1、重溫圓的歷史名題，體驗數(shù)學(xué)文化 羅志華1 張映姜2 （1廣東省湛江教育學(xué)院 2湛江師范學(xué)院數(shù)科院 廣東湛江 524048）生活中無處不有圓，無時不見圓。我們對圓很熟悉。用圓、玩圓，我國如“沒有規(guī)矩，不成方圓”，“人有悲歡離合，月有陰睛圓缺”等好多成語中都有一字“圓”。民間活動、大型活動也有用圓表示的習(xí)俗。如圓圓的五環(huán)，孕育奧運精神，牽動全球，連通世界。國際上有圓桌會議，與會者圍圓桌而坐，共同協(xié)商，平等交流。哥倫布繞地球一圈，發(fā)現(xiàn)地球是圓的。圓是最基本的圖形，也是最簡單的曲線。我們知道，小學(xué)講圓的周長、面積、對稱性。中學(xué)也講圓，主要講圓的幾何性質(zhì)，圓的方程，圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系等。可是在中

2、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，我們幾乎沒看到人類有關(guān)圓的活動，察覺不到人在圓中的痕跡。而事實上，自古至今，人類對圓給予了充分的關(guān)注，早已研究發(fā)現(xiàn)太陽、地球是圓的，留下了求地球半徑、周長、圓周率、面積經(jīng)典問題，也流傳著化圓為方、歐拉圓、拿破侖四等分圓等許多歷史名題，這一些都深深地打上人類活動的烙印，體現(xiàn)了人類對圓的執(zhí)著、對圓的熱情，反映著人類對圓的欣賞，平面中最美的圖形是圓，立體圖形中最美的是球。我們會發(fā)現(xiàn)，在人類的研究過程中，圓成為數(shù)學(xué)模型，去刻劃、描述天體物體的運動規(guī)律，其中也給予我們許多經(jīng)典的歷史名題，展示了人類在圓的研究過程中巧妙的思維方式和思維方法，重溫這些圓的歷史名題，既能學(xué)習(xí)前人絕妙的思維，又能

3、繼承人類的探索精神，既讓我們驚嘆人類對圓的執(zhí)著熱愛，又能給我們提供對圓美的欣賞，讓我們滋潤于數(shù)學(xué)文化豐富的營養(yǎng)之中。1人類天體研究繁衍出許多經(jīng)典名題（一）O古時侯，很多人猜測地球是圓的。泰勒斯認(rèn)為，地球乃是浮在水面上的一塊圓盤。亞里士多德（公元前384-前322）從月蝕推測地球是圓的。他在論天中明確寫道： 在月蝕時，它的外線總是彎曲的；既然月蝕是由于地球插入（太陽與月亮）其間，那么，它外線的那種形狀就應(yīng)是地球的表面所造成的，所以，地球必定是圓球形（史寧中，2009）。公元前320，歐幾里得的幾何原本里用圓去描述球，半圓繞著直徑旋轉(zhuǎn)一周而回到初始位置時，這樣描繪的形狀就是球。古希臘學(xué)者埃拉托色尼

4、認(rèn)為，太陽離地球很遠(yuǎn)，太陽光應(yīng)平行地照在地球上，而地球上有的地方有影子，有的地方?jīng)]有影子，這就說明地球是圓的。那么地球的周長、半徑是多少。這是早期數(shù)學(xué)家努力去解決的問題。（二）（1） 埃拉托色尼是第一個驗證地球是圓的，并準(zhǔn)確計算地球周長（魯品越 , 1992）。如圖一，希倫（S）在亞里山大（A）的正南方，點O是地球的球心。如圖一，仲夏的某天，太陽在希倫S的正天頂上，太陽能映在水井里；同一時刻，在亞里山大城A測得的太陽光對鉛垂線ON的角，即PAN是，一般認(rèn)為太陽光線AP、SQ是平行的。因此，QON=PAN=，是的，地球周長是弧AS長的48倍。他們測得了A、S兩地的距離，于是地球周長大約是3.9萬

5、公里。這與現(xiàn)代較準(zhǔn)確的結(jié)果4萬公里相差無幾。（2） 10世紀(jì),中亞細(xì)亞阿爾·婆羅尼曾創(chuàng)造一個簡潔而非常有新意的方法,去測量地球半徑.如圖二。用現(xiàn)代的記號表示是: , 即有其中h是測量出人所在位置的高度,R是地球的半徑.（3） 10世紀(jì)，阿拉伯的比魯尼三角學(xué)方面造詣很深,也曾創(chuàng)造性地給出了測量地球半徑的方法。首先用帶有刻度的正方形ABCD測出山高,其中.再在山頂T處懸掛一直徑為SP可以轉(zhuǎn)動的圓環(huán)MPNS,如圖.從山頂T觀測地平線上一點I,測得俯角（三）.由于=, , .得到,從而算出地球半徑2數(shù)學(xué)家與化圓為方化圓為方是歷史上在近兩千年內(nèi)尺規(guī)作圖三大重要問題之一。曾研究指出，化圓為方的問

6、題，可以通過轉(zhuǎn)化為正多邊形而獲得解決。如果把圓能化為正多邊形，而正多邊形容易化為正方形了。這似乎為尺規(guī)作圖中化圓為方問題提供解決思路。化圓為方的另一思路是，把半月形或皮刀匠形能化歸為直線形，問題也能獲得解決。在這樣的研究思路中，出現(xiàn)了希波克拉底的半月形和阿基米德皮刀匠形這兩個最有名的問題。（四）（1） 希波克拉底與半月形（五）用圓規(guī)、直尺：化圓為方即作一正方形，使其面積等于給定圓形的面積。三等分角即三等分弧。公元前430，享有盛名的希波克拉底，利用圓的特征把曲線面積化為直線形面積的方法，把兩個半月形的面積化為三角形的面積。如圖四，等腰直角三角形ABC，以AB,BC,AC為直徑分別作三個半圓，整

7、個圖形除去以AB為直徑的半圓，得到兩個半月形。利用畢達(dá)哥拉斯定理得到，AB為直徑的半圓的面積等于BC為直徑的半圓面積與AC為直徑的半圓的面積之和，各自除去AB為直徑的半圓上弦BC、AC所對的弓形面積，則直角三角形ABC的面積等于兩個半月形的面積。（2） 阿基米德與皮匠刀形皮匠刀形即三個半圓間的曲線圖形。如圖五，阿基米德首先研究并提出命題： 大半徑圓內(nèi)含兩個相切的小半圓。三個半圓間的曲線圖形，即皮匠刀形的面積等于兩個小半圓公切線長為直徑的圓的面積。 因為 AB2=AN2+BN2+2ANBN= AN2+BN2+2PN2所以 AB2AN2BN22PN2再由圓與圓的面積比等于其半徑平方之比易得證命題成

8、立。（3） 阿基米德等與圓的正多邊形(六)最偉大的數(shù)學(xué)家之一阿基米德，對圓的研究給予了極大的關(guān)注，阿基米德是用圓內(nèi)接正n方形和圓的外切正n邊形來估算的。如圖六。其圓的度量中研究認(rèn)為，圓的面積等于一直角三角形的面積，此直角三角形的兩條直角邊分別等于圓的半徑和圓周；圓的面積與其直徑上的正方形面積之比，近似地等于11：14.圓周比直徑的三倍大，所大部分小于直徑的，大于直徑的。除此以外，我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之也是利用圓的正多邊形去估算圓周率的，并給出了精確度非常高的圓周率的近似值。圓的正多邊形的尺規(guī)作圖也是最有誘惑力的問題之一。正多邊形尺規(guī)作圖與費爾馬數(shù)還有緊密關(guān)系。大數(shù)學(xué)家高斯也研究正十七邊形的尺規(guī)作

9、圖問題并成功獲得解決。3開普勒巧妙求圓的面積圓的面積是歷來是人類非常關(guān)心的問題，尋求求圓面積的方法。開普勒對圓進(jìn)行深入的研究。開普勒把半徑為r的圓分割為無數(shù)個相同的微小扇形，每個微小的扇形近似看作小等腰三角形，無數(shù)個小等腰三角形的底邊xi構(gòu)成圓周。如圖（三），于是，圓的面積就是（七） （八）也有記載認(rèn)為， 開普勒采用了一種有趣的方法：將圓等分為2n個小扇形，如圖七，然后把2n個小扇形剪開放在一起，拼成如圖八所示的近似平行四邊形，平行四邊形的高近似等于圓的半徑r，平行四邊形的底約等于半圓的弧長r，于是圓的面積等于近似平行四邊形的面積r2，從而解決了圓的面積問題。通過對圓的分割、拼湊求其面積，我們

10、可以發(fā)現(xiàn)人類是如何猜測圓的面積。（六）4拿破侖四等分圓尺規(guī)作圖深受數(shù)學(xué)家及廣大數(shù)學(xué)愛好者的喜歡。更為甚者，有人對作圖工具提出更加嚴(yán)格的限制，竟然提出單尺、單規(guī)進(jìn)行幾何作圖。其中，軍事、政治才能都顯赫于世的法國皇帝、統(tǒng)帥拿破侖，對單規(guī)作圖十分感興趣，利用單規(guī)對圓四等分。傳說他竟然在馬背上顛簸出用單規(guī)四等分圓的妙法。具體作法：令O的半徑為R. 如圖九。(1) 在O上任取一點 A,以R為半徑,自點A起,順次截取三段相等的弧AB、BC、CD.（九）(2) 分別以A、D為圓心.以AC為半徑作弧，兩弧交于點E.(3) 以A為圓心,OE為半徑作弧交O于G、H兩點，則A、G、D、H四點即為O的四等分點。并證明

11、如下:連AC、DC和AE、OE易見AD是O的直徑，且. 在RTACD中,可知 則在RTAOE中,算出而 A、G、D、H為O的四等分點。5數(shù)學(xué)家與共點圓從古到今，五點圓、九點圓等共點圓問題一直受到大家關(guān)注的，經(jīng)久不衰。由此而引出了歐拉圓、泰勒圓、Miquel圓、費爾巴哈圓、或龐斯萊圓等。還提出了泰勒斯定理、五圓定理、Miquel定理。當(dāng)然，最有名的還是數(shù)九點圓，它是一個著名的幾何學(xué)問題。（十）（1）歐拉圓歐拉圓又叫做九點圓、費爾巴哈圓、或龐斯萊圓，如圖（十），拖動三角形ABC任一頂點，三邊的中點,三高的垂足、頂點與垂心連線希的中點總是九點在同一個圓上。公元1882年，K.W.費爾巴哈證明了三角形

12、的九點圓與其內(nèi)切圓及旁切圓之間存在充滿魅力的關(guān)系，證明了三角形的九點圓同時切于三角形的內(nèi)切圓和它的三個旁切圓（單墫，2002）。（2）Miquel圓在任意五角星ABCDE中，如圖十一，AJF,BGF,CGH,DHI,EIJ的外接圓依次相交于點N、M、O、L、K。那么，點N、M、O、L、K五點圓。即就是五圓定理，此圓稱為Miquel圓。（十二）（十一）有很多人對它感興趣，如張景中教授在計算機(jī)怎樣解幾何題給出了證法，江澤民先生等為對五點共圓進(jìn)行證明，還特意向張景中院士請教。在出席澳門回歸一周年慶典時，江先生對澳門的中學(xué)生給了這道五點共圓題。這又引起包括中學(xué)生在內(nèi)的很多人的興趣。對五個點共圓的證明，

13、著名數(shù)學(xué)家丘成桐說，他也要想半小時才行。畢竟是歷史名題，曾有很多人關(guān)注過，自然在一些書中，如單墫的數(shù)學(xué)名題詞典第429頁中就能找到五點共圓的證明。（3）數(shù)學(xué)家Louis Brand與八點圓1944年，數(shù)學(xué)家Louis Brand提出了八點圓呢。在四邊形ABCD中，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，由E、F、G、H身對邊作垂線，垂足分別是K、L、M、N,于是E、F、G、H、K、L、M、N八點共圓。如圖十二。（4）阿波羅尼奧斯問題生于公元前255年的阿波羅尼奧斯，在專著論相切中提出了一個著名的問題：給定三個元素，點、直線或圓，求作一圓通過三點（若為三點），或與給定的各直線

14、或圓相切。過不在同一直線上三點作圓，或作一圓與三條兩兩相交的直線相切，即作三角形外接圓、作三角形內(nèi)切圓，都是其中的問題。公元4世紀(jì)，希臘學(xué)者Pappus研究過論相切，把阿波羅尼奧斯提出的問題劃分為十種情況，記述詳盡。 對于作一圓與另外三個圓相切的問題，極為復(fù)雜，此即就是阿波羅尼奧斯問題(沈康身，2002)。從公元前200一直到十七世紀(jì)都使許多數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁。韋達(dá)（1540-1603）在其專著Apollonius問題，牛頓（1643-1727）在廣義算術(shù)中都進(jìn)行了較深入的研究。后來，蒙根（Monge）、高斯等數(shù)學(xué)家也進(jìn)行深入研究，給出了眾多的解法。 日本的寺阪英孝、我國的沈康身先生對這三個圓

15、的位置關(guān)系進(jìn)行細(xì)致的研究。他們把“作一圓與另外三個圓相切的問題”給出了極其有趣的分類，用相交（記J)、相切（記Q）、相離（記L）各種不同的排列形式去考慮。因而，三個圓的位置關(guān)系共有十種： LLL JJJ QQQ LJQ LLJ LLQ QQL QQL JJQ JJL每種情況又可分為若干子目。日本的寺阪英孝把阿波羅尼奧斯問題分為49個子目，我國的沈康身先生把上面分類進(jìn)行改編，增補(bǔ)為51個子目，這種分類是否詳盡無遺？沈康身先生還認(rèn)為，這有待進(jìn)一步深入探索。具體對阿波羅尼奧斯問題的研究，可翻閱歷史數(shù)學(xué)名題賞析（沈康身著）。參考文獻(xiàn)：1 沈康身. 歷史數(shù)學(xué)名題賞析，上海：上海教育出版社，2002：588-597，6496562 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論，長春：東北師范大學(xué)出版社，2009：29-323 魯品越.西方科學(xué)歷程及其理論透視 , 北京：中國人民大學(xué)出版社,1992：694 美T.帕帕斯著，