1、2009年中考數學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練方差及頻率分布知識講解 1方差的定義 在一組數據x1，x2，xn中，各數據及它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差通常用“S2”表示，即S2= （x1）2+（x2）2+（xn）2 2方差的計算 （1）基本公式 S2= （x1）2+（x2）2+（xn）2 （2）簡化計算公式（） S2= （x12+x22+xn2）n2，也可寫成S2=（x12+x22+xn2）2，此公式的記憶方法是：方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方 （3）簡化計算公式（） S2= （x12+x22+xn2）nx2 當一組數據中的數據較大時，可以依照簡化

2、平均數的計算方法，將每個數據同時減去一個及它們的平均數接近的常數a，得到一組數據x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么S2= （x12+x22+xn2）n2，也可寫成S2=（x12+x22+xn2）2記憶方法是：方差等于新數據平方的平均數減去新數據平均數的平方 3標準差的定義和計算 方差的算術平方根叫做這組數據的標準差，用“S”表示，即 S= 4方差和標準差的意義 方差和標準差都是用來描述一組數據波動情況的特征數，常用來比較兩組數據的波動大小，我們所研究的權是這兩組數據的個數相等、平均數相等或比較接近時的情況 方差較大的數據波動較大，方差較小的數據波動較小 5頻率分布的意義 前面學習的

3、平均數及方差，反映了樣本和總體的兩個特征：平均水平和波動大小但是在許多問題中，只知道這些還不夠，還需要知道樣本中數據在各個小范圍所占的比例的大小，這就需要研究如何對一組數據進行整理，以便得到它的頻率分布 6研究頻率分布的一般步驟及有關概念 （1）研究樣本的頻率分布的一般步驟： 計算極差（最大值及最小值的差）；決定組距及組數；決定分點；列頻率分布表；畫出頻率分布直方圖 （2）頻率分布的有關概念： 極差：最大值及最小值的差； 頻數：落在各個小組內的數據的個數； 頻率：每一小組的頻數及數據總體（樣本容量n）的比值叫做這一小組的頻率 （3）幾個重要的結論： 各小組的頻數之和等于數據總數； 各小組的頻率

4、之和等于1； 頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應各組的頻率，各小長方形面積之和等于1； 各小長方形的高及該組頻數成正比 例題解析 例1 甲、乙兩個學習小組各4名學生的數學測驗成績如下（單位：分） 甲組：86 82 87 85 乙組：85 81 85 89 （1）分別計算這兩組數據的平均數； （2）分別計算這兩組數據的方差； （3）哪個學習小組學生的成績比較整齊？ 【分析】應用平均數計算公式和方差的計算公式求平均數和方差 【解答】（1）甲=（6+2+7+5）+80=85，乙=（5+1+5+9）+80=85（2）S甲2= （8685）2+（8285）2+（8785）2+（8585）2=3.

5、5，S乙2= （8585）2+（8185）2+（8585）2+（8985）2=8 （3）S乙2>S甲2，甲組學習成績較穩定 【點評】方差是反映一組數據波動大小的量例2 為了迎接全市體育中考，某中學對全校初三男生進行了立定跳遠項目測試，并從參加測試的500名男生中隨機抽取了部分男生的測試成績（單位：m，精確到0.01m）作為樣本進行分析，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每組含最低值，不含最高值）已知圖中從左到右每個小長方形的高比依次為2：4：6：5：3，其中1.802.00這一小組的頻數為8，請根據有關信息解答下列問題： （1）這次調查的樣本容量為_，2.402.60這一小組的頻率為_ （

6、2）請指出樣本成績的中位數落在哪一小組內，并說明理由； （3）樣本中男生立定跳遠的人均成績不低于多少米？ （4）請估計該校初三男生立定跳遠成績在2.00m以上（包括2.00m）的約有多少人？ 【分析】樣本容量是樣本數據，不帶單位，確定中位數時，首先將樣本數據按大小排序后再求出，然后分析落在哪個小組 【解答】（1）由于1.802.00小組的頻數為8，占總份數中的4份，總份數是20分，故樣本容量為：8÷=402.402.60這個小組的頻率為3÷20=0.15 （2）由于樣本容量是40，則中位數是第20人和第21人成績的平均數，而第20人和第21人的成績均在2.002.20這個小

7、組，則中位數落在2.002.20這個小組 （3）因為第一組到第五組人數依次為4人，8人，12人，10人，6人，則可求得樣本中男生立定跳遠的人均成績不低于2.03m （4）初中男生立定跳遠成績在2.00m以上的約有×500=350（人） 【點評】頻率分布直方圖中各小組頻率之和為1，掌握它是解題的關鍵 強化訓練 一、填空題 1（2005，荊門市）已知數據：1，2，1，0，1，2，0，1，這組數據的方差為_ 2（2005，宜昌市）甲、乙、丙三臺包裝機同時分裝質量為400g的茶葉，從它們各自分裝的茶葉中分別隨機抽取了10盒，得到它們的實際質量的方差如下表所示根據表中數據，可以認為三臺包裝機中

8、，_包裝機包裝的茶葉質量穩定甲包裝機乙包裝機丙包裝機方差/g2 31.96 7.96 16.32 32005年沈陽市春季房交會期間，某公司對參加本次房交會的消費者進行了隨機的問卷調查，共發放1000份調查問卷，并全部收回根據調查問卷，將消費者年收入情況整理后，制成表1；將消費者打算購買住房的面積的情況整理后，制成表2，并作出部分頻率分布直方圖（如圖） 表1 被調查的消費者年收入情況年收入/萬元1.21.83.05.010.0被調查的消費者數/人2005002007030 表2 被調查的消費者打算購買住房的面積的情況分組/m2頻數頻率40.560.50.0460.580.50.1280.5100

9、.50.36100.5120.5120.5140.50.20140.5160.50.04合 計10001.00 注：住房面積取整數 請你根據以上信息，回答下列問題： （1）根據表1可得，被調查的消費者平均年收入為_萬元；被調查的消費者年收入的中位數是_萬元；在平均數，中位數這兩個數中，更能反映出被調查的消費者年收入的一般水平； （2）根據表2可得，打算購買100.5120.5m2房子的人數是_人；打算購買住房面積不超過100m2的消費者的人數占被調查人數的百分數是_；（3）在下圖中補全這個頻率分布直方圖 4青少年視力水平的下降已經引起全社會的關注，某校為了了解初中畢業年級500名學生的視力情況

10、，從中抽查了一部分學生視力，通過數據處理，得到如下頻率分布表和頻率分布直方圖分組頻數頻率3.954.2520.044.254.5560.124.554.85254.855.150.045.155.4521.00合計 請你根據給出的圖表回答： （1）填寫頻率分布表中未完成部分的數據 （2）在這個問題中，總體是_，樣本容量是_ （3）在頻率分布直方圖中，梯形ABCD的面積是_（4）請你用樣本估計總體，可以得到哪些信息（寫一條即可）：_ 5甲，乙兩種產品進行對比試驗，得知乙產品比甲產品的性能更穩定，如果甲，乙兩種產品抽樣數據的方差分別是S甲2及S乙2，則它們的方差的大小關系是_ 6已知：一組數據1，

11、x，1，2，0的平均數是0，這組數據的方差是_ 7若樣本數據1，2，3，2的平均數是a，中位數是b，眾數是c，則數據a，b，c的標準差是_ 8若已知一組數據：x1，x2，xn的平均數為x，方差為S2，那么另一組數據：3x12，3x22，3xn2的平均數為_，方差為_ 16（2005，鹽城市）如果將一組數據中的每一個數據都加上同一個非零常數， 那么這組數據的（ ） A平均數和方差都不變 B平均數不變，方差改變 C平均數改變，方差不變 D平均和方差都改變 18武漢市教育局在中學開展的“創新素質實踐行”中，進行了小論文的評比各校交論文的時間為5月1日至30日，評委會把各校交的論文的件數按5天一組分組

12、統計，繪制了頻率分布直方圖，已知從左到右各長方形的高的比為2：3：4：6：4：1，第二組的頻數為18請回答下列問題： （1）本次活動共有多少篇論文參加評比？ （2）哪組上交的論文數量最多？有多少篇？（3）經過評比，第四組和第六組分別有20篇，4篇論文獲獎，問這兩組哪組獲獎率較高？ 19（2008，金華）九（3）班學生參加學校組織的“綠色奧運”知識競賽活動，老師將對學生的成績按10分的組距分段，統計每個分數段出現的頻數，填入頻數分布表，并繪制頻數的分布直方圖 九（3）班“綠色奧運”知識競賽成績頻數分布表分數段/分49.559.559.569.569.579.579.589.589.599.5組中

13、值/分54.564.574.584.594.5頻數a910145頻率0.0500.2250.2500.350b （1）頻數分布表中a=_，b=_； （2）把頻數分布直方圖補充完整；（3）學校設定成績在695分以上的學生將獲得一等獎或二等獎，一等獎獎勵作業本15本及獎金50元，二等獎獎勵作業本10本及獎金30元已知這部分學生共獲得作業本335本，請你求出他們共獲得的獎金 九（3）班“綠色奧運”知識競賽成績頻數分布直方圖2012年中考數學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練平均數、眾數和中位數知識講解 1定義 平均數：有n個數x1，x2，xn，則=（x1+x2+xn）叫這n個數的平均數眾數：是

14、指一組數據中，出現次數最多的數據中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫這組數據的中位數 2平均數的計算方法 （1）定義法；（2）加權平均法；（3）新數據法：=1+a，是x1，x2，xn的平均數，1是x11=x1a，x21=x2a，xn1=xna的平均數 3平均數、眾數和中位數的意義 平均數反映了一組數據的集中趨勢，是度量一組數據波動大小的基準，是描述一組數據的集中趨勢的量平均數大小及每一個數據都有關；眾數只及部分數據有關，中位數及數據的排列位置有關，某些數據的變動及對中位數沒有影響平均數及中位數均唯一，但眾數不一定唯一在實際問題中求得的平均數、眾

15、數和中位數都應有相應單位 例題解析 例1 某高科技產品開發公司現有員工50名，所有員工的月工資情況如下表：員工管理人員普通工作人員人員結構總經理部門經理科研人員銷售人員高級技工中級技工勤雜工員工數/名1323241每人月工資/元2100084002025220018001600950請你根據上述內容，解答下列問題： （1）該公司“高級技工”有_名； （2）所有員工月工資的平均數為2500元，中位數為_元，眾數為_元 （3）小張到這家公司應聘普通工作人員，請你回答圖615中小張的問題，并指出用（2）中的哪個數據向小張介紹員工的月工資實際水平更合理些； （4）去掉四個管理人員的工資后，請你計算出其

16、他員工的月平均工資（結果保留整數），并判斷能否反映該公司員工的月工資實際水平 【分析】由于工資表中，管理人員的工資及普通工作人員的工資差距較大，因而平均數受極端值的影響較大，不能代表全體員工工資的“平均水平”，因此，依題意，有 （1）該公司“高級技工”有50（1+3+2+3+24+1）=16（名） （2）中位數為=1700（元），眾數為1600元 （3）這個經理的介紹不能反映該公司員工的月工資實際水平，用1700元或1600元來介紹更合理些 （4）=1713（元），能反映該公司員工的月工資實際水平 【點評】平均數、中位數和眾數都是一組數據的代表平均數能充分利用數據提供的信息，但容易受數據中某些

17、極端值的影響中位數的優點是計算簡單，受極端值的影響較大，但充分利用所有數據的信息不夠 例2 某學校對初中畢業班經過初步比較后，決定從初三（1）、（4）、（8）班這三班中推薦一個班為市級先進班集體的候選班現對這三個班進行綜合素質考評，下表是其五項素質考評的得分表：（以分為單位，每項滿分為10分）班 級行為規范學習成績校運動會藝術獲獎勞動衛生初三（1）班10106107初三（4）班108898初三（8）班910969 （1）請問各班五項考評分的平均數、中位數和眾數中哪個統計量不能反映三個班的考評結果的差異？并從中選擇一個能反映差異的統計量將這三個班的得分進行排序； （2）根據你對表中五個項目的重要

18、程度的認識，設定一個各項考評內容的占分比例（比例的各項須滿足：均為整數；總和為10；不全相同）按這個比例對各班的得分重新計算，比較出大小關系，并從中推薦一個得分最高的班級作為市級先進班集體的候選班 【分析】（1）分別計算三個班的平均數、中位數和眾數，并結合計算分析；（2）設出各個項目的權，利用加權平均數比較三個班的考評分 【解答】（1）設P1，P2，P8順次為3個班考評分的平均數 W1，W2，W8順次為3個班考評分的中位數， Z1，Z4，Z8順次為3個班考評分的眾數，則 P1=（10+10+6+10+7）=85（分） P4=（8+8+8+9+10）=86（分） P8=（9+10+9+6+9）=

19、86（分） W1=10（分） W4=8（分） W8=9（分） Z1=10（分） Z4=8（分） Z8=9（分） 平均數不能反映這3個班的考評結果的差異，而用中位數（或眾數）能反映差異，且 W1>W8>W4（Z1>Z8>Z4） （2）給出一種參考答案）選定： 行為規律：學習成績：校運動會：藝術獲獎：勞動衛生=3：2：3：1：1，設K，K，K順次為3個班的考評分， 則K1=0.3×10+0.2×10+0.3×6+0.1×10+0.1×7=8.5， K4=0.3×10+0.2×8+0.3×8+0.

20、1×9+0.1×8=8.7， K8=0.3×9+0.2×10+0.3×9+0.1×6+0.1×9=8.9 K8>K4>K1，推薦初三（8）班為市級先進班集體的候選班 強化訓練 一、填空題 1（2005，江西省）下表是一文具店612月份某種鉛筆銷售情況統計表：月 份6789101112鉛筆/支300200400500300200200 觀察表中數據可知，眾數是_，中位數是_2（2005，成都）下圖是一組數據的折線統計圖，這組數據的極差是_，平均數是_ 3（2005，常州市）請你根據條形圖提供的信息，回答下列問題：

21、有100名學生參加兩次科技知識測試，條形圖顯示兩次測試的分數分布情況 （1）兩次測試最低分在第_次測試中； （2）第_次測試較容易；（3）第一次測試中，中位數在_分數段，第二次測試中，中位數在_分數段 4某公司銷售部有五名銷售員，2004年平均每人每月的銷售額分別是6，8，11，9，8（萬元）現公司需增加一名銷售員，三人應聘試用三個月，平均每人每月的銷售額分別為：甲是上述數據的平均數，乙是中位數，丙是眾數最后正式錄用人中平均月銷售額最高的人是_5如圖是連續十周測試甲，乙兩名運動員體能訓練情況的折線統計圖教練組規定：體能測試成績70分以上（包括70分）為合格 （1）請根據圖中所提供的信息填寫下表

22、：平均數中位數體能測試成績合格次數甲 65乙 60 （2）請從下面兩個不同的角度對運動員體能測試結果進行判斷： 依據平均數及成績合格的次數比較甲和乙，_的體能測試成績較好； 依據平均數及中位數比較甲和乙，_的體能測試成績較好 （3）依據折線統計圖和成績合格的次數，_運動員體能訓練的效果較好6為了了解業余射擊隊隊員的射擊成績，對某次射擊比賽中每一名隊員的平均成績（單位：環，環數為整數）進行了統計，分別繪制了如下表和頻率分布直方圖，請你根據統計表和頻數分布直方圖回答下列問題：平均成績012345678910 人01334610 （1）參加這次射擊比賽的隊員有_名； （2）這次射擊比賽平均成績的中位

23、數落在頻率分布直方圖的_小組內； （3）這次射擊比賽平均成績的眾數落在頻率分布直方圖的_小組內 7（2008，煙臺）七（1）班四個綠化小組植樹的棵數為：10，10，x，408，已知這組數據的眾數和平均數相等，那么這組數據的中位數是_棵 8某餐廳共有7名員工，所有員工的工資情況如表所示（單位：元）：人員經理廚師甲廚師乙會計服務員甲服務員乙勤務工人數1111111工資額3000700500450360340320 解答下列問題（直接填在橫線上）： （1）餐廳所有員工的平均工資是_元； （3）所有員工工資的中位數是_元； （3）用平均數還是用中位數描述該餐廳員工工資的一般水平比較恰當？ 答：_ （4

24、）去掉經理的工資后，其他員工的平均工資是_元，是否也能反應該餐廳員工工資的一般水平？ 9（2008，青島）某廣播電視局欲招聘播音員一名，對A，B兩名候選人進行兩項素質測試，兩人的兩次測試成績如表所示，根據實際需要廣播電視局將面試，綜合知識測試的得分按3：2的比例計算兩人的總成績，那么_（填“A”或“B”）被錄用測試項目測試成績AB面試9095綜合知識測試8580 二、選擇題 10（2008，大連）某鞋店試銷一款女鞋，試銷期間對不同顏色鞋的銷售情況統計如表所示：顏色黑色棕色白色紅色銷售量/雙60501015 鞋店經理最關心的是哪種顏色的鞋最暢銷，則對鞋店經理最有意義的統計量是（ ） A平均數 B

25、眾數 C中位數 D方差 11（2005，黃岡市）設是x1，x2，x3，x4，xn的平均數，是x1+，x2+，x3+，xn+的平均數，則及的關系是（ ） A= B=+ C= D=（+） 12在青年業余歌手卡拉OK獎賽中，8位評委給某選手所評分數如下表：評委12345678評分9.89.59.79.99.89.79.49.8 計分方法是：去掉一個最高分，去掉一個最低分，其余分數的平均分作為該選手的最后得分，則該選手最后得分是（精確到0.01分）（ ） A9.70 B9.71 C9.72 D9.73 13（2005，遼寧省）已知一組按大小順序排列的數據2，3，4，x，6，9的中位數是5，那么這組數據

26、的眾數是（ ） A6 B5.5 C5 D4 14（2005，武漢市）某校在一次學生演講比賽中，共有7個評委，學生最后得分為去掉一個最高分和一個最低分后的平均分，某學生所得分數為：9.7，9.6，9.5，9.6，9.7，9.5，9.6，那么這組數據的眾數及該學生最后得分分別為（ ） A9.6，9.6 B9.5，9.6 C9.6，9.58 D9.6，9.7 三、解答題 152008年8月8日，第29屆奧運會將在北京舉行，現在，奧運會門票已在世界各地開始銷售，圖620是奧運會部分項目的門票價格： （1）從以上統計圖可知，同一項目門票價格相差很大，分別求出籃球項目門票價格的極差和跳水項目門票價格的極差 （2）求出這6個奧運會項目門票最高價的平均數，中位數和眾數（3）田徑比賽將在國家體育場“鳥巢”進行，“鳥巢”內共有觀眾座位9.1萬個從安全角度考慮，正式比賽時將留出0.6萬個座位某場田徑賽，組委會決定向各奧運贊助商和相關部門贈送1.5萬張門票，其余門票全部售出若售出的門票中最高價門票占10%15%，其他門票的平均價格是300元，你估計這場比賽售出的門票收入約是多少萬元？請說明理由16小明家去年的旅游、體育、飲食支出分別為3600元，1200元，7200元，今年