1、精選優質文檔-傾情為你奉上相似三角形（模型-輔助線）一、本章概述相似作為幾何學習的一個重要內容，大量的出現在中考試卷中，它與勾股定理和銳角三角形函數并列為初中幾何計算三大工具。本章重點講解相似的幾個模型，如A字形，8字形，一線三等角等模型。二、知識回顧1、圖形的相似（1）相似圖形：形狀相同的圖形叫做相似圖形（2）相似多邊形：對應角相等，對應邊的比相等。相似多邊形對應邊的比為相似比。2.相似三角形（3）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段的比相等。（4）相似三角形的判定預備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段的比相等。判定定理：平行于三

2、角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。傳遞性定理：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。（5）相似三角形的性質相似三角形的對應角相等，對應邊成比例相似三角形的周長的比等于相似比；對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方。3.位似（6）多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。（7）在平面直角坐標系中，如果位似是以原點為位似中心

3、，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k。 1.相似基本模型一、本節概述本節重點講解“A”字形和“8”字形的應用和構造方法，這兩個模型是相似三角形中最為基礎的兩個模型，但應用十分廣泛。1.“A”字形相似2. ”8”字形相似二、典例精析能力目標：1.熟練掌握正A型相似和正8型相似模型：2.借助平行線構造正A型相似和正8型相似模型解決相關問題。【例1】已知：圖下圖，AD是的中線。（1）若E為AD的中點，射線CE交AB于F，則（2）若E為AD上一點，且,射線CE交AB于F，則思維探究：方法一：通過平行線構造相似解：過A點作AP/BC交CF于點P,“8”字模型APCD方法二：過A作AH/

4、CF交BC延長線于H，則方法三：作DK/CF交AB于K,則方法四：作DM/AB交CF于M，則AF=DM,( 2 ) 構造平行線，通過線段比解決問題作BP/AD交CF于點P,大家可嘗試過其他點作平行線，解答中用了A點和D點，其它的同學們自己嘗試。【例2】如圖，BD、CE為ABC的高，求證：AED=ACB.思路分析：求證相等的兩角，在如圖所示的了兩個三角形中，符合“斜A”相似模型，只要證明它們相似即可，且證明它們相似只能用邊的比例關系，而邊的比例關系可以通過另一對相似三角形得到。思維探究：通過相似求出比例關系證明：通過“斜”A相似證明等角。方法總結：通過相似證明等角是證明等角的一種常用方法，當發現

5、“斜A”相似模型后，首先要想到利用相似證明等角。【例3】已知：如圖,在O中,CD過圓心O,且CDAB,垂足為D,過點C任作一弦CF交O于F,交AB于E. 求證：CB2=CFCE. 思路分析：求證的是一條線段的平方等于兩條線段的積，結合它們的位置可以考慮構造“似”A相似模型。思維探究：連接FB構造“似A”相似模型，只要證明即可，需要找到一組等角。證明：連接BF、AC,通過垂經定理、圓周角定理轉化條件證明相似，進而得到結論。方法總結：本題的關鍵是對平方關系轉化，因此熟練掌握“似A”相似模型很有必要。三、成果檢測1. 如圖,在直角梯形ABCD中,DCAB,DAB=90,ACBC,AC=BC,ABC的

6、平分線分別交AD、AC于點E,F,則的值是( )A. B. C. D.答案：2. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點E，ADB=ACB.(1)求證：AB：AE=AC：AD；(2)若ABAC，AE:EC=1:2，F是BC中點，求證：四邊形ABFD是菱形。答案：3. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作一條直線分別交DA、BC的延長線于點E. F，連接BE、DF.(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若EFAB,垂足為M,tanMBO=，求EM:MF的值。答案：4. 如圖,在ABC中,D是BC邊上的點(不與點B. C重合)，連

7、結AD.問題引入：(1)如圖,當點D是BC邊上的中點時, = ;當點D是BC邊上任意一點時, = (用圖中已有線段表示).探索研究：(2)如圖,在ABC中,O點是線段AD上一點(不與點A. D重合),連結BO、CO,試猜想與之比應該等于圖中哪兩條線段之比，并說明理由。拓展應用：(3)如圖,O是線段AD上一點(不與點A. D重合),連結BO并延長交AC于點F,連結CO并延長交AB于點E,試猜想的值，并說明理由。答案：5. 如圖,在RtABC中,ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB于點D. 點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同

8、時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止。設運動時間為t秒。(1)求線段CD的長；(2)設CPQ的面積為S,求S與t之間的函數關系式,并確定在運動過程中是否存在某一時刻t,使得=9:100?若存在，求出t的值；若不存在，說明理由。(3)當t為何值時，CPQ為等腰三角形?答案：2.雙垂線模型一、本節概述本節重點講解“雙垂線模型”的應用和構造方法，記住這個模型的一些常見結論，在解題中會起到很好的效果，雙垂線模型：如圖中有兩個直角標記，故稱之為“雙垂線模型”，會得到以下結論：( 1 )角的關系：( 2 )相似三角形：( 3 )射影定理：( 4 )等積變換：請嘗試證明上述結論二、

9、典例精析能力目標：1.熟練掌握雙垂線模型；2.識別利用、雙垂線模型【例1】如圖,已知ABC中,AD,BF為BC,AC邊上的高,過D作AB的垂線交AB于E,交BF于G,交AC的延長線于H,求證：DE2=EGEH. 思路分析：求證中涉及到的線段，其所在的三角形不能直接得到所求的結論，因此要進行轉化，DE恰好在“雙垂直”模型中，因此,所求轉成,只要證明它們所在的和相似即可。思維探究：通過雙垂直模型轉化DE。證明：利用相似三角形得到比例關系，進而轉化為乘積關系。方法總結：本題利用雙垂線轉化線段的平法關系，是解題的關鍵。【例2】如圖四邊形ABCD是矩形，AB=2,求EF與EG的數量關系。思路分析：求EF

10、與EG的數量關系，只要將它們放入方程中求出即可，由于AB=2,E是AC中點，因此可以考慮構造中位線，進而出現雙垂直模型。思維探究：構造中位線。解：取BC的中點H,連接EH,四邊形ABCD是矩形，在中用勾股定理得到EF與EG的關系，利用雙垂線模型面積關系整理方程得到關系，方法總結：本題利用“雙垂直”模型的面積關系，當然也可以利用相似關系解決這個問題，留給同學們自己思考。 3.一線三等角一、本節概述本節重點講解“一線三等角”模型的應用和構造方法，這個模型的構造通常出現在綜合性較強的壓軸題中。模型一：如圖，若，會得到以下結論：（1）（2）三角形相似請嘗試證明上述結論模型二：如圖是一線三等角的另一種形

11、式，有著類似的結論我們會發現，其實前面學習的勾股弦圖只是一線三等角的一種特殊情況。二、典例精析知識點1：一線三等角能力目標：1.熟練掌握一線三等角模型2.識別、利用簡單的一線三等角模型解決問題【例1】如圖，在等邊三角形中，AB=4AD=4,點P在邊BC(不與B、C點重合)上移動，且保持則AE的最小值是 。思維探索：求出相關量解：求AE的最小值等價于求CE的最大值，利用函數關系式求最值。方法總結：本題是非常明顯的“一線三等角”模型，直接利用即可。【例2】在四邊形ABCD中，,BC=4,CD=6,則AC=思維探究：由于可嘗試構造一線三等角解：方法總結：有兩個等角時，可嘗試構造“一線三等角”【例3】

12、在中，,D是斜邊AB的中點，E是BC邊上一動點，連接DE、AE，當時，求CE的長。思維探究：解：通過“一線三等角”構造相似三角形利用相似三角形的性質解出所求。方法總結：本題為知道一角構造“一線三等角”，難度較大。根據模型二構造一線三等角【例4】在中，AB=AC,D是底邊BC上一點，E是線段AD上一點，且,則DB與DC的數量關系為 。思維探究：解:通過“一線三等角”構造全等三角形，三、成果檢測1. 已知：如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,F是AD上一點,CFEF于點F交AB于點E,CD:CF=1:2.求AE的長。答案：2. 如圖,AB=4,射線BM和AB互相垂直,點D是AB上的一個動

13、點,點E在射線BM上,2BE=DB,作EFDE并截取EF=DE,連結AF并延長交射線BM于點C. 設BE=x,BC=y,則y關于x的函數解析式是( )A. B. C. D.答案：A3. 如圖,在矩形AOBC中,點A的坐標是(2,1),點C的縱坐標是4,則B. C兩點的坐標分別是( )答案：過點A作ADx軸于點D,過點B作BEx軸于點E,過點C作CFy軸,過點A作AFx軸，交點為F，延長CA交x軸于點H，4. 如圖1,在等腰直角ABC中,BAC=90,AB=AC=2,點E是BC邊上一點,DEF=45且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點P，Q.(1)如圖2，若點E為BC中點，將DEF繞

14、著點E逆時針旋轉，DE與邊AB交于點P，EF與CA的延長線交于點Q.設BP為x，CQ為y，試求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)如圖3,點E在邊BC上沿B到C的方向運動(不與B,C重合)，且DE始終經過點A，EF與邊AC交于Q點。探究：在DEF運動過程中，AEQ能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由。答案：5. 閱讀理解如圖1,若在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E與點A,B不重合)，分別連結ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點。解決問題：(1)如圖1,若A=B=DEC=55，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點均在正方形網格(網格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E；拓展探究：(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點D落在AB邊上的點E處。若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個