1、數(shù)學(xué)思維能力提升奧數(shù)五年級上冊*教育教材研發(fā)中心目 錄第一講 平均數(shù)一02第二講 平均數(shù)二05第三講 長方形、正方形的周長06第四講 長方形、正方形的面積07第五講 分類數(shù)圖形10第六講 尾數(shù)和余數(shù)12第七講 一般應(yīng)用題一16第八講 一般應(yīng)用題二18第九講 一般應(yīng)用題三21第十講 數(shù)陣23第十一講 周期問題25第十二講 盈虧問題28第十三講 長方體和正方體一30第十四講 長方體和正方體二32第十五講 長方體和正方體三35第十六講 倍數(shù)問題一38第十七講 倍數(shù)問題二40第十八講 組合圖形的面積一42第十九講 組合圖形的面積二45第二十講 數(shù)字趣味題48第1講 平均數(shù)(一)一、知識要點把幾個不相等

2、的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補(bǔ)少，使它們完全相等，求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。如何靈活運用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問題呢？下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量×平均數(shù)二、精講精練【例題1】 有4箱水果，蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每箱36個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？練習(xí)1：1.一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？2.甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126

3、千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？3.甲、乙、丙三個小組的同學(xué)去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹18棵，甲、丙兩組平均每組植樹17棵，乙、丙兩組平均每組植樹19棵。三個小組各植樹多少棵？【例題2】 一次數(shù)學(xué)測驗，全班平均分是91.2分，女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？練習(xí)2：1.兩組學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平均每人跳140下，乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？2.有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是92.5千克，一塊地是5畝，平均每畝產(chǎn)量是101.5千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是85千克。這塊田是多少畝？

4、3.把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣7元，乙知甲級糖有4千克，平均每千克8元；乙級糖有2千克，平均每千克多少元？【例題3】 某3個數(shù)的平均數(shù)是2.如果把其中一個數(shù)改為4，平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來是多少？練習(xí)3：1.九個數(shù)的平均數(shù)是72.去掉一個數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去掉的數(shù)是多少？2.有五個數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中的一個數(shù)改為1.那么這五個數(shù)的平均數(shù)為8。這個改動的數(shù)原來是多少？3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分?jǐn)?shù)時，把自己的分錯抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在這次考試中得了多少分？【例題4】 五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考

5、試平均成績91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計算成績時將一位同學(xué)的98分誤作89分計算了。經(jīng)重新計算，全班的平均成績是91.7分，五一班有多少名同學(xué)？練習(xí)4：1.五1班有40人，期中數(shù)學(xué)考試，有2名同學(xué)去參加體育比賽而缺考，全班平均分為92分。缺考的兩位同學(xué)補(bǔ)考均為100分，這次五1班同學(xué)期中考試的平均分是多少分？2.某班的一次測驗，平均成績是91.3分。復(fù)查時發(fā)現(xiàn)把張靜的89分誤看作97分計算，經(jīng)重新計算，該班平均成績是91.1分。問全班有多少同學(xué)？3.五個數(shù)的平均數(shù)是18，把其中一個數(shù)改為6后，這五個數(shù)的平均數(shù)是16。這個改動的數(shù)原來是多少？【例題5】 把五個數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是38。前三個數(shù)

6、的平均數(shù)是27，后三個數(shù)的平均數(shù)是48。中間一個數(shù)是多少？練習(xí)5：1.甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？2.十名參賽者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分？3.以下圖中的內(nèi)有五個數(shù)A、B、C、D、E，內(nèi)的數(shù)表示與它相連的所有中的平均數(shù)。求C是多少？第2講 平均數(shù)二二、精講精練【例題1】 小明前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是84分，這次要考100分，才能把平均成績提高到86分。問這是他第幾次測驗？練習(xí)1：1.老師帶著幾個同學(xué)在做花，老師做了21朵，同學(xué)平均每人做

7、了5朵。如果師生合起來算，正好平均每人做了7朵。求有多少個同學(xué)在做花？2.一位同學(xué)在期中測驗中，除了數(shù)學(xué)外，其它幾門功課的平均成績是94分，如果數(shù)學(xué)算在內(nèi)，平均每門95分。他數(shù)學(xué)得了100分，問這位同學(xué)一共考了多少門功課？3.兩組同學(xué)進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳152次。甲組有6人，平均每人跳140次，如果乙組平均每人跳160次，那么，乙組有多少人？【例題2】 小亮在期末考試中，政治、語文、數(shù)學(xué)、英語、自然五科的平均成績是89分，政治、數(shù)學(xué)兩科平均91.5分，政治、英語兩科平均86分，英語比語文多10分。小亮的各科成績是多少分？練習(xí)2：1.甲、乙、丙三個數(shù)的平均數(shù)是82.甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是86，

8、乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)是77。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個數(shù)的平均數(shù)是多少？2.小華的前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是80分，這一次得了100分，正好把這幾次的平均分提高到85分。這一次是他第幾次測驗？3.五個數(shù)排一排，平均數(shù)是9。如果前四個數(shù)的平均數(shù)是7，后四個數(shù)的平均數(shù)是10，那么，第一個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)是多少？【例題3】 兩地相距360千米，一艘汽艇順?biāo)腥绦枰?0小時，這條河的水流速度為每小時6千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？練習(xí)3：1.甲、乙兩個碼頭相距144千米，汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達(dá)甲碼頭，汽船在靜水中每小時行駛21千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達(dá)乙碼頭？2.一艘客

9、輪從甲港駛向乙港，全程要行165千米。客輪的靜水速度是每小時30千米，水速每小時3千米。現(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時？3.甲船逆水航行300千米，需要15小時，返回原地需要10小時；乙船逆水航行同樣的一段水路需要20小時，返回原地需要多少小時？【例題4】 幼兒園小班的20個小朋友和大班的30個小朋友一起分餅干，小班的小朋友每人分10塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2塊。求一共分掉多少塊餅干？練習(xí)4：1.數(shù)學(xué)興趣小組里有4名女生和3名男生，在一次數(shù)學(xué)競賽中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全組的平均分高2分，全組的平均分是多少分？2.兩組同學(xué)跳繩，第一組有25人，平均每

10、人跳80下；第二組有20人，平均每人比兩組同學(xué)跳的平均數(shù)多5下，兩組同學(xué)平均每人跳幾下？3.一個技術(shù)工帶5個普通工人完成了一項任務(wù)，每個普通工人各得120元，這位技術(shù)工人的收入比他們6人的平均收入還多20元。問這位技術(shù)工得多少元？【例題5】 王強(qiáng)從A地到B地，先騎自行車行完全程的一半，每小時行12千米。剩下的步行，每小時走4千米。王強(qiáng)行完全程的平均速度是每小時多少千米？練習(xí)5：1.小明去爬山，上山時每小時行3千米，原路返回時每小時行5千米。求小明往返的平均速度。2.運發(fā)動進(jìn)行長跑訓(xùn)練，他在前一半路程中每分鐘跑150米，后一半路程中每分鐘跑100米。求他在整個長跑中的平均速度。3.把一份書稿平均

11、分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打30個字，乙每分鐘打20個字。打這份書稿平均每分鐘打多少個字？第3講 長方形、正方形的周長一、知識要點同學(xué)們都知道，長方形的周長=長寬×2.正方形的周長=邊長×4。長方形、正方形的周長公式只能用來計算標(biāo)準(zhǔn)的長方形和正方形的周長。如何應(yīng)用所學(xué)知識巧求外表上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學(xué)們靈活應(yīng)用已學(xué)知識，掌握轉(zhuǎn)化的思考方法，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的圖形，以便計算它們的周長。二、精講精練【例題1】 有5張同樣大小的紙如以下圖a重疊著，每張紙都是邊長6厘米的正方形，重疊的局部為邊長的一半，求重疊后圖形的周長。練習(xí)1:1.以下圖由8個邊

12、長都是2厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。2.以下圖由1個正方形和2個長方形組成，求這個圖形的周長。3.有6塊邊長是1厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形的周長。【例題2】 一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米，截掉的面積為192平方厘米。現(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米？練習(xí)2：1.有一個長方形，如果長減少4米，寬減少2米，面積就比原來減少44平方米，且剩下局部正好是一個正方形。求這個正方形的周長。2.有兩個相同的長方形，長是8厘米，寬是3厘米，如果按以下圖疊放在一起，這個圖形的周長是多少？3.有一塊長方形廣場，沿著它不同的兩條邊各劃出2米做綠化帶，剩下的局部仍

13、是長方形，且周長為280米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？【例題3】 以下圖中，甲是正方形，乙是長方形，整個圖形的周長是多少？練習(xí)3：1.有一張長40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個角上各剪去一個同樣大小的正方形后準(zhǔn)備做一個長方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長。2.一個長12厘米，寬2厘米的長方形和兩個正方形正好拼成以下圖1所示長方形，求所拼長方形的周長。3.求下面圖形圖2的周長單位：厘米。圖1圖2   【例題4】 以下圖是邊長為4厘米的正方形，求正方形中陰影局部的周長。練習(xí)4：1.求下面圖形的周長單位：厘米。2.在 里填上“、“或“=。甲的周長 乙的周長3.以下圖中的每一

14、小段的長度都相等，求圖形的周長。【例題5】 如以下圖，陰影局部是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的長方形的周長。練習(xí)5：1.下面三個正方形的面積相等，剪去陰影局部的面積也相等，求原來正方形的周長發(fā)生了什么變化？單位：厘米2.下面是一個零件的平面圖，圖中每條短線段都是5厘米，零件長35厘米，高30厘米。這個零件的周長是多少厘米？3.有兩個相同的長方形，長7厘米，寬3厘米，如以下圖重疊著，求重疊圖形的周長。第4講 長方形、正方形的面積一、知識要點長方形的面積=長×寬，正方形的面積=邊長×邊長。掌握并能運用這兩個面積公式，就能計算它們的面積。但是，在平時的學(xué)習(xí)過程中，我

15、們常常會遇到一些條件比擬隱蔽、圖形比擬復(fù)雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實掌握有關(guān)概念，利用“割補(bǔ)、“平移、“旋轉(zhuǎn)等方法，使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為普通的求長方形、正方形面積的問題，從而正確解答。 二、精講精練【例題1】 大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？練習(xí)1：1.有一塊長方形草地，長20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬2米的小路，求小路的面積。2.正方形的一組對邊增加30厘米，另一組對邊減少18厘米，結(jié)果得到一個與原正方形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米？3.把一個長方形的長增加5分

16、米，寬增加8分米后，得到一個面積比原長方形多181平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？【例題2】 一個大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形，其中三個長方形的面積如以下圖所求，求第四個長方形的面積。練習(xí)2：1.以下圖一個長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分別是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求陰影局部的面積。2.下面一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如下圖單位：平方厘米，求A和B的面積。3.以下圖中陰影局部是邊長5厘米的正方形，四塊完全一樣的長方形的寬是8厘米，求整個圖形的面積。【例題3】 把20分米長的線段分成兩段，并且在每

17、一段上作一正方形，兩個正方形的面積相差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？練習(xí)3：1.一塊正方形，一邊劃出1.5米，另一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來減少了1350平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？2.一個正方形，如果它的邊長增加5厘米，那么，面積就比原來增加95平方厘米。原來正方形的面積是多少平方厘米？3.有一個正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米寬的小路，路面面積是80平方米。求草坪的面積。【例題4】 有一個正方形ABCD如以下圖，請把這個正方形的面積擴(kuò)大1倍，并畫出來。練習(xí)4：1.四個完全一樣的長方形和一個小正方形組成了一個大正方形，如果大、小正方形的面積分別是49平方米

18、和4平方米，求其中一個長方形的寬。2.正圖的每條邊都垂直于與它相鄰的邊，并且28條邊的長都相等。如果此圖的周長是56厘米，那么，這個圖形的面積是多少？3.正圖中，正方形ABCD的邊長4厘米，求長方形EFGD的面積。【例題5】 有一個周長是72厘米的長方形，它是由三個大小相等的正方形拼成的。一個正方形的面積是多少平方厘米？練習(xí)5：1.五個同樣大小的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是36厘米，求每個正方形的面積是多少平方厘米？2.有一張長方形紙，長12厘米，寬10厘米。從這張紙上剪下一個最大的正方形后，剩下局部的周長是多少厘米？3.有一個小長方形，它和一個正方形拼成了一個大長方形ABCD如以

19、下圖，大長方形的面積是35平方厘米，且周長比原來小長方形的周長多10厘米。求原來小長方形的面積。第5講 分類數(shù)圖形一、知識要點我們在數(shù)數(shù)的時候，遵循不重復(fù)、不遺漏的原那么，不能使數(shù)出的結(jié)果準(zhǔn)確。但是在數(shù)圖形的個數(shù)的時候，往往就不容易了。分類數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到圖形的規(guī)律，從而有秩序、有條理并且正確地數(shù)出圖形的個數(shù)。二、精講精練【例題1】 下面圖形中有多少個正方形？練習(xí)1：1.以下圖中共有多少個正方形？2.以下圖中共有多少個正方形？3.以下圖中共有多少個正方形，多少個三角形？【例題2】 以下圖中共有多少個三角形？練習(xí)2：1.下面圖中共有多少個三角形？2.數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形。3.

20、數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形？【例題3】 數(shù)出以下圖中所有三角形的個數(shù)。練習(xí)3：數(shù)出下面圖形中分別有多少個三角形。【例題4】 如以下圖，平面上有12個點，可任意取其中四個點圍成一個正方形，這樣的正方形有多少個？練習(xí)4：1.以下圖中共有8個點，連接任意四點圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形？2.以下圖中共有6個點，連接其中的三點圍成一個三角形，一共能圍成多少個三角形？3.以下圖中共有9個點，連接其中的四個點圍成一個梯形，一共能圍成多少個梯形？【例題5】 數(shù)一數(shù)，以下圖中共有多少個三角形？【思路導(dǎo)航】我們可以分類來數(shù)：練習(xí)5：1.圖中共有 個三角形。2.圖中共有 個三角形。3.圖中共有 個正方

21、形。第6講 尾數(shù)和余數(shù)一、知識要點自然數(shù)末位的數(shù)字稱為自然數(shù)的尾數(shù)；除法中，被除數(shù)減去商與除數(shù)積的差叫做余數(shù)。尾數(shù)和余數(shù)在運算時是有規(guī)律可尋的，利用這種規(guī)律能解決一些看起來無從下手的問題。二、精講精練【例題1】 寫出除213后余3的全部兩位數(shù)。練習(xí)1：1.寫出除109后余4的全部兩位數(shù)。2.178除以一個兩位數(shù)后余數(shù)是3.適合條件的兩位數(shù)有哪些？3.寫出除1290后余3的全部三位數(shù)。【例題2】 1125×125×125××125100個25積的尾數(shù)是幾？221×26×21×26××21×2610

22、0個21×26積的尾數(shù)是幾？練習(xí)2：1.21×21×21××2150個21積的尾數(shù)是幾？2.1.5×1.5×1.5××1.5200個1.5積的尾數(shù)是幾？3.12×63×12×63×12×63××12×631000個12×63積的尾數(shù)是幾？【例題3】 14×4×4××450個4積的個位數(shù)是幾？29×9×9××951個9積的個位數(shù)是幾？練習(xí)3

23、：1.24×24×24××242001個24，積的尾數(shù)是多少？2.1×2×3××98×99，積的尾數(shù)是多少？3.94×94×94××94102個9449×49××49101個49，差的個位是多少？【例題4】 把1/7化成小數(shù)，那么小數(shù)點后面第100位上的數(shù)字是多少？練習(xí)4：1.把1/11化成小數(shù)，求小數(shù)點后面第2001位上的數(shù)字。2.5/7寫成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點后第50個數(shù)字是幾？3.有一串?dāng)?shù)：5、8、13、21、34、55、89，其中

24、，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前兩個數(shù)的和。在這串?dāng)?shù)中，第1000個數(shù)被3除后所得的余數(shù)是多少？【例題5】 555552001個5÷13.當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？練習(xí)5：1.4444÷6100個4，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？2.當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)各是幾？16666÷4100個624444÷74200個438888÷7200個841111÷750個1第7講 一般應(yīng)用題一一、知識要點一般復(fù)合應(yīng)用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，有的條件是間接的，數(shù)量關(guān)系比擬復(fù)雜，表達(dá)的方式和順序也比擬多樣。因此，一般應(yīng)用題沒有明顯的結(jié)構(gòu)特征和解題

25、規(guī)律可循。解答一般應(yīng)用題時，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求問題綜合法；也可以從問題出發(fā)，找出必須的兩個條件分析法。在實際解時，可以根據(jù)題中的條件，靈活運用這兩種方法。二、精講精練【例題1】 五年級有六個班，每班人數(shù)相等。從每班選16人參加少先隊活動，剩下的同學(xué)相當(dāng)于原來4個班的人數(shù)。原來每班多少人？練習(xí)1：1.五個同學(xué)有同樣多的存款，假設(shè)每人拿出16元捐給“希望工程后，五位同學(xué)剩下的錢正好等于原來3人的存款數(shù)。原來每人存款多少？2.把一堆貨物平均分給6個小組運，當(dāng)每個小組都運了68箱時，正好運走了這堆貨物的一半。這堆貨物

26、一共有多少箱？3.老師把一批樹苗平均分給四個小隊栽，當(dāng)每隊栽了6棵時，發(fā)現(xiàn)剩下的樹苗正好是原來每隊分得的棵數(shù)。這批樹苗一共有多少棵？【例題2】 某車間按方案每天應(yīng)加工50個零件，實際每天加工56個零件。這樣，不僅提前3天完成原方案加工零件的任務(wù)，而且還多加工了120個零件。這個車間實際加工了多少個零件？練習(xí)2：1.汽車從甲地開往乙地，原方案每小時行40千米，實際每小時多行了10千米，這樣比原方案提前2小時到達(dá)了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？2.小明騎車上學(xué)，原方案每分鐘行200米，正好準(zhǔn)時到達(dá)學(xué)校，有一天因下雨，他每分鐘只能行120米，結(jié)果遲到了5分鐘。他家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？3.加工一批零件，原方

27、案每天加工80個，正好按期完成任務(wù)。由于改良了生產(chǎn)技術(shù)，實際每天加工100個，這樣，不僅提前4天完成加工任務(wù)，而且還多加工了100個。他們實際加工零件多少個？【例題3】 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6個零件，乙中途停了15天沒有加工。40天后，乙所加工的零件個數(shù)正好是甲的一半。這時兩人各加工了多少個零件？練習(xí)3：1.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10個。途中乙因事休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，這時兩人各加工帽子多少個？2.甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時比乙車多行20千米。途中乙因修車用了2小時，6小時后甲車到達(dá)兩地中點，而乙車才行了甲車

28、所行路程的一半。A、B兩地相距多少千米？3.甲、乙兩人承包一項工程，共得工資1120元。甲工作了10天，乙工作了12天，且甲5天的工資和乙4天的工資同樣多。求甲、乙每天各分得工資多少元？【例題4】 服裝廠要加工一批上衣，原方案20天完成任務(wù)。實際每天比方案多加工60件，照這樣做了15天，就超過原方案件數(shù)350件。原方案加工上衣多少件？練習(xí)4：1.用汽車運一堆煤，原方案8小時運完。實際每小時比原方案多運1.5噸，這樣運了6小時就比原方案多運了3噸。原方案8小時運多少噸煤？2.汽車從甲地開往乙地，原方案10小時到達(dá)。實際每小時比原方案多行15千米，行了8小時后，發(fā)現(xiàn)已超過乙20千米。甲、乙兩地相距

29、多少千米？3.小明看一本書，原方案8天看完。實際每天比原方案少看了4頁。這樣，用10天才看完了這本書。這本書一共有多少頁？【例題5】 王師傅原方案每天做60個零件，實際每天比原方案多做20個，結(jié)果提前5在完成任務(wù)。王師傅一共做了多少個零件？練習(xí)5：1.食堂準(zhǔn)備了一批煤，原方案每天燒0.8噸，實際每天比原方案節(jié)約了0.1噸，這樣比原方案多燒了2天。這批煤一共有多少噸？2.造紙廠生產(chǎn)一批紙，方案每天生產(chǎn)13.5噸，實際每天比原方案多生產(chǎn)1.5噸，結(jié)果提前2.5天完成了任務(wù)。實際用了多少天？3.機(jī)床廠生產(chǎn)一批機(jī)床，原方案每天生產(chǎn)15臺，實際每天生產(chǎn)18臺，這樣比原方案提前3天完成了任務(wù)。這批機(jī)床一共

30、有多少臺？第8講 一般應(yīng)用題二一、知識要點較復(fù)雜的一般應(yīng)用題，往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，但是，再復(fù)雜的應(yīng)用題都可以通過“轉(zhuǎn)化向根本的問題靠攏。因此，我們在解答一般應(yīng)用題時要善于分析，把復(fù)雜的問題簡單化，從而正確解答。二、精講精練【例題1】 工程隊要鋪設(shè)一段地下排水管道，用長管子鋪需要25根，用短管子鋪需要35根。這兩種管子的長相差2米，這段排水管道長多少米？練習(xí)1：1.生產(chǎn)一批零件，甲單獨生產(chǎn)要用6小時，乙單獨生產(chǎn)要用8小時。如果甲每小時比乙多生產(chǎn)10個零件，這批零件一共有多少個？2.一班的小朋友在操場上做游戲，每組6人。玩了一會兒，他們覺得每組人數(shù)太少便重新分組，正好每組9

31、人，這樣比原來減少了2組。參加游戲的小朋友一共有多少人？3.甲、乙二人同時從A地到B地，甲經(jīng)過10小時到達(dá)了B地，比乙多用了4小時。二人的速度差是每小時5千米，求甲、乙二人每小時各行多少千米？【例題2】 甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢買一批蘋果，分配時甲、乙都比丙多拿24千克。結(jié)帳時，甲和乙都要付給丙24元，每千克蘋果多少元？練習(xí)2：1.甲和乙拿出同樣多的錢買相同的鉛筆假設(shè)干支，分鉛筆時，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又給了乙6角錢。每支鉛筆多少錢？2.春游時小明和小軍拿出同樣多的錢買了6個面包，中午發(fā)現(xiàn)小紅沒有帶食品，結(jié)果三人平均分了這些面包，而小紅分別給了小明和小軍各2.2元錢。每個面包

32、多少元？3.“六一兒童節(jié)時同學(xué)們做紙花，小華買來了7張紅紙，小英買來了和紅紙同樣價格的5張黃紙。老師把這些紙平均分給了小華、小英和另外兩名同學(xué)，結(jié)果另外兩名同學(xué)共付給老師9元錢。老師把9元錢怎樣分給小華和小英？【例題3】 甲城有177噸貨物要跑一趟運到乙城。大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大、小卡車跑一趟的耗油量分別是10升和5升。用多少輛大卡車和小卡車來運輸時耗油最少？練習(xí)3：1.五名選手在一次數(shù)學(xué)競賽中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整數(shù)。如果最高分是90分，那么得分最少的選手至少得多少分？2.用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張，那么最多可以買1角的郵票多少張？3

33、.某班有60人，其中42人會游泳，46人會騎車，50人會溜冰，55人會打乒乓球。可以肯定至少有多少人四項都會？【例題4】 有一棟居民樓，每家都訂2份不同的報紙，該居民樓共訂了三種報紙，其中北京日報34份，江海晚報30份，電視報22份。那么訂江海晚報和電視報的共有多少家？練習(xí)4：1.五1班全體同學(xué)每人帶2個不同的水果去慰問解放軍叔叔，全班共帶了三種水果，其中蘋果40個，梨32個，桔子26個。那么，帶梨和桔子的有多少個同學(xué)？2.在一次慶祝“六一兒童節(jié)活動中，一個方隊的同學(xué)每人手里都拿兩種顏色的氣球，共有紅、黃、綠三種顏色。其中紅色有56只，黃色的有60只，綠色的有46只。那么，手拿紅、綠兩種氣球的

34、有多少個同學(xué)？3.學(xué)校開設(shè)了音樂、球類和美術(shù)三個興趣小組，第一小隊的同學(xué)們每人都參加了其中的兩個小組，其中9人參加球類小組，6人參加美術(shù)小組，7人參加音樂小組的活動。參加美術(shù)和音樂小組活動的有多少個同學(xué)？【例題5】 一艘輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺抽水機(jī)向外抽水，此時已進(jìn)水800桶。一臺抽水機(jī)每分鐘抽水18桶，另一臺每分鐘抽水14桶，50分鐘把水抽完。每分鐘進(jìn)水多少桶？練習(xí)5：1.一個水池能裝8噸水，水池里裝有一個進(jìn)水管和一個出水管。兩管齊開，20分鐘能把一池水放完。進(jìn)水管每分鐘往池里進(jìn)水0.8噸，求出水管每分鐘放水多少噸？2.某工地原有水泥120噸。因工程需要，又派5輛卡車往工地送水泥，平

35、均每輛卡車每天送25噸，3天后工地上共有水泥101噸。這個工地平均每天用水泥多少噸？3.一堆貨物重96噸，甲隊用16小時運完，乙隊用24小時運完。如果讓兩隊同時合運，幾小時運完？第9講 一般應(yīng)用題三一、知識要點解答一般應(yīng)用題時，可以按下面的步驟進(jìn)行：1.弄清題意，找出條件和所求問題；2.分析條件和所求問題之間的關(guān)系，找出解題的途徑；3.擬定解答方案，列出算式，算出得數(shù)；4，檢驗解答方法是否合理，結(jié)果是否正確，最后寫出答案。二、精講精練【例題1】 甲、乙兩工人生產(chǎn)同樣的零件，原方案每天共生產(chǎn)700個。由于改良技術(shù)，甲每天多生產(chǎn)100個，乙的日產(chǎn)量提高了1倍，這樣二人一天共生產(chǎn)1020個。甲、乙原

36、方案每天各生產(chǎn)多少個零件？練習(xí)1：1.工廠里有2個鍋爐，原來每月燒煤5.6噸。進(jìn)行技術(shù)改造后，1號鍋爐每月節(jié)約1噸煤，2號鍋爐每月燒煤量減少了一半，現(xiàn)在每月共燒煤3.5噸。原來兩個鍋爐每月各燒煤多少噸？2.甲、乙兩人生產(chǎn)同樣的零件，原方案每天共生產(chǎn)80個。由于更換了機(jī)器，甲每天多做40個，乙每天生產(chǎn)的是原來的4倍，這樣二人一天共生產(chǎn)零件300個。甲、乙原方案每天各生產(chǎn)多少個零件？3.甲、乙兩隊合挖一條水渠，原方案兩隊每天共挖100米，實際甲隊因有人請假，每天比方案少挖15米，而乙隊由于增加了人，每天挖的是原方案的2倍，這樣兩隊每天一共挖了150米。求兩隊原方案每天各挖多少米？【例題2】 把一根

37、竹竿插入水底，竹竿濕了40厘米，然后將竹竿倒轉(zhuǎn)過來插入水底，這時，竹竿濕的局部比它的一半長13厘米。求竹竿的長。練習(xí)2：1.有一根鐵絲，截去一半多10厘米，剩下的局部正好做一個長8厘米，寬6厘米的長方形框架。這根鐵絲原來長多少厘米？2.有一根竹竿，兩頭各截去20厘米，剩下局部的長度比截去的4倍少10厘米。這根竹竿原來長多少厘米？3.兩根電線一樣長，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下局部第一根是第二根長度的4倍。兩根電線原來各長多少米？【例題3】 將一根電線截成15段。一局部每段長8米，另一局部每段長5米。長8米的總長度比長5米的總長度多3米。這根鐵絲全長多少米？練習(xí)3：1.某人過一個小

38、山坡共用了20分鐘，他上坡每分鐘走80米，下坡每分鐘走102米。上坡路比下坡路少220米。這段小坡路全長多少米？2.食堂里買來15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。買回的大米比面粉多165千克，求買回大米、面粉各多少千克？3.老師買回兩種筆共16支獎給三好學(xué)生，其中鉛筆每支0.4元，圓珠筆每支1.2元，買圓珠筆比買鉛筆共多用了1.6元。求買這些筆共用去多少錢？【例題4】 甲、乙兩名工人加工一批零件，甲先花去2.5小時改裝機(jī)器，因此前4小時甲比乙少做400個零件。又同時加工4小時后，甲總共加工的零件反而比乙多4200個。甲、乙每小時各加工零件多少個？練習(xí)4：1.甲、乙二人同時從A

39、地去B地，前3小時，甲因修車1小時，因此乙鄰先于甲4千米。又經(jīng)過3小時，甲反而領(lǐng)先了乙17千米。求二人的速度。2.師徒二人生產(chǎn)同一種零件，徒弟比師傅早2小時開工，當(dāng)師傅生產(chǎn)了2小時后，發(fā)現(xiàn)自己比徒弟少做20個零件。二人又生產(chǎn)了2小時，師傅反而比徒弟多生產(chǎn)了10個。師傅每小時生產(chǎn)多少個零件？3.甲每小時生產(chǎn)12個零件，乙每小時生產(chǎn)8個零件。一次，二人同時生產(chǎn)同樣多的零件，結(jié)果甲比乙提前5小時完成了任務(wù)。問：甲一共生產(chǎn)了多少個零件？【例題5】 加工一批零件，單給甲加工需10小時，單給乙加工需8小時。甲每小時比乙少做3個零件，這批零件一共有多少個？練習(xí)5：1.快、慢兩車同時從甲地開往乙地，行完全程快

40、車只用了4小時，而慢車用了6.5小時。快車每小時比慢車多行25千米。甲、乙兩地相距多少千米？2.媽媽去買水果，她所帶的錢正好能買18千克蘋果或25千克的梨。每千克梨比每千克蘋果廉價0.7元，媽媽一共帶了多少錢？3.師徒二人加工零件，師傅6小時加工的零件和徒弟8小時加工的零件相等。如果師傅每小時比徒弟多加工3個零件，那么，徒弟每小時加工多少個零件？第10講 數(shù)    陣一、知識要點填“幻方是同學(xué)們比擬熟悉的一種數(shù)學(xué)游戲，由幻方演變出來的數(shù)陣問題，也是一類比擬常見的填數(shù)問題。這里，和同學(xué)們討論一些數(shù)陣的填法。解答數(shù)陣問題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法，二是試驗法。待定數(shù)

41、法就是先用字母或符號表示滿足條件的數(shù)，通過分析、計算來確定這些字母或符號應(yīng)具備的條件，為解答數(shù)陣問題提供方向。試驗法就是根據(jù)題中所給條件選準(zhǔn)突破口，確定填數(shù)的可能范圍。把分析推理和試驗法結(jié)合起來，再由填數(shù)的可能情況，確定應(yīng)填的數(shù)。二、精講精練【例題1】 把5、6、7、8、9五個數(shù)分別填入以下圖的五個方格里，如圖a使橫行三個數(shù)的和與豎行三個數(shù)的和都是21。練習(xí)1：1.把110各數(shù)填入“六一的10個空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是12。2.把19各數(shù)填入“七一的9個空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是13。3.將17七個自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里，使每條線上三個數(shù)的和相等。【例題2】 將110

42、這十個數(shù)填入以下圖小圓中，使每個大圓上六個數(shù)的和是30。練習(xí)2：1.把18八個數(shù)分別填入以下圖的內(nèi)，使每個大圓上五個內(nèi)數(shù)的和相等。2.把110這十個數(shù)分別填入以下圖的內(nèi)，使每個四邊形頂點的內(nèi)四個數(shù)的和都相等，且和最大。3.將18八個數(shù)填入以下圖方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中間四格以及對角線四格內(nèi)四個數(shù)的和都是18。【例題3】 將16這六個數(shù)分別填入以下圖的圓中，使每條直線上三個圓內(nèi)數(shù)的和相等、且最大。練習(xí)3：1.將16六個數(shù)分別填入以下圖的內(nèi)，使每邊上的三個內(nèi)數(shù)的和相等。2.將19九個數(shù)分別填入以下圖內(nèi)，使每邊上四個內(nèi)數(shù)的和都是17。3.將18八個數(shù)分別填入以下圖的內(nèi)，使每條

43、安上三個數(shù)的和相等。【例題4】 將17分別填入以下圖的7個內(nèi)，使每條線段上三個內(nèi)數(shù)的和相等。  練習(xí)4：1.將19填入以下圖的中，使橫、豎行五個數(shù)相加的和都等于25。2.將111這十一個數(shù)分別填進(jìn)以下圖的里，使每條線上3個內(nèi)的數(shù)的和相等。3.將18這八個數(shù)分別填入以下圖內(nèi)，使外圓四個數(shù)的和，內(nèi)圓四個數(shù)的和以及橫行、豎行上四個數(shù)的和都等于18。【例題5】 如以下圖(a)四個小三角形的頂點處有六個圓圈。如果在這些圓圈中分別填上六個質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個小三角形三個頂點上的數(shù)的和相等。問這六個質(zhì)數(shù)的積是多少？練習(xí)5：1.將九個不同的自然數(shù)填入下面方格中，使每行、每列、每條

44、對角線上三個數(shù)的積都相等。2.將19九個自然數(shù)分別填入以下圖的九個小三角形中，使靠近大三角形每條邊上五個數(shù)的和相等，并且盡可能大。這五個數(shù)之和最大是多少？3.將19九個數(shù)分別填入以下圖內(nèi)，使外三角形邊上內(nèi)數(shù)之和等于里面三角形邊上內(nèi)數(shù)之和。第11講 周期問題一、知識要點周期問題是指事物在運動變化的開展過程中，某些特征循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫做周期。在數(shù)學(xué)上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而且平時解題時也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問題。這些數(shù)學(xué)問題只要我們開展某種周期現(xiàn)象，并充分加以利用，把要求的問題和某一周期的等式相對應(yīng)，就能找到解題關(guān)鍵。二、精講精練【例題1】 流水線上生產(chǎn)小木

45、球涂色的次序是：先5個紅，再4個黃，再3個綠，再2個黑，再1個白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白如此涂下去，到2001個小球該涂什么顏色？練習(xí)1：1.跑道上的彩旗按“三面紅、兩面綠、一面黃的規(guī)律插下去，第50面該插什么顏色？2.有一串珠子，按4個紅的，3個白的，2個黑的順序重復(fù)排列，第160個是什么顏色？3.1/7=0.142857142857，小數(shù)點后面第100個數(shù)字是多少？【例題2】 有47盞燈，按二盞紅燈、四盞藍(lán)燈、三盞黃燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏色的？三種顏色的燈各占總數(shù)的幾分之幾？練習(xí)2：1.有68面彩旗，按二面紅的、一面綠的、三面黃的排列著，這些彩旗中，紅旗占黃旗的

46、幾分之幾？2.黑珠和白珠共2000顆，按規(guī)律排列著：，第2000顆珠子是什么顏色的？其中，黑珠共有多少顆？3.在100米長的跑道兩側(cè)每隔2米站著一個同學(xué)。這些同學(xué)以一端開始，按先兩個女生，再一個男生的規(guī)律站立著。這些同學(xué)中共有多少個女生？【例題3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期幾？練習(xí)3：1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期幾？2.如果今天是星期五，再過80天是星期幾？3.以今天為標(biāo)準(zhǔn)，算一算今年自己的生日是星期幾？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25 【例題4】 將奇數(shù)如以下圖排

47、列，各列分別用A、B、C、D、E為代表，問：2001所在的列以哪個字母為代表？練習(xí)4：1.將偶數(shù)2、4、6、8、按以下圖依次排列，2021出現(xiàn)在哪一列？2.把自然數(shù)按以下規(guī)律排列，865排在哪一列？A B C D E8 6 4 210 12 14 1624 22 20 1826 28 30 32 A B C D1 2 36 5 47 8 912 11 10 3. 上表中，將每列上下兩個字組成一組，如第一組為小熱，第二組為學(xué)愛。求第460組是什么？【例題5】 8888100個8÷7，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？練習(xí)5：1.4444100個4÷3當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？2.4444

48、100個4÷6當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？3.11111000個1÷7當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？第12講 盈虧問題一、知識要點盈虧問題又叫盈缺乏問題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標(biāo)準(zhǔn)分，那么分配后會有剩余盈；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，分配后又會有缺乏虧，求物品的數(shù)量和分配對象的數(shù)量。例如：把一代餅干分給小班的小朋友，每人分3塊，多12塊；如果每人分4塊，少8塊。小朋友有多少人？餅干有多少塊？這種一盈一虧的情況，就是我們通常說的標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題。盈虧問題的根本數(shù)量關(guān)系是：盈虧÷兩次所分之差=人數(shù)；還有一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題，它們被分為四類：1.兩盈：兩次分配都有多

49、余；2.兩缺乏：兩次分配都不夠；3.盈適足：一次分配有余，一次分配夠分；4，缺乏適足：一次分配不夠，一次分配正好。一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題都是由標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題演變過來的。解題時我們可以記住：1.“兩虧問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次虧數(shù)的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；2.“兩盈問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；3.“一盈一虧問題的數(shù)量關(guān)系是：盈與虧的和÷兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)。二、精講精練【例題1】 某校乒乓球隊有假設(shè)干名學(xué)生，如果少一名女生，增加一名男生，那么男生為總數(shù)的一半；如果少一名男生，增加一名女生，那么男生為女生人數(shù)的一半。

50、乒乓球隊共有多少名學(xué)生？練習(xí)1：1.學(xué)校買來了白粉筆和彩色粉筆假設(shè)干盒，如果白粉筆減少10盒，彩色粉筆增加8盒，兩種粉筆就同樣多；如果再買10盒白粉筆，白粉筆的盒數(shù)就是彩色粉筆的5倍。學(xué)校買來兩種粉筆各多少盒？2.操場上有兩堆貨物，如果甲堆增加80噸，乙堆增加25噸，那么兩堆貨物一樣重；苦甲、乙兩堆各運走5噸，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。兩堆貨物一共有多少噸？3.五1班的優(yōu)秀學(xué)生中，苦增加2名男生，減少1名女生，那么男、女生人數(shù)同樣多；苦減少1名男生，增加1名女生，那么男生是女生的一半。這些優(yōu)秀學(xué)生中男、女生各多少人？【例題2】 幼兒園老師拿出蘋果發(fā)給小朋友。如果平均分給小朋友，那么少4個；如

51、果每個小朋友只發(fā)給4個，那么老師自己也能留下4個。有多少個小朋友？共有多少個蘋果？練習(xí)2：1.給小朋友分梨，如果每人分4個，那么多9個；如果每人分5個，那么少6個。有多少個小朋友？有多少個梨？2.老把一些鉛筆獎給三好學(xué)生。每人5支那么多4支，每人7支那么少4支。老師有多少支鉛筆？獎給多少個三好學(xué)生？3.有一個班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每船坐6人；如果減少一條船，正好每條船上坐9人。這個班一共有多少個同學(xué)？【例題3】 幼兒園老師將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的學(xué)生每人5個余10個；如果分給小班的學(xué)生每人8個缺2個。大班比小班多3人，這筐蘋果有多少個？練習(xí)3：1.一些學(xué)生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒有磚可搬。這些學(xué)生有多少人？這批磚有多少塊？2.老師給幼兒園小朋友分糖，每人3塊還多10塊；如果減少2個小朋友再分，每人4塊還多7塊。原來有多少個小朋友？有多少塊糖？3.筑路隊方案每天筑路720米，正好按期筑完。實際每天多筑80米，這樣，比原方案提前3天完成了筑路任務(wù)。要筑的路有多長？【例題4】 幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？練習(xí)4：1.老師把一批書借給甲組同學(xué)，平均每人借4本。如果只借給甲組的女同