷載FP共同作共同作用，在附加剛臂用，在附加剛臂1處所產生的約束反力矩總和等于零（使處所產生的約束反力矩總和等于零（使a,b兩圖

8、疊加后附加剛臂不起作用）。兩圖疊加后附加剛臂不起作用）。由此方程可得：由此方程可得：01111PRZr1111rRZP可見，只要有了系數可見，只要有了系數 r11及自由項及自由項R1P，Z1值很容易求得。值很容易求得。為了將式為了將式(a)寫成未知量寫成未知量Z1的顯式，將的顯式，將R11寫為：寫為：式（式（a）變為：）變為：11111ZrR11r為了確定上式中的為了確定上式中的 R1P 和和 r11 ，可先，可先用力法分別求出各單跨用力法分別求出各單跨超靜定梁超靜定梁在梁端、柱頂在梁端、柱頂1處轉動處轉動 Z1=1時產生的彎矩圖及外荷時產生的彎矩圖及外荷載作用下產生的彎矩圖。載作用下產生的彎

9、矩圖。pl81求系數和自由項求系數和自由項1Mr11Z1=1lEIr7111）求）求r11和和M1P1AR1PP8Pl8PlMP圖2）求求R1P 和和MP 現取現取 圖、圖、MP圖中的結點圖中的結點1為隔離體，由力為隔離體，由力矩平衡方程矩平衡方程 ，求出，求出 ：1M 01MlEIr711PlRP811將這些結果代入位移法基本方程中解方程，即得將這些結果代入位移法基本方程中解方程，即得 EIPlZ5621最后，根據疊加原理最后，根據疊加原理 ，即可求出最后彎矩圖即可求出最后彎矩圖 。11ZMMMP解方程，畫內力圖解方程，畫內力圖 1. 在原結構產生位移的結點上設置附加約束，使結點固定，在原結

10、構產生位移的結點上設置附加約束，使結點固定， 從而得到基本結構，然后加上原有的外荷載；從而得到基本結構，然后加上原有的外荷載；. 人為地迫使原先被人為地迫使原先被“固定固定”的結點恢復到結構原有的位移。的結點恢復到結構原有的位移。通過上述兩個步驟，使基本結構與原結構的受力和變形完全相通過上述兩個步驟，使基本結構與原結構的受力和變形完全相同，從而可以通過基本結構來計算原結構的內力和變形。同，從而可以通過基本結構來計算原結構的內力和變形。綜上所述，位移法的基本思路是：綜上所述，位移法的基本思路是：PM=R1PR11=r11Z1=-R1P固定節點固定節點使之不動使之不動（a）（b）釋放節點，使節釋放

11、節點，使節點發生實際位移點發生實際位移應用位移法需要解決的首要問題就是，要確定應用位移法需要解決的首要問題就是，要確定桿件的桿端內力桿件的桿端內力與桿端位移及荷載之間的函數關系與桿端位移及荷載之間的函數關系(桿件的轉角位移方程桿件的轉角位移方程)。利用力法的計算結果，由疊加原理導出三種常用等截面直桿的利用力法的計算結果，由疊加原理導出三種常用等截面直桿的轉角位移方程。轉角位移方程。8.2.1 桿端內力及桿端位移的正負號規定桿端內力及桿端位移的正負號規定1、桿端內力的正負號規定、桿端內力的正負號規定桿端彎矩：桿端彎矩：對桿端而言，以對桿端而言，以順時針方向為正，反之為負順時針方向為正，反之為負。

12、對結點或支座而言，則以逆時針方向為正，反之為負。對結點或支座而言，則以逆時針方向為正，反之為負。桿端剪力和桿端軸力的正負號規定，仍與前面規定相同。桿端剪力和桿端軸力的正負號規定，仍與前面規定相同。ABABMMBAABEI, l弦轉角BAB8.2 等截面直桿的轉角位移方程等截面直桿的轉角位移方程2、桿端位移的正負號規定、桿端位移的正負號規定ABABMMBAABEI, l弦轉角BAB1）桿端轉角桿端轉角（角位移）（角位移）:以順時針為正，反之為負。以順時針為正，反之為負。 2）線位移線位移以桿的一端相對于另一端產生順時針方向轉動以桿的一端相對于另一端產生順時針方向轉動 的線位移為正，反之為負。例如

13、，圖中的線位移為正，反之為負。例如，圖中AB為正。為正。 8.2.2 單跨超靜定梁的形常數和載常數單跨超靜定梁的形常數和載常數位移法中，常用到圖示位移法中，常用到圖示三種基本的等截面單跨超靜定梁三種基本的等截面單跨超靜定梁，它們，它們在荷載、支座移動或溫度變化作用下的內力可通過力法求得。在荷載、支座移動或溫度變化作用下的內力可通過力法求得。a) 兩端固定兩端固定b)一端固定一端固定 一端鉸支一端鉸支c) 一端固定一端固定 一端定向支承一端定向支承由荷載或溫度變化引起的桿端內力稱為由荷載或溫度變化引起的桿端內力稱為載常數載常數。其中的。其中的桿端彎桿端彎矩矩也常稱為也常稱為固端彎矩固端彎矩，用，

14、用 和和 表示；桿端剪力也常稱為表示；桿端剪力也常稱為固端剪力固端剪力，用，用 和和 表示。表示。常見荷載和溫度作用下的載常數列入常見荷載和溫度作用下的載常數列入表表中。中。 FABMFBAMFABFQFBAFQ由桿端由桿端單位位移單位位移引起的桿端內力稱為引起的桿端內力稱為形常數形常數。表中引入記號。表中引入記號i=EI/l，稱為桿件的，稱為桿件的線剛度線剛度。 a) 兩端固定兩端固定b)一端固定一端固定 一端鉸支一端鉸支c) 一端固定一端固定 一端定向支承一端定向支承8.2.3 轉角位移方程轉角位移方程 1、兩端固定梁、兩端固定梁 由疊加原理可得：由疊加原理可得：FBABABAFABBAA

15、BMliiiMMliiiM642624BAQFABQFABMMBABABqABPFEI= /lAlMB1A B AB P+t1t2Ai 4Bi 2liAB/6 Ai 2Bi 4liAB/6 FABMFBAM固端彎矩固端彎矩2、一端固定另一端鉸支梁、一端固定另一端鉸支梁 AMAqFPBAMABFQABlFQBAEIB(非獨立角位移)1B033BAFABAABMMliiM3、一端固定另一端定向支承梁、一端固定另一端定向支承梁ABMlAAMqPFAEIABQFB(非獨立線位移)BB1FBABABAFABBAABMiiMMiiM1）兩端固定梁）兩端固定梁2）一端固定另一端鉸支梁）一端固定另一端鉸支梁3

16、）一端固定另一端定向支承梁）一端固定另一端定向支承梁應用以上三組轉角位移方程，即可求出三種基本的單跨超應用以上三組轉角位移方程，即可求出三種基本的單跨超靜定梁的靜定梁的桿端彎矩表達式桿端彎矩表達式，匯總如下：，匯總如下：FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624033BAFABAABMMliiMFBABABAFABBAABMiiMMiiM結點角位移數：結點角位移數：剛結點的數目剛結點的數目獨立結點線位移數：獨立結點線位移數：鉸結體系的自由度鉸結體系的自由度 8.3 位移法的基本概念位移法的基本概念結點：指桿件與桿件的交結處，不包括支座結點。結點：指桿件與桿件的交結處，不包

17、括支座結點。 桿件：等截面的直桿，不能是折桿或曲桿。桿件：等截面的直桿，不能是折桿或曲桿。 為了減少未知量，忽略軸向變形，即認為桿件的為了減少未知量，忽略軸向變形，即認為桿件的EA=EA=。 123121只有一個剛結點只有一個剛結點B B，由于忽，由于忽略軸向變形，略軸向變形，B B結點只有結點只有B 只有一個剛結點只有一個剛結點B B，由于忽略軸向變形及由于忽略軸向變形及C C結點的約束形式，結點的約束形式，B B結結點有一個轉角和水平位點有一個轉角和水平位移移BBHABCABC 有兩個剛結點有兩個剛結點B B、C C，由于，由于忽略軸向變形及忽略軸向變形及B B、C C點的約點的約束，束，

18、B B、C C點的豎向、水平位點的豎向、水平位移均為零，因此該結構的未移均為零，因此該結構的未知量為：知量為：BC ABCDABCD 排架結構，有兩個鉸結點排架結構，有兩個鉸結點A A、B B，由于忽略軸向變形，由于忽略軸向變形，A A、B B兩點的豎兩點的豎向位移為零，向位移為零，A A、B B兩點的水平位移兩點的水平位移相等，因此該結構的未知量為：相等，因此該結構的未知量為： ABEA=ABCD 兩跨排架結構，有四個結點兩跨排架結構，有四個結點A A、B B、C C、D D，同理，同理A A與與B B點、點、D D與與C C點的水平位移相同，各結點的點的水平位移相同，各結點的豎向位移為零，

19、但豎向位移為零，但D D結點有一轉結點有一轉角，因此該結構的未知量為：角，因此該結構的未知量為： ABDCD EA=ABDCEFG CDECHDV該題的未知量為該題的未知量為 對圖示有斜桿的剛架，未知量分析的方法是：對于轉角對圖示有斜桿的剛架，未知量分析的方法是：對于轉角位移，只需數剛結點，一個剛結點一個轉角位移。對于線位位移，只需數剛結點，一個剛結點一個轉角位移。對于線位移，首先把所有的剛結點變成鉸結點，然后再加鏈桿，使其移，首先把所有的剛結點變成鉸結點，然后再加鏈桿，使其變成無多余約束的幾何不變體系，加了幾根鏈桿，就是有幾變成無多余約束的幾何不變體系，加了幾根鏈桿，就是有幾個線位移。個線位

20、移。ABCDEABCDE結點轉角的數目：結點轉角的數目：7 7個個獨立結點線位移的數目：獨立結點線位移的數目：3 3個個123 剛架結構，有兩個剛結點剛架結構，有兩個剛結點D D、E E，故有兩個角位移，結點線位移由鉸故有兩個角位移，結點線位移由鉸結體系來判斷，結體系來判斷，W=3426=0，鉸結體系幾何不變，無結點線位移。鉸結體系幾何不變，無結點線位移。 ABCDEABCD 剛架結構，有兩個剛結點剛架結構，有兩個剛結點C C、D D，故有兩個角位移，結點線位移由鉸故有兩個角位移，結點線位移由鉸結體系來判斷，結體系來判斷，W=3324=1，鉸結體系幾何可變，有一個線位移。鉸結體系幾何可變，有一

21、個線位移。 兩點說明兩點說明說明說明1：當剛架中有需要考慮軸向變形（當剛架中有需要考慮軸向變形（ ）的）的 二力桿時則考慮二力桿的軸向變形。二力桿時則考慮二力桿的軸向變形。EA例如：下圖結構要求考慮水平直桿的軸向變形例如：下圖結構要求考慮水平直桿的軸向變形，EA EAEA 2.2.建立基本體系建立基本體系（1 1）在每個剛結點處添加一個附加剛臂，）在每個剛結點處添加一個附加剛臂， 阻止剛結點轉動阻止剛結點轉動（不能阻止線位移）（不能阻止線位移）；（2 2）在可能發生線位移的結點，加上附加鏈桿，）在可能發生線位移的結點，加上附加鏈桿， 阻止結點線位移阻止結點線位移（移動）（移動）。8.3.2 位

22、移法的基本結構位移法的基本結構1.1.基本體系基本體系單跨超靜定梁的組合體單跨超靜定梁的組合體 用位移法計算超靜定結構時，把每一根桿件都作為用位移法計算超靜定結構時，把每一根桿件都作為單跨超靜定梁單跨超靜定梁看待。看待。 經過以上處理，原結構就成為一個由經過以上處理，原結構就成為一個由n n個獨立單跨超靜個獨立單跨超靜定梁組成的組合體定梁組成的組合體即為位移法的基本體系。即為位移法的基本體系。例例. .建立圖示結構位移法的基本體系。建立圖示結構位移法的基本體系。 未知量未知量2 2個：個：B基本體系基本體系 在有轉角位移的結點處先加在有轉角位移的結點處先加一剛臂，阻止轉動，然后再讓一剛臂，阻止

23、轉動，然后再讓其發生轉角。其發生轉角。 在有線位移的在有線位移的結點處先加一鏈桿，結點處先加一鏈桿，阻止線位移，然后阻止線位移，然后再讓其發生再讓其發生線位移。線位移。EIEIABCLqLq原結構原結構 鎖住鎖住將原結構轉換成基本體系。把原結構將原結構轉換成基本體系。把原結構“拆拆 成成”孤立的單個超靜定桿件；孤立的單個超靜定桿件； 放松放松將基本結構還原成原結構。即強行使將基本結構還原成原結構。即強行使“鎖鎖 住住”的結點發生與原結構相同的轉角或線的結點發生與原結構相同的轉角或線 位移。位移。2.2.位移法典型方程的建立與求解位移法典型方程的建立與求解1.1.基本原理基本原理先鎖、后松。先鎖

24、、后松。8.4 位移法的典型方程位移法的典型方程EIEIABCqLL 原結構原結構 EIEIABCq 基本體系基本體系3 i4 i2 i M1圖圖Z1 M2圖圖Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1 MP圖圖=+6EIL26EIL2 在在M1 1、M2 2、MP P三個三個圖中的附加剛臂和鏈桿圖中的附加剛臂和鏈桿中一定有約束反力產生，中一定有約束反力產生，而三個圖中的反力加起而三個圖中的反力加起來應等于零。來應等于零。qL28+=k11k21F1PF2Pk12EIEIABCq 基本體系基本體系Z1Z2k22 M2圖圖Z2Z2=16EIL26EIL2qL28 MP圖圖qL28 M1圖圖Z1Z1=1

25、3 i4 i2 i 位移法典型方程位移法典型方程1111221211222200PPk ZkZFkZkZF由反力互等定理可知：由反力互等定理可知：ijjikk 在在M1 1、M2 2、MP P三個圖中附加剛臂和鏈桿中產生的附三個圖中附加剛臂和鏈桿中產生的附加力加起來應等于零，則有：加力加起來應等于零，則有： 方程中的系數和自由項就是方程中的系數和自由項就是M1 1、M2 2、MP P三個圖中三個圖中剛臂和鏈桿中產生的附加反力。剛臂和鏈桿中產生的附加反力。求系數和自由項：取各個彎矩圖中的結點或截面利用求系數和自由項：取各個彎矩圖中的結點或截面利用 平衡原理求得。平衡原理求得。由由M1 1圖：圖：

26、3i4ik111107BMkik11k21FQBA21660QBAiFLiXkL 由由M2 2圖：圖：6i/Lk121206BMikL k12k22FQBA212QBAiFL 0X 22212ikL由由MP P圖：圖：2108BPMqLF 200PXF把系數和自由項代入典型方程，有：把系數和自由項代入典型方程，有：21212267086120iqLiZZLiiZZLL位移法方程位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0以圖以圖(a)所示剛架為例，闡述在位移法所示剛架為例，闡述在位移法中如何建立求解基本未知量的典型方程。中如何建立求解基本未知量的典型方程。1、確定位移法基本未知量、確定位移

27、法基本未知量： 基本未知量為基本未知量為: Z1、Z2 。2、選取位移法基本體系、選取位移法基本體系：如圖：如圖(b)所示所示3、將原結構的變形根據變形協調進行、將原結構的變形根據變形協調進行 分解，為以下三種變形的疊加：分解，為以下三種變形的疊加： R2=0PL2l2l1234EI=常數常數Z1Z2(a)位移法的典型方程位移法的典型方程(b)基本體系基本體系1234=Z1Z2R1=0P 2134PR2PR1P=Z1R211342R111234R22R12Z21）將可能發生位移的節點全鎖住將可能發生位移的節點全鎖住，求荷載，求荷載P引起的局部變形。引起的局部變形。 鎖住鎖住 Z1和和Z2，使使

28、1節點不轉動且橫梁也不水平移動。節點不轉動且橫梁也不水平移動。2）釋放釋放1節點此時仍然鎖住節點此時仍然鎖住Z2。使。使1節點產生實際位移節點產生實際位移Z1（基本（基本 未知量），此時在未知量），此時在1節點處需施加力節點處需施加力R11，對應的變形為實際，對應的變形為實際 位移位移Z1單獨引起的變形。單獨引起的變形。3）再釋放再釋放Z2，此時要鎖住，此時要鎖住Z1，使使2節點或水平梁產生實際位移節點或水平梁產生實際位移Z2 （基本未知量），此時需在（基本未知量），此時需在2節點處需施加力節點處需施加力R22，對應的變形，對應的變形 為實際位移為實際位移Z2單獨引起的變形。單獨引起的變形。

29、4 4：用力的平衡條件建立用力的平衡條件建立位移法典型方程位移法典型方程。原結構原結構分解前分解前與與分解后再疊加分解后再疊加應使結構節點處所受的力相同應使結構節點處所受的力相同 ：在在1節點處沒有剛臂約束，無外力矩，則應滿足：節點處沒有剛臂約束，無外力矩，則應滿足：R1=0；在在2節點處無水平鏈桿，無水平外力，則應滿足：節點處無水平鏈桿，無水平外力，則應滿足：R2=0。即：即： R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R1附加剛臂上的反力矩R2附加鏈桿上的反力PPR1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一個下標表示該反力的位置，式中第一個

30、下標表示該反力的位置，第二個下標表示引起該反力的原因第二個下標表示引起該反力的原因。設以 r11、r12分別表示由單位位移：分別表示由單位位移：Z Z1 1=1=1、Z Z2 2=1=1所引起所引起的剛臂上的反力矩；的剛臂上的反力矩；以以r21、r22分別表示由單位位移分別表示由單位位移Z1=1、Z2=1所引起的所引所引起的所引起的鏈桿上的水平反力，則上式可寫成起的鏈桿上的水平反力，則上式可寫成: r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0這就是求解這就是求解Z Z1 1、Z Z2 2的方程即的方程即位移法基本方程位移法基本方程( (典型方程典型方程) )。它的它

31、的物理意義物理意義是：基本結構在荷載等外因和結點位移（基本是：基本結構在荷載等外因和結點位移（基本未知量）的共同作用下，未知量）的共同作用下，每一個每一個人為增設的人為增設的附加約束附加約束中中的附的附加反力或反力矩都應等于零加反力或反力矩都應等于零( (即附加約束實際上不起作用，為即附加約束實際上不起作用，為靜力平衡條件靜力平衡條件) )。借助于型常數和載常數繪出基本結構在借助于型常數和載常數繪出基本結構在 以及荷以及荷載作用下的彎矩圖載作用下的彎矩圖 和和MP圖圖：1 121ZZ、21MM 、對上例：計算典型方程中的系數和自由項計算典型方程中的系數和自由項，1341342134211Z圖1

32、M4i2i3i圖圖2Mli 6li 6li 312ZPMP圖8Pl系數和自由項可分為兩類系數和自由項可分為兩類： 1）附加剛臂上的反力矩）附加剛臂上的反力矩 r11、r12和和R 1P； 2）附加鏈桿上的反力）附加鏈桿上的反力 r21、r22和和R2P。 r21r22R2P(a)(b)(c) r21R 1Pr12 r11134211Z圖1M4i2i3i r21(a) r21 r11基本結構在基本結構在 作用下附加剛臂作用下附加剛臂及附加鏈桿的反力。及附加鏈桿的反力。11Z134Mi123Mi由由1 1結點平衡條件得：結點平衡條件得：1113127rmmi4i3i1117ri13246 ; 0Q

33、QFiFl 由由1212部分平衡條件得：部分平衡條件得：2113246()QQirFFl 12 6il0 216irl 單位位移單位位移Zi=1Zi=1作用下附加反力（剛度系數）的計算作用下附加反力（剛度系數）的計算對于附加剛臂上的反力矩對于附加剛臂上的反力矩 r11、r12和和R 1P：可分別在圖可分別在圖(a)、(b)、(c)中取結點中取結點1為隔離體，由力矩平衡方程為隔離體，由力矩平衡方程M1=0求得：求得：r11=7i ， r12= - 6i/l ， R1P=PL/8111 3i4i0R1P08Pl1341342134211Z圖1M4i2i3i圖2Mli 6li 6li 312ZPMP

34、圖8Pl r21r22R2P(a)(b)(c) r11r12R 1Pr12 r11li 6 對于附加鏈桿上的反力對于附加鏈桿上的反力r21、 r22 和和R2P ：可分別在圖：可分別在圖(a)、(b)、(c）中用截面法割斷兩柱頂端，取柱頂端以上橫梁部）中用截面法割斷兩柱頂端，取柱頂端以上橫梁部分為隔離體，由表分為隔離體，由表7-1查出桿端剪力，由方程查出桿端剪力，由方程X=0求得：求得：13421342134211Z圖1M4i2i3i圖2Mli 6li 6li 312ZPMP圖8Pl r21r22R2P(a)(b)(c)121212 li 60 212li23li 2P0 r21r22R2PR

35、 1Pr12 r11 r21r22R2Pr21=Li 6222Li15rR2P=P/2將系數和自由項代入典型方程：08PLZLi 6iZ72102PZLi15ZLi 6221解此方程得：，iPL5529Z1iPL55222Z22所得均為正值，說明Z 1、Z2與所設方向相同。解方程，求基本未知量r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0得：7、最后彎矩圖由疊加法繪制：P2211MZMZMM例如：桿端彎矩M31為8PLiPL55222Li 6iPL5529i 2M231PL552183M圖圖1234Pl552183PPl55260Pl55227Pl55227Pl552

36、66M圖繪出后，Q 、N圖即可由平衡條件繪出(略）。8、對內力圖進行校核，包括平衡條件和位移條件的校核。包括平衡條件和位移條件的校核。其方法與力法中所述一樣，這里從略。其方法與力法中所述一樣，這里從略。 計算圖示剛架計算圖示剛架,作彎矩圖作彎矩圖,各桿各桿EI=常數常數1Z11Z 解解：11110Pr ZR4i2i3i31010117ri17PR 11/Zi11PMM ZM4 1/106ABMii 2 1/1012BAMii612（15）（4）計算圖示剛架計算圖示剛架,作彎矩圖作彎矩圖解解：11110Pr ZR2116 /ri l15/16PPRF 11PMM ZM1Z11Z 3 / i l3

37、 / i l3/16PF l215/96PZF li11/32PF l5/32PF l(/4)PF l11Z 21Z 11112210Pr Zr ZR21122220Pr Zr ZR解解：1Z2Z32324i2i3i6 / i l6 / i l3 / i l117ri132PR12216 /rri l 22215 /ri l278PR 180.7/ZEI2461.9/ZEI1122PMM ZM ZM1212nnPMM ZM ZM ZM用基本體系求內力的計算步驟用基本體系求內力的計算步驟: :1 1、確定未知量，畫出位移法的基本體系，、確定未知量，畫出位移法的基本體系，2 2、建立位移法的典型方

38、程，、建立位移法的典型方程，3 3、畫出、畫出M1 1、MP P圖，圖，4 4、求出系數和自由項，、求出系數和自由項，5 5、代入解方程，得到結點位移，、代入解方程，得到結點位移，6 6、按下式畫彎矩圖：、按下式畫彎矩圖：小小 結結 （1 1）確定基本未知量，取基本體系。）確定基本未知量，取基本體系。位移法的解題步驟與方法同力法相比較位移法的解題步驟與方法同力法相比較：力法力法：多余未知力；多余未知力；位移法位移法：未知角位移、線位移。未知角位移、線位移。未知量未知量力法力法靜定結構；靜定結構；位移法位移法單跨超靜定梁的組合體。單跨超靜定梁的組合體。基本體系基本體系（3 3）作）作MP P、M

39、i 圖，求系數和自由項圖，求系數和自由項力法：力法：先作出靜定結構分別在載荷先作出靜定結構分別在載荷F FP P、多余未知力、多余未知力 作用作用下的彎矩圖下的彎矩圖MP P 、Mi ；然后應用圖乘法求出系數和自由項：；然后應用圖乘法求出系數和自由項：iP、ij、ii；1iX （2 2）建立典型方程）建立典型方程建立方程條件建立方程條件力法力法：去掉多余約束處的位移條件去掉多余約束處的位移條件；位移法位移法：附加約束上約束反力的平衡條件。附加約束上約束反力的平衡條件。方程的性質方程的性質 力法力法：變形協調方程；變形協調方程；位移法位移法：平衡方程。平衡方程。 位移法：位移法：先作出基本體系分

40、別在載荷先作出基本體系分別在載荷FP P、單位位移（、單位位移（Z Zi=1)=1)作用下作用下所引起的彎矩圖（借助于轉角位移方程或圖表）；然所引起的彎矩圖（借助于轉角位移方程或圖表）；然后利用結點或截面的平衡，求出附加剛臂中的反力矩和附加后利用結點或截面的平衡，求出附加剛臂中的反力矩和附加鏈桿中的反力，即位移法的系數和自由項鏈桿中的反力，即位移法的系數和自由項：F i p、k i j、k ii。（4 4）解典型方程，求基本未知量。）解典型方程，求基本未知量。（5 5）繪制最后內力圖）繪制最后內力圖采用疊加法。采用疊加法。iipMM XMiiPMM ZM力法：力法：位移法：位移法： 8.5.1

41、 無側移結構的計算無側移結構的計算例例1:1:用位移法計算圖示剛架用位移法計算圖示剛架, ,并作彎矩圖并作彎矩圖.E.E = =常數常數. .02lnnyiPijRk 、無側移結構只有節點角位移無線位移。無側移結構只有節點角位移無線位移。8.5 用用位移法計算超靜定結構在荷載作用下的內力位移法計算超靜定結構在荷載作用下的內力1）基本未知量基本未知量為為1 1，2 2節點處的兩個角位移，無節點線位移；節點處的兩個角位移，無節點線位移； 屬于無側移結構。屬于無側移結構。2 2）在節點處附加剛臂，）在節點處附加剛臂，基本體系基本體系如圖。如圖。3) 建立建立位移法的基本方程位移法的基本方程：4) 繪

42、繪單位彎矩圖單位彎矩圖和和MP圖，求系數和自由項（利用節點平衡）圖，求系數和自由項（利用節點平衡）0RZkZk0RZkZk2P222121P22111112M圖圖12 Z8i8i4i4i4i2i122qlPM圖圖1M圖圖4i4i8i2i11 Z1M圖圖4i4i8i2i11 Z2M圖圖12 Z8i8i4i4i4i2i122qlPM圖圖11k4i8i21k4i12k4i22k4i8i8iP1RP2R122qlik1211 ik421 ik412 ik2022 0P1 R122P2qlR 11k21k12k22kP2RP1R5) 代入方程求解基本未知量代入方程求解基本未知量0122040041222

43、121qliiiiZZZZiqliql2246722221ZZPZZMMMM2211最終內力：最終內力：6)6) 按疊加法按疊加法繪制最后彎矩圖繪制最后彎矩圖。請自行作出最終請自行作出最終M圖圖7) 校核：主要對力的平衡關系進行校核。校核：主要對力的平衡關系進行校核。用位移法求解圖示結構。用位移法求解圖示結構。解解：5/5BCiEIi11112210Pr Zr ZR11112210Pr Zr ZR4/4ABiEIEIi4/4CDiEIi3/40.75BEiEIi3/60.5CFiEIi1Z2Z令：4041.741.721Z 11Z 3i3i1.5i4i2i4i2i2i3ii1122PMM ZM

44、 ZM11.7PR 241.7PR1110ri12212rri229ri11.15/Zi24.89/Zi 例例1:用位移法計算圖示剛架用位移法計算圖示剛架,并作彎矩圖并作彎矩圖.E=常數常數.8.5.2 有側移剛架的計算有側移剛架的計算有側移結構有節點線位移，可能有節點角位移。有側移結構有節點線位移，可能有節點角位移。1) 1) 基本未知量基本未知量為中節點處的角位移，邊節點的線位移；為中節點處的角位移，邊節點的線位移； 兩個兩個基本未知量基本未知量, ,屬于有側移結構。屬于有側移結構。2 2）在中節點處加剛臂，在邊節點處附加支桿）在中節點處加剛臂，在邊節點處附加支桿基本體系基本體系如圖。如圖

45、。3)3) 建立位移法的基本方程建立位移法的基本方程：4)4) 繪單位彎矩圖繪單位彎矩圖M M和和MPMP圖，求系數和自由項圖，求系數和自由項0RZkZk0RZkZk2P222121P2211111R1=0基本體系基本體系Z1Z2R2=08Pl單位彎矩圖和荷載彎矩圖示意圖如下單位彎矩圖和荷載彎矩圖示意圖如下: :M1圖圖M2圖圖Z2=13i/l6i/l6i/l3i/lMP圖圖ql2/8ql2/164i6i6ik11=16i6i/lk12 = k21=-6i/lk21 = k12 =-6i/l6i/lk223i/l23i/l212i/l2R2P3ql/8R1P=0k11=16ik12 = k21

46、= - 6i/lk22=18i/l2R1P=0R2P= -3ql/85) 代入方程求解基本未知量代入方程求解基本未知量iqliqlqllililii211283186616224Z , Z 0ZZ00ZZ32121216) 按疊加法按疊加法繪制最后彎矩圖繪制最后彎矩圖。ql2/16ql2/8ql2/83ql2/283ql2/563ql2/56ql2/147) 校核。校核。PZZMMMM2211回顧力法中對稱性的利用：回顧力法中對稱性的利用：目的：目的：1)1)簡化系數或自由項的計算使之盡量多的為零，簡化系數或自由項的計算使之盡量多的為零， 2)2)減少基本未知量或方程數目從而簡化計算。減少基本未知量或方程數目從而簡化計算。1 1、利用對稱性質，直接判定結構在對稱軸處某些內力為零，、利用對稱性質